Geometria Analitica UERJ FEN lista 5 superficies

Prévia do material em texto

Geometria Anal´ıtica com Ca´lculo Vetorial
Superf´ıcies qua´dricas
Questa˜o 1. Simplifique e identifique a superf´ıcie definida pela equac¸a˜o geral x2 + y2 + z2− 2x−
32y − 98z + 158 = 0.
Questa˜o 2. Verifique se existe uma esfera que conte´m simultaneamente os c´ırculos (x − 5)2 +
(y + 17)2 = 75 (subconjunto de [z = 11]) e (x − 5)2 + (z − 6)2 = 64 (contido em [y = −23]).
Em caso afirmativo, determine o centro e o raio dela. (Nota. Utilise o eixo do c´ırculo, isto e´, a
reta que passa pelo centro do c´ırculo e e´ perpendicular ao plano do c´ırculo)
Questa˜o 3. Determine uma equac¸a˜o da reta perpendicular ao plano Π: 10x− 2y + 4z − 1 = 0,
que conte´m um diaˆmetro da esfera S : x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + z − 11 = 0.
Questa˜o 4.
(x− 3)2
5
+
(y − 11)2
3
− (z + 1)
2
4
= 1 intercepta [x = 4], [y = −5] e [z = 13] e
estabelece o queˆ ?
Questa˜o 5. Determine as equac¸o˜es de todas as retas subconjuntos da qua´drica determinada por
(x + 1)2
3
− (y − 2)2 + (z − 3)
2
5
= 1.
Questa˜o 6. Estabelec¸a a equac¸a˜o reduzida da superf´ıcie S que e´ seccionada e os resultados
sa˜o: S ∩[x = 3] : (y + 6)
2
14
+
(z + 4)2
22
= 1, S ∩[y = 1] : x
2
24
− (z + 4)
2
88
= 1 e S ∩[z = 7] : x
2
36
−
(y + 6)2
84
= 1.
Questa˜o 7. Considere um hiperbolo´ide S de um folha tal que [z = −1]∩S : (x−1)2+(y−2)2 = 3.
Existe nu´mero p tal que [x = p] ∩ S e´ um ponto? E uma reta ?
Questa˜o 8. Simplifique e identifique a superf´ıcie gerada por −x
2
4
+
y2
9
− 2x + 2y − z + 3 = 0 e
sua intersec¸a˜o com [z = −7
2
].
Questa˜o 9. Caracterize a superf´ıcie que conte´m as curvas {(x, 3, 31
9
+
(x− 1)2
16
); x ∈ R} e
{(6, y, 73
16
+
(y − 5)2
9
); y ∈ R}.
Questa˜o 10. Qual e´ a equac¸a˜o reduzida da esfera que tem ponto mais acima (1,−1, 5) e o plano
que conte´m o centro define (x− 1)2 + (y + 1)2 = 16 ?
Questa˜o 11. Qual plano determina c´ırculo de raio 3 sobre S : (x + 3)2 + (y + 1)2 + z2 = 49 ?
Questa˜o 12. Verifique se a superf´ıcie S : (x− 1)
2
9
+
(y − 3)2
2
+
(z − 2)2
5
= 1 suporta uma elipse
com eixo maior medindo 4.
Questa˜o 13. Qual e´ a u´nica superf´ıcie qua´drica que e´ formada por hipe´rboles e para´bolas ?
Justifique sua resposta.
Questa˜o 14. Descreva a superf´ıcie que conte´m S1 : (x− 2)2 + (y − 4)2 = 1 ∈ [z = 0] e S2 : (x−
2)2 + (z − 3)2 = 10 ∈ [y = 2].
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 1 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
R E S P O S T A S
Resposta Q1 - Basta utilisar o completamento de quadrados. x2 − 2x + α = (x + β)2 =
x2 + 2βx + β2 indica β = −1 e α = 1. y2− 32y + α = (y + β)2 = y2 + 2βy + β2 indica β = −16
e α = 256. E z2 − 98z + α = (z + β)2 = z2 + 2βz + β2 indica β = −49 e α = 2401.
Portanto, x2 + y2 + z2− 2x− 32y− 98z + 158 = 0 ⇒ x2− 2x + y2− 32y + z2− 98z + 158 =
0 ⇒ x2 − 2x + 1 + y2 − 32y + 256 + z2 − 98z + 2401 + 158− 1− 256− 2401 = 0 ⇒ (x− 1)2 +
(y − 16)2 + (z − 49)2 − 2500 = 0. E´ a esfera de centro (1, 16, 49) e raio 50. >
Resposta Q2 - O primeiro c´ırculo tem eixo X = (5,−17, 11) + a(0, 0, 1), o eixo do segundo
c´ırculo e´ X = (5,−23, 6)+b(0, 1, 0). Um ponto comum e´ do tipo (5,−17, 11+a) = (5,−23+b, 6),
isto e´, a = −5, b = 6. E´ o ponto (5,−17, 6). Ca´lculo direto mostra que esse ponto equidista dos
dois c´ırculos um total de 10. Conclusa˜o: (5,−17, 6) e´ o centro da esfera de raio 10 que conte´m
os dois c´ırculos. >
Resposta Q3 - Completamento de quadrados indica que a esfera tem centro (−1, 3,−1
2
) e
raio
√
85
2
. A reta e´ definida por (x, y, z) = (−1, 3,−1
2
) + a(5,−1, 2). >
Resposta Q4 - Hipe´rboles
(y − 11)2
12
5
− (z + 1)
2
16
5
= 1 e −(x− 3)
2
1265
3
+
(z + 1)2
1012
3
= 1 e elipse
(x− 3)2
250
+
(y − 11)2
150
= 1. >
Resposta Q5 - Existem oito retas, visto que a qua´drica e´ um hiperbolo´ide de uma folha com
eixo distinguido {(−1, y, 3); y ∈ R} (paralelo a Oy).
(x + 1)2
3
− (y − 2)2 + (p− 3)
2
5
= 1 ⇒ (x + 1)
2
3
− (y − 2)2 = 5− (p− 3)
2
5
⇒ (x + 1√
3
−
y + 2)(
x + 1√
3
+ y − 2) = 0 quando p = 3 ± √5 ⇒ retas concorrentes y =
√
3
3
x +
√
3 + 6
3
e
y = −
√
3
3
x +
6−√3
3
nos planos [z = 3−√5] e [z = 3 +√5].
Igualmente,
(x + 1)2
3
− (y − 2)2 + (z − 3)
2
5
= 1 ⇒ (z − 3)
2
5
− (y − 2)2 = 3− (p + 1)
2
3
⇒
(
z − 3√
5
−y+2)(z − 3√
5
+y−2) = 0 quando p = −1±√3 ⇒ retas concorrentes y =
√
5
5
z+
10− 3√5
5
nos planos [x = −1−√3] e [x = −1 +√3]. >
Resposta Q6 - A superf´ıcie e´ definida por
x2
r
+
(y + 6)2
s
+
(z + 4)2
t
= 1, com os paraˆmetros
r, s, t a serem determinados. Substituindo-se x por 3,
(y + 6)2
s
+
(z + 4)2
t
= 1− 9
r
⇒ (y + 6)
2
s(1− 9
r
)
+
(z + 4)2
t(1− 9
r
)
= 1 ⇒ s(1− 9
r
) = 14, t(1− 9
r
) = 22 ⇒ 14
s
=
22
t
⇒ t
s
=
11
7
.
Substituindo-se y por 1,
x2
r
+
(z + 4)2
t
= 1− 49
s
⇒ x
2
r(1− 49
s
)
+
(z + 4)2
t(1− 49
s
)
= 1 ⇒ r(1− 49
s
) =
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 2 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
24, t(1− 49
s
) = −88 ⇒ 24
r
= −88
t
⇒ t
r
= −11
3
.
E a substituic¸a˜o de z por 7 conduz a
x2
r
+
(y + 6)2
s
= 1− 121
t
⇒ x
2
r(1− 121
t
)
+
(y + 6)2
s(1− 121
t
)
=
1 ⇒ r(1− 121
t
) = 36, s(1− 121
t
) = −84 ⇒ 36
r
= −84
s
⇒ s
r
= −7
3
.
Visto que o fator x2 aparece sempre com sinal positivo, isso sugere tomar r = 3, s = −7
e t = −11 e portanto a superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide de duas folhas definido pela equac¸a˜o
x2
3
− (y + 6)
2
7
− (z + 4)
2
11
= 1. >
Resposta Q7 - No´s podemos considerar (x− 1)2 + (y − 2)2 − (z − a)
2
b
= 1 como a equac¸a˜o
reduzida do superf´ıcie. Para z = −1, temos (x − 1)2 + (y − 2)2 = b + (−1− a)
2
b
= 3 e
b =
(1 + a)2
2
. Escolha a = 3, b = 8 e assim (x− 1)2 + (y − 2)2 − (z − 3)
2
8
= 1.
Para z = p, no´s obtemos (y − 2)2 − (z − 3)
2
8
=
1− (p− 1)2
2
e se veˆ que na˜o poss´ıvel a
intersec¸a˜o ser um ponto (deveria ser soma de termos quadra´ticos em y e z, e na˜o diferenc¸a).
Mas, para 1 − (p − 1)2 = 0, p = 1 ± 1 e (y − 2)2 − (z − 3)
2
8
= 0, logo saem duas retas para
p = 0 e duas outras par p = 2. >
Resposta Q8 - Os coeficientes dos fatores quadra´ticos de x e de y com sinais contra´rios e a
auseˆncia do fator quadra´tico de z indicam, com certeza, tratar-se de um parabolo´ide hiperbo´lico.
Pode-se tambe´m chegar a esta conclusa˜o pela equac¸a˜o reduzida: completando quadrados,
obtemos z = −2 − (x + 4)
2
4
+
(y + 9)2
9
, claramente a equac¸a˜o reduzida de um parabolo´ide
hiperbo´lico.
A intersec¸a˜o com [z = −7
2
] determina −(x + 4)
2
4
+
(y + 9)2
9
= −3
2
e
(x + 4)2
6
− (y + 9)
2
27
2
= 1,
ou seja, uma hipe´rbole com eixo de simetria paralelo ao eixo-y, centro (−4,−9,−7
2
). >
Resposta Q9 - No plano [y = 3] temos uma para´bola, e no plano [x = 6], outra para´bola. O
sinal de adic¸a˜o nos fatores
(x− 1)2
16
e
(y − 5)2
9
indica que a superf´ıcie deve ser um parabolo´ide,
de equac¸a˜o reduzida generalizada z = z0 +
(x− 1)2
16
+
(y − 5)2
9
. Para x = 6, tem-se z0 +
25
16
=
73
16
e z0 = 3. E para y = 3, tem-se z0 +
4
9
=
31
9
e z0 = 3. Portanto, e´ o parabolo´ide
z = 3 +
(x− 1)2
16
+
(y − 5)2
9
. >
Resposta Q10 - O plano que conte´m o centro da esfera faz com que o c´ırculo intersecc¸a˜o
tenha o mesmo raio da esfera, ou seja, 4. O ponto mais acima tem sua cota igual a` cota do
centro somada ao raio, logo o centro e´ (1,−1, 1). A esfera e´ determinada por (x − 1)2 + (y +
1)2 + (z − 1)2 = 16. >
Resposta Q11 - Pensando em plano horizontal[z = p], (x+3)2 +(y +1)2 = 49− p2 = 9 leva
a p = ±2√5. Serve [z = 2√5]. >
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 3 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
Resposta Q12 - Pensando em plano horizontal [z = p], tem-se
(x− 1)2
9
+
(y − 3)2
2
+
(p− 2)2
5
= 1 ⇒ (x− 1)
2
9
+
(y − 3)2
2
= 1 − (p− 2)
2
5
=
5− (p− 2)2
5
⇒ (x− 1)
2
9[
5− (p− 2)2
5
]
+
(y − 3)2
2[
5− (p− 2)2
5
]
= 1. Portanto, a2 = 9[
5− (p− 2)2
5
], a =
3
√
5
5
√
5− (p− 2)2 = 2 e p = 2± 5
3
.
Sim, os planos [z =
1
3
] e [z =
11
3
] determinam, cada um, uma elipse com eixo maior 4. >
Resposta Q13 - E´ a sela, pois sua equac¸a˜o reduzida tem a forma z = z0−(x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
e, assim, as intersec¸o˜es com planos [z = p] (com p 6= z0) teˆm equac¸a˜o − (x− x0)
2
a2(p− z0)+
(y − y0)2
b2(p− z0) =
1, as intersec¸o˜es com planos [x = p] e [y = p] teˆm equac¸o˜es z =
z0a
2 − (p− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
e
z =
z0b
2 − (p− y0)2
b2
− (x− x0)
2
a2
, respectivamente. >
Resposta Q14 - As condic¸o˜es indicam tratar-se de c´ırculos com pontos comuns (1, 2, 0) e
(3, 2, 0). O eixo de S1 e´ a reta formada pelos pontos da forma (2, 4, z), ja´ o eixo de S2 e´
formado por pontos da forma (2, 2 + y, 3). Logo, a intersecc¸a˜o dessas duas retas e´ (2, 4, 3) e
esse ponto equidista de (1, 2, 0) e de (3, 2, 0). Conclu´ımos que a superf´ıcie e´ a esfera de centro
(2, 4, 3) e raio
√
14. >
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 4 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1