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Capítulo 1 Lógica Matemática 1.1 Enunciados. Proposições Exercícios 1-1 Exercício 1.1.1. Determine quais das seguintes frases são proposições. Determine o valor lógico cor- respondente: 1. Perú e Brasil. 2. Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982. 3. As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais. 4. O triplo de 6. 5. Que horas são ? 6. Todo quadrado é um retângulo. 7. (a+ b)2 = a2 + b2 8. −2 < −5 9. As diagonais de alguns paralelogramos são de comprimentos iguais. 10. sen x = sen( pi 2 + x) 1 2 Christian José Quintana Pinedo 11. 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1) 2 12. Quadrados e triângulos. 13. 0, 5 e 5 são raízes da equação x3 − 25x = 0 14. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · (2n− 1) = n2 15. Todo triângulo é um polígono. Solução. São enunciados: 1, 4, 5, 7, 10 e 12. São proposições verdadeiras: 2, 6, 9, 11, 14 e 15. São proposições falsas: 3, 8 e 13 Exercício 1.1.2. Sejam as proposições: p : A vaca foi para o brejo; q: O boi seguiu a vaca. Forme frases na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: 1. ∼ p 2. ∼ q 3. p ∧ q 4. p ∨ q 5. ∼ p ∧ q 6. p ∨ ∼ q 7. ∼ (p ∧ q) 8. ∼ (p ∨ q) 9. ∼ p ∨ ∼ q 10. ∼ p ∧ ∼ q 11. ∼ (∼ q) 12. p⇒ q Solução. 1. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo. 2. Não é verdade que, o boi seguiu a vaca. 3. A vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. 4. A vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. 5. Não é verdade que a vaca foi para o brejo, e o boi seguiu a vaca. 6. A vaca foi para o brejo ou, não é verdade que o boi seguiu a vaca. 7. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. 8. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. 9. Não é verdade que a vaca foi para o brejo ou, não é verdade que o boi seguiu a vaca. 10. Não é verdade que a vaca foi para o brejo e, não é verdade que o boi seguiu a vaca. 11. Não é verdade que, não é verdade que o boi seguiu a vaca. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 3 12. Se, a vaca foi para o brejo então, o boi seguiu a vaca. Exercício 1.1.3. Considere as proposições: p : Está frio; q: Está chovendo. Traduzir para a linguagem natural as seguintes proposições: 1. ∼ p 2. p ∧ q 3. p ∨ q 4. p⇔ q 5. p⇒∼ q 6. p ∨ ∼ q 7. ∼ p∧ ∼ q 8. p⇔∼ q 9. (p∧ ∼ q)⇒ p 10. ∼ p ⇔∼ q 11. ∼ (∼ q) 12. ∼ (∼ p)⇒ q Solução. 1. Não é verdade que, está frio. 2. Está frio e está chovendo. 3. Está frio ou está chovendo. 4. Está frio se, e somente se, está chovendo. 5. Se, está frio então, não é verdade que está chovendo. 6. Está frio ou não é verdade que, está chovendo. 7. Não é verdade que está frio e, não é verdade que está chovendo. 8. Está frio se, e somente se, não é verdade que está chovendo. 9. Se, está frio e não está chovendo, então está frio. 10. Não é verdade que está frio se, e somente se, não é verdade que está chovendo. 11. Não é verdade que, não é verdade que está chovendo. 12. Se, não é verdade que, não é verdade que está frio então, está chovendo. Exercício 1.1.4. Considere as proposições: p : Pedro é alto; q: Pedro é jogador de basquete. Escreva em forma simbólica cada uma das seguintes proposições: 1. Pedro não é alto. 2. Pedro não é jogador de basquete. 3. Não é verdade que Pedro não seja alto. 4 Christian José Quintana Pinedo 4. Não é verdade que Pedro é jogador de basquete. 5. Pedro é alto e jogador de basquete. 6. Pedro é alto ou jogador de basquete. 7. Pedro é alto e não é jogador de basquete. 8. Pedro não é alto e é jogador de basquete. 9. Pedro não é alto ou não é jogador de basquete. 10. Não é verdade que, Pedro é alto e jogador de basquete. 11. Não é verdade que, Pedro é alto ou jogador de basquete. 12. Não é verdade que, Pedro não é alto ou não é jogador de basquete. 13. Pedro não é alto, nem jogador de basquete. Solução. 1. ∼ p 2. ∼ q 3. ∼ (∼ p) 4. ∼ q 5. p ∧ q 6. p ∨ q 7. p∧ ∼ q 8. ∼ p ∧ q 9. ∼ p∨ ∼ q 10. ∼ (p ∨ q) 11. ∼ (p ∨ q) 12. ∼ (∼ p∨ ∼ q) 13. ∼ p∧ ∼ q Exercício 1.1.5. Sejam: p: Londres é a capital da Inglaterra. q: A torre Eiffel situa-se em Londres. r: O meridiano de Greenwich passa por Londres. Traduza para a linguagem natural cada uma das proposições abaixo e determine o respectivo valor lógico: 1. ∼ p 2. q ∧ r 3. ∼ p ∨ r 4. ∼ q 5. p ∨ q 6. ∼ q∧ ∼ p 7. ∼ r 8. p ∨ r 9. ∼ q∨ ∼ p 10. p ∧ q 11. ∼ q ∧ p 12. ∼ (p ∧ q) Solução. 1. Não é verdade que, Londres é a capital da Inglaterra. 2. A torre Eiffel situa-se em Londres e, o meridiano de Greenwich passa por Londres. 3. Não é verdade que Londres é a capital da Inglaterra ou, o meridiano de Greenwich passa por Londres. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 5 4. Não é verdade que, a torre Eiffel situa-se em Londres. 5. Londres é a capital da Inglaterra e, a torre Eiffel situa-se em Londres. 6. Não é verdade que, torre Eiffel situa-se em Londres e, não é verdade que Londres é a capital da Inglaterra. 7. Não é verdade que, o meridiano de Greenwich passa por Londres. 8. Londres é a capital da Inglaterra ou, o meridiano de Greenwich passa por Londres. 9. Não é verdade que, a torre Eiffel situa-se em Londres ou, não é verdade que Londres é a capital da Inglaterra. 10. Londres é a capital da Inglaterra e, a torre Eiffel situa-se em Londres. 11. Não é verdade que a torre Eiffel situa-se em Londres e, Londres é a capital da Inglate- rra. 12. Não é verdade que, Londres é a capital da Inglaterra e a torre Eiffel situa-se em Londres. Exercício 1.1.6. Determine todos os valores lógicos para a proposição ∼ p∧q a partir dos valores lógicos de p e q. Solução. p q ∼ p ∧ q v v f v f f f v v f f f Exercício 1.1.7. Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições: 1. ∼ (p ∧ q) 2. ∼ p∨ ∼ q. Solução. 1. p q ∼ (p ∧ q) v v f v f f f v f f f v 2. p q ∼ p∨ ∼ q v v f v f v f v v f f v 6 Christian José Quintana Pinedo Exercício 1.1.8. Mostre que a proposição p ∧ q∧ ∼ q é uma contradição. Solução. Demonstração. A proposição p ∧ q∧ ∼ q podemos escrever na forma p ∧ (q∧ ∼ q); logo é suficiente construir sua tabela-verdade e observar a culuna final (em negrito) indica que em todas as linhas a proposição é falsa f; assim isto é uma contradição. p q p ∧ (q∧ ∼ q) v v f f v f f f f v f f f f f f Exercício 1.1.9. O verso da uma folha é a página oposta à que se observa. Que página corresponde ao verso do verso da página que se observa? Solução. Corresponde a página que se observa. � Exercício 1.1.10. O avesso de uma blusa, é o lado contrário ao que se vê. O que é o avesso do avesso do avesso da blusa? O que é o avesso do avesso da blusa? Solução. O avesso do avesso do avesso da blusa, é o avesso da blusa. O avesso do avesso da blusa, é o rostro da blusa. � Exercício 1.1.11. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 1. Se x > 0, então y = 3 2. Se x+ y = 6, então z < 0. 3. Se x = 6 ou x = 5, então x2 − 11x+ 30 = 0. 4. Se x2 − 11x+ 30 = 0, então x = 6 ou x = 5 5. Se z > 5, então x 6= 1 e x 6= 2. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 7 6. Se y = 4 e x < y, então x < 5. Solução. 1. Sejam p : x > 0 e q : y = 3, logo; p⇒ q. 2. Sejam r : x+ y = 6 e s : z < 0, logo; r ⇒ s. 3. Sejam p : x = 6, q : x = 5 e r : x2 − 11x+ 30 = 0, logo; (p ∨ q)⇒ r. 4. Sejam p : x2 − 11x+ 30 = 0, q : x = 6 e r : x = 5, logo; p⇒ (q ∨ r). 5. Sejam p : z > 5, q : x 6= 1 e r : x 6= 2, logo; p⇒ (q ∧ r). 6. Sejam p : y = 4, q : x < y e r : x < 5, logo; (p ∧ q)⇒ r. Exercício 1.1.12. Determine a recíproca, inversa e contra-recíproca de cada uma das seguintes proposi- ções condicionais. 1.Se −→v é paralelo a −→w então −→w é paralelo a −→v . 2. Duas retas se interceptam se não são paralelas. 3. Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mes- trado. 4. Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura não é de Matemática. 5. Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado. 6. Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos se licenciar. 7. Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser um triângulo retângulo. 8. Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados iguais. 9. Um triângulo é equilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados são iguais. 10. Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares. Solução. 8 Christian José Quintana Pinedo Temos que lembrar, se p ⇒ q é uma proposição composta, segue que: Recíproca: q ⇒ p. Inversa: ∼ p⇒∼ q. Contra-recíproca: ∼ q ⇒∼ p. 1. Se −→v é paralelo a −→w então −→w é paralelo a −→v . Proposição da forma p⇒ q, onde p : −→v é paralelo a −→w e q : −→w é paralelo a −→v Recíproca: Se −→w é paralelo a −→v então, −→v é paralelo a −→w . Inversa: Se −→v não é paralelo a −→w então, −→w não é paralelo a −→v . Contra-recíproca: Se −→w não é paralelo a −→v então, −→v não é paralelo a −→w . 2. Duas retas se interceptam se não são paralelas. Proposição da forma p⇒ q, onde p:duas retas se interceptam e q:não são paralelas. Recíproca: Se duas retas não são paralelas, elas se interceptam. Inversa: Se duas retas não se interceptam, elas são paralelas. Contra-recíproca: Se duas retas são paralelas, elas não se interceptam. 3. Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado. Sejam p :Oscar vai se licenciar, q :Oscar vai procurar emprego, r :Oscar vai inscrever- se num curso de mestrado. Temos uma proposição da forma p⇒ (q ∨ r) Recíproca: É da forma (q ∨ r)⇒ p Se Oscar procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado, então Oscar vai se licenciar. Inversa: É da forma ∼ p⇒∼ (q∨r), pela lei de Morgan é equivalente à proposição ∼ p⇒ (∼ q∧ ∼ r) Se o Oscar não vai se licenciar então, ele não vai procurar emprego e não vai se inscrever num curso de mestrado. De outro modo: Se Oscar não vai se licenciar então, ele não vai procurar emprego nem vai se inscrever num curso de mestrado. Contra-recíproca: É da forma (∼ q∧ ∼ r)⇒∼ p Se o Oscar não vai procurar emprego e não vai se inscrever num curso de mestrado então, o Oscar não vai se licenciar. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 9 De outro modo: Se Oscar não vai procurar emprego nem vai se inscrever num curso de mestrado então, Oscar não vai se licenciar. 4. Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura não é de Matemática. Sejam p :Virgínia vai se licenciar, q :Virgínia vai inscrever-se num curso de mes- trado, q :A licenciatura da Virginia não é de Matemática. Temos uma proposição da forma (p ∧ q)⇒ r Recíproca: É da forma r ⇒ (p ∧ q) Se a licenciatura da Virgínia não é de Matemática então, a Virgínia vai se licenciar e se inscrever num curso de mestrado. Inversa: É da forma ∼ (p∧q)⇒∼ r, pela lei de Morgan é equivalente à proposição (∼ p∨ ∼ q)⇒∼ r. Se a Virgínia não vai se licenciar ou não vai se inscrever num curso de mestrado então, a sua licenciatura é de Matemática. Contra-recíproca: É da forma ∼ r ⇒∼ (p∧q), pela lei de Morgan é equivalente à proposição ∼ r ⇒ (∼ p∨ ∼ q) Se a licenciatura da Virgínia é de Matemática então, a Virgínia não vai se licenciar ou não vai se inscrever num curso de mestrado. 5. Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado. Proposição da forma p ⇒ q, onde p:Virgínia se licenciar com boa média em Mate- mática e q:vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado. Recíproca: Se a Virgínia vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado então, a Virgínia vai se licenciar com boa média em Matemática. Inversa: Se a Virgínia não se licenciar com boa média em Matemática então, ela não vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado. Contra-recíproca: Se a Virgínia não vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado então, a Virgínia não vai se licenciar com boa média em Matemática. 6. Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos se licenciar. Proposição da forma p⇒ q, onde p: aprovar em Álgebra e q:Carlos se licenciar. 10 Christian José Quintana Pinedo Recíproca: Para o Carlos se licenciar uma condição necessária é aprovar em Álge- bra. Inversa: Reprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos não se licenciar. Contra-recíproca: Para o Carlos não se licenciar uma condição necessária é re- provar em Álgebra. 7. Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser um triângulo retângulo. Isto quer dizer: “Se um triângulo é retângulo então, o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras”. Proposição da forma p ⇒ q, onde p: um triângulo é retângulo e q:satisfaz o Teorema de Pitágoras. Recíproca: Se um triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras então, o triângulo é retângulo. Inversa: Se um triângulo não é retângulo então, o triângulo não satisfaz o Teorema de Pitágoras Contra-recíproca: Se um triângulo não satisfaz o Teorema de Pitágoras então, o triângulo não é retângulo. 8. Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados iguais. Isto quer dizer: “Se dois triângulos têm seus lados iguais então, os triângulos são semelhantes ”. Proposição da forma p⇒ q, onde p: dois triângulos têm seus lados iguais e q:os dois triângulos são semelhantes. Recíproca: Se dois triângulos são semelhantes então, os triângulos têm seus lados iguais. Inversa: Se dois triângulos não têm seus lados iguais então, os triângulos não são semelhantes. Contra-recíproca: Se dois triângulos não são semelhantes então, os triângulos não têm seus lados iguais. 9. Um triângulo é equilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados são iguais. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16/08/2017 11 Isto quer dizer: “Se um triângulo tem seus três ângulos iguais ou os seus três lados são iguais então, o triângulo é equilátero”. Proposição da forma (p ∨ q) ⇒ r, onde p: seus três ângulos são iguais, q:seus três lados são iguais e r:o triângulo é equilátero. Recíproca: Se um triângulo é equilátero então, seus três ângulos são iguais ou os seus três lados são iguais Inversa: Usar a Lei de Morgam para aceitar que a proposição ∼ (p ∨ q) ⇒∼ r é equivalente a (∼ p∧ ∼ q)⇒∼ r, assim temos: Se um triângulo, não tem seus três ângulos iguais e não tem seus três lados iguais então, o triângulo não é equilátero. Contra-recíproca: Se um triângulo não é equilátero então, o triângulo não tem seus três ângulos iguais e não tem seus três lados iguais . 10. Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares. Isto quer dizer: “Se três pontos não forem colineares então, estão sobre a mesma circunferência”. Proposição da forma p ⇒ q, onde p: três pontos não forem colineares e q:estão sobre a mesma circunferência. Recíproca: Se três pontos estão sobre a mesma circunferência então, não são coli- neares . Inversa: Se três pontos forem colineares então, não estão sobre a mesma circunfe- rência Contra-recíproca: Se três pontos não estão sobre a mesma circunferência então, são colineares . Exercício 1.1.13. Quem tem olhos azuis? Em um grupo de três pessoas duas delas tem olhosescuros e a outra olhos azuis, as pessoas que tem olhos escuros mentem, e a pessoa de olhos azuis sempre diz a verdade. Em uma conversa cada uma diz: Marta: Eu tenho olhos azuis. Clara: Marta mentiu quando disse ter olhos azuis. Rita: Clara é quem tem olhos azuis. Em qualquer caso, Marta sempre diz que tem olhos azuis; logo podemos considerar o seguinte esquema: 12 Christian José Quintana Pinedo Marta Clara Rita Se for verdade Azuis Escuros Escuros Se for falso Escuros Azuis Azuis Sabendo-se que duas pessoas tem olhos escuros e somente uma tem olhos azuis, de acordo com a tabela acima percebemos que a primeira possibilidade satisfaz as condições do problema. Portanto, Marta é quem possui olhos azuis. Exercício 1.1.14. Assinale uma conclusão correta. Uma pessoa pode ser boa ou ruim. A mesma pessoa pode ser estudante ou trabalhadora. Mas esta pessoa é estudante e ruim. Logo esta pessoa não pode ser: a) Estudante e trabalhadora; b) Boa e trabalhadora; c) Trabalhadora e ruim. Solução. Consideremos o seguinte esquema: Pessoa �� �� �* HHHHHj Boa ���� �: XXXXXz Ruim �� ���: XXXXXz Trabalhadora Estudante Trabalhadora Estudante Logo, podemos observar que existe uma disjunção exclusiva. Portanto, a pessoa não pode ser boa e trabalhadora, resposta B). Exercício 1.1.15. Três senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam pelo parque, quando Dona Rosa disse: “Não é curioso que estejamos usando vestidos das cores branca, rosa e vio- leta, embora nenhuma de nós esteja usando vestido de cor igual a seu próprio nome”. “Uma simples coincidência, respondeu a senhora com o vestido violeta”. Qual a cor do vestido de cada senhora? Solução. Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16/08/2017 13 Se Dona Rosa falou que nenhuma delas tinha vestido da cor o nome delas, as únicas que comentaram por ultimo podiam ser a Dona Violeta ou Dona Branca. Como a última a comentar foi a Dona do vestido violeta, então esta tinha que ser a Dona Branca. vestido branco vestido rosa vestido violeta Dona Branca Não Não Sim Dona Rosa Sim Não Não Dona Violeta Não Sim Não Exercício 1.1.16. São apresentadas três caixas a você. Somente uma delas contém ouro, o outras duas estão vazias. Cada caixa tem uma pista sobre seu conteúdo só uma mensagem está con- tando a verdade as outras duas estão mentindo. Qual caixa tem o ouro? O ouro não está aqui O ouro não está aqui O ouro está na segunda caixa Solução. De esquerda para a direita identifiquemos as caixas como sendo a primeira, a segunda e a terceira respecivamente. Também identifiquemos como v a caixa onde está a pista que comenta a verdade, e como f aquela caixa que não indica a verdade. 1a Caixa 2a Caixa 3a Caixa Suponha o ouro na primeira caixa, ⇒ f v f Suponha o ouro na segunda caixa, ⇒ v f v Suponha o ouro na terceira caixa, ⇒ v v f Portanto, a caixa que tem o ouro é a primeira e a segunda caixa tem a mensagem contando a verdade.
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