Apostila Resistência dos Materiais 1 - Exercicios

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
NOTAS DE AULA – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
PROFESSOR JÚLIO CÉSAR 
2014 
 
 
 
 
 
2 
 
CAPÍTULO 1 – REVISÃO DE ESTÁTICA 
 
1.1 – Introdução 
 
A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro 
do corpo. Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo e proporciona o 
estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. 
 
1.2 - Equilíbrio de um corpo 
 
Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas externas. Contudo, qualquer uma 
delas pode ser classificada como uma força de superfície (contato direto entre os corpos) ou uma 
força de campo (ou de corpo). 
 
 
 Quando a área da força de superfície for pequena quando comparada com a superfície 
total do corpo, trata-se de uma carga concentrada. Quando a força de superfície estiver aplicada 
sobre uma linha estreita, diz-se que a carga é linear distribuída. A seguir temos alguns tipos de 
cargas externas. 
 
a) Forças concentradas 
 
 
 
b) Carga uniforme distribuída 
 
 
3 
 
c) Carga uniformemente variável 
 
 
 
Obs: A força resultante FR de uma carga distribuída linear W é equivalente à área sob a curva da 
carga distribuída, e essa resultante age no centroide C dessa área. 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir alguns centroides importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FR = ÁREA 
y 
x 
b 
h 
4 
 
1.3 – Reações do apoio 
 
As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios são denominadas reações. Para 
situações em que as forças são coplanares (bidimensional) temos três principias apoios: 1º, 2º e 
3º gêneros. As reações (forças e momentos) de cada apoio são as restrições que estes impõem 
ao corpo ligado. 
 
a) O apoio móvel (1º gênero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento vertical 
e permite o deslocamento horizontal e a rotação (giro) em torno do apoio. 
 
b) O apoio fixo (2º gênero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite a 
rotação (giro) em torno do apoio. 
 
c) O engastamento (3º gênero) impede os deslocamentos vertical e horizontal e a rotação (giro) 
em torno do apoio. 
 
Observe as figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1.4 – Equilíbrio estático de um corpo 
 
Para que um corpo extenso esteja em equilíbrio duas condições devem ser satisfeitas 
simultaneamente. Uma delas impede que ocorra o movimento de translação e a outra, o 
movimento de rotação. 
Para que não ocorra a translação é necessário que a resultante das forças seja nula, ou 
seja: 
 
 
Observe que a resultante R pode ser escrita, em módulo, da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 ; e 
 
Para que não ocorra a rotação é necessário que o momento resultante seja nulo, ou seja: 
 
 
 
Observe que o momento resultante M pode ser escrito, em módulo, da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 ; e 
 
Portanto, as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio do corpo extenso são: 
 
 
 
 
 
 
 
 ; e 
 
 ; e 
 
6 
 
Para situações em que as forças são coplanares (bidimensional) as condições anteriores 
resumem-se às seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
1.5 – Cargas internas 
 
 Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de resistência 
de materiais é poder determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um 
corpo e que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas 
externas. 
 Considere um corpo extenso sob à ação de quatro forças F1, F2 , F3 e F4, conforme figura a 
seguir. 
 
 
Suponha que desejemos determinar as cargas internas que atuam na seção em destaque. 
Utilizando o método das seções, isto é, cortando o corpo e separando uma das partes teremos as 
forças F1 e F2 e as cargas internas. Observe o diagrama a seguir. 
 
 
 
 
 e 
 
 
7 
 
Pode-se perceber uma distribuição de forças internas agindo sobre a área exposta pelo 
corte que representam os efeitos do material que está na parte superior do corpo agindo no 
material adjacente na parte inferior. Na análise desta parte do corpo extenso, temos na seção 
exposta pelo corte a resultante das forças e dos momentos internos. 
 
 
 
 
Didaticamente podemos tomar as componentes das resultantes dos momentos e das 
forças internas para melhor interpretação física. 
 
 
As componentes da resultante são denominadas normal e cisalhante (ou cortante). A 
primeira atua num direção perpendicular ao plano da seção enquanto a segunda, no plano da 
seção. As componentes do momento resultante são o fletor e o de torção. O momento fletor é 
causado pelas cargas externas que tender a fletir o corpo em torno de um eixo que se encontra na 
área. Já o momento de torção é o efeito produzido quando as cargas tendem a torcer um 
segmento do corpo em relação a outro. 
 
 
 
 
8 
 
No caso particular de um sistema submetido a forças coplanares, a situação acima descrita 
resume-se ao que revela o diagrama abaixo. 
 
 
 
Obs. Convenção de sinais – as orientações abaixo são positivas. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
1) Determine as reações no apoio A e a carga interna resultante que atua na seção transversal no 
ponto B. A barra está presa em A. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, vamos substituir a carga distribuída por uma equivalente concentrada. 
 
ÁREA = (base x altura)/2 = 15 x 60 / 2 = 450 lb 
Ponto de aplicação = centroide = base/3 = 15/3 = 5 pés (a partir do ângulo reto) 
 
 
 
 
 
 
 
450lb 
A 
C 
5 pés 10 pés 
VA 
HA 
MA 
9 
 
EQUILÍBRIO: 
 
 = 0 = 0 
 
 
 
 
 
Seccionando a barra em B, teremos: 
 
 
 
 
A partir da figura inicial do problema podemos aplicar a semelhança entre triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = ? 
X = ? 
48 lbs 
4 pés 
VB 
HB 
MB 
 
B 
C 
12 pés 
10 
 
EQUILÍBRIO: 
 
 = 0 = 0 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Determinar a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção que passa pelo 
ponto C. Usar P = 8 kN. 
 
.2) Determine a resultante das forças internas normal e cisalhante no elemento na seção b – b, 
em função de  .A carga de 650N é aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento. 
 
3) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C do eixo de 
máquina da figura. O eixo é apoiado por rolamento em A e B, que exercem apenas forças verticais 
sobre ele. 
11 
 
 
 
4) A mesinha T usada em avião é apoiada em cada lado por um braço. A mesinha é acoplada ao 
braço em A por um pino e em B há um pino liso (o pino move-se em um rasgo nos braços para 
permitir dobrara mesinha na frente do passageiro quando não estiver em uso). Determinar a 
resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto C do braço 
quando este suporta as cargas mostradas. 
 
5) A viga suporta a carga distribuída mostrada na figura. Determine as cargas internas resultantes 
nas seções transversais que passam pelos pontos d e E. Considere que as reações nos apoios A 
e B sejam verticais. 
 
6) A força F = 400N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes na 
raiz do dente, isto é, no centroide da seção a – a (ponto A) 
12 
 
 
7) O guindaste da figura foi projetado para 5kN. Determinar a força atuante na haste do cilindro e 
a reação na articulação A (c = 18,75kN e A = 15kN) 
 
 
CAPÍTULO 2 – TENSÃO 
 
2.1 – Introdução 
 
Considere que a área seccionada de um corpo esteja subdividida em pequenas áreas A 
conforme a figura a seguir. Supondo que o material é contínuo e coeso e reduzindo esta área a 
um valor cada vez menor, teremos uma força finita pequena F cujas componentes são Fx, Fy e 
Fz, sendo uma perpendicular à área A e as outras duas tangentes à mesma área. 
 
 
13 
 
 
O limite do quociente entre F e A, com este último tendendo a zero, recebe o nome de 
tensão, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
A unidade de tensão é dada por uma unidade de força dividida por uma de unidade de 
área. Por exemplo, Pascal (Pa= N/m2). MPa = 106 Pa e GPa = 109 Pa 
 
Obs: 1N/mm2 = 1N/10-6m2 = 106N/m2 = 1MPa 
 
2.2 – Tensão normal 
 
A intensidade da força que age perpendicularmente à área é definida como tensão 
normal . Na figura anterior, como Fz, é perpendicular à área, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a força normal tracionar o elemento a tensão será denominada de tensão trativa e, 
quando comprimir, a tensão será compressiva. 
Observe que o índice z em é usado para indicar a direção da reta normal dirigida para 
fora da área A. 
 
 
2.3 – Tensão de cisalhamento 
 
A intensidade da força que age tangente à área é definida como tensão de 
cisalhamento . Na figura anterior, como Fx e Fy, são tangentes à área, temos que: 
 
 
 
 
 
 e  
 
 
 
 
 
Para as componentes da tensão de cisalhamento são usados dois índices. O índice z 
especifica a orientação da área enquanto x e y referem-se Às direções das tensões de 
cisalhamento. Observe as figuras abaixo. 
 
14 
 
 
 
2.4 – Estado geral de tensão 
 
Se o corpo for seccionado por planos paralelos aos planos xz e yz. Assim, um elemento 
cúbico de volume de material que representa o estado de tensão que age em torno do ponto 
escolhido no corpo. Observe as figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
2.5 – Tensão normal média em uma barra com carga axial 
 
Suponha uma barra com a carga externa P conforme a figura a seguir. 
 
 
Ao seccionarmos a barra e estudarmos o elemento resultante perceberemos que cada 
área está submetida a uma força  . Ao somarmos todas as contribuições teremos a 
força interna P na seção. 
 
 Considerando que a tensão  é constante e elementos infinitesimais de área ( , 
poderemos escrever que  e ainda que: 
 
 
 
Assim, podemos escrever que a tensão normal média  em qualquer ponto na área da 
seção transversal é dada pela razão entre a força normal interna P aplicada no centroide da seção 
transversal e a área da seção transversal da barra. 
 
 
 
 
 
16 
 
Exemplo 
 
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal 
média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado a seguir. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, vamos seccionar a barra nas regiões abaixo e estudar o diagrama do corpo livre. 
 
 
 
Note que todas “partes” da barra estão em equilíbrio. 
 
Todas as seções têm área A = 35 x 10 = 350 mm2. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
A distribuição de tensão que age sobre uma seção transversal arbitrária da barra dentro da 
porção BC é mostrada a seguir. 
17 
 
 
Note que o volume representado por esta distribuição equivale à carga, isto é, 87,5MPa x 
(35 x 10) mm2 = 30.000N 
 
2.6 – Tensão de cisalhamento média 
 
A tensão de cisalhamento foi definida na seção 2.2 como a componente da tensão que age 
no plano da área seccionada. Considera a figura abaixo 
 
 
Supondo apoios rígidos e F grande o suficiente, o material da barra irá falhar ao longo dos 
planos identificados por AB e CD. Na figura seguinte temos um diagrama do corpo livre da parte 
central da barra. 
 
 
 
Do equilíbrio, V + V = F, ou ainda: V = F/2. 
 
A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada é definida por: 
 
 
 
 
 
18 
 
 
Observe a ação da distribuição da tensão de cisalhamento média sobre as seções na 
figura abaixo. 
 
O cisalhamento pode ser dividido em simples ou duplo. 
 
2.6.1 – Cisalhamento simples ou direto 
 
Este cisalhamento é causado por ação direta da carga aplicada F e acontece em 
frequentemente em vários acoplamentos simples que utilizam parafusos, pinos, solda etc. As 
figuras a seguir mostram exemplos de cisalhamento simples e seus diagramas de corpo livre. 
Essas juntas são denominadas sobrepostas. 
 
 
Observe que V = F. Assim, a tensão de cisalhamento média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.2 – Cisalhamento duplo 
 
Diferentemente do cisalhamento simples, as juntas que provocam o cisalhamento duplo 
são as de dupla sobreposição, conforme a figura a seguir. 
 
19 
 
Observe que duas superfícies de cisalhamento devem ser consideradas. A partir do 
diagrama do corpo livre das juntas acima é possível escrever que V + V = F e V = F/2. Dessa 
forma, a tensão de cisalhamento média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
A barra tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Se uma 
força axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área de seção 
transversal da barra, determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que 
agem ao longo dos planos a-a e b-b. 
 
 
Solução 
 
Seção a-a: 
 
Área: 40 mm x 40 mm = 1600 mm2 
Seccionando a barra pela região a-a temos o seguinte diagrama do corpo livre 
 
 
Dessa forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Seção b-b: 
 
Seccionando a barra pela região b-b temos o seguinte diagrama do corpo livre 
 
Do equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60º 
800 
P V 
b 
b 
21 
 
2.7 – Fator de segurança (FS) 
 
O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve 
restringir a tensão do material a um nível seguro, portanto, deve usar uma tensão segura ou 
admissível. 
 
O fator de segurança (F.S.) é a relaçãoentre a carga de ruptura Frup e a carga admissível 
Fadm. A carga de ruptura é determinada em ensaios laboratoriais do material e o fator de 
segurança apresenta valores específicos que dependem dos tipos de materiais usados e da 
finalidade pretendida da estrutura ou máquina. O fator de segurança é um número adimensional 
maior que 1. 
 
Quando a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tensão 
desenvolvida no interior do elemento então podemos expressar o FS como sendo a razão entre a 
tensão de ruptura (ou  e a tensão admissível (ou  , isto é: 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
2.8 – Projeto de acoplamentos simples 
 
Adotando-se premissas simplificadoras em relação ao comportamento do material, as 
equações  
 
 
 e  
 
 
 podem ser usadas para projetar um acoplamento simples ou um elemento 
mecânico. Quando o elemento estiver submetido a uma força normal em uma seção, a área de 
seção mínima exigida é determinada por: 
 
 
 

 
 
 De outra forma, se a seção estiver sujeita a uma força de cisalhamento, a área mínima da 
seção é dada por: 
 
 
 

 
 
 
 
 
22 
 
Exemplo 
O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como mostrado na figura. Se 
a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da 
haste e a espessura mínima do disco necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão 
normal admissível da haste é adm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é 
adm = 35 MPa. 
 
Solução: 
 
Haste: 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disco: 
 
23 
 
Área A: 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) A luminária de 80 Kg é suportada por duas hastes AB e BC. Se AB tem diâmetro 10mm e BC 
8mm, determine a tensão normal média em cada haste. 
 
2) O elemento AC está submetido a uma força vertical de 3kN. Determinar a posição x da 
aplicação da força de modo que o esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço 
de tração no tirante AB. A haste tem área de seção transversal de 400 mm2 e a área de contato 
em C é de 650 mm2 e comprimento 200 mm. 
 
3) A viga uniforme de 6 m de comprimento é apoiada por duas hastes AB e CD com área de 
seção transversal igual a 10mm2 e 15mm2. Determine a intensidade da carga w distribuída de 
modo que a tensão normal média em cada haste não exceda 300kPa. 
24 
 
 
4) A barra rígida mostrada na figura é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 
20 mm e um bloco de alumínio que tem área da seção transversal de 1800 mm². Os pinos de 18 
mm de diâmetro em A e C estão submetidos a um cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura 
do aço e do alumínio forem (aço)rup = 680 MPa e (al)rup = 70 MPa, respectivamente, e a tensão de 
cisalhamento de ruptura de cada pino for trup = 900 MPa, determinar a maior carga P que pode 
ser aplica à barra. Aplicar F.S = 2. 
 
5) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar seus diâmetros 
requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio for ()adm = 150 MPa. 
6) Os três cabos de aço são usados para suportar a carga. Se os cabos têm uma tensão de tração 
admissível de 165 MPa, determinar o diâmetro requerido de cada cabo se a carga aplicada P = 6 
kN. 
25 
 
7) Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida pelo colar em C, que está preso ao eixo 
e localizado à direita do mancal em B. Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais 
em E e F de modo que a tensão no colar não exceda uma tensão de apoio admissível em C de 
adm = 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda um esforço de tração admissível 
de adm = 55 MPa. 
 
 
8) O punção circular B exerce uma força de 2 kN no topo da chapa A. Determinar a tensão de 
cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento. 
 
CAPÍTULO 3 – DEFORMAÇÃO 
 
3.1 – Introdução 
 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo este tende a mudar de forma e/ou tamanho. 
Essas mudanças podem ser perceptíveis a olho nu ou não. Um exemplo é a deformação que 
ocorre em elementos estruturais de um edifício quando muitas pessoas estão em seu interior. De 
um modo geral, a deformação em um corpo varia ao longo de seu volume. 
 
26 
 
3.2 – Deformação normal 
 
O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é 
denominado deformação normal. Observe as figuras que se seguem. 
 
 
 Considere o corpo não deformado da figura e a reta AB de comprimento s. Após a 
deformação, os pontos A e B são deslocados para as posições A´ e B´ tal que A´B´ tem 
comprimento s´. A deformação normal média será dada por: 
 
 
  
 
 
 
À medida que B se aproxima de A, o comprimento de AB diminui, isto é,  e B´se 
aproxima de A´ de forma que  . Assim, no limite, a deformação normal no ponto A e na 
direção n é: 
 
 
  
 
 
 
Observe que quando a deformação normal for conhecida, é possível determinar o 
comprimento final aproximado de um segmento curto de reta na direção de n após a deformação 
pela seguinte equação. 
 
 
  
 
    
 
 
 
Unidades: Observe que a deformação normal é uma razão entre comprimentos e, portanto, 
adimensional. Na prática é comum expressar em termos da razão entre unidades de 
comprimento. No SI, m/m. 
Corpo deformado Corpo não deformado 
27 
 
Outra possibilidade é m/m. Uma deformação normal média de 400m/m significa que cada 1 
metro deste material sofre uma deformação de 400m. Perceba ainda que 400m/m equivale a 
400. 10-6 m/m ou ainda a 4. 10-4 que, em termos percentuais equivale a 0,04%. 
 
Exemplo – Uma força que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na figura 
provoca uma rotação no cabo da alavanca de 0,002 rad em sentido horário. Determine a 
deformação normal média desenvolvida no cabo BC. 
 
 
Solução – A figura a seguir mostra a situação final da estrutura. 
 
Da geometria podemos escrever que o comprimento de um arco é igual ao produto do raio pelo 
ângulo, em radianos, ou seja: l = R.. Assim, 
 
BB´= 0,5 x 0,002 = 0,001 m 
 
A deformação normal média será: 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
3.3 – Deformação por cisalhamento 
 
A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de retas que originalmente eram 
perpendiculares é denominada deformação por cisalhamento. Observe as figuras que se seguem. 
 
 
A deformação por cisalhamento é representada por  e dada em radianos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Para pequenos ângulos, dados em radianos, é verdade que: 
 
 
 
Exemplo – A chapa é deformada até a forma apresentada pelas linhas tracejadas na figura a 
seguir. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais e 
seus comprimentos não mudarem, determine: 
 
a) Deformação normal ao longo do lado AB 
b) Deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y 
 
29 
 
Solução. 
 
a) Observe a figura abaixo e a partir do teorema de Pitágoras podemos determinar AB´.b) Observe a figura 
 
 
Observe que: 
 
 
 
 . 
 
Como o ângulo é pequeno podemos utilizar a seguinte aproximação 
 
 
 
 
 
30 
 
Exercícios. 
 
1) O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm. Se a pressão do ar em seu interior 
for aumentada até o diâmetro atingir 175 mm, determine a deformação normal média na borracha. 
 
2) Determine a deformação normal média do arame AB em decorrência da rotação  = 2º da barra 
rígida CA 
 
 
3) A barra rígida ABC da figura está inicialmente na horizontal. Se cargas provocarem o 
deslocament0 vertical da extremidade A de 0,002 pol e a barra girar 0,2º, qual será a deformação 
normal média das hastes AD, BE e CF. 
 
 
31 
 
4) A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformação normal 
admissível máxima em cada cabo for de máx = 0,002 mm/ mm, determine o deslocamento vertical 
máximo da carga P. 
 
5) A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada. Determine a 
deformação por cisalhamento média xy da chapa. 
 
6) A haste delgada da figura é submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o 
que cria uma deformação normal na haste de 
 
 
 , onde z é dado em metros. 
Determinar: 
 
a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura; 
b) a deformação normal média na haste 
 
32 
 
CAPÍTULO 4 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
 
4.1 – Ensaios de tração e compressão 
 
Os engenheiros de quaisquer especialidades devem compreender como as várias 
propriedades mecânicas são medidas e o que elas representam. Essas propriedades são 
necessárias ao projeto de estruturas ou componentes que utilizem materiais predeterminados, a 
fim de que não ocorram níveis inaceitáveis de deformação e/ou falhas em serviço, ou o 
encarecimento do produto em função do superdimensionamento de componentes. 
Qualquer projeto de engenharia, especificamente o projeto de um componente mecânico, 
requer para a sua viabilização um vasto conhecimento das características, propriedades e 
comportamento dos materiais disponíveis. 
 A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao material e deve ser 
determinado por ensaios experimentais, dentre os quais se destacam os de tração e de 
compressão. 
Para o ensaio de tração (compressão) utiliza-se um corpo de prova (CP) padronizado onde 
são conhecidos o comprimento inicial L0 e a área de seção transversal A0. O CP é preso numa 
máquina como a da figura e é alongado lentamente até atingir o ponto de ruptura. 
 
 
Corpo de prova típico 
 
Máquina de ensaios de tração e compressão 
33 
 
 Dados da carga aplicada P são registrados assim como os valores do alongamento do 
corpo ( = L – L0). A partir desses dados é possível calcular vários valores da tensão e da 
deformação e, então, construir um gráfico denominado diagrama tensão-deformação. 
 
 A partir dos dados registrados podemos determinar a tensão nominal (ou de engenharia) e 
a deformação nominal (ou de engenharia). 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 Se os valores correspondentes de e forem marcados em um gráfico no qual a 
ordenada é a tensão e a abscissa é a deformação, a curva resultante é o diagrama tensão-
deformação. Esse diagrama é muito importante na engenharia, pois proporciona os meios para se 
obterem dados sobre a resistência mecânica sem considerar a forma ou o tamanho do material. 
 
 O comportamento elástico do material é aquele em que as deformações deixam de existir 
quando a carga é subtraída. Perceba que esta região no gráfico é linear, o que revela que tensão 
e deformação são proporcionais. Atinge-se o limite de elasticidade. 
 
 Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará na deformação 
permanente (plástica). É o escoamento do material. Em alguns materiais é possível perceber os 
pontos de escoamento superior e inferior. 
34 
 
 Quando o escoamento tiver terminado, uma carga adicional ao CP resulta no crescimento 
contínuo (não linear) da curva que alcança uma tensão máxima denominada limite de resistência. 
 
 A última etapa é a da estricção. Ocorre o “empescoçamento” do CP e atinge-se uma 
tensão denominada limite de ruptura. 
 
4.2 – Lei de Hooke 
 
Como é possível observar no diagrama tensão-deformação, existe uma relação linear na 
região elástica que pode ser expressa pela lei de Hooke: 
 
 
Onde E é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young 
 
4.3– Coeficiente de Poisson 
 
Quando submetido a uma força de tração/compressão axial, um corpo deformável não 
apenas se alonga, mas também se contrai lateralmente. 
 
 
 As deformações na direção longitudinal (axial) e na direção radial (lateral) são dadas por: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 Dentro da região elástica é possível definir uma razão constante denominada coeficiente 
de Poisson (). 
 
 
 
 
 
 
Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação 
positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. 
 
 O coeficiente de Poisson é adimensional e, para a maioria dos sólidos não porosos, seu 
valor encontra-se entre 0,25 e 0,35. 
35 
 
4.3– Diagrama tensão-deformação de cisalhamento 
 
De maneira análoga à curva tensão-deformação estudada anteriormente, podemos 
submeter um corpo de prova ao cisalhamento e confeccionarmos a curva correspondente. 
 
 A seguir tem-se a lei de Hooke para o cisalhamento: 
 
  
 
Onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento ou de rigidez 
 
 
Obs: É possível mostrar que as grandezas , E e G se relacionam da seguinte 
 
 
 
  
 
 
Exemplo – Uma barra de aço com E = 200GPa e  = 0,32 tem as dimensões mostradas na figura. 
Se um força axial P = 80kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a 
mudança em suas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da carga. O 
material comporta-se elasticamente. 
 
36 
 
 
Solução: 
 
Tensão normal na barra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Hooke: 
 
 
 
 
 
 
 
Alongamento (direção z): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contração (nas direções x e y): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – R.C. HIBBELER 
2. MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS – ESTÁTICA – BEER E JOHNSTON 
3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - TIMOSHENKO