Geometria Analitica UERJ FEN lista 1 vetores

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Geometria Anal´ıtica com Ca´lculo Vetorial
Vetores
Questa˜o 1. Se−→a = 2−→e1−−→e2+−→e3 ,−→b = −→e1+3−→e2−2−→e3 ,−→c = −2−→e1+−→e2−3−→e3 e−→d = 3−→e1+2−→e2+5−→e3 ,
determine a, b, c ∈ R tais que −→d = a−→a + b−→b + c−→c .
Questa˜o 2. Dados −→a = (3, 2,−1),−→b = (6,−3, 5) e −→c = (0,−4,−2), calcule:
1) −→a + 1
2
−→c − 3−→b .
2) −1
4
(5−→a − 2−→b ).
3) −→a .−→c .
4) −→a ∧ −→b .
Questa˜o 3. Encontre um vetor unita´rio paralelo a` resultante de −→a = (2, 4,−5) e −→b = (1, 2, 3).
Questa˜o 4. Calcule (2−→e1 − 3−→e2 ).[(−→e1 +−→e2 −−→e3 ) ∧ (3−→e1 −−→e3 )].
Questa˜o 5. Sendo −→u = (4,−3, 2),−→v = (1,−1, 1) e −→w = (2, 5, 1), verifique se 2−→u + 5−→v e
3−→u − −→v + 2−→w sa˜o L.D. ou L.I., usando (1) somente produto interno e (2) somente produto
vetorial.
Questa˜o 6. Dados −→u = (1, 5, 3),−→v = (6,−3, 7) e −→w = (0,−4, 12), encontre um vetor −→a tal
que −→a +−→u seja ortogonal a −→v +−→w .
Questa˜o 7. Considere −→a = (1, x,−(2x + 1)),−→b = (x, x− 1, 1) e −→c = (x,−1, 1).
1) Determine o valor nume´rico de x, de modo que se tenha −→a .−→b = (−→a +−→b ).−→c .
2) Determine o aˆngulo de −→a +−→b com −→a −−→b .
3) Determine o aˆngulo formado por −→e3 e (−→a +−→b ) ∧ (−→a +−→c ).
Questa˜o 8. Calcule o valor de y ∈ R sabendo que −→a = (2, y, 1) e −→b = (4,−2,−2) sa˜o ortogo-
nais. Calcule tambe´m a inclinac¸a˜o de −→a ∧ −→b com relac¸a˜o a` vertical.
Questa˜o 9. Ache a projec¸a˜o de −→u = −→e1 − 2−→e2 +−→e3 sobre −→v = 4−→e1 − 4−→e2 + 7−→e3 .
Questa˜o 10. Dado −→v = 4−→e1 + 2−→e2 − 5−→e3 , determinar (1) o aˆngulo formado com cada um
dos vetores da base canoˆnica (2) a norma de cada uma das projec¸o˜es sobre cada um daqueles
vetores.
Questa˜o 11. Determine a direc¸a˜o, o sentido e a norma de proj−→
w
4−→u +3proj−→
w
−→v no caso em que−→u = (−1, 2, 3),−→v = (2,−4,−3) e −→w = (3, 1, 2).
Questa˜o 12. Verifique que a projec¸a˜o de −→v = (3, 6,−2) sobre:
1) a reta de −→e1 e´ (3, 0, 0),
2) a reta de −→e2 e´ (0, 6, 0),
3) a reta de −→e3 e´ (0, 0,−2),
4) o plano de −→e1 e −→e2 e´ (3, 6, 0),
5) o plano de −→e1 e −→e3 e´ (3, 0,−2),
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 1 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
6) o plano de −→e2 e −→e3 e´ (0, 6,−2).
Memorize enta˜o as regras: a projec¸a˜o sobre a direc¸a˜o de um dos vetores canoˆnicos manda
zerar as coordenadas dos dois outros vetores, e a projec¸a˜o sobre o plano de dois vetores canoˆnicos
manda zerar a coordenada do outro vetor.
Questa˜o 13. 1) Se todas as coordenadas de um vetor em R3 sa˜o contra´rias (sinal oposto) a`s
coordenadas de outro vetor, enta˜o o pro´prio vetor esta´ em sentido contra´rio.
2) Se todas as coordenadas de dois vetores sa˜o contra´rias a`s coordenadas de dois outros
vetores, o produto vetorial na˜o se altera.
3) Podem-se combinar dois vetores de normas diferentes para que se tenha resultante nula?
E treˆs vetores?
Questa˜o 14. Encontre um vetor perpendicular ao plano gerado por −→u = (12,−1,−2) e −→v =
(3, 4, 3) e que tenha norma 6.
Questa˜o 15. Calcule a a´rea limitada por −→u e −→v sabendo que |−→a | = 6, |−→b | = 5, a(−→a ,−→b ) = 30o
e
2−→u +−→v = −→a −−→b
−→u − 2−→v = −→a +−→b
Questa˜o 16. Determine a a´rea do triaˆngulo definido por −→u = (4,−1,−2) e −→v = (5, 4, 3).
Questa˜o 17. A figura mostra um prisma hexagonal regular inclinado, onde (A,B) ∼ (O,P ),
(C,D) ∼ (O,Q) e (E,F ) ∼ (O,R).
Q
.
.
O
P
.
R.
A
.
C
.
.
B
.
D
. E
. F
1e 2e
3e
1) O que representa
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR?
2) Sabendo que
−→
OP = (1, 3, 2),
−→
OQ = (−2, 1, 3) e −→OR = (2,−2, 2), use operac¸o˜es vetoriais
para determinar
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR.
3) Qual e´ o co-seno do aˆngulo de inclinac¸a˜o do prisma com relac¸a˜o a −→e3?
4) Qual o valor da a´rea projetada pelo hexa´gono regular sobre o plano de −→e1 e −→e2?
Questa˜o 18. Sejam −→r = −→p ∧ (−→m.2−→n )2−→q ,−→m = (1,−1,−1),−→n = (4, 3, 2),−→p = (−1, 2,−1) e−→q = (−2, 1, 1).
1) Determine |−→r |.
2) Encontre um representante com origem (5, 6, 1) para um vetor que e´ ortogonal a −→r .
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Questa˜o 19. Determine |−→u .1
3
−→v −→w −−→u ∧ 1
4
−→
k |, sabendo que
1) −→u = (4,−4, 2),
2) −→v = −1
2
proj−→
e1
−→u + proj−→
e2
−→u + proj−→
e3
2−→u ,
3) −→w e´ tal que −→w .−→e1 = 4,−→w .−→e2 = 1,−→w .−→e3 = 1,
4)
−→
k tem um representante com origem A = (7, 6, 5) e extremidade B = A− 3−→v + 2−→u .
Questa˜o 20. Considerando-se −→u = (1, 7, 2) e −→v = (3,−4,−1), calcule um vetor −→w ortogonal a−→u , de modo que −→u ∧ −→w = −→u ∧ −→v .
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R E S P O S T A S
Resposta Q1 - (3, 2, 5) = (2a,−a, a) + (b, 3b,−2b) + (−2c, c,−3c) estabelece o sistema de
equac¸o˜es
2a + b− 2c = 3
−a + 3b + c = 2
a− 2b− 3c = 5
que tem soluc¸a˜o a = −2, b = 1 e c = −3. Logo −→d = −2−→a +−→b − 3−→c . >
Resposta Q2 - 1) −→a + 1
2
−→c − 3−→b = (3, 2,−1) + 1
2
(0,−4,−2)− 3(6,−3, 5) = (−15, 9,−17).
2) −1
4
(5−→a − 2−→b ) = −1
4
(5(3, 2,−1)− 2(6,−3, 5)) = −1
4
(3, 16,−15) = (−3
4
,−4, 15
4
).
3) −→a .−→c = (3, 2,−1).(0,−4,−2) = 3.0 + 2.(−4)− 1.(−2) = −6.
4) −→a ∧−→b = det


−→e1 −→e2 −→e3
3 2 −1
6 −3 5

 = det
(
2 −1
−3 5
)
−→e1−det
(
3 −1
6 5
)
−→e2 +det
(
3 2
6 −3
)
−→e3 =
[2.5− (−3)(−1)]−→e1 − [3.5− 6(−1)]−→e2 + [3(−3)− 6.2]−→e3 = (7,−21,−21). >
Resposta Q3 - Serve
1
|−→a +−→b |
(−→a +−→b ) = (3
7
,
6
7
,−2
7
). >
Resposta Q4 - (2−→e1 − 3−→e2 ).[(−→e1 + −→e2 − −→e3 ) ∧ (3−→e1 − −→e3 )] = (2−→e1 − 3−→e2 ).[−→e1 ∧ (−−→e3 ) + −→e2 ∧
3−→e1 +−→e2 ∧ (−−→e3 )−−→e3 ∧ 3−→e1 ] = (2−→e1 − 3−→e2 ).[−(−→e1 ∧−→e3 ) + 3(−→e2 ∧−→e1 )− (−→e2 ∧−→e3 )− 3(−→e3 ∧−→e1 )] =
(2−→e1 − 3−→e2 ).[−−→e1 − 2−→e2 + 3−→e3 ] = 2−→e1 .(−−→e1 )− 3−→e2 .(−2−→e2 ) = −2(−→e1 .−→e1 ) + 6(−→e2 .−→e2 ) = 4. >
Resposta Q5 - 1) −→a = 2−→u + 5−→v = (13,−11, 9) e −→b = 3−→u − −→v + 2−→w = (15, 2, 7), logo
cosα =
−→a .−→b
|−→a | |−→b |
=
236√
103138
6= ±1 estabelece que α 6= 0o, 180o. Sa˜o vetores L.I.
2) −→a ∧−→b = det


−→e1 −→e2 −→e3
13 −11 9
15 2 7

 = (−95, 44, 191) 6= −→0 , logo −→a e −→b definem um paralelo-
gramo, logo sa˜o vetores L.I. >
Resposta Q6 - (−→a +−→u ).(−→v +−→w ) = (x+1, y +5, z +3).(6,−7, 29) = 6x− 7y +19z +28 = 0
indica que existe uma infinidade de possibilidades, uma das quais e´ −→a = (0, 4, 0)! >
Resposta Q7 - 1) −→a .−→b = x2 − 2x− 1 e (−→a +−→b ).−→c = x2 − 3x + 1, enta˜o x = 2.
2) Tem-se α = arccos
(−→a +−→b ).(−→a −−→b )
|−→a +−→b |.|−→a −−→b |
= arccos
24√
34
√
38
= 48, 1104o.
3) (−→a +−→b ) ∧ (−→a +−→c ) = det


−→e1 −→e2 −→e3
3 3 −4
3 1 −4

 = (−8, 0,−6), de sorte que o aˆngulo e´ igual
a arccos
(−8, 0,−6).−→e3
|(−8, 0,−6)| = 126, 8699
o. >
Resposta Q8 - −→a .−→b = 6− 2y = 0 e y = 3. −→a ∧ −→b = det


−→e1 −→e2 −→e3
2 3 1
4 −2 −2

 = (−4, 8,−16).
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O aˆngulo com −→e3 e´ igual a arccos (−4, 8,−16).
−→e3
|(−4, 8,−16)| = 150, 7941
◦, de modo que a inclinac¸a˜o
com relac¸a˜o a` vertical e´ igual a 29,2059◦. >
Resposta Q9 - proj−→
v
−→u =
−→u .−→v
|−→v |2
−→v = 19
9
(4,−4, 7) = (76
9
,−76
9
,
133
9
). >
Resposta Q10 - 1) a(−→v ,−→e1 ) = arccos 4√
45
= 53, 3957o, a(−→v ,−→e2 ) = arccos 2√
45
= 72, 6539o,
a(−→v ,−→e3 ) = arccos− 5√
45
= 138, 1897o.
2) |proj−→
e1
−→v | = |
−→v .−→e1 |
|−→e1 |2 = 4, |proj
−→
e2
−→v | = 2 e |proj−→
e3
−→v | = 5. >
Resposta Q11 - A resultante e´ o vetor proj−→
w
(4−→u + 3−→v ) = (2,−4, 3).(3, 1, 2)|(3, 1, 2)|2 (3, 1, 2) =
4
7
(3, 1, 2) de mesma direc¸a˜o e sentido de −→w , e de norma4
√
14
7
. >
Resposta Q12 - 1) proj−→
e1
−→v =
−→v .−→e1
|−→e1 |2
−→e1 = 3(1, 0, 0) = (3, 0, 0).
2) proj−→
e2
−→v = −→v .−→e2 −→e2 = 6(0, 1, 0) = (0, 6, 0).
3) proj−→
e3
−→v = −→v .−→e3 −→e3 = −2(0, 0, 1) = (0, 0,−2).
4) Pensando em (1), (2) e (3), segue que −→v = 3−→e1 +6−→e2 −2−→e3 = proj−→e1−→v −→e1+ proj−→e2−→v −→e2+
proj−→
e3
−→v −→e3 . Assim, a projec¸a˜o sobre o plano de −→e1 e −→e2 (perpendicular a −→e3 ) e´ proj−→e1−→v −→e1+
proj−→
e2
−→v −→e2 = 3(1, 0, 0) + 6(0, 1, 0) = (3, 6, 0).
5) A projec¸a˜o sobre o plano de −→e1 e −→e3 e´ proj−→e1−→v −→e1+ proj−→e3−→v −→e3 = 3(1, 0, 0)− 2(0, 0, 1) =
(3, 0,−2).
6) A projec¸a˜o sobre o plano de −→e2 e −→e3 e´ proj−→e2−→v −→e2+ proj−→e3−→v −→e3 = 6(0, 1, 0)− 2(0, 0, 1) =
(0, 6,−2). >
Resposta Q13 - 1) Sendo −→u = (a, b, c) e −→v = (−a,−b,−c), enta˜o, obviamente, −→v =
(−a,−b,−c) = −(a, b, c) = −−→u .
2) Sejam −→a = (a, b, c),−→b = (d, e, f),−→c = (−a,−b,−c) e −→d = (−d,−e,−f). Enta˜o
−→a ∧−→b = det


−→e1 −→e2 −→e3
a b c
d e f

 = (bf−ce,−(af−cd), ae−bd) e −→c ∧−→d = det


−→e1 −→e2 −→e3
−a −b −c
−d −e −f

 =
(bf − ce,−(af − cd), ae− bd).
3) −→a +−→b = −→0 implica −→a = −−→b , logo |−→a | = |−−→b | = |−→b |. Na˜o pode. E −→a +−→b +−→c = −→0
implica −→a = −−→b −−→c e |−→a | = | − −→b −−→c | = |−→b +−→c |. Pode. >
Resposta Q14 - Serve 6
1
|−→u ∧ −→v |
−→u ∧−→v = 6√
4390
(5,−42, 51) = ( 30√
4390
,− 252√
4390
,
306√
4390
).
>
Resposta Q15 - A ide´ia e´ escrever −→u ∧ −→v em termos de −→a ∧ −→b : resolvendo o sistema de
equac¸o˜es vetoriais nas inco´gnitas −→u e −→v , chega-se a −→u = 3
5
−→a − 1
5
−→
b e −→v = −1
5
−→a − 3
5
−→
b .
Portanto, −→u ∧−→v = (3
5
−→a −1
5
−→
b )∧(−1
5
−→a −3
5
−→
b ) = −10
25
(−→a ∧−→b ) e |−→u ∧−→v | = 10
25
|−→a ||−→b |sen30o =
6. >
Resposta Q16 -
1
2
|−→u ∧ −→v | = 1
2
|(5,−22, 21)| = 5
√
38
2
. >
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 5 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
Resposta Q17 - 1) Analisando-se a figura, constatamos algumas coisas:
a)
−→
OR e´ ortogonal a
−→
OP e a
−→
OQ, logo sua norma e´ igual a` altura do prisma.
b) |−→OP ∧−→OQ| e´ igual a` a´rea de um dos treˆs paralelogramos que formam uma base do prisma,
portanto |−→OP ∧ 3−→OQ| = 3|−→OP ∧ −→OQ| indica a a´rea da base do prisma.
Assim sendo,
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR = 3|−→OP ∧ −→OQ||−→OR| e´ igual ao volume do prisma.
2)
−→
OP ∧ 3−→OQ.−→OR = 3(−→OP ∧ −→OQ.−→OR) = 3(7,−7, 7).(2,−2, 2) = 126, que e´ o volume do
prisma.
3) A inclinac¸a˜o do prisma e´ o aˆngulo α associado a
−→
OR e −→e3 , logo cosα =
−→
OR.−→e3
|−→OR|
=
√
12
6
=
√
3
3
.
4) A a´rea projetada e´ igual a S|cosα| = |3(7,−7, 7)| |cosα| = 21√3
√
3
3
= 21. >
Resposta Q18 - 1) Primeiro, note que −→r = −→p ∧ (−→m.2−→n )2−→q = 4(−→m.−→n )(−→p ∧ −→q ).
Em seguida, −→m.−→n = −1, −→p ∧−→q = det


−→e1 −→e2 −→e3
−1 2 −1
−2 1 1

 = (3, 3, 3) e enta˜o −→r = −4(3, 3, 3).
Portanto, |−→r | = 12√3.
2) Notando que −→r ‖ (1, 1, 1), basta escolher −→s = (x, y, z) tais que −→s .(1, 1, 1) = x+y+z = 0,
digamos −→s = (1, 1,−2). Um representante (A,B) de −→s e´ tal que A = (5, 6, 1) e B = A +−→s =
(5, 6, 1) + (1, 1,−2) = (6, 7,−1). >
Resposta Q19 - Claro que −→v = −1
2
(4, 0, 0) + (0,−4, 0) + (0, 0, 4) = (−2,−4, 4). Claro
tambe´m que −→w = (4, 1, 1).
Quanto a
−→
k , e´ o´bvio que coincide com
−→
AB = −3−→v + 2−→u = (14, 4,−8).
Tambe´m e´ bem fa´cil verificar que −→u .−→v = 16 e −→u ∧ −→k = (24, 60, 72).
Portanto, |−→u .1
3
−→v −→w −−→u ∧ 1
4
−→
k | = |16
3
(4, 1, 1)− 1
4
(24, 60, 72)| = |(46
3
,−29
3
,−38
3
)| = √489.
>
Resposta Q20 - A ide´ia e´ decompor −→v como a soma −→x +−→w , em que −→x ‖ −→u e −→w ⊥ −→u , ou
enta˜o obter −→w ortogonal a −→u e a −→u ∧ −→v .
1a opc¸a˜o. Escrevendo −→x = (a, b, c) e −→w = (m,n, p), tem-se −→x = r−→u = (r, 7r, 2r), −→w .−→u =
m + 7n + 2p = 0 e −→x +−→w = (a + m, b + n, c + p) = (3,−4,−1). Enta˜o, m = 3− a = 3− r, n =
−4− b = −4− 7r, p = −1− c = −1− 2r e 3− r + 7(−4− 7r) + 2(−1− 2r) = 0, logo r = −1
2
e −→w = (7
2
,−1
2
, 0).
2a opc¸a˜o. Primeiro, note que −→u ∧ −→v = (1, 7,−25) tem norma √675. Assim,
−→w .−→u = m + 7n + 2p = 0
−→w .−→u ∧ −→v = m + 7n− 25p = 0
|−→u ∧ −→w | = |−→u ||−→w |sen90o =
√
54|−→w | =
√
675
Das duas primeiras equac¸o˜es, e´ o´bvio que p = 0 e m = −7n. A terceira indica que |−→w |2 =
m2 + n2 = 50n2 =
25
2
, logo n = ±1
2
.
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 6 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
Duas respostas poss´ıveis: −→w = (−7
2
,
1
2
, 0) e −→w = (7
2
,−1
2
, 0). Usando a primeira, obte´m-se
−→u ∧ −→w = (−1,−7, 25) = −(−→u ∧ −→v ) e enta˜o a resposta e´ −→w = (7
2
,−1
2
, 0). >
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 7 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1