CALCULO II

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CÁLCULO II 
 
 1
a
 Questão (Ref.: 175126) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 0 
 3t2 i + 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 175096) Pontos: 1,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 52895) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
-12 
 
12 
 
- 11 
 
5 
 11 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 51733) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i + 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 (sent)i + t³j 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 51703) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 52316) Pontos: 1,0 / 1,0 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 (c) 
 
(b) 
 
(d) 
 
(e) 
 
(a) 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 43927) Pontos: 1,0 / 1,0 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=8x-12y+18 
 z=-8x+12y-18 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+10y-10 
 z=-8x+12y -14 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 42776) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se 
move ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para 
as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo 
I, as coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os 
pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual 
a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento 
no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) (V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (V) 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 6) (F) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 54255) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2 
 cos2(wt) 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 56428) Pontos: 1,0 / 1,0 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são 
funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
10 
 
20 
 18 
 
12 
 
8 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201201483580) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 j 
 j - k 
 k 
 j + k 
 i - j + k 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201201483604) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 0 
 3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 t2 i + 2 j 
 - 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201483589) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 6ti+j 
 ti+2j 
 6ti -2j 
 6i+2j 
 6ti+2j 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201201483492) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 -cost j + t2 k + C 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 sent i - t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201483786) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 (0, 1,-2) 
 (0,-1,2) 
 (0,0,2) 
 (0,-1,-1) 
 (0,0,0) 
 
 
 
 
 
 6
a
 Questão (Ref.: 201201483574) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 1a Questão (Ref.: 201201361373) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
5 
 
-12 
 
12 
 - 11 
 11 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201201483468) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 i + j + k 
 
i + j - k 
 i + k 
 j + k 
 i + j 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201483486) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i - j - k 
 j - k 
 i + j + k 
 i + j - k 
 - i + j - k 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201201366609) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201362896) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 3π4+1 
 π2+1 
 π 
 3π2 +1 
 π4+1 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201202115199) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x+103 
 
y=(13)x+133 
 y=-(23)x+133 
 y=(23)x+133 
 
y=(23)x-133 
 
 
 
 
 
 7
a
 Questão (Ref.: 201201484004) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 -aw2coswt i - aw2senwt j 
 -aw2coswt i - awsenwtj 
 -w2coswt i - w2senwtj 
 aw2coswt i - aw2senwtj 
 aw2coswt i + aw2senwtj 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201201483544) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i + j + (π2)k 
 2i + j + π24k 
 i - j - π24k 
 2i - j + π24k 
 i+j- π2 k 
 
 1a Questão (Ref.: 201201366588) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 i/2 + j/2 
 
2i 
 2j 
 
2i + 2j 
 
2i + j 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201201366000) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
(1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201365015) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201201483451) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 (-22,- 22,-π4) 
 (-22,22,π2) 
 (22,22,π4) 
 (-2,2,π4) 
 (22,22,π2) 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201483456) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1-sent,sent,0) 
 (1-cost,sent,1) 
 (1-cost,0,0) 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201201483449) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 (sent,-cost,2t) 
 (-sent, cost,1) 
 (sect,-cost,1) 
 (sent,-cost,0) 
 (sent,-cost,1) 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201201366159) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i 
+ (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 
4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
2 
 1 
 
14 
 3 
 
9 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201201360181) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 (tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
 1
a
 Questão (Ref.: 201201372272) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201201351254) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se 
move ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para 
as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo 
I, as coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os 
pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual 
a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento 
no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) (V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 6) 
(F) 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201372270) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 -6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201201352405) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y-18 
 z=-8x+10y-10 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+12y -14 
 z=8x-12y+18 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201365426) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no 
ponto t=π4. 
 
 
(12)i -(12)j+(22)k 
 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (105)i -(105)j+(255)k 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 
(22)i -(22)j+(22)k 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201201367467) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 (x - 2)
2
 + y
2
 = 4 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 (x - 4)
2 + y2 = 2 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201201484002) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer.Observação: a > 0. 
 
 -senwt i + coswtj 
 - awsenwt i + awcoswtj 
 awsenwt i + awcoswtj 
 -awsenwt i - awcoswtj 
 -senwt i + awcoswtj 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201201367468) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x + 6 
 y = 2x - 4 
 
y = x + 1 
 
y = x 
 y = x - 4 
 
1. 
 
 
Calcule e indique a única resposta correta para a 
integral I=∫02∫0π2xsenydydx. 
 
 
 
-2 
 
2 
 
2π 
 
nenhuma das opções de respostas 
 
π2 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-
sen 
t)i - 
(cos 
t)j 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j - 
k 
 
(-
sen 
t - 
cos 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
+ k 
1. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da 
função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y 
varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
0 
 
π 
 
2π 
 
π+senx 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
9/2 u.v 
 
16/3 u.v 
 
18 u.v 
 
24/5 u.v 
 
10 u.v 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, 
onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é 
dada por: 
 
 
 
 
e2 
 e-1 
 
e 
 
12(e-1) 
 
0 
 
 
 
5. 
 
Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um 
 
paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço 
de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão 
dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de 
área da superfície a ser pintada. 
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do 
monumento é dada pela integral dupla 
 
 
6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 
 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 
6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
 
 
 
6. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no 
intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
 
35/4 
 
35/3 
 
35/2 
 
7 
 
35/6 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 
 
 
2-
2z 
 
0 
 
2 
 
1-
z 
 
1 
 
1. 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por 
r(t)=(sent,cost,t), 
 
 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por 
F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
2π 
 π2 
 
3π2 
 2π3 
 
2π2 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 
 
1 
 0 
 
 2 
 -1 
 -2 
 
 
 
3. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C 
definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
4 * 
(2)^(1/2) 
 
2 * 
(14)^(1/2) 
 
4 
 
4 * 
(14)^(1/2) 
 
14 * 
(2)^(1/2) 
 
1. 
 
 
aVALIE A INTEGRAL ∫_0^2π▒∫_0^1▒( ( 9- X^(2 )¿ Y^(2 ) ) dA ,TROQUE A 
INTEGRAL ORIGINAL POR COORDENADAS POLARES E RESOLVA A INTEGRAL. 
 
 
 
PI/8 
 
PI/ 3 
 
PI/5 
 
PI/ 2 
 
PI / 4 
 
 
 
2. 
 
 
 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela 
reta y=x+2 utilizando integral dupla. . 
 
 
 
92u.a. 
 
72 u.a. 
 
32u.a. 
 
12 u.a. 
 
52 u.a. 
 
 
 
3. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * 
y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
1. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
e7 
 
 7e-7 
 
7e 
 
e-1 
 
7 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
2 
 
1 
 
10 
 
16 
 
20 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
9/2 
 
1 
 
5/6 
 
3 
 
1/2 
 
1. 
 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
2 
 
82 
 
π2 
 
8π3 
 
8π2 
 
 
 
2. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
 
1,3,4 
 
1,3,5 
 
1,2,4 
 
1,2,3 
 
1,2,5 
 
 
 
3. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo 
C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
 
14 
 
15 
 
12 
 0 
 
13 
 
 
 
4. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a 
curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
1 
 
2 
 
-10 
 
-2 
 
0 
 
 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva 
C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
4 
 
3 
 
0 
 
2 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo 
domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao 
longo da curva são dados pela função composta f(g(t),h(t),l(t)). 
Quando integramos essa função composta em relação ao 
comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt 
onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice 
circular dada por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
 
324 
 
1 
 
2 
 
423 
 
233 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 
 28u.c. 
 21u.c. 
 
 49u.c. 
 
7u.c. 
 
14u.c. 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
33,19 
 
34,67 
 
53,52 
 
25, 33 
 
32,59