Lista de cálculo

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Primeira Lista de
Exercícios
Cálculo 1
 Prof. Darlan
Exercícios extraídos da sétima edição do Stewart volume 1.
Teorema 4 usado na primeira questão:
A=lim
n→∞
∑
i=1
n
f (xi)Δ x
Sabemos ainda que:
∑
i=1
n
i=
n(n+1)
2
∑
i=1
n
i
2=
n(n+1)(2n+1)
6
ECT – UFRN 
Lista de Exercícios 
Cálculo II - 1ª Unidade 
 
 Seção 5.2 
 
 26. 
 a) Encontre uma aproximação para a 
integral ∫ (�2 − 3�)40 �� usando uma soma de 
Riemann com as extremidades direitas e n=8. 
 b) Faça um diagrama para ilustrar a 
aproximação da parte a). 
 c) Use o teorema 4 para calcular ∫ (�2 − 3�)40 ��. 
 d) Interprete a integral da parte c) como 
uma diferença de áreas e ilustre com diagramas. 
 
 34. O gráfico de g consiste em duas 
retas e um semicírculo. Use-o para calcular 
cada integral. �) ∫ �(�) ��20 �) ∫ �(�) ��62 �) ∫ �(�) ��70 
 
 
 
 
 
 
 
 51. Para a função f cujo gráfico é 
mostrado, liste as seguintes quantidades em 
ordem crescente e explique seu raciocínio. �) ∫ �(�) ��80 �) ∫ �(�) ��30 �) ∫ �(�) ��83 �) ∫ �(�) ��84 �) �´(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 5.3 
 Use a parte 1 do Teorema Fundamental 
do Cálculo para encontrar a derivada da função. 
 
 7. �(�) = ∫ 1�3 + 1 ���1 
 14. ℎ(�) = ∫ �²�4 + 1 ��√�1 
 15. � = ∫ √� + √��� �0 �� 
 16. � = ∫ ���2� ���40 
 17. � = ∫ �31 + �2 ��11−3� 
 18. � = ∫ √1 + �2��1sin � 
 
 Calcule as seguintes integrais. 
 
 19.∫ (�3 − 2�) ��2−1 
 24.∫ √�3 ��81 
 31.∫ ���2� ���/40 
 32.∫ sec � �� � ���40 
 35.∫ �3 + 3�6�4 ��21 
 38.∫ cosh � ��10 
 
 55. Encontre a derivada da função. 
 �(�) = ∫ �2 − 1 �2 + 1 ��3�2� 
[����:∫ �(�) ��3�2� = ∫ �(�) ��02� + ∫ �(�) ��3�0 ] 
 
 61. Em qual intervalo a curva � = ∫ �²�2 + � + 1 ���0 
é côncava para baixo? 
 
 73. 
 a) Mostre que 1 ≤ √1 + �³ ≥ 1 + �³ 
para � ≥ 0. 
 b) Mostre que 1 ≤ ∫ √1 + �³10 ≥ 1,25. 
 
 76. Considere 
 �(�) = { 0�2 − � �� � < 0�� 0 ≤ � ≤ 1�� 1 < � ≤ 20 �� � > 2 
e �(�) = ∫ �(�) ���0 
 
 a) Ache uma expressão para g(x) similar 
àquela f(x). 
 b) Esboce os gráficos de f e g. 
 c) Onde f é derivável? Onde g é 
derivável? 
 
 Seção 5.4 
 
 Verifique, por derivação, que a fórmula 
está correta. 
 
 1.∫ �√�2 + 1 �� = √�2 + 1 + ℂ 
 
 2.∫���2� �� = �2 + sin 2�4 + ℂ 
 
 4.∫ �√� + �� �� = 2(�� − 2�)3�2 √� + �� + ℂ 
 
 Encontre a integral indefinida geral. 
 
 6.∫(√�³ + √�²3 ) �� 
 11.∫�3 − 2√�� �� 
 
 53. Se vazar óleo de um tanque a uma 
taxa r(t) galões por minuto em um instante t, o 
que ∫ �(�) ��1200 representa? 
 
 54. Uma colmeia com uma população 
inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de n’(t) 
por semana. O que representa 100+∫ �′(�) ��150 ? 
 
 56. Se f(x) for a inclinação de uma trilha 
a uma distância de x quilômetros do começo 
dela, o que ∫ �(�) �� 53 representa? 
 
 Seção 5.5 
 
 Calcule a integral indefinida. 
 
 7.∫����(�2) �� 
 12.∫���2(2�) �� 
 15.∫���(��) �� 
 19.∫ � + ��²√3�� + ��³ �� 
 21.∫ (ln �)²� �� 23.∫���2 � ��3 � �� 
 25.∫��√1 + �� �� 
 27.∫(�2 + 1)(�3 + 3�4)4 �� 
 30.∫ ��−1�1 + �² �� 33.∫ cos ����2� �� 35.∫√���� � ������2� �� 
 44.∫ �1 + �4 �� 
 45.∫ 1 + �1 + �² �� 48.∫�³√�2 + 1 �� 
 
 Avalie a integral definida. 
 
 57.∫ ���² (�4) �0 �� 
 59.∫ �1��²21 �� 
 60.∫ ��−�² ��10 
 64.∫ �√�2 − �²�0 �� 
 69.∫ ���√�� � �4� 
 71.∫ �� + 1�� + �10 �� 
 
 81. Um tanque de armazenamento de 
petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo 
vaza do tanque a uma taxa de �(�) =100�−0,001� litros por minuto. Quanto petróleo 
vazou no primeira hora? 
 
 82. Uma população de bactérias tem 
inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa 
de �(�) = (450,268)�1,12567� bactérias por hora. 
Quantas bactérias existirão após 3 horas? 
 
 90. Se f é contínua em [0, �], use a 
substituição � = � − � para demonstrar que 
 ∫ ��(sin �) �� = �2 ∫ �(sin �) ���0�0 
 
 91. Use o exercício 90 para calcular a 
integral ∫ � sin �1 + cos² ��0 �� 
 
 Seção Problemas Quentes 
 
 6. Se �(�) = ∫ �²�0 sin(�²) ��, encontre 
f’(x). 
 
 Seção 6.1 
 
 Encontre a área da região entre as 
curvas. 
 
 1. 
 
 
 
 
 
 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 Esboce a região delimitada pelas curvas 
e encontre sua área. 
 
 13. � = 12 − �2, � = �2 − 6 
 15. � = �2, � = 4� − �2 
 17. � = 2�2, � = 4 + �² 
 20. � = �4, � = √2 − �, � = 0 
 23. � = cos � , � = sin 2� , � = 0, � = �/2 
 26. � = |�|, � = �2 − 2 
 28. � = �²4 , � = 2�2, � + � = 3, � ≥ 0 
 
 46. Se a taxa de natalidade da população 
é �(�) = 2200�0,024� pessoas por ano e a taxa 
de mortalidade é �(�) = 1460�0,018� pessoas 
por ano, encontre a área entre as curvas para 0 ≤ � ≤ 10. O que esta área representa? 
 
 50. Encontre a área da região delimitada 
pela parábola � = �², pela reta tangente a esta 
parábola em (1, 1) e pelo eixo x. 
 
 53. Encontre os valores de c tais que a 
área da região delimitada pelas parábolas � =�2 − �² e � = �2 − �² seja 576. 
 
 55. Para quais valores de m a reta � =�� e a curva � = �/(�2 + 1) delimitam uma 
região? Encontre a área da região. 
 
 Seção 6.2 
 
 Encontre o volume do sólido obtido 
pela rotação da região delimitada pelas curvas 
dadas em torno das retas especificadas. Esboce 
a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. 
 
 6. � = ln � , � = 1, � = 2, � = 0; em torno 
do eixo x 
 7. � = �3, � = �, � ≥ 0; em torno do eixo x 
 11. � = �², � = �²; em torno de y = 1 
 14. � = sin � , � = cos � , 0 ≤ � ≤ �/4 ; em 
torno de y = -1 
 
 Veja a figura e encontre o volume 
gerado pela rotação da região ao redor da reta 
especificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 19. R1 em torno de OA 
 20. R1 em torno de AB 
 21. R2 em torno de AO 
 22. R2 em torno de AB 
 23. R3 em torno de AO 
 24. R3 em torno de AB 
 25. R1 em torno de OC 
 26. R1 em torno de BC 
 27. R2 em torno de OC 
 28. R2 em torno de BC 
 29. R3 em torno de OC 
 30. R3 em torno de BC 
 
 Encontre o Volume do sólido S descrito. 
 
 48. Um tronco de cone circular reto com 
altura h, raio da base inferior R e raio da base 
superior r. 
 
 
 
 
 
 49. Uma calota de uma esfera de raio r 
e altura h. 
 
 
 
 
 
 
 
 50. Um tronco de pirâmide com base 
quadrada de lado b, topo quadrado de lado a e 
altura h. 
 
 
 
 
 
 
 
 51. Uma pirâmide com altura h e base 
retangular com lados b e 2b. 
 
 52. Uma pirâmide com altura h e base 
triangular equilátera com lado a (um tetraedro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53. Um tetraedro com três faces 
perpendiculares entre si e as três arestas 
perpendiculares entre si com comprimentos de 
3 cm, 4 cm e 5 cm. 
 
Seção 6.4 
 
 4. Quando uma partícula está localizada 
a uma distância de x metros da origem, uma 
força de cos (��/3) newtons atua sobre ela. 
Quanto trabalho é realizado ao mover a partícula de 
x = 1 até x = 2? Interprete a sua resposta 
considerando o trabalho realizado de x = 1 para x = 
1.5 e de x = 1.5 para x = 2. 
 
 9. Suponha que 2 J de trabalho sejam 
necessários para esticar uma mola de seu 
comprimento natural de 30 cm para 42 cm. 
 a) Quanto trabalho é necessário para esticara mola de 35 cm para 40 cm? 
 b) Quão longe de seu comprimento natural 
uma força de 30 N manterá a mola esticada? 
 
 Seção 6.5 
 
 Encontre o valor médio da função no 
intervalo dado. 
 
 1. �(�) = 4 − �2, [0,4] 
 7. ℎ(�) = ���4� ��� �, [0,�] 
 8. ℎ(�) = (3 − 2�)−1, [−1, 1] 
 
 Seção Problemas Quentes 
 
 2. Existe uma reta que passa pela 
origem e que divide a região limitada pela 
parábola � = � − �² e o eixo x em duas regiões 
de áreas iguais. Qual é a inclinação dessa reta? 
 
 3. A figura abaixo mostra uma reta 
horizontal � = � interceptando a curva � =8� − 27�³. Encontre o número c tal que as áreas 
das regiões sombreadas sejam iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 7.8 
 Determine se cada integral é convergente 
ou divergente. Calcule aquelas que são 
convergentes. 
 13.∫ ��−�²∞−∞ �� 16.∫ cos ��∞−∞ �� 17.∫ � + 1�2 + 2�∞1 �� 18.∫ ���2 + 3� + 2∞1 
 23.∫ �²9 + �6∞−∞ �� 
 27.∫ 1�510 �� 
 
 62. A velocidade média das moléculas de 
um gás ideal é �̅ = 4√� ( �2��)3/2∫ �³�−��2/(2��)∞0 �� 
 
onde M é o peso molecular do gás; R, a constante 
do gás; e v, a velocidade molecular. Mostre que: 
 �̅ = √8���� 
 71. Se f(t) é contínua para t ≥ 0, a 
Transformada de Laplace de f é a função F definida 
por �(�) = ∫ �(�)�−��∞0 �� 
 
e o domínio de F é o conjunto de todos os números 
para os quais a integral converge. Calcule a 
Transformada de Laplace das seguintes funções. 
 �) �(�) = 1 �) �(�) = �� �) �(�) = � 
 
 Seção 8.1 
 
 Encontre o comprimento exato da curva. 
 
 7. � = 1 + 6�3/2, 0 ≤ � ≤ 1 
 11. � = 13√� (� − 3) 1 ≤ � ≤ 9 
 13. � = ln (sec �) , 0 ≤ � ≤ �/4 
 
 Encontre o comprimento da curva do ponto 
P ao ponto Q. 
 
 19. � = 12 �2, � (−1, 12) , � (1, 12) 20. �2 = (� − 4)3, �(1,5), �(8,8)
 35. Encontre a função comprimento de arco para 
a curva � = ���−1� + √1− �² 
 
Com ponto inicial (0, 1). 
 
 Seção 8.2 
 
 Calcule a área exata da superfície obtida pela 
rotação da curva em torno do eixo x. 
 
 5. � = �3, 0 ≤ � ≤ 2 
 6. 9� = �3 + 18, 2 ≤ � ≤ 6 
 8. � = √1 + ��, 0 ≤ � ≤ 1 
 9. � = sin �� , 0 ≤ � ≤ 1 
 11. � = 13 (�2 + 2)3/2, 1 ≤ � ≤ 2 
 
 29. a) A elipse 
 �²�² + �²�² = 1 � > � 
 
É girada em torno do eixo x para formar uma superfície 
chamada elipsoide ou esferoide prolato. Encontre a área 
da superfície deste elipsoide. 
 
 b) Se a elipse da parte a) for girada em torno 
de seu eixo menor (o eixo y), o elipsoide resultante é 
chamado de esferoide oblato. Encontre a área deste 
elipsoide. 
 
 31. Se a curva y = f(x), � ≤ � ≤ �, gira em torno 
da reta horizontal y = c, onde f(x) ≥ �, encontre a fórmula 
para a área da superfície resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas 
 
 Seção 5.2 
 
 26. 
 a) -1,5 c) -8/3 
 
 34. 
 a) 4 b) -2π c) (9/2) - 2π 
 
 51. b < e < a < d < c 
 
 Seção 5.3 
 
 7. �′(�) = 1/(�3 + 1) 
 7. ℎ′(�) = √�/2(�2 + 1) 
 15. �′ = √�� � + √�� � ���2� 
 16. �′ = 4�3���2(�4) 
 17. �′ = 3(1−3�)31+(1−3�)2 
 18. �′ = − cos � √1 + ���2� 
 19. 3/4 
 24. 45/4 
 31. 1 
 32. √2 − 1 
 35. ln2 + 7 
 38. sinh 1 
 55.�′(�) = −2(4�2−1)4�2+1 + 3(9�2−1)9�2+1 
 61. ]−4, 0[ 
 76. 
 a) 
 �(�) = { 
 0�2/22� − �22 − 1
�� � < 0�� 0 ≤ � ≤ 1�� 1 < � ≤ 2
1 �� � > 2 
 
 C) f é não derivável em x = 0, 1 e 2, f é 
derivável em ]-∞, 0[ , ]0, 1[, ]1, 2[ e ]2, +∞[. 
 
 g é derivável em ]- ∞, +∞[. 
 
 Seção 5.4 
 
 6. 15 (2�5/6 + 3)�5/3 + ℂ 
 11. 15 �3 − 4√� + ℂ 
 53. Número de litros de óleo vazados nas 
primeira 2 horas. 
 54. Representa a população total de abelhas 
durante 15 semanas. 
 56. Representa a mudança na inclinação 
entre o intervalo de 3 a 5 Km do começo da trilha 
 
 Seção 5.5 
 
 7. − 12 cos (�2) + ℂ 
 12. 12 tg (2�) + ℂ 
 15. − 1� cos(��) + ℂ 
 19. 23√3�� + ��³ + ℂ 
 21. 13 (ln�)3 + ℂ 
 23. 14 ��4� + ℂ 
 25. 23 (1 + ��)3/2 + ℂ 
 27. 115 (�3 + 3�)5 + ℂ 
 30. 12 (����� �)² + ℂ 
 33. − 1sin� + ℂ 
 35. − 23 (���� �)3/2 + ℂ 
 44. 12����� (�2) + ℂ 
 33. − 1sin� + ℂ 
 45. ����� � + 12 ln(1 + �2) + ℂ 
 48. 115 (�2 + 1)3/2(3�2 − 2) + ℂ 
 57. 4 
 59. � − √� 
 60. �−12� 
 64. 13 (�2)3/2 
 69. 2 
 71. ln(� + 1) 
 81. ≈ 4512 ������ 
 82. 11713 ������� 
 90. 
 91. �²4 
 
 Seção problemas Quentes 
 
 6. 2�∫ sin(�2) �� + �2 sin(�²)�0 
 
 Seção 6.1 
 
 1. 32/3 
 4. 9 
 13. 72 
 15. � − 2 
 17. 32/3 
 20. 22/15 
 23. 1/2 
 26. 20/3 
 28. 3/2 
 46. ≈ 8868, representa a diferença entre a 
quantidade de pessoas que nasceram e a quantidade 
de pessoas que morreram no período de 0 a 10 anos 
 50. 1/12 
 53. ± 6 
 55. 0 < � < 1; � − ln� − 1 
 
 Seção 6.2 
 
 6. 
 7. 
 11. 
 14. 
 19. �/7 
 20. 2�/5 
 21. �/10 
 22. 5�/14 
 23. �/2 
 24. �/5 
 25. 7�/15 
 26. �/6 
 27. 5�/14 
 28. 2�/5 
 29. 13�/30 
 30. 10�/21 
 48. �ℎ(�2+��+�2)3 
 49. �ℎ²(� − ℎ3) 
 50. (�2+��+�2)ℎ3 
 51. 23 �²ℎ 
 52. √312 �²ℎ 
 53. 10 ��³ 
 
 Seção 6.4 
 
 4.0 J 
 
 9. 
 a) 1,04 J b) 10,8 cm 
 
 Seção 6.5 
 
 1. 8/3 
 7. 2/(5�) 
 8. (ln 5)/4 
 
 Seção Problemas quentes 
 
 2. −(1− 2−13) 
 3. 32/27 
 
 Seção 7.8 
 
 13. 0 
 16. Diverge 
 17. Diverge 
 18. ln (2) 
 23. �/9 
 27. Diverge. 
 71. a) F(s) = 1/s, s > 0 
 b) F(s) = 1/(s-1), s >1 
 c) F(s) = 1/s², s > 0 
 
 Seção 8.1 
 
 7. 
2243 (82√82 − 1) 
 11. 32/3 
 13. ln (√2 + 1) 
 19. √2 + ln(1 + √2) 
 20. 11.696 
 35. 2√2(√1 + � − 1) 
 
 Seção 8.2 
 
 5. 
�27 (145√145− 1) 
 6. 49� 
 8. (1 + �) � 
 9. 2√1 + �² + 2� ln (� + √1 + �²) 
 11. 21�/2 
 29. a) 2� [�2 + �2����−1 (√�2−�2/�)√�2−�² ] 
 b) 2� [�2 + ��²���−1 (√�2−�2/�)√�2−�² ] 
 
 31.∫ 2�[� − �(�)]√1 + [�′(�)]2����