Integração Númerica

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Integração Numérica
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Integral
O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. 
Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]
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A integral da função f(x) é representada por F(x)
Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada
Obter F(x) não é trivial. 
Nem sempre se tem a forma analítica da função a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função
Nestes casos, utilizamos a integração numérica
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Integração Numérica
A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes:
Regra dos trapézios
Regra de Simpson
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Regra dos trapézios
substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados
O problema fica resolvido pela integração de um polinômio
Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau
onde
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Integrando no intervalo [a,b] teremos
O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura
onde 
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Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos
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Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos
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Regra 1/3 de Simpson
podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2
Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:
x0 = a
x1 = x0 + h
x2 = x0 + 2h = b
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Regra 1/3 de Simpson
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Resolvendo L0
Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos:
X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h
X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h
X=x0->y=0 e X=x2->y=2
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Exemplo
Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson
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Regra 1/3 de Simpson Repetida
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Exercício
Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes
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