4 Probabilidade

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ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Probabilidade 
ENG09004 – 2014/2 
Prof. Alexandre Pedott 
pedott@producao.ufrgs.br 
 
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Alguns anos atrás, um homem ganhou na loteria 
nacional espanhola com um bilhete que terminava com o 
numero 48. 
Orgulhoso por seu “feito”, ele revelou a teoria que o 
levou a fortuna. “Sonhei com o numero 7 por 7 noites 
consecutivas”, disse, “e 7 vezes 7 e 48.” 
Leonard Mlodinow 
O andar do bêbado 
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PROBABILIDADE 
Gerolamo Cardano (Milão, Itália: 1501–1576) 
Nobre, Médico e Famoso 
Apaixonado por jogos de azar e apostas 
“Livro de Jogos de Azar” (jogos de dados) 
Primeiro trabalho a desenvolver princípios estatísticos da 
probabilidade. 
Cardano define a probabilidade de um evento como sendo a 
razão entre o número de resultados favoráveis e o número de 
possíveis resultados. 
Análise Combinatória 
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PROBABILIDADE 
Galileo Galilei (1564–1642) 
Relacionou os números possíveis em jogos de dados em 
“Sobre o jogo de dados”. 
Estabeleceu as primeiras noções de erros em observações 
astronômicas – como representar erros nos resultados 
observados. 
Apontou características da distribuição normal: simetria em 
torno do “valor verdadeiro”. 
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PROBABILIDADE 
Blaise Pascal (1623-1662) 
Inventor: máquina de calcular; barômetro de mercúrio; seringa. 
Provou a existência do vácuo. 
Em 1654 trocou correspondências com Pierre Fermat(1601-1665) 
onde estabeleceram um método sistemático para calcular 
probabilidades. 
Em 1655, aos 32 anos, internou-se 
monastério em Paris. 
As correspondências de Pascal e 
Fermat foram publicadas em 1679, em 
Toulouse, sendo hoje consideradas a 
origem do desenvolvimento da teoria 
matemática da probabilidade. 
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PROBABILIDADE 
Suponha que em um grupo de mil atletas 10% tenham usado 
medicamentos proibidos. Um teste antidoping é aplicado no 
grupo. A eficiência do teste é de 50%. A taxa de falso positivo é 
de 1%. 
Se o teste de um atleta desse grupo der positivo, qual a 
probabilidade de que ela tenha ingerido medicamentos proibidos? 
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PROBABILIDADE 
Suponha que uma mãe tenha dois filhos pequenos. Você 
sabe que um deles é uma menina. Qual a probabilidade de que 
o outro também seja? 
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PROBABILIDADE 
A Teoria das Probabilidades estuda os fenômenos aleatórios. 
Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não 
pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir, sob 
condições similares, o resultado não será sempre o mesmo. 
Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório que 
possa ser executado pelo homem. 
 
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4.1. Espaço Amostral e Eventos 
Os resultados de um experimento aleatório podem ser 
representados em um espaço amostral ao qual chamaremos 
de S. 
O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou 
contínuo, finito ou infinito. 
A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional onde 
aparecem os eventos A e B. 
Como pode ser visto, os 
eventos A e B estão 
completamente contidos em 
S e apresentam interseção, 
ou seja, a sua ocorrência 
simultânea é possível. 
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4.1. Espaço Amostral e Eventos 
Evento: É um conjunto de resultados possíveis do 
experimento. É um subconjunto de S. 
Exemplo: 
Em uma linha de produção, peças são fabricadas em série. 
Conte o nº de peças defeituosas em cada 200 peças 
produzidas. S = {0, 1, 2, ..., 200}; 
Eventos: 
A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10}; 
B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11, 12, 
13, 14, 15}; 
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Usando o símbolo  para união e o símbolo  para interseção, 
podemos definir os eventos C e D: 
C = A  B  conjunto de valores que pertence a A ou B ou a 
ambos; 
D = A  B  conjunto de valores que pertence simultaneamente a 
A e B; 
Usaremos o símbolo  para representar o conjunto vazio, e uma 
barra sobre a letra, por exemplo A, para representar o 
 complemento de A, isto é, o conjunto 
 de pontos que não pertence a A. 
4.2. Operações com Eventos 
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Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma 
função P tal que P represente a probabilidade que x 
pertença a E. Isto é: 
 
Alternativamente, pode ser enunciado: 
Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma 
função P tal que P represente a probabilidade de ocorrência 
de E. Isto é: 
 P(E) = Pr(ocorrência do evento E) 
4.3. Definição de Probabilidade 
E)(xPr P(E) 
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Essa função P deve satisfazer algumas propriedades: 
1) 0  P(E)  1 
2) Se E1 e E2 são tais que E1  E2 = , 
 tem-se que P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) 
3) A probabilidade de ocorrência de um ponto qualquer do 
espaço amostral S deve ser igual a 1: P(S)=1 
Essas propriedades são importantes para derivar várias regras 
de cálculo de probabilidades. 
4.3. Definição de Probabilidade 
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Para determinar a probabilidade de um evento, usaremos o 
ponto de vista das freqüências relativas: 
 
 P(E) = m(E) / m(S) 
 
onde m(E) e m(S) representam as medidas de E e S. 
 
4.3. Definição de Probabilidade 
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Eventos mutuamente exclusivos  E1  E2 =  . 
Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das 
probabilidades é dada pela generalização da propriedade 2. 
 P(E1  E2 .... Ek ) =  P(Ei ) 
Se os eventos E1 e E2 não são mutuamente exclusivos, mas 
são independentes, pode-se demonstrar que: 
 P(E1  E2 ) = P(E1 ) + P(E2 ) - P(E1  E2 ) 
4.4. Soma de Probabilidade 
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Para o caso de três eventos, a generalização anterior é 
P(E1  E2  E3 ) = P(E1 ) + P(E2 ) + P(E3 ) - [P(E1  E2 ) + 
 + P(E1  E3 ) + P(E2  E3 )] + P(E1  E2  E3 ) 
4.4. Soma de Probabilidade 
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4.4. Soma de Probabilidades 
Exemplo: Um digestor químico é alimentado por material que 
vem de dois tanques independentes. 
O material do tanque 1 pode ser uma concentração de ácido 
que varia uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material 
do tanque 2 pode apresentar uma concentração de base entre 
5 e 10. 
Sejam os seguintes eventos: 
A: material do tanque 1 com conc. superior a 6 
B: material do tanque 2 com conc. inferior a 6 
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4.4. Soma de Probabilidades 
P(A) = m(A) / m(S) 
P(A) = 10 / 20 = 0,5 
P(A) = 1 - P(A) = 0,5 
P(B) = 4 / 20 = 0,20 
P(B) = 1 - P(B) = 0,80 
P(A  B) = 2/20 = 0,10 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 = 0,50 + 0,20 - 0,10 = 0,60 
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4.4. Soma de Probabilidades 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, e 
sabendo que o processo apresenta problemas quando a 
concentração de ácido supera a concentração de base, calcule 
a probabilidade disso acontecer. 
 
Solução: 
 
P(E1) = m(E1) / m(S) 
P(E1) = [(3x3)/2] / 20 = 0,225 
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A probabilidade de um evento A foi definida como a medida 
do conjunto A dividida pela medida de S. 
Poderíamos, então, escrever P(A/S) para indicarde forma 
explícita que a probabilidade de A está referida a todo o 
espaço amostral S. Assim: 
 P(A) = P(A/S) = m(A) / m(S) 
4.5. Produto de Probabilidade 
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4.5. Produto de Probabilidades 
Algumas vezes, no entanto, estaremos interessados em calcular 
a probabilidade de um evento E1 referida a um sub-espaço de 
S, por exemplo, ao espaço definido por E2: 
 P(E1/E2) = m (E1  E2) / m(E2) 
Dividindo-se numerador e denominador por m(S): 
 P(E1/E2) = [m (E1  E2) / m(S)] / [m(E2) / m(S)] 
 P(E1/E2) = P(E1  E2) / P(E2) 
Essa expressão define a probabilidade de E1 dado E2 ou 
referida a E2. A partir dessa expressão, obtém-se: 
 P(E1  E2) = P(E1/E2) . P(E2) (eq. 2) 
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Da mesma forma, poderíamos escrever: 
 P(E2/E1) = P(E1  E2) / P(E1) 
e então obter: 
 P(E1  E2) = P(E2/E1) . P(E1) (eq. 3) 
 As expressões (2) e (3) são análogas e definem a 
probabilidade do produto, ou seja, da ocorrência simultânea 
de E1 e E2. 
Para três eventos tem-se: 
 P(E1  E2  E3)= P(E1) . P(E2/E1) . P(E3/E1  E2) 
ou expressões equivalentes usando P(E2) ou P(E3). 
 
4.5. Produto de Probabilidades 
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4.5. Produto de Probabilidades 
Exemplo: Para o exemplo do digestor químico calcule a 
probabilidade da concentração de ácido superar a 
concentração de base quando sabe-se que a concentração de 
ácido é superior a 6,0. 
Solução: O que se pede é a P(E1) dado A. Essa probabilidade 
é: 
 
0,40
10/20
4/20
m(A)/m(S)
A)/m(S)m(E
/A)P(E 11 


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Dois eventos, E1 e E2 são ditos independentes se: 
 P(E1 /E2 ) = P(E1 ) 
nesse caso, 
 P(E1  E2 ) = P(E1 ) . P(E2 ) 
Para k eventos independentes, tem-se: 
 P(E1  ....  Ek ) = P P(Ei ) 
4.6. Eventos Independentes 
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4.6. Eventos Independentes 
Exemplo: Um construtor se submete a licitação para duas 
obras independentes, A e B. Baseado na experiência, os 
engenheiros estimam que a probabilidade de ganhar a obra A 
é 0,25; e a probabilidade de ganhar a obra B é 0,33. Pede-se: 
 
a) Estimar a probabilidade de ganhar ao menos uma das duas 
obras: 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 
 = 0,25 + 0,33 - (0,25 . 0,33) = 0,5 
 
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4.6. Eventos Independentes 
b) Estimar a probabilidade de ganhar a obra A, sabendo-
se que o construtor irá ganhar ao menos uma obra: 
 
 
 
Note que P(A  (A  B)) é obviamente o mesmo que A, 
já que A está completamente contido em (A  B). 
 
50,0
50,0
25,0
B)P(A
B))(AP(A
=B)P(A/A 



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4.6. Eventos Independentes 
c) Se o construtor submete-se a outra licitação para uma obra 
C, com probabilidade de ganhar igual a 0,25, qual a 
probabilidade de ganhar ao menos uma obra? 
 
P(A  B  C) = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25 . 0,33 + 0,25 . 0,25 + 
0,33 . 0,25) + (0,25 . 0,33 . 0,25) = 0,625 
 
Note que para o caso de eventos independentes vale também: 
P(ABC) = 1 - 
 = 1 - (0,75 . 0,67 . 0,75) = 0,625 
)CBAP( 
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Seja que no campo amostral S exista um evento B que 
consiste de k componentes mutuamente exclusivos: 
 B = B1  B2  ...  Bk ; Bi  Bj =  
4.7. Probabilidade Total 
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E dado que no campo do evento B exista um outro evento A 
que pode ou não ocorrer simultaneamente com todos os 
componentes de B. Nesse caso, podemos escrever: 
 A = (A  B1 )  (A  B2 )  .....  (A  Bk ) 
Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma total 
pelos componentes B1....Bk do evento B, os quais são 
mutuamente exclusivos. Então usando-se (1) e (2) tem-se: 
4.7. Probabilidade Total 
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4.7. Probabilidade Total 
P(A) = P(A  B1 ) +....+ P(A  Bk ) 
P(A) = P(B1 ) . P(A/B1 ) +....+ P(Bk ) . P(A/Bk ) 
 P(A) =  P(Bi ) . P(A/Bi ) 
 
 
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Exemplo 
Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por 
dia; desse total, 600 Kg são adquiridos do fornecedor B1 e 
400 Kg do fornecedor B2. 
Assim B = B1  B2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia 
O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabe-
se que B1 e B2 têm as probabilidades de 0,03 e 0,01, 
respectivamente, de serem defeituosos. 
4.7. Probabilidade Total 
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Chamando A o evento material defeituoso tem-se: 
 A = (A  B1 )  (A  B2 ) 
Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B1 ou B2. 
Então A pode ser calculado a partir de: 
 P(B1 ) = 0,6; P(B2 ) = 0,4 
 P(A/B1 ) = 0,03; P(A/B2 ) = 0,01 
 P(A) = P(B1 ).P(A/B1 ) + P(B2 ).P(A/B2 ) 
 P(A) = (0,6).(0,03) + (0,4).(0,01) = 0,018 + 0,004 = 0,022 
Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso, 
vindo de B1 ou B2, é igual a 0,022. 
4.7. Probabilidade Total 
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O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade 
posterior de um evento Bj , P(Bj /A), baseada em nova 
informação referente ao evento A e conhecendo-se a 
probabilidade anterior Bj , P(Bj ). 
Usando o conceito de probabilidade condicional, tem-se: 
 P(Bj /A) = P(Bj  A) / P(A) 
Como A está descrito em termos de B1 ,.....,Bk, tem-se o 
Teorema de Bayes: 
 P(Bj /A) = P(Bj  A) /  P(Bj ) . P(A/Bj ) 
 P(Bj /A) = P(Bj ) . P(A/Bj ) / [  P(Bj ) . P(A/Bj )] 
4.8. Teorema de Bayes 
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Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade 
posterior de um evento Bj , em função de um evento A e da 
probabilidade anterior de Bj. 
Exemplo: 
Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua 
espessura for superior a 7,5 cm. A experiência prévia indica 
que 90% das seções construídas são aceitas. 
 
4.8. Teorema de Bayes 
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A medição da espessura é feita usando um aparelho ultra-
sônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há uma 
probabilidade de 80% que a conclusão baseada neste 
aparelho seja correta. 
Pede-se: 
a) Qual a probabilidade que a seção esteja bem construída e 
seja aceita na inspeção? 
 
4.8. Teorema de Bayes 
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Solução: 
Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm. 
P(A) = ? 
Seja B: O aparelho indica que a seção está bem construída, ou 
seja, indica que e > 7,5 cm. P(B)=0,90 
Ainda, P(A/B) = 0,80 
Assim, o que se pede é a P(A  B): 
 P(A  B) = P(B) . P(A/B) = (0,90) . (0,80) = 0,72 
b) A probabilidade que a seção não esteja bem construída e 
seja aceita: 
P(A B) P(B).P(A / B) (0,90).(0,20) 0,18   
4.8. Teorema de Bayes 
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c) A probabilidade que a seção seja aceita quando se sabe que 
a seção está bem construída. 
Essa probabilidade pode ser estimada usando o Teorema de 
Bayes. O que se pede é a P(B/A). 
Como somente podemos dizer que a seção está bem 
construída baseado nas medições temos: 
Assim, 
 P(A) = (0,90) . (0,80) + (0,10) . (0,20) = 0,74 
A (B A) (B A)   
P(A) P(B) . P(A / B) P(B) . P(A / B) 
P(B / A)
P(B) . P(A /B)
P(A)
(0,90) . (0,80)
0,74
0,973  
4.8. Teorema de Bayes 
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Como se vê, a probabilidade anterior P(B) = 0,90 é agora 
modificada para P(B/A) = 0,973 depois de se saber o 
evento: a seção está bem construída. 
4.8. Teorema de Bayes 
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Exemplo 
Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente 
automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% 
sofrem ferimentos graves, enquanto que a incidência é de 50% 
entre as vítimas que não utilizam cinto de segurança. Estima-se 
que em 60% a porcentagem dos motoristas que usam o cinto. A 
polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em 
que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a 
probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do 
acidente. A pessoa que dirigia o outro carro não sofreu 
ferimentos graves. Calcule a probabilidade dela estar usando o 
cinto no momento do acidente. 
 
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Exemplo 
Dados 
Evento (C): “Usar cinto de segurança” 
P(C) = 0,6 Probabilidade de usar cinto 
P(NC) = 0,4 Probabilidade de não usar cinto 
 
Evento (F) : “Sofrer ferimento grave” 
P(F/C) = 0,1 Probabilidade de sofrer ferimentos em 
 um acidente, mesmo utilizando cinto de 
 segurança 
P(F/NC) = 0,5 Probabilidade de sofrer ferimentos em 
 um acidente, quando não está utilizando 
 cinto de segurança 
 
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Exemplo 
Logo teremos: 
 
P(NF/C) = 0,9 Probabilidade de não sofrer 
 ferimentos em um acidente, 
 mesmo utilizando cinto de 
 segurança 
 
P(NF/NC)=0,5 Probabilidade de não sofrer 
 ferimentos em um acidente, não 
 utilizando cinto de segurança 
 
 
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Exemplo 
a) Probabilidade do motorista ferido estar utilizando cinto no 
momento do acidente. 
 
%07,232307,0
26,0
06,0
2,006,0
06,0
)5,04,0()1,06,0(
1,06,0
)/(
)/().()/().(
)/().(
)/(
)/().(
)/().(
)/(










FCP
NCFPNCPCFPCP
CFPCP
FCP
BAPBP
BAPBP
ABP
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Exemplo 
b) Probabilidade do motorista que não estava ferido estar 
utilizando cinto no momento do acidente. 
 
%97,72729729,0
74,0
54,0
2,054,0
54,0
)5,04,0()9,06,0(
9,06,0
)/(
)/().()/().(
)/().(
)/(
)/().(
)/().(
)/(










NFCP
NCNFPNCPCNFPCP
CNFPCP
NFCP
BAPBP
BAPBP
ABP
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4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não 
tem elementos em comum, ou seja, se eles não podem 
ocorrer simultaneamente. E um grupo de eventos é dito 
coletivamente exaustivo se eles esgotam todos os resultados 
possíveis para o experimento em questão. Dê um exemplo de 
eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo. 
 
4.2. Qual a probabilidade de adivinhar o dia da semana em 
que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição você fez para 
calcular essa probabilidade? 
Exercícios 
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4.3. Seja P(A)= 0,30 e P(B)=0,80 e P(AB)=0,15. Pede-se: 
a) A e B são mutuamente exclusivos? 
b) Determine 
c) Determine P(AB) 
 
4.4. Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A)=0,52 e 
P(B)=0,27. Pede-se: 
a) A e B são coletivamente exaustivos? 
b) Determine P(AB) 
c) Determine P(AB) 
Exercícios 
)BP(
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4.5. As falhas de diferentes equipamentos são independentes 
uma das outras. Se há três equipamentos e as suas respectivas 
probabilidades de falha em um determinado dia são 1%, 2% e 
5%, indique: 
a) a probabilidade de todos os equipamentos falharem em um 
mesmo dia 
b) de nenhum falhar 
4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de inspeção em 3 
etapas. A probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser 
detectado em uma dessas etapas é de aproximadamente 25%. Com 
base nessa informação, calcule a probabilidade de um lote 
defeituoso passar sem ser detectado por todas as 3 etapas. 
Exercícios 
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4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar uma peça 
sem defeitos. Supondo que a fabricação de peças sucessivas 
constitua eventos independentes, calcule as seguintes 
probabilidades: 
a) de duas peças em seqüência serem defeituosas 
b) de dez peças em seqüência sem defeitos 
4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para estamparia. O 
histórico dessas máquinas revela que elas produzem 
respectivamente 1%, 2% e 3% de defeituosos. Um inspetor 
examina uma matriz e verifica que ela está perfeita. Sabendo que 
cada máquina é responsável por 1/3 da produção total, calcule a 
probabilidade de ela ser produzida por cada uma das máquinas. 
Exercícios 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
4.9. Repita o exercício 4.8 para o caso em que o inspetor 
tivesse examinado a matriz e verificado que ela era 
defeituosa. 
 
4.10. Repita o exercício 4.8 para o caso em que as máquinas A, 
B e C fossem responsáveis, respectivamente, pelos seguintes 
percentuais da produção total: 20%, 40% e 40%. 
Exercícios 
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Exercícios 
4.11. Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z. 
Uma pesquisa de opinião revela que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7 
mil X e Y, 6 mil Z, 4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem X,Y e Z. 
Qual a probabilidade de que um habitante leia: 
a) pelo menos um jornal 
b) só um jornal 
c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z 
 
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Exercícios 
4.12. Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço 
quando acha que há pelo menos 25% de chance de encontrar 
petróleo. Ela perfura 4 poços, aos quais são atribuídas 
probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8. 
 a) Determine a probabilidade de nenhum poço produzir 
petróleo, com base nas estimativas da empresa. 
 b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem 
petróleo. 
 c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e 
0,7 produzirem petróleo?