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Gabarito Parte 01

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Capítulo 1
Lógica Matemática
1.1 Enunciados. Proposições
Exercícios 1-1
Exercício 1.1.1.
Determine quais das seguintes frases são proposições. Determine o valor lógico cor-
respondente:
1. Perú e Brasil.
2. Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982.
3. As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais.
4. O triplo de 6.
5. Que horas são ?
6. Todo quadrado é um retângulo.
7. (a+ b)2 = a2 + b2
8. −2 < −5
9. As diagonais de alguns paralelogramos são de comprimentos iguais.
10. sen x = sen(
pi
2
+ x)
1
2 Christian José Quintana Pinedo
11. 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
12. Quadrados e triângulos.
13. 0, 5 e 5 são raízes da equação x3 − 25x = 0
14. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · (2n− 1) = n2
15. Todo triângulo é um polígono.
Solução.
São enunciados: 1, 4, 5, 7, 10 e 12.
São proposições verdadeiras: 2, 6, 9, 11, 14 e 15.
São proposições falsas: 3, 8 e 13
Exercício 1.1.2.
Sejam as proposições: p : A vaca foi para o brejo; q: O boi seguiu a vaca.
Forme frases na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes:
1. ∼ p 2. ∼ q 3. p ∧ q 4. p ∨ q
5. ∼ p ∧ q 6. p ∨ ∼ q 7. ∼ (p ∧ q) 8. ∼ (p ∨ q)
9. ∼ p ∨ ∼ q 10. ∼ p ∧ ∼ q 11. ∼ (∼ q) 12. p⇒ q
Solução.
1. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo.
2. Não é verdade que, o boi seguiu a vaca.
3. A vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
4. A vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca.
5. Não é verdade que a vaca foi para o brejo, e o boi seguiu a vaca.
6. A vaca foi para o brejo ou, não é verdade que o boi seguiu a vaca.
7. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
8. Não é verdade que, a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca.
9. Não é verdade que a vaca foi para o brejo ou, não é verdade que o boi seguiu a vaca.
10. Não é verdade que a vaca foi para o brejo e, não é verdade que o boi seguiu a vaca.
11. Não é verdade que, não é verdade que o boi seguiu a vaca.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 3
12. Se, a vaca foi para o brejo então, o boi seguiu a vaca.
Exercício 1.1.3.
Considere as proposições: p : Está frio; q: Está chovendo. Traduzir para a
linguagem natural as seguintes proposições:
1. ∼ p 2. p ∧ q 3. p ∨ q 4. p⇔ q
5. p⇒∼ q 6. p ∨ ∼ q 7. ∼ p∧ ∼ q 8. p⇔∼ q
9. (p∧ ∼ q)⇒ p 10. ∼ p ⇔∼ q 11. ∼ (∼ q) 12. ∼ (∼ p)⇒ q
Solução.
1. Não é verdade que, está frio.
2. Está frio e está chovendo.
3. Está frio ou está chovendo.
4. Está frio se, e somente se, está chovendo.
5. Se, está frio então, não é verdade que está chovendo.
6. Está frio ou não é verdade que, está chovendo.
7. Não é verdade que está frio e, não é verdade que está chovendo.
8. Está frio se, e somente se, não é verdade que está chovendo.
9. Se, está frio e não está chovendo, então está frio.
10. Não é verdade que está frio se, e somente se, não é verdade que está chovendo.
11. Não é verdade que, não é verdade que está chovendo.
12. Se, não é verdade que, não é verdade que está frio então, está chovendo.
Exercício 1.1.4.
Considere as proposições: p : Pedro é alto; q: Pedro é jogador de basquete.
Escreva em forma simbólica cada uma das seguintes proposições:
1. Pedro não é alto.
2. Pedro não é jogador de basquete.
3. Não é verdade que Pedro não seja alto.
4 Christian José Quintana Pinedo
4. Não é verdade que Pedro é jogador de basquete.
5. Pedro é alto e jogador de basquete.
6. Pedro é alto ou jogador de basquete.
7. Pedro é alto e não é jogador de basquete.
8. Pedro não é alto e é jogador de basquete.
9. Pedro não é alto ou não é jogador de basquete.
10. Não é verdade que, Pedro é alto e jogador de basquete.
11. Não é verdade que, Pedro é alto ou jogador de basquete.
12. Não é verdade que, Pedro não é alto ou não é jogador de basquete.
13. Pedro não é alto, nem jogador de basquete.
Solução.
1. ∼ p 2. ∼ q 3. ∼ (∼ p) 4. ∼ q
5. p ∧ q 6. p ∨ q 7. p∧ ∼ q 8. ∼ p ∧ q
9. ∼ p∨ ∼ q 10. ∼ (p ∨ q) 11. ∼ (p ∨ q) 12. ∼ (∼ p∨ ∼ q)
13. ∼ p∧ ∼ q
Exercício 1.1.5.
Sejam: p: Londres é a capital da Inglaterra.
q: A torre Eiffel situa-se em Londres.
r: O meridiano de Greenwich passa por Londres.
Traduza para a linguagem natural cada uma das proposições abaixo e determine o
respectivo valor lógico:
1. ∼ p 2. q ∧ r 3. ∼ p ∨ r 4. ∼ q
5. p ∨ q 6. ∼ q∧ ∼ p 7. ∼ r 8. p ∨ r
9. ∼ q∨ ∼ p 10. p ∧ q 11. ∼ q ∧ p 12. ∼ (p ∧ q)
Solução.
1. Não é verdade que, Londres é a capital da Inglaterra.
2. A torre Eiffel situa-se em Londres e, o meridiano de Greenwich passa por Londres.
3. Não é verdade que Londres é a capital da Inglaterra ou, o meridiano de Greenwich
passa por Londres.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 5
4. Não é verdade que, a torre Eiffel situa-se em Londres.
5. Londres é a capital da Inglaterra e, a torre Eiffel situa-se em Londres.
6. Não é verdade que, torre Eiffel situa-se em Londres e, não é verdade que Londres é a
capital da Inglaterra.
7. Não é verdade que, o meridiano de Greenwich passa por Londres.
8. Londres é a capital da Inglaterra ou, o meridiano de Greenwich passa por Londres.
9. Não é verdade que, a torre Eiffel situa-se em Londres ou, não é verdade que Londres
é a capital da Inglaterra.
10. Londres é a capital da Inglaterra e, a torre Eiffel situa-se em Londres.
11. Não é verdade que a torre Eiffel situa-se em Londres e, Londres é a capital da Inglate-
rra.
12. Não é verdade que, Londres é a capital da Inglaterra e a torre Eiffel situa-se em
Londres.
Exercício 1.1.6.
Determine todos os valores lógicos para a proposição ∼ p∧q a partir dos valores lógicos
de p e q.
Solução.
p q ∼ p ∧ q
v v f
v f f
f v v
f f f
Exercício 1.1.7.
Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições:
1. ∼ (p ∧ q) 2. ∼ p∨ ∼ q.
Solução.
1. p q ∼ (p ∧ q)
v v f
v f f
f v f
f f v
2. p q ∼ p∨ ∼ q
v v f
v f v
f v v
f f v
6 Christian José Quintana Pinedo
Exercício 1.1.8.
Mostre que a proposição p ∧ q∧ ∼ q é uma contradição.
Solução.
Demonstração.
A proposição p ∧ q∧ ∼ q podemos escrever na forma p ∧ (q∧ ∼ q); logo é suficiente
construir sua tabela-verdade e observar a culuna final (em negrito) indica que em todas
as linhas a proposição é falsa f; assim isto é uma contradição.
p q p ∧ (q∧ ∼ q)
v v f f
v f f f
f v f f
f f f f
Exercício 1.1.9.
O verso da uma folha é a página oposta à que se observa. Que página corresponde ao
verso do verso da página que se observa?
Solução.
Corresponde a página que se observa. �
Exercício 1.1.10.
O avesso de uma blusa, é o lado contrário ao que se vê. O que é o avesso do avesso
do avesso da blusa? O que é o avesso do avesso da blusa?
Solução.
O avesso do avesso do avesso da blusa, é o avesso da blusa.
O avesso do avesso da blusa, é o rostro da blusa. �
Exercício 1.1.11.
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
1. Se x > 0, então y = 3
2. Se x+ y = 6, então z < 0.
3. Se x = 6 ou x = 5, então x2 − 11x+ 30 = 0.
4. Se x2 − 11x+ 30 = 0, então x = 6 ou x = 5
5. Se z > 5, então x 6= 1 e x 6= 2.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 7
6. Se y = 4 e x < y, então x < 5.
Solução.
1. Sejam p : x > 0 e q : y = 3, logo; p⇒ q.
2. Sejam r : x+ y = 6 e s : z < 0, logo; r ⇒ s.
3. Sejam p : x = 6, q : x = 5 e r : x2 − 11x+ 30 = 0, logo; (p ∨ q)⇒ r.
4. Sejam p : x2 − 11x+ 30 = 0, q : x = 6 e r : x = 5, logo; p⇒ (q ∨ r).
5. Sejam p : z > 5, q : x 6= 1 e r : x 6= 2, logo; p⇒ (q ∧ r).
6. Sejam p : y = 4, q : x < y e r : x < 5, logo; (p ∧ q)⇒ r.
Exercício 1.1.12.
Determine a recíproca, inversa e contra-recíproca de cada uma das seguintes proposi-
ções condicionais.
1.Se −→v é paralelo a −→w então −→w é paralelo a −→v .
2. Duas retas se interceptam se não são paralelas.
3. Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mes-
trado.
4. Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura
não é de Matemática.
5. Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se
inscrever num curso de mestrado.
6. Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos se licenciar.
7. Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser
um triângulo retângulo.
8. Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados
iguais.
9. Um triângulo é equilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados
são iguais.
10. Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares.
Solução.
8 Christian José Quintana Pinedo
Temos que lembrar, se p ⇒ q é uma proposição composta, segue que:
Recíproca: q ⇒ p.
Inversa: ∼ p⇒∼ q.
Contra-recíproca: ∼ q ⇒∼ p.
1. Se −→v é paralelo a −→w então −→w é paralelo a −→v .
Proposição da forma p⇒ q, onde p : −→v é paralelo a −→w e q : −→w é paralelo a −→v
Recíproca: Se −→w é paralelo a −→v então, −→v é paralelo a −→w .
Inversa: Se −→v não é paralelo a −→w então, −→w não é paralelo a −→v .
Contra-recíproca: Se −→w não é paralelo a −→v então, −→v não é paralelo a −→w .
2. Duas retas se interceptam se não são paralelas.
Proposição da forma p⇒ q, onde p:duas retas se interceptam e q:não são paralelas.
Recíproca: Se duas retas não são paralelas, elas se interceptam.
Inversa: Se duas retas não se interceptam, elas são paralelas.
Contra-recíproca: Se duas retas são paralelas, elas não se interceptam.
3. Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado.
Sejam p :Oscar vai se licenciar, q :Oscar vai procurar emprego, r :Oscar vai inscrever-
se num curso de mestrado.
Temos uma proposição da forma p⇒ (q ∨ r)
Recíproca: É da forma (q ∨ r)⇒ p
Se Oscar procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado, então Oscar
vai se licenciar.
Inversa: É da forma ∼ p⇒∼ (q∨r), pela lei de Morgan é equivalente à proposição
∼ p⇒ (∼ q∧ ∼ r)
Se o Oscar não vai se licenciar então, ele não vai procurar emprego e não vai
se inscrever num curso de mestrado.
De outro modo:
Se Oscar não vai se licenciar então, ele não vai procurar emprego nem vai se
inscrever num curso de mestrado.
Contra-recíproca: É da forma (∼ q∧ ∼ r)⇒∼ p
Se o Oscar não vai procurar emprego e não vai se inscrever num curso de
mestrado então, o Oscar não vai se licenciar.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/08/2017 9
De outro modo:
Se Oscar não vai procurar emprego nem vai se inscrever num curso de mestrado
então, Oscar não vai se licenciar.
4. Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura
não é de Matemática.
Sejam p :Virgínia vai se licenciar, q :Virgínia vai inscrever-se num curso de mes-
trado, q :A licenciatura da Virginia não é de Matemática.
Temos uma proposição da forma (p ∧ q)⇒ r
Recíproca: É da forma r ⇒ (p ∧ q)
Se a licenciatura da Virgínia não é de Matemática então, a Virgínia vai se
licenciar e se inscrever num curso de mestrado.
Inversa: É da forma ∼ (p∧q)⇒∼ r, pela lei de Morgan é equivalente à proposição
(∼ p∨ ∼ q)⇒∼ r.
Se a Virgínia não vai se licenciar ou não vai se inscrever num curso de mestrado
então, a sua licenciatura é de Matemática.
Contra-recíproca: É da forma ∼ r ⇒∼ (p∧q), pela lei de Morgan é equivalente
à proposição ∼ r ⇒ (∼ p∨ ∼ q)
Se a licenciatura da Virgínia é de Matemática então, a Virgínia não vai se
licenciar ou não vai se inscrever num curso de mestrado.
5. Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se
inscrever num curso de mestrado.
Proposição da forma p ⇒ q, onde p:Virgínia se licenciar com boa média em Mate-
mática e q:vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado.
Recíproca: Se a Virgínia vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado
então, a Virgínia vai se licenciar com boa média em Matemática.
Inversa: Se a Virgínia não se licenciar com boa média em Matemática então, ela
não vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado.
Contra-recíproca: Se a Virgínia não vai ter uma bolsa para se inscrever num
curso de mestrado então, a Virgínia não vai se licenciar com boa média em
Matemática.
6. Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos se licenciar.
Proposição da forma p⇒ q, onde p: aprovar em Álgebra e q:Carlos se licenciar.
10 Christian José Quintana Pinedo
Recíproca: Para o Carlos se licenciar uma condição necessária é aprovar em Álge-
bra.
Inversa: Reprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Carlos não se
licenciar.
Contra-recíproca: Para o Carlos não se licenciar uma condição necessária é re-
provar em Álgebra.
7. Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser um
triângulo retângulo.
Isto quer dizer: “Se um triângulo é retângulo então, o triângulo satisfaz o Teorema
de Pitágoras”.
Proposição da forma p ⇒ q, onde p: um triângulo é retângulo e q:satisfaz o
Teorema de Pitágoras.
Recíproca: Se um triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras então, o triângulo é
retângulo.
Inversa: Se um triângulo não é retângulo então, o triângulo não satisfaz o Teorema
de Pitágoras
Contra-recíproca: Se um triângulo não satisfaz o Teorema de Pitágoras então, o
triângulo não é retângulo.
8. Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados
iguais.
Isto quer dizer: “Se dois triângulos têm seus lados iguais então, os triângulos são
semelhantes ”.
Proposição da forma p⇒ q, onde p: dois triângulos têm seus lados iguais e q:os
dois triângulos são semelhantes.
Recíproca: Se dois triângulos são semelhantes então, os triângulos têm seus lados
iguais.
Inversa: Se dois triângulos não têm seus lados iguais então, os triângulos não são
semelhantes.
Contra-recíproca: Se dois triângulos não são semelhantes então, os triângulos não
têm seus lados iguais.
9. Um triângulo é equilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados
são iguais.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16/08/2017 11
Isto quer dizer: “Se um triângulo tem seus três ângulos iguais ou os seus três lados
são iguais então, o triângulo é equilátero”.
Proposição da forma (p ∨ q) ⇒ r, onde p: seus três ângulos são iguais, q:seus três
lados são iguais e r:o triângulo é equilátero.
Recíproca: Se um triângulo é equilátero então, seus três ângulos são iguais ou os
seus três lados são iguais
Inversa: Usar a Lei de Morgam para aceitar que a proposição ∼ (p ∨ q) ⇒∼ r é
equivalente a (∼ p∧ ∼ q)⇒∼ r, assim temos:
Se um triângulo, não tem seus três ângulos iguais e não tem seus três lados
iguais então, o triângulo não é equilátero.
Contra-recíproca: Se um triângulo não é equilátero então, o triângulo não tem
seus três ângulos iguais e não tem seus três lados iguais .
10. Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares.
Isto quer dizer: “Se três pontos não forem colineares então, estão sobre a mesma
circunferência”.
Proposição da forma p ⇒ q, onde p: três pontos não forem colineares e q:estão
sobre a mesma circunferência.
Recíproca: Se três pontos estão sobre a mesma circunferência então, não são coli-
neares .
Inversa: Se três pontos forem colineares então, não estão sobre a mesma circunfe-
rência
Contra-recíproca: Se três pontos não estão sobre a mesma circunferência então,
são colineares .
Exercício 1.1.13.
Quem tem olhos azuis?
Em um grupo de três pessoas duas delas tem olhosescuros e a outra olhos azuis, as
pessoas que tem olhos escuros mentem, e a pessoa de olhos azuis sempre diz a verdade.
Em uma conversa cada uma diz:
Marta: Eu tenho olhos azuis.
Clara: Marta mentiu quando disse ter olhos azuis.
Rita: Clara é quem tem olhos azuis.
Em qualquer caso, Marta sempre diz que tem olhos azuis; logo podemos considerar o
seguinte esquema:
12 Christian José Quintana Pinedo
Marta Clara Rita
Se for verdade Azuis Escuros Escuros
Se for falso Escuros Azuis Azuis
Sabendo-se que duas pessoas tem olhos escuros e somente uma tem olhos azuis, de
acordo com a tabela acima percebemos que a primeira possibilidade satisfaz as condições
do problema.
Portanto, Marta é quem possui olhos azuis.
Exercício 1.1.14.
Assinale uma conclusão correta.
Uma pessoa pode ser boa ou ruim. A mesma pessoa pode ser estudante ou trabalhadora.
Mas esta pessoa é estudante e ruim. Logo esta pessoa não pode ser: a) Estudante e
trabalhadora; b) Boa e trabalhadora; c) Trabalhadora e ruim.
Solução.
Consideremos o seguinte esquema:
Pessoa ��
��
�*
HHHHHj
Boa ����
�:
XXXXXz
Ruim ��
���:
XXXXXz Trabalhadora
Estudante
Trabalhadora
Estudante
Logo, podemos observar que existe uma disjunção exclusiva.
Portanto, a pessoa não pode ser boa e trabalhadora, resposta B).
Exercício 1.1.15.
Três senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam pelo parque,
quando Dona Rosa disse:
“Não é curioso que estejamos usando vestidos das cores branca, rosa e vio-
leta, embora nenhuma de nós esteja usando vestido de cor igual a seu próprio
nome”.
“Uma simples coincidência, respondeu a senhora com o vestido violeta”.
Qual a cor do vestido de cada senhora?
Solução.
Introdução à Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16/08/2017 13
Se Dona Rosa falou que nenhuma delas tinha vestido da cor o nome delas, as únicas
que comentaram por ultimo podiam ser a Dona Violeta ou Dona Branca. Como a última
a comentar foi a Dona do vestido violeta, então esta tinha que ser a Dona Branca.
vestido branco vestido rosa vestido violeta
Dona Branca Não Não Sim
Dona Rosa Sim Não Não
Dona Violeta Não Sim Não
Exercício 1.1.16.
São apresentadas três caixas a você. Somente uma delas contém ouro, o outras duas
estão vazias. Cada caixa tem uma pista sobre seu conteúdo só uma mensagem está con-
tando a verdade as outras duas estão mentindo.
Qual caixa tem o ouro?
O ouro
não está aqui
O ouro
não está aqui
O ouro está
na segunda caixa
Solução.
De esquerda para a direita identifiquemos as caixas como sendo a primeira, a segunda
e a terceira respecivamente. Também identifiquemos como v a caixa onde está a pista
que comenta a verdade, e como f aquela caixa que não indica a verdade.
1a Caixa 2a Caixa 3a Caixa
Suponha o ouro na primeira caixa, ⇒ f v f
Suponha o ouro na segunda caixa, ⇒ v f v
Suponha o ouro na terceira caixa, ⇒ v v f
Portanto, a caixa que tem o ouro é a primeira e a segunda caixa tem a mensagem
contando a verdade.

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