DEE Caracterizacao da Carga

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO 
ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ 
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA – DETEC 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – EGE 
 
Aula 01 
Caracterização e Previsão de Carga 
 
Disciplina: Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 
Prof. Moises M. Santos 
moises.santos@unijui.edu.br 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 2 
1. Demanda 
1.1 Definições Básicas 
• Demanda – Compreende a carga média consumida uma instalação, ou 
sistema, em um intervalo de tempo especificado. 
 
• Tempo de Integralização – Período de tempo no qual a demanda é 
calculada. 
– No Brasil, para fins de faturamento as distribuidoras de energia 
utilizam um tempo de integralização de 15 minutos. 
 
• A demanda pode ser dada em kilowatts, kilovars, kilovoltamperes, ou 
em ampéres. 
 
 
 
 
1. Demanda 
1.2 Curva de Carga 
• A figura a seguir apresenta a variação da demanda diária de um dado 
sistema (curva de carga) . 
– A seleção do tempo total e ∆t é arbitrária. 
– A carga é expressa em P.U. do valor de pico da demanda. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 3 
1. Demanda 
1.3 Classificações 
• Máxima Demanda – A máxima demanda de uma instalação ou sistema é 
a maior de todas as demandas registradas durante um período de tempo 
especificado. 
– É fundamental especificar o período em analisado (dia, semana, mês, ano). 
– Impõe as condições mais severas de aquecimento e queda de tensão. 
 
• Demanda Diversificada (demanda coincidente) - A demanda 
diversificada de um dado conjunto de cargas, num dado instante de 
tempo, é a soma das demandas individuais naquele instante de tempo. 
 
 
– A demanda máxima, em via de regra, não corresponde a soma das demandas 
máximas individuas dos consumidores. 
– Normalmente, nem todos os consumidores tem sua demanda máxima de 
consumo no mesmo instante de tempo. 
 
 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 4 



ni
idiv tDtD
,1
11 )()(
(1) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.1 Fator de Diversidade/Coincidência 
• Fator de Diversidade – Define-se como fator de diversidade do conjunto 
de carga como a relação entre a soma das demandas máximas das cargas 
e a demanda máxima do conjunto. 
 
 
 
– O fator de diversidade é adimensional e >=1. 
 
• Fator de Coincidência - É o inverso do fator de diversidade. 
 
 
 
– O fator de coincidência é adimensional e <=1. 
 
 
 
 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 5 
max,
,1
max, )(
div
ni
i
div
D
tD
f






ni
i
div
div
coinc
tD
D
f
f
,1
max,
max,
)(
1
(2) 
(3) 
• Fator de Contribuição – O fator de contribuição de cada uma das cargas 
do conjunto é definido pela relação, em cada instante de tempo, entre a 
demanda da carga considerada e sua demanda máxima. 
 
• Fator Contribuição - Máxima Demanda Do Conjunto 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 6 


 
ni
icontidivconj fDDD
,1
,max,max,max






ni
i
ni
iconti
cont
D
fD
f
,1
max,
,1
,max,
2. Fatores Típicos de Carga 
2.2 Fator de Contribuição 
(4) 
(5) 
DEMANDA 
HORA 
DO DIA 
ILUMINAÇÃO 
PÚBLICA 
CARGA 
RESIDENCIAL 
CARGA 
INDUSTRIAL 
0-1 50 70 200 
1-2 50 70 200 
2-3 50 70 200 
3-4 50 70 350 
4-5 50 80 400 
5-6 - 95 500 
6-7 - 90 700 
7-8 - 85 1000 
8-9 - 85 1000 
9-10 - 85 1000 
10-11 - 95 900 
11-12 - 100 600 
DEMANDA 
HORA DO 
DIA 
ILUMINAÇÃO 
PÚBLICA 
CARGA 
RESIDENCIAL 
CARGA 
INDUSTRIAL 
12-13 - 130 900 
13-14 - 90 1100 
14-15 - 80 1100 
15-16 - 80 1000 
16-17 - 100 800 
17-18 - 420 400 
18-19 50 1450 400 
19-20 50 1200 350 
20-21 50 1000 300 
21-22 50 700 200 
22-23 50 200 200 
23-24 50 50 200 
• Um sistema elétrico de potência supre uma pequena cidade que conta com três 
circuitos , que atendem, respectivamente, cargas industriais, residenciais e de 
iluminação pública. A curva diária de demanda (kW) de cada um dos circuitos é 
apresentada na tabela a seguir (Exemplo – 2.2 – pag. 29 - Kagan, Oliveira, Robba, 2005). 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.3 Exemplo 1 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 7 
• Determine 
 
– A) As curvas de carga dos três tipos de consumidores e a do conjunto 
 
– B) As demandas máximas individuais e do conjunto 
• R. - Dmax IP – 50kW Dmax Res – 1450kW – Dmax Ind. – 1100kW 
• Dmax conj – 1900kW 
– C) A demanda máxima diversificada 
• R. – fdiv-1.368 – fcoinc-0,731 
– D) O fator de contribuição dos três tipos de consumidores para a 
demanda máxima do conjunto. 
• R. – fcont-IP-1 - fcont-RES=1 – fcont-IND-0,364 
 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 8 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.3 Exemplo 1 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.3 Exemplo 1 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 9 
• Fator de Demanda – O fato de demanda de um sistema, ou de parte de 
um sistema, ou de uma instalação, num intervalo de tempo τ, é a relação 
entre sua demanda máxima, no intervalo de tempo considerado, e a carga 
nominal ou instalada total do elemento considerado. 
 
 
 
 
• Dmáx. – demanda máxima do conjunto de n cargas, no intervalo de tempo 
considerado. 
 
• Dnom,i – potência nominal da carga. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 10 



ni
inom
dem
D
D
f
,1
,
max
2. Fatores Típicos de Carga 
2.4 Fator de Demanda 
(6) 
• Fator de Utilização – O fator de utilização de um sistema, num 
determinado período de tempo, é a relação entre a demanda máxima do 
sistema, no período τ , e a sua capacidade. 
 
 
 
 
• Dmáx – demanda máxima do sistema no período τ. 
• Csist – capacidade do sistema. 
• Futil – fator de utilização. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 11 
.
max
sist
util
C
D
f 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.5 Fator de Utilização 
(7) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.5 Fator de Utilização 
• Considere o sistema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
• Determine: 
– O Fator de demanda individual dos transformadores; 
• R. fdem-tr1-1,067 – tr2-0,8 - tr3=1,250 
– O fator de demanda do conjunto; 
• R. Fdem-conj – 1,128 
– Se o tronco do alimentador tem capacidade de 1,2MVA, qual o fator de 
utilização. 
• R. fu=0,4934 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 12 
• Fator de carga – Define-se como fator de carga de um sistema, ou de 
parte de um sistema, como sendo a relação entre as demandas médias e 
máximas do sistema, correspondentes a um período de tempo τ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ε – energia consumida (kwh) 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 13 
máxmáx
média
ac
D
dttd
D
D
f


)(
arg
   máxmáxmáxmédiaac DDD
D
f
 )( período no Absorvida Energia
arg
 

Média Demanda
arg máxac Df
2. Fatores Típicos de Carga 
2.6 Fator de Carga 
(8) 
(10) 
(9) 
• Fator de Perdas – Define-se, para um sistema, ou parte de um sistema, o 
fator de perdas como sendo a relação entre os valores médios, Pmédio, e 
máximo, Pmáx, da potência dissipada em perdas, num intervalo de tempo 
determinado (τ). 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 14 





máx
perdas
p
dttp
p
p
f
)(
 emmáx 
 em média









máx
perdas
pp
p
f
 intervalo no perdidaEnergia
máx
 média
 

Média Perda
máxperdasperdas Pf
2. Fatores Típicos de Carga 
2.7 Fator de Perdas 
(11) 
(12) 
(13) 
• Exemplo – Fator de perdas – Um alimentador trifásico, operando na tensão 
nominal de 22kV, supre um conjunto de cargas, cuja a curva de carga a dada a 
seguir (Exemplo – 2.2 – pag. 29 - Kagan, Oliveira, Robba, 2005). 
 
 
 
 
 
 
 
• Dados da linha 
– Comprimento da linha, 10km 
– A impedância série da linha 1,0 +j2,0 ohms km 
• Pede-se o fator de perdas e a energia dissipada na linha. 
– R. fp=0,295 – perdas-2.343,178kWh 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 15 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Exemplo 2 
• Solução - fator de Perdas 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 16 
 2)(3)( tIRtpp 
LU
tS
tI
3
)(
)( 
2
3
)(
3)( 








L
p
U
tS
Rtp
 
 2
2
)()( tS
U
R
tp
L
p 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Exemplo 2 
• Solução - fator de Perdas – simplificação 
 
 
 
 
 
• Observa-se que o fator de carga independe da resistência do trecho e da 
tensão nominal, sendo função apenas da curva de carga. 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 17 
iiip tDkt 
2
, )(
2max
,1
2
,1
2
max
,1
2
,1
2
max
,1
2
D
tD
tDk
tDk
tDk
tDk
f
ni
ii
ni
i
ni
ii
ni
i
ni
ii
perdas


















           
295,0
244000
1800210003400062800515007800 222222
2
max
,1
2







 D
tD
f
ni
ii
perdas
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Exemplo 2 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Correlação entre fator de carga e fator de perdas 
• Assumindo-se um consumidor com a seguinte curva de carga: 
 
 
 
 
 
 
 
• Nessas condições o fator de carga é dada por: 
 
 












T
t
D
D
T
t
DT
tTDtD
D
T
tTDtD
f ac
1
1
21
1
1211
1
1211
arg 1
Demanda 
Tempo 
D1 
D2 
t1 T 
12
11
11 0
DD
TttDD
ttDD



 para 
 para 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 18 
(14) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Correlação entre fator de carga e fator de perdas 
• Assumindo-se que no intervalo T, a tensão e a fator de potência se 
mantenham constantes e que o sistema seja trifásico equilibrado, tem-
se: 
 
• Em que o valor K, em função da natureza da demanda, está representado 
por: 
 
 
 
 
 
• Assim, o fator de perdas pode ser representado por: 
)()( 2 tDKtp 
 
 













T
t
D
D
T
t
DT
tTDtD
DK
T
tTDKtDK
f perdas
1
2
2
1
2
1
1
2
21
2
1
2
1
1
2
21
2
1
1
1
2
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 19 
(15) 
(16) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Correlação entre fator de carga e fator de perdas 
• A seguir, exprime-se os valores de tempo e da demanda em por unidade, 
utilizando-se T1 e D1 como valores de base. 
 
 
 
 
• Num sistemas de coordenadas cartesianas, as curvas dos fatores de carga 
e perda são retas. 
T
t
t 1´ 
    ''''''arg 11 dtdtdtf ac 
1
2´
D
D
d      2''2''2'' 11 dtdtdtf perdas 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 20 
(17) 
(18) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Correlação entre fator de carga e fator de perdas 
• Três casos particulares podem ser destacados: 
– A) Quanto t’ tende a 1, ou d’ tende a 1: 
• Representa uma curva de carga constante 
 
 
– B) Quanto d’ tende a 0: 
• Representa uma curva de carga constante durante um período e demanda nulo 
após esse período. 
 
 
– C) Quanto t’ tende a 0: 
• Representa uma curva de carga com uma ponta de duração muito curta. 
 
  11 '''arg  dtdf ac   11
2''2'  dtdf perdas
  ''''arg 1 tdtdf ac    '2''2'1 tdtdf perdas 
  ''''arg 1 ddtdf ac    2'2''2'1 ddtdf perdas 
2
argacperdas ff 
1arg  acperdas ff
´
arg tff acperdas 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 21 
(19) 
(20) 
(21) 
2. Fatores Típicos de Carga 
2.8 Correlação entre fator de carga e fator de perdas 
• O valor do fator de perdas deve estar compreendido entre os limites (A e 
B) e, quaisquer outros valores dos parâmetros t’ e d’, deve estar 
corresponderá ao valor interno a esse intervalo, assegurado por uma 
equação do tipo: 
 
– Onde k apresenta valor entre 0 e 1 
  2argarg 1 acacperdas fkkff 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 22 
(22) 
3. Curva de Permanência da Carga 
3.1 Aspectos Gerais 
• Representa o tempo de duração dos diferentes patamares de demanda. 
 
• A curva de permanência de carga permite estabelecer durante quanto 
tempo a demanda é não menor que determinado valor. 
 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 23 
• Para a construção da curva de permanência de carga o procedimento a 
ser seguido resume-se nos seguintes passos: 
– 1º Ordenam-se, em ordem decrescente, as demanda verificadas no período; 
 
– 2º Determina-se, para cada valor de demanda, o tempo durante o qual ela 
ocorreu; 
 
– 3º Acumulam-se, na ordem das demanda descrentes, os tempos de 
ocorrência de carga uma delas. 
 
– 4º Procede-se à construção da curva de carga estabelecendo-se o valor dos 
patamares de demanda para cada um dos intervalos de tempo acumulados. 
3. Curva de Permanência da Carga 
3.2 Procedimento para construção da C.P.C. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 24 
3. Curva de Permanência da Carga 
3.2 Distribuição de Probabilidade 
• Nesse caso, o tempo é dado em P.U. do tempo total analisado. 
– Tempo total analisado por ser diário, semanal, mensal ou anual. 
 
Carga < 0,18 pu – probabilidade 0 de ocorrência 
Carga > 0,18 pu – probabilidade 1 de ocorrência 
Carga < 0,40 pu – probabilidade 0,4 de ocorrência 
Carga > 0,40 pu – probabilidade 0,6 de ocorrência 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 25 
3. Curva de Permanência da Carga 
3.3 Exemplo 
• A demanda medida, durante um semana, de um consumidor comercial está 
apresentada na tabela a seguir, onde as demanda estão kW e o fator de potência 
mantém constante nos intervalos (Exemplo – 2.8 – pag. 42 - Kagan, Oliveira, 
Robba, 2005). 
 
 
 
 
 
 
• Pede-se: 
– A curva de duração semanal desse consumidor; 
– A energia absorvida semanalmente pelo consumidor; 
• R. 94.500kWh 
– Os fatores semanais de carga e de perdas. 
• R. Fc-0,375 – fp=0,2558 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 26 
4. Correlação Energia e Demanda 
4.1 Curvas Típicas de Carga 
• Curvas típicas de carga é uma metodologia muito utilizada para o 
tratamento de carga; 
 
• As curvas típicas de carga podem representar os hábitos de consumo de 
determinadas classes de consumidores, classificados por faixa de 
consumo. 
– Por exemplo, consumidores da classe residencial, com consumo mensal de 0 a 
100kWh, devem ter certo padrões de consumo que permitam a sua 
representação ou algumas, ou uma única, curva típica de carga. 
 
• As curvas típicas de carga são representadas em valores p.u., com base na 
demanda média. 
 
• Permitem avaliar as curvas de carga, em W, desde que seja conhecidasua 
classe e faixa de consumo. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 27 
4. Correlação Energia e Demanda 
4.1 Curvas Típicas de Carga 
• Considerando-se um dado consumo mensal de um consumidor, em kWh, 
determina-se a sua demanda média, Dmed em kW, através de: 
 
 
• Assim, o valor de demanda D(t), em qualquer qual instante de tempo pode ser 
obtida pela expressão: 
 
– d(t) – representa a demanda, em p.u., da curva típica de carga. 
 
kWdtdD iméd
7203024
1
720
.



 
medDtdtD  )()(
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 28 
(23) 
(24) 
4. Correlação Energia e Demanda 
3.1 Curvas Típicas de Carga 
• A figura a seguir ilustra uma curva de carga diária, com intervalo de demanda de 1 
hora, dada em p.u., para consumidores residenciais, na faixa de consumo mensal 
entre 200 e 400kWh. 
 
• Assim, para um consumidor residencial com consumo mensal de 388kWh, sua 
demanda máxima as 20 hs será: 
kWtD 022,1
720
388*86,1
)( 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 29 
• A expansão de um sistema de forma econômica, no lugar certo e no 
tempo devido depende da estimativa adequação da carga futura, em 
amplitude e localização; 
 
• Previsão de carga feita de modo CONSERVATIVO: 
– tem-se que a capacidade instalada se esgotará em pouco tempo, 
acarretando em problemas de continuidade de serviço, regulação de 
tensão e até mesmo de racionamento de energia. 
 
• Previsão feita de modo BASTANTE OTIMISTA: 
– Pode conduzir a instalação de um sistema com capacidade excessiva; 
– O investimento só terá retorno em um prazo muito longo. 
 
5. Previsão de Carga 
5.1 Aspectos Gerais 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 30 
• Os principais métodos de previsão aplicados a sistemas elétricos são 
baseados em: 
– Modelos Econométricos 
– Tendências de Crescimento 
 
• Modelos Econométricos – baseados em modelos econômicos em que 
todas as variáveis são mensuráveis e definidas matematicamente; 
 
• Tendências de Crescimento – é o estudo do passado de um evento 
temporal de modo que seu comportamento futuro pode ser estimado por 
extrapolação (Análise de Regressão). 
 
 
5. Previsão de Carga 
5.1 Aspectos Gerais 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 31 
• Qualquer evento ou processo que é função do tempo, como carga do 
sistema de potência, é dito temporal. 
 
• Tais processo podem ser decompostos em: 
– Tendência básica 
– Variações sazonais - ocorrem ao longo do ano, por questões climáticas; 
– Variação cíclicas - ocorrem em períodos mais longos, de três, quatro anos, 
devido a problemas climáticos (cheias, secas, etc) quanto econômicos; 
– Variações aleatórias - acontecem no dia-a-dia por conta de feriados, greves, 
etc. 
• As três ultimas têm valores médios de longo prazo nulos; 
 
• No caso específico da demanda de energia elétrica, normalmente, são 
modelados apenas os picos de carga, dado que o sistema deve ser 
dimensionado para atender os mesmos. 
 
5. Previsão de Carga 
5.2 Análise de Regressão 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 32 
• Análise de regressão baseia-se no princípio de que com base nos valores 
históricos de um evento se pode definir uma função matemática para 
descrevê-lo; 
 
• A partir dessa função, pode-se é possível estimar o comportamento futuro 
do evento. 
 
• Qualquer função y=f(x) pode se ajustar a um conjunto de pontos (x1,y1), 
(x2,y2),... (xn,yn). 
 
• O critério de ajuste é o dos mínimos quadrados, segundo o qual uma 
curva se ajusta a um conjunto de pontos quanto a soma dos quadrados 
dos erros em cada ponto é mínimo. 
5. Previsão de Carga 
5.3 Funções de Regressão 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 33 
5. Previsão de Carga 
5.3 Funções de Regressão 
• Equação a ser minimizada: 
 
 
• Quanto E² é o mínimo, então a curva f(x) se ajusta à seqüência. 
 
 
• E² é um indicador de qualidade. Quanto menor seu valor, mais fino é o ajuste, de 
modo que esse indicador pode ser utilizando critério para selecionar entre duas 
curvas, qual a que melhor se ajusta a seqüência. 
  2
2
1
)( Exfy
m
i
ii 

 ),),.....(,(),,( 2211 mm yxyxyxS 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 34 
(25) 
(26) 
5. Previsão de Carga 
5.3 Funções de Regressão - Exemplo 
• Ajustar uma reta aos pontos dados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• O problema consiste em determinar os parâmetros da função linear 
f(x)=ax+b que minimizam o E². 
 
 
 
 
Dados do Exemplo 
xi yi F(xi) F(xi)-yi 
0 4,66 b b-4,66 
1 4,20 a+b a+b-4,20 
2 3,47 2a+b 2a+b-3,47 
3 2,32 3a+b 3a+b-2,32 
       22222 32,2347,3220,466,4),(  babababbaE
baxxf )(
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 35 
5. Previsão de Carga 
5.3 Funções de Regressão - Exemplo 
• As condições de minimização de E² são: 
 
 
 
• Resolvendo-se, simultaneamente, as equações acima, tem-se a=-0,78 e 
b=4,83, que representam E²=0,12. 
02,361228
2



ba
a
E
05,29812
2



ba
b
E
2 
3 
4 
5 
1 2 3 
x 
y 
825,4775,0)(  xxf
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 36 
5. Previsão de Carga 
5.3 Funções de Regressão - Exemplo 
• Ajustar uma parábola f(x)=ax²+bx+c, aos ponto dados no exercício 
anterior. 
– Agora a função a ser minimizada é dada por: 
 
• Derivando a equação acima em relação a cada um dos parâmetros e 
igualando-se as derivadas parciais a zero se obtém o sistema de equações 
lineares a seguir: 
65,143718
05,93718
48,1971849



cba
cba
cba
       2222 32,23947,32420,466,4),,²(  cbacbacbaccbaE
65,4
257,0
172,0



c
b
a
2 
3 
4 
5 
1 2 3 
x 
y 
6525,42575,01775,0)( 2  xxxf
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 37 
• Generalizando o exemplo anterior (ajuste de uma reta), tem-se 
 
 
• Os parâmetros da função linear f(x)=ax+b que minimizam o E² são dados 
por 
 
 
• Reorganizando-se as equações (28) e (29) acima,tem-se 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 38 
5. Previsão de Carga 
5.4 Regressão Linear 
  
2
1
10
2 


m
i
ii yxaaE
 



 m
i
ii yxaa
a
E
1
10
0
2
02   



 m
i
iii xyxaa
a
E
1
10
1
2
02



m
ii
i
m
ii
i yxama 10



m
i
ii
m
i
i
m
i
i yxxaxa
11
2
1
1
0
2
11
2
11
2
11
0





























m
i
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
m
i
i
m
i
i
xxm
yxxxy
a
2
11
2
111
1


















m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
xxm
yxyxm
a
(27) 
(28) (29) 
(30) 
(31) 
(32) 
(33) 
• Isolando a0 e a1, obtém-se 
 
 
• Os parâmetros da função linear f(x)=ax+b que minimizam o E² são dados 
por 
 
 
 
• Reorganizando-se as equações acima,tem-se 
 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 39 
5. Previsão de Carga 
5.4 Regressão Linear 
  
2
1
10
2 


m
i
ii yxaaE
 



 m
i
ii yxaa
a
E
110
0
2
02   



 m
i
iii xyxaa
a
E
1
10
1
2
02



m
ii
i
m
ii
i yxama 10



m
i
ii
m
i
i
m
i
i yxxaxa
11
2
1
1
0
(34) 
(35) (36) 
(37) 
(38) 
• O problema de ajustar um curva exponencial f(y)=b0A
b1,x ,pelos pontos (xi, yi), 
i=1,2,....,n pode ser transformado em ajustar uma reta logA(b0)+b1 x pelos pontos 
(xi, logA(yi)). 
– Os coeficiente são b0=A
a0 e b0= a1. 
• Os coeficientes a0 e a1 são os coeficientes da regressão linear, obtidos pelas 
equações (32) e (33), com valores de yi substituídos por logA(yi)). 
• Procedimento análogo pode ser adotado para transformar as regressões 
logarítmicas e potenciais em regressão linear, conforme sintetizado na quadro 
abaixo. 
 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 40 
5. Previsão de Carga 
5.4 Regressão Linearizáveis 
• Os coeficientes do polinômio de ordem n que se ajuste aos m pontos 
dados (xi, yi), i=1,....,m, como se pode demonstrar, se terminam 
resolvendo-se o sistema de equações lineares: 
 
 
 
 
 
• onde: 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 41 
5. Previsão de Carga 
5.5 Regressão Polinomial 
nnnnnn
nn
nn
BaCaCaC
BaCaCaC
BaCaCaC







1100
11111010
00101000



m
k
ji
kij xC
1
(39) 
(40) 



m
k
k
i
ki yxB
1
(41) 
• O uso de erro quadrático mínimo é um indicador de qualidade ajuste quando se 
deseja comparar duas ou mais funções. 
 
• Para obter um indicador mais efetivo, normalmente, se utiliza o coeficiente de 
correlação, dado por 
 
 
 
 
 
• Quanto maior for o valor absoluto da correlação, independente do, sinal melhor o 
ajuste. 
• Se a R=0 não existe correlação alguma entre os valores dados e os estimados 
• Se -0,95<R<0,95 invalidam o ajuste para fins práticos. 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 42 
5. Previsão de Carga 
5.6 Coeficiente de Correlação 
 













m
i
i
m
i
i
yy
xfy
R
1
2
_
1
2
1)(
1



m
i
iy
m
y
1
_ 1
Valor médio da 
amostra 
(42) 
(43) 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 43 
5. Previsão de Carga 
5.6 Coeficiente de Correlação 
22/05/2013 Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica 44 
Referências 
• KAGAN, N.;OLIVEIRA C.C.B.; ROBBA, E.J. Introdução aos Sistemas de 
Distribuição de Energia Elétrica. São Paulo: Edgard Blücher, 2005. 
• SOUZA, B. A. Distribuição de Energia Elétrica. Campina Grande: UFPB, 
1997. 
• CIPOLI, J. A. Engenharia da Distribuição. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1993. 
• Gönen, T. Electric Power Distribution System Engineering. Missouri: 
McGraw-Hill, 1986.