Geometria Analitica UERJ FEN lista 2 coordenadas

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Geometria Anal´ıtica com Ca´lculo Vetorial I
Sistema de coordenadas
Questa˜o 1. Determine um ponto que dista 3 de Oxy, 2 de Oxz e 6 de Oyz.
Questa˜o 2. Determine dois pontos que distam 3 entre si, 5 de Oxy e 4 de Oxz.
Questa˜o 3. Determine um ponto A que com B = (0, 1, 0), C = (1, 1, 1) e D = (3, 1,−5)
estabelecem um paralelogramo.
Questa˜o 4. Determine dois pontos de modo que o segmento orientado formado por eles seja
vertical e diste 1 de Oxz e 6 de Oyz.
Questa˜o 5. Determine um ponto C que esta´ alinhado com A = (4, 3,−2) e B = (1, 1, 1) e vale
d(A,C)
d(B,C)
=
2
3
.
Questa˜o 6. Como na questa˜o anterior, mas com
d(A,C)
d(B,C)
=
3
2
.
Questa˜o 7. Dados A = (3, 0, 0) ∈ Ox e B = (0, 2, 0) ∈ Oy, encontre um ponto em Oz tal que
o triaˆngulo formado tem
19
2
de a´rea.
Questa˜o 8. Os pontos A = (3, 6,−7), B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo. Calcule sua inclinac¸a˜o (com relac¸a˜o a` horizontal), sua a´rea e as a´reas projetadas
sobre os planos coordenados.
Questa˜o 9. Considere um triaˆngulo equila´tero em R2. Usando decomposic¸a˜o vetorial em com-
ponentes, mostre que 1 + cos120o + cos240o = 0 e que sen120o + sen240o = 0.
Sugesta˜o. Fac¸a o eixo−x coincidir com um dos lados do triaˆngulo, sendo a origem do sistema
de coordenadas um de seus ve´rtices. Oriente vetores ao longo dos lados no sentido anti-hora´rio
de modo que a soma vetorial seja igual a zero.
Questa˜o 10. Determinar C tal que −1
2
−→
OC =
−→
AB, onde A = (2, 3,−1) e B = (5, 9,−4).
Questa˜o 11. Utilize A = (4, 3, 5) e −→v = (7, 6, 6) para determinar um ponto que dista 7 do
ponto dado.
Questa˜o 12. Determine um ponto C de sorte que com ele, com A = (10, 1, 0) e B = (−1, 3, 4)
fica formado um triaˆngulo retangulo.
Questa˜o 13. Calcule a distaˆncia entre B = A + 2−→v e C = A − 4−→v , onde A = (9, 5, 3) e−→v = (−2,−2,−2). Depois ache um ponto que equidista de B e C.
Questa˜o 14. Utilize A = (−1, 5, 4), B = (4, 3,−2) e −→v = (6, 9,−2) para determinar um ponto
C de modo que (A,C) e (B,C) sejam perpendiculares.
Questa˜o 15. Calcule um ponto P de modo que
−→
AP seja ortogonal ao plano que contem B =
(1, 2, 3), C = (4,−1, 2) e D = (2,−1,−1). Seja A = (5, 4, 3).
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Questa˜o 16. Utilize A = (4, 1, 1) e −→r = (1,−1, 1) para gerar pontos; fac¸a o mesmo com
B = (9, 2, 2) e −→s = (−4, 1,−2). Sera´ que ha´ um ponto comum?
Questa˜o 17. Calcule −→a ∧ −→b .−→c e −→a .−→b ∧ −→c , usando −→a = (5, 4, 1),−→b = (3,−4, 1) e −→c =
(1,−2, 3). O queˆ sera´?
Questo˜es extras.
Questa˜o 18. No sistema de coordenadas (O′, �), em que O′ = (−2, 1, 3) e � e´ a base canoˆnica,
tem-se A = (5, 4, 6). Como se escreve (terno ordenado) A no sistema de coordenadas ortogonal
(O, �), em que O = (0, 0, 0)?
Questa˜o 19. Determine a distaˆncia entre A = (1, 2, 1) e B = (−2, 3,−3), com suas coordenadas
no sistema ortogonal (O, �). Qual e´ a distaˆncia entre A e B se sa˜o vistos no sistema de
coordenadas (O′, �), com O′ = (6, 10,−1)?
Questa˜o 20. Determine
−→
AB considerando A = (−1, 2, 4), B = (7, 1, 6) no sistema de co-
ordenadas ortogonal, e depois no sistema de coordenadas (O′, ϕ), em que O′ = (2, 4, 9) e
ϕ = {(3, 2, 1), (1, 3, 5), (4, 2,−1)}.
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R E S P O S T A S
Resposta Q1- As coordenadas de um ponto admitem algumas interpretac¸o˜es, uma delas e´
a distaˆncia do ponto aos planos coordenados: a abscissa e´ precisamente a distaˆncia do ponto a
Oyz, a ordenada e´ a distaˆncia a Oxz e a cota, a Oxy. Assim um ponto soluc¸a˜o e´ (6, 2, 3). Mas
existem outros, como (−6, 2, 3) e (6,−2,−3). >
Resposta Q2- Claro que teˆm mesma ordenada 4 e mesma cota 5. E a diferenc¸a entre as
abscissas deve ser de 3. Servem (0, 4, 5) e (3, 4, 5). >
Resposta Q3- Uma ide´ia e´ usar
−−→
CB e
−−→
CD como definidores do paralelogramo. Enta˜o−−→
CB +
−−→
CD = (1, 0,−7) = −→CA = (x− 1, y − 1, z − 1) e, assim, A = (2, 1,−6). >
Resposta Q4- Teˆm mesma abscissa 6 e mesma ordenada 1. Servem (6, 1, 0) e (6, 1, 2). >
Resposta Q5- Note que existem dois casos: o primeiro coloca C esta´ entre A e B (os treˆs
pontos alinhados em uma reta), divide-se (A,B) em 5 partes e (A,C) utiliza duas delas. No
segundo, A esta´ entre B e C, divide-se (B,C) em 3 partes e (A,C) leva duas delas. Existiria
outra opc¸a˜o?
No primeiro,
−→
AC =
2
5
−→
AB ⇒ C = A + 2
5
−→
AB = (
14
5
,
11
5
,−4
5
). No segundo,
−→
AC = 2
−→
AB ⇒
C = A + 2
−→
AB = (−2,−1, 4). >
Resposta Q6- O primeiro caso e´ aquele em que C esta´ entre A e B, divide-se (A,B) em 5
partes e (A,C) corresponde a treˆs delas. No segundo, B esta´ entre A e C, divide-se (A,C) em
treˆs partes e (B,C) corresponde a duas delas. Ha´ mais alguma opc¸a˜o?
No primeiro,
−→
AC =
3
5
−→
AB ⇒ C = A + 3
5
−→
AB = (
11
5
,
9
5
,−1
5
). No segundo,
−→
AC = 3
−→
AB ⇒
C = A + 3
−→
AB = (−5,−3, 7). >
Resposta Q7- O ponto C = (0, 0, z) e´ tal que
1
2
|−→AB ∧ −→AC| = 1
2
|(2z, 3z, 6)| = 19
2
, ou seja,
z = ±5. >
Resposta Q8- O´bvio que
−→
AB = (−8,−4, 10) e −→AC = (1,−13, 1) definem o triaˆngulo. Note
que se
−→
AB∧−→AC fosse vertical (se as 1a e 2a coordenadas fossem iguais a 0), enta˜o o triaˆngulo seria
horizontal. Esse racioc´ınio mostra que a inclinac¸a˜o de
−→
AB ∧ −→AC = (126, 18, 108) = 18(7, 1, 6)
com a vertical e´ igual a inclinac¸a˜o do triaˆngulo com relac¸a˜o a` horizontal, ou seja, e´ igual a
arccos
(7, 1, 6).(0, 0, 1)√
86
= 49, 6845o.
A´reas: do triaˆngulo e´ igual a 9
√
86. E as coordenadas de
−→
AB∧−→AC = (126, 18, 108) indicam
que a a´rea projetada sobre Oxy vale 54, sobre Oxz, 9, e sobre Oyz, 63! >
Resposta Q9- Fixamos arestas medindo 1 e A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (
1
2
,
√
3
2
) sa˜o os
ve´rtices do triaˆngulo. Logo,
−→
AB = (1, 0),
−−→
BC = (−1
2
,
√
3
2
),
−→
CA = (−1
2
,−
√
3
2
) e
−→
AB +
−−→
BC +
−→
CA =
−→
0 .
Sobre o eixo−x: proj−→e1
−→
AB+proj−→e1
−−→
BC+proj−→e1
−→
CA =
−→
0 ⇒ −→AB.−→e1 −→e1+−−→BC.−→e1 −→e1+−→CA.−→e1 −→e1 =−→
0 ⇒ (−→AB.−→e1+−−→BC.−→e1+−→CA.−→e1 )−→e1 = −→0 . Mas, −→AB.−→e1 = 1, −−→BC.−→e1 = |−−→BC||−→e1 |cos120o = cos120o
e
−→
CA.−→e1 = |−→CA||−→e1 |cos240o = cos240o, portanto, −→AB.−→e1 + −−→BC.−→e1 + −→CA.−→e1 = 1 + cos120o +
cos240o = 0.
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Agora, sobre o eixo−y: proj−→e2
−→
AB+proj−→e2
−−→
BC+proj−→e2
−→
CA =
−→
0 ⇒ −−→BC.−→e2 −→e2 + −→CA.−→e2 −→e2 =−→
0 ⇒ (−−→BC.−→e2 + −→CA.−→e2 )−→e2 = −→0 . Mas, −−→BC.−→e2 = |−−→BC||−→e2 |cos30o = sen120o e −→CA.−→e2 =
|−→CA||−→e2 |cos150o = sen240o, portanto, −−→BC.−→e2 +−→CA.−→e2 = sen120o + sen240o = 0. >
Resposta Q10-
−→
OC = −2−→AB = −2(3, 6,−3) = (−6,−12, 6). Lembre-se sempre, e´ funda-
mental, que as coordenadas de C sa˜o obtidas (emprestadas) das coordenadas de
−→
OC, desde que
O = (0, 0, 0). Assim C = (−6,−12, 6). >
Resposta Q11- Basta procurar por B = A + a−→v . Enta˜o |−→AB| = |a||−→v | indica a = ± 7
11
e
servem B = (
93
11
,
75
11
,
97
11
) ou B = (− 5
11
,− 9
11
,
13
11
). >
Resposta Q12- Basta determinar C = (x, y, z) tal que
−→
AB.
−→
AC = (−11, 2, 4).(x − 10, y −
1, z) = −11x + 2y + 4z + 108 = 0. Uma soluc¸a˜o (existe uma infinidade) dessa equac¸a˜o de
primeiro grau nas inco´gnitas x, y, e z e´ C = (2, 5,−24).
Nota. Observe que e´ poss´ıvel pedir que o aˆngulo reto esteja em C, o que leva a
−→
CA.
−−→
CB =
(x− 10, y − 1, z).(x + 1, y − 3, z − 4) = x2 + y2 + z2 − 10x− 3y − 4z − 7 = 0, bem mais dif´ıcil
de se calcular. >Resposta Q13- Muito fa´cil, B = (5, 1,−1) e C = (17, 13, 11) formam −−→BC = (12, 12, 12) de
norma d(B,C) = 12
√
3. Um ponto D que equidista de B e C e´ o ponto me´dio de (B,C), ou
seja, D = B +
1
2
−−→
BC = (11, 7, 5). Mas, existem muito mais, na˜o e´? >
Resposta Q14- A ide´ia e´ considerar C = A + a−→v , para algum escalar a, de sorte que−→
AC.
−−→
CB = 0. Ora, C = (−1 + 6a, 5 + 9a, 4 − 2a),−→AC = (6a, 9a,−2a) e −−→CB = (5 − 6a,−2 −
9a,−6 + 2a), de modo que −→AC.−−→CB = 41a2 + 24a = (41a + 24)a = 0. As soluc¸o˜es poss´ıveis sa˜o
a = 0 e a = −24
41
, sendo que a = 0 indica C ≡ A sem sentido. Enta˜o, C = (−185
41
,−11
41
,
212
41
).
>
Resposta Q15- A ide´ia e´ usar
−−→
BC ∧ −−→BD = (9, 11,−6) para dar direc¸a˜o para −→AP , isto e´,−→
AP = (9, 11,−6) e P = A + (9, 11,−6) = (14, 15,−3). >
Resposta Q16- Com A e −→r ficam definidos os pontos X = A + m−→r = (4 + m, 1−m, 1 +
m),∀m ∈ R. E com B e −→s , os pontos Y = B+n−→s = (9−4n, 2+n, 2−2n),∀n ∈ R. Perguntar
por um ponto comum significa investigar se existem m e n tais que (4 + m, 1 −m, 1 + m) =
(9− 4n, 2 + n, 2− 2n), isto e´,
4 + m = 9− 4n
1−m = 2 + n
1 + m = 2− 2n
Resolvendo o sistema de equac¸a˜o se chega a m = −3 e n = 2, o que leva ao ponto (1, 4,−2)
comum.
Nota. Geometricamente falando, X = A + m−→r = (4 + m, 1 −m, 1 + m) sa˜o os pontos de
um reta r, e Y = B + n−→s = (9− 4n, 2 + n, 2− 2n) sa˜o os pontos de uma reta s. Ocorre enta˜o
que (1, 4,−2) e´ a intersec¸a˜o entre r e s. >
Resposta Q17- −→a ∧−→b .−→c = (8,−2,−32).(1,−2, 3) = −84 e −→a .−→b ∧−→c = (5, 4, 1).(−10,−8,
−2) = −84.
Interpretac¸a˜o geome´trica. −→a ,−→b e−→c L.I. sa˜o considerados como gerando um paralelep´ıpedo,
em analogia ao fato de dois vetores L.I. geraram um paralelogramo. −→a ∧−→b e´ ortogonal a` ’base’
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do paralelep´ıpedo e S = |−→a ∧ −→b | e´ a a´rea da ’base’. A ’altura’ do paralelep´ıpedo e´ o nu´mero
h = |proj−→a ∧−→b −→c | = |−→c ||cosα|. Note enta˜o que |−→a ∧
−→
b .−→c | = |−→a ∧−→b ||−→c ||cosα| = |−→a ∧−→b |h =
Sh e, assim, −→a ∧ −→b .−→c determina (em mo´dulo) o volume do paralelep´ıpedo. >
Resposta Q18- Lembre-se sempre que as coordenadas de A no sistema de coordenadas (O′, �)
sa˜o as coordenadas de
−−→
O′A = (5, 4, 6). E as coordenadas de A no sistema de coordenadas (O, �)
sa˜o as de
−→
OA! Claro que
−−→
OO′ = (−2, 1, 3), portanto −→OA = −−→OO′ + −−→O′A = (3, 5, 9) e, portanto,
A = (3, 5, 9). >
Resposta Q19- A distaˆncia estudada e´ igual a` norma de
−→
AB = (−3, 1,−4), isto e´,√
(−3)2 + 12 + (−4)2 = √26 (aqui entra o fato da base do sistema de coordenadas ser a
canoˆnica e, enta˜o, valer o teorema de Pita´goras estendido para R3).
As novas coordenadas de A sa˜o as de
−−→
O′A =
−→
OA−−−→OO′ = (1, 2, 1)− (6, 10,−1), e as novas
coordenadas de B, as de
−−→
O′B =
−−→
OB +
−−→
OO′ = (−2, 3,−3) − (6, 10,−1). Da´ı, a distaˆncia entre
A e B e´ a norma de
−→
AB =
−−→
O′B − −−→O′A = (−2, 3,−3) − (6, 10,−1) − [(1, 2, 1) − (6, 10,−1)] =
(−3, 1,−4), isto e´,
√
(−3)2 + 12 + (−4)2 = √26 (aqui entra o fato da nova base ser ainda a
canoˆnica). >
Resposta Q20- Claro que, no sistema canoˆnico, vale
−→
AB = (7, 1, 6)− (−1, 2, 4) = (8,−1, 2).
As novas coordenadas de A sa˜o as de
−−→
O′A = (u, v, w)ϕ = u(3, 2, 1)+v(1, 3, 4)+w(4, 2,−1) =
(3u+v+4w, 2u+3v+2w, u+4v−w)�, mas tambe´m
−−→
O′A =
−→
OA−−−→OO′ = (−1, 2, 4)− (2, 4, 9) =
(−3,−2,−5)�. Portanto, e´ preciso resolver o sistema de equac¸o˜es
3u + v + 4w = −3
2u + 3v + 2w = −2
u + 4v − w = −5
ou passar para a notac¸a˜o matricial, isto e´,

−3−2
−5

 =

3 1 42 3 2
1 5 −1



uv
w

. Assim,

uv
w

 =


11
9
−17
9
10
9
−4
9
7
9
−2
9
−5
9
11
9
−7
9



−3−2
−5

 ⇒ A = (−49
9
,
8
9
,
28
9
). Para B,
−−→
O′B = (7, 1, 6)− (2, 4, 9) =
(5,−3,−3) e enta˜o

uv
w

 =


11
9
−17
9
10
9
−4
9
7
9
−2
9
−5
9
11
9
−7
9



 5−3
−3

 ⇒ B = (76
9
,−35
9
,−37
9
).
Portanto,
−→
AB = (
76
9
,−35
9
,−37
9
)− (−49
9
,
8
9
,
28
9
) = (
125
9
,−43
9
,−65
9
).
Nota. Observe que, com as novas coordenadas, os vetores sa˜o escritos por meio de treˆs
vetores que na˜o sa˜o ortogonais dois-a-dois, logo a norma de
−→
AB = (
125
9
,−43
9
,−65
9
) na˜o e´ igual
a
√
(
125
9
)2 + (−43
9
)2 + (−65
9
)2 =
√
2411! >
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