02 ANÁLISE DE DECISÃO

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Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
2. ANÁLISE DE DECISÃO 
 
Segundo o dicionário Michaelis Online: 
decisão 
de.ci.são sf 
1 Ação ou efeito de decidir ou decidir-se; determinação, resolução. 
2 Coragem, intrepidez. 
3 Resolução ou sentença após discussão ou exame 
prévio. 
 
 
Segundo Malczewski (1999) 
 
Decisões são necessárias quando uma oportunidade ou um problema existe, ou quando algo não é o que deveria ser 
ou, ainda, quando existe uma oportunidade de melhoria ou otimização. 
 
Decidir é posicionar-se em relação ao futuro. 
 
Quais decisões tomamos no nosso dia-a-dia? 
 
1. Qual curso de graduação (carreira) seguir? 
2. Em qual instituição de ensino superior (IES) cursar a graduação? 
3. Qual tema e professor orientador para a realização do TCC? 
4. Após formado, onde trabalhar? 
5. Fará Pós-Graduação? 
 
 
2.1. TEORIA DA DECISÃO 
 
2.1.1. Conceitos Fundamentais 
 
Alternativa 
 
As alternativas A1, A2, ..., An podem assumir valores: 
 Discretos: conjunto numerável 
 Contínuos: conjunto infinito 
 
Atributos 
 
São características de cada alternativa que permitem 
a escolha por parte do decisor. 
Estas características podem ser qualitativas ou 
quantitativas. 
 
Critérios de Decisão 
 
Os critérios são atributos com sentido de preferência 
(maximização ou minimização). 
 
Tipos de Decisões 
 
Dependem apenas da ação do decisor. 
Dependem do resto do mundo: 
 Não consciente: risco ou incerteza 
 Consciente: teoria dos jogos 
 
2.2. APOIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO 
 
Permite comparar as alternativas (discretas) por meio 
de atributos e compará-las, a fim de racionalizar o 
processo de escolha. 
 
2.2.1. Objetivos do AMD 
AMD não visa apresentar ao decisor uma solução 
para seu problema, elegendo uma única verdade 
representada pela ação selecionada. 
Visa sim apoiar o processo decisório pela 
recomendação de ações ou cursos de ações a quem 
vai tomar a decisão. 
 
Qualidade de Informação Disponível 
+ 
Tratamento Analítico Adequado 
 
2.2.2. Problemáticas Abordadas 
 
O resultado pretendido em um determinado problema 
de apoio a decisão pode ser identificado entre quatro 
tipos de problemáticas de referência: 
Problemática P.α 
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Tem como objetivo esclarecer a decisão pela escolha 
de um subconjunto tão restrito quanto possível, tendo 
em vista a escolha final de uma única alternativa. Este 
conjunto conterá as “melhores alternativas” ou as 
alternativas “satisfatórias”. O resultado pretendido é, 
portanto, uma escolha ou um procedimento de 
seleção. 
 
Problemática P.β 
Tem como objetivo esclarecer a decisão por uma 
triagem resultante da alocação de cada alternativa a 
uma categoria (ou classe). As diferentes categorias 
são definidas a priori com base em normas aplicáveis 
ao conjunto de alternativas. O resultado pretendido é, 
portanto, uma triagem ou um procedimento de 
classificação. 
 
Problemática P.γ 
Tem como objetivo esclarecer a decisão por um 
arranjo obtido pelo reagrupamento de todas ou parte 
(as mais satisfatórias) das alternativas em classes de 
equivalência. Essas classes são ordenadas de modo 
completo ou parcial, conforme as preferências. 
O resultado pretendido é, portanto, um arranjo ou 
procedimento de ordenação. 
 
 
 
2014 
Rank 
Empresa Local da Empresa 2013 
Rank 
1 Google Mountain View, CA 1 
2 Apple Cupertino, CA 2 
3 Unilever London, England 3 
4 Microsoft Redmond, WA 5 
5 Facebook Palo Alto, CA 6 
6 Amazon Seattle, WA 7 
7 Procter & Gamble Cincinnati, OH 4 
8 GE Fairfield, CT 14 
9 Nestle S.A. Vevey, Switzerland 11 
10 PepsiCo Purchase, NY 8 
 
Problemática P.δ 
Tem como objetivo esclarecer a decisão por uma 
descrição, em linguagem apropriada, das ações e de 
suas consequências. O resultado pretendido é, 
portanto, uma descrição ou procedimento cognitivo. 
 
 
 
Observação: As problemáticas não são independentes 
umas das outras. Em particular, a ordenação das 
alternativas, P.γ pode servir de base para resolver um 
problema P.α ou P.β . Na prática, muitos métodos, 
sobretudo aqueles desenvolvidos nos anos 70 e 
princípio dos anos 80, privilegiaram a problemática 
P.δ. 
 
2.2.3. Escolha Justa (Axiomas de Arrow) 
 
Propriedade 1: 
 
Transitividade, ou seja, se APB e BPC, então APC. 
 
Propriedade 2: 
 
O método deve conseguir colocar todas as 
alternativas em ordem. 
 
Propriedade 3: 
 
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Unanimidade, todas as alternativas concordam com a 
ordenação. 
 
Propriedade 4: 
 
Independência em relação a outras alternativas, ou 
seja, a posição do 1º colocado em relação ao 2º 
colocado, depende somente deles. 
 
Propriedade 5: 
 
Universalidade, ou seja, método que satisfaz todas as 
propriedades anteriores. 
 
Observação: Existe um método justo? 
O Método Ditador: processo multidecisor em que 
todos expressam sua opinião, mas apenas o líder é 
levado em consideração. Apenas este método 
consegue satisfazer os Axiomas de Arrow. 
 
2.3. MÉTODOS DE APOIO A DECISÃO 
 
2.3.1. Métodos Elementares 
 
Método da Dominância 
 
Visa retirar do conjunto todas as alternativas que 
foram dominadas. 
Seja duas alternativas A1 e A2, se A1 for melhor ou 
igual que A2 em todos os critérios, então A1 domina A2 
e A2 pode ser retirada do conjunto. 
 
Método Conjuntivo 
 
Classifica em duas classes: “aceitável” ou 
“inaceitável”. Pode-se estabelecer valores máximos ou 
mínimos para cada critério. 
 
2.3.2. Método Lexicográfico 
 
Ordenam-se os critérios por ordem de importância. A 
ordenação é feita pelo critério de maior importância, 
que no caso de empate, usa-se o segundo critério 
mais importante. 
Exemplo: Quadro de Medalhas Olimpíadas de 2016. 
 
 
2.3.3. Método de Borda 
O método de Borda também pode ser aplicado a 
situações que envolvam múltiplos critérios de 
avaliação. 
As alternativas são ordenadas de melhor para pior 
segundo cada critério. Cada alternativa recebe uma 
pontuação relacionada à sua posição (1º, 2º, ..., 
último) em cada critério analisado. 
A ordenação final é obtida por meio da soma da 
pontuação de cada alternativa. 
 
Observação: A ordenação final pode ser influenciada 
pela retirada de alternativas segundo os métodos da 
dominância e/ou conjuntivo. 
 
Exemplo: Escolha de um Automóvel 
 
Três alternativas: 
 (A1, A2 e A3) 
Seis critérios 
 (C1, C2, C3, C4, C5 e C6). 
 
 C1 
(Motor) 
C2 
(Ano) 
C3 
(Preço) 
C4 
(Estética) 
C5 
(Rodagem) 
C6 
(Estado) 
A1 1.6 2010 R$ 
15500,00 
Normal 121000 Bom 
A2 1.4 2013 R$ 
19000,00 
Bonito 50000 Razoável 
A3 1.0 2015 R$ 
27900,00 
Normal 15000 Muito 
Bom 
 
Aplicando os critérios: 
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 C1 
(Motor) 
C2 
(Ano) 
C3 
(Preço) 
C4 
(Estética) 
C5 
(Rodagem) 
C6 
(Estado) 
A1 1 3 1 2,5 3 2 
A2 2 2 2 1 2 3 
A3 3 1 3 2,5 1 1 
 
Ranking obtido: 
 
 Total Ranking 
A1 12,5 3º 
A2 12,0 2º 
A3 11,5 1º 
 
Foi possível verificar: 
 Critérios quantitativos e critérios qualitativos; 
 Critérios do tipo “quanto maior melhor”, ordem 
direta; 
 Critérios do tipo “quanto menor melhor”, 
ordem inversa. 
 
2.3.4. Método de Condorcet 
 
 Revolução Francesa 
 Iluminismo 
 França 
 Aplicado em comitês compostos por mais de 
um indivíduo (problemamultidecisor). 
Importância histórica 
Comparação por pares de alternativas, isto é, 
considera-se o número de critérios favorável a cada 
um para definir a preferência. Sua principal vantagem 
em relação ao método de Borda é o fato de não alterar 
a ordenação no caso da retirada de uma das 
alternativas, porém pode haver ciclos de 
intransitividade. 
Ideia central: Subordinação, dominação, superação. 
 
Paradoxo de Condorcet (Intransitividade) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não há ótimo de Pareto. 
Não há alternativa dominada. 
Não há maneira de ordenar as alternativas. 
 
 
Exemplo: Concurso de Animais 
Quatro animais: 
 (A, B, C e D) 
Três juízes: 
 (J1, J2 e J3) 
Cada juiz vota, individualmente, atribui notas aos 
animais adotando uma escala de 0 a 10. 
 
 J1 J2 J3 
A 7,5 8,0 1,5 
B 5,5 6,5 8,5 
C 4,0 2,0 6,0 
D 1,0 5,0 4,5 
 
Comparações Paritárias 
 
 A B C D 
A - APB APC APD 
B APB - BPC BPD 
C APC BPC - CPD 
D APD BPD CPD - 
 
Grafo de Subordinação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A – Ótimo de Pareto 
D – Sofre Dominância 
 
Ranking 
 
 Posição 
A 1º 
B 2º 
C 3º 
D 4º 
 
2.3.5. Método de Coppeland 
Usa a mesma matriz de adjacência que representa o 
grafo do método de Condorcet. 
A partir dela calcula-se a soma das vitórias menos as 
derrotas, em uma votação por maioria simples. 
As alternativas são então ordenadas pelo resultado 
dessa soma. 
O método de Coppeland alia a vantagem de sempre 
fornecer uma ordenação total (ao contrário do de 
Condorcet) ao fato de dar o mesmo resultado de 
Condorcet, quando este não apresenta nenhum ciclo 
de intransitividade. 
Quando esses ciclos existem, o método de Coppeland 
permite fazer a ordenação e mantém a ordenação das 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
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alternativas que não pertencem a nenhum ciclo de 
intransitividade. 
 
Exemplo: Seleção de Candidatos para uma Vaga de 
Emprego 
 C1 
(Iniciativa) 
C2 
(Conhecimento) 
C3 
(Cooperação) 
A1 2 4 4 
A2 1 4 2 
A3 5 5 3 
A4 3 3 4 
 
Escala de Avaliação: 
5 – Muito Bom 
4 – Bom 
3 – Neutro/Normal 
2 – Ruim 
1 – Muito Ruim 
 
Comparação Paritária para cada Critério 
 
C1 – Iniciativa 
 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - A1PA2 A3PA1 A4PA1 
A2 A1PA2 - A3PA2 A4PA2 
A3 A3PA1 A3PA2 - A3PA4 
A4 A4PA1 A4PA2 A3PA4 - 
 
C2 – Conhecimento 
 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - A1IA2 A3PA1 A1PA4 
A2 A2IA1 - A3PA2 A2PA4 
A3 A3PA1 A3PA2 - A3PA4 
A4 A1PA4 A2PA4 A3PA4 - 
 
C3 - Cooperação 
 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - A1PA2 A1PA3 A1IA4 
A2 A1PA2 - A3PA2 A4PA2 
A3 A1PA3 A3PA2 - A4PA3 
A4 A4IA1 A4PA2 A4PA3 - 
 
Matriz de Decisão 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - 2x0 1x2 1x1 
A2 0x3 - 0x3 1x2 
A3 2x1 3x0 - 2x1 
A4 1x1 2x1 1x2 - 
 
 
 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - A1PA2 A3PA1 A1IA4 
A2 A1PA2 - A3PA2 A4PA2 
A3 A3PA1 A3PA2 - A3PA4 
A4 A1IA4 A4PA2 A3PA4 - 
 
Colocando +1 quando é alternativa é preferida em 
relação a outro, -1 quando a outra alternativa é 
preferida em relação a atual e 0 quando há 
indiferença. 
 A1 A2 A3 A4 
A1 - +1 -1 0 0 
A2 -1 - -1 -1 -3 
A3 +1 +1 - +1 +3 
A4 0 +1 -1 - 0 
 
Ranking 
 
 Posição 
A1 2º Empate 
A2 4º 
A3 1º 
A4 2º Empate 
 
O candidato A3 deve ser contratado! 
 
2.3.6. Outros Métodos 
 
Método AHP (Analytic Hierarchy Process) 
 
A metodologia AHP foi criada por Thomas Saaty 
visando auxiliar na tomada de decisão e tem as 
seguintes virtudes: 
 é aplicada a problemas com múltiplos 
atributos ou critérios hierarquicamente 
estruturados; 
 analisa atributos quantitativos e qualitativos, 
incorporando a experiência e a preferência 
dos decisores; 
 ordena a importância dos atributos e das 
alternativas; 
 pode ser utilizada em situações complexas 
que exigem julgamentos subjetivos. 
É adequada para absorver e lidar com os julgamentos 
inconsistentes dos especialistas, sugerindo uma 
melhor avaliação do problema (Saaty, 1980; 1991). 
 
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Método UTA (Utilité Additive) 
O método UTA, desenvolvido por Jacquet-Lagreze e 
Siskos (1982), avalia as funções de utilidade aditiva 
que agregam múltiplos critérios, utilizando uma 
ordenação subjetiva das ações e uma avaliação 
multicritério das ações. Uma análise de pós 
otimização, utilizando programação linear, é utilizada 
para avaliar o conjunto de funções de utilidade. 
O método considera as bases da MAUT, pois assume 
a existência de uma função de utilidade aditiva. Ao 
mesmo tempo, considera algumas ideias da chamada 
Escola Francesa, por não considerar uma única 
função de utilidade, mas sim um conjunto de funções 
de utilidade, todas vistas como modelos consistentes 
das preferências a priori do tomador de decisão. 
Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment 
Analysis) 
A Análise de Envoltória de Dados (do inglês Data 
Envelopment Analysis – DEA) é uma ferramenta 
matemática para a medida de eficiência de unidades 
produtivas. Portanto, para que possamos estudá-la, 
torna-se necessário, primeiro, que saibamos o que é 
eficiência. Este é um conceito que muitas pessoas 
julgam ser intuitivo, mas que se presta a algumas 
confusões. O leitor, provavelmente, já terá usado 
expressões como “fulano é (ou não é) eficiente”, talvez 
sem se perguntar o que realmente isso quer dizer. 
 
Inputs
Outputs
 adeProdutivid 
 
ELECTRE I, II, Tri e IV 
A família ELECTRE é originária na escola francesa 
(por vezes chamada de escola européia), propõe um 
procedimento para redução do conjunto de 
alternativas explorando o conceito de dominância. São 
utilizados conceitos de Índice de Concordância para 
medir a vantagem relativa de cada alternativa sobre 
todas as outras e o Índice de Discordância para medir 
a relativa desvantagem. Segundo Gomes (1998), a 
noção central da família ELECTRE e de métodos 
assemelhadas, baseia-se na sobreclassificação 
(Outranking ou Surclassement). 
 
2.4. DECISÃO SOB INCERTEZA 
 
2.4.1. Definição do Problema 
 
Os resultados dependem dos cenários 
 
n21 SSS 
 












)S,a(v)S,a(v)S,a(v
)S,a(v)S,a(v)S,a(v
)S,a(v)S,a(v)S,a(v
a
a
a
nm1m1m
n22212
n12111
m
2
1





 
 
onde: 
ai – alternativas, onde i = 1,2,3, ..., m 
Sj – cenário, onde j = 1,2,3, ..., n 
v(ai, Sj) – resultado ou consequência associada a 
alternativa i e ao cenário j. 
 
Por quê sob Incerteza? 
 
O problema de decisão sob incerteza ocorre quando 
as probabilidades de ocorrência dos cenários não são 
conhecidas. 
 
2.4.2. Abordagens 
 
Regra Otimista 
 
A regra otimista consiste em admitir que o “resto do 
mundo” joga a favor do decisor. Para formular os 
problemas deve-se usar de duas estratégias: 
 Para lucros, deve-se analisar apenas os 
valores máximos das alternativas ai a partir dos 
valores máximos de v(ai, Sj). 
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  jiSa S,avmaxmax ji
 
 Para custos, deve-se analisar apenas os 
valores mínimos das alternativas ai a partir dos valores 
mínimos de v(ai, Sj). 
  jiSa S,avminmin ji
 
 
Regra Pessimista 
 
Baseia-se na atitude conservadora de decidir sob as 
priores condições possíveis. Para se formular os 
problemas, adota-se duas estratégias: 
 Estratégia MAXIMIN: Para lucro, considera-se 
a alternativa de maior valor dentre os piores cenários.Como os piores cenários neste caso, são aqueles que 
apresentam os menores lucros, então: 
  jiSa S,avminmax ji
 
 Estratégia MINIMAX: Para custo, considera-se 
a alternativa de menor valor dentre os piores cenários. 
Como os piores cenários neste caso, são aqueles que 
apresentam os maiores custos, então: 
  jiSa S,avmaxmin ji
 
 
Regra de Laplace 
 
Está baseado no princípio da razão insuficiente. 
Quando as probabilidades de ocorrência de cada 
cenário não são conhecidas, parte-se do princípio que 
todos os cenários possuem a mesma probabilidade de 
ocorrência. 
 
)S(P...)S(P)S(P n21 
 
 
Assim como os casos anteriores, há duas estratégias: 
 
 Caso Lucro 
 








n
1j
jia )S,a(v
n
1
max
i
 
 
 Caso Custo 
 








n
1j
jia )S,a(v
n
1
min
i
 
 
Regra de Hurwicz 
 
Esta regra introduz uma ponderação entre as regras 
otimista e pessimista. Defina-se 0 ≤ α ≤ 1 e se 
considere v(ai, Sj) considere para os casos de: 
 Lucro 
    jiSjiSa S,avmin)1(S,avmaxmax jji 
 
 Custo 
    jiSjiSa S,avmax)1(S,avminmin jji 
 
Faz-se uma espécie de análise de sensibilidade. 
 
Regra do Mínimo Arrependimento de Savage 
 
O critério de arrependimento de Savage aplica-se ao 
conservadorismo do critério minimax (maximin) pela 
substituição da matriz de retorno (ganho ou perda) 
v(ai, Sj) por uma matriz de perda (ou arrependimento) 
usando a seguinte transformação: 
 Para perdas 
  )S,a(vmin)S,a(v)S,a(r jijiji 
 
 Para ganhos 
  )S,a(v)S,a(vmax)S,a(r jijiji 
 
Exemplo 
 
O plano de urbanização de uma área residencial prevê 
a construção das infra-estruturas de saneamento 
básico que incluem o abastecimento de água e 
tratamento de esgoto. 
O projeto depende da população que irá residir na 
área, que depende da economia do setor. 
A matriz de ganhos com o projeto pode ser vista a 
seguir: 
 
4321 SSSS
 












450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1
 
a) Pela regra Otimista 
 
4321 SSSS
 












450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1







450
400
425
470
 
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A melhor opção é a alternativa 1, sob a perspectiva 
otimista. 
b) Pela regra Pessimista 
 
4321 SSSS
 












450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1







450
300
225
150
 
A melhor opção é a alternativa 4, sob a perspectiva 
pessimista. 
 
c) Pelo critério de Laplace 
 
 
4321 SSSS
 












450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1







0,450
0,325
5,312
0,310
 
A melhor opção é a alternativa 4, sob o critério de 
Laplace, uma vez que apresentou o maior valor 
médio. 
 
d) Pelo critério de Hurwicz 
 
    jiSjiSa S,avmin)1(S,avmaxmax jji 
 
 
4321 SSSS
 












450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1
 
Considerando os valores máximos e mínimos para 
cada alternativa, faz-se as equações: 
150320)v(a
150150-470)v(a
 )150-(1 + 470 = )v(a
1
1
1



 
225200)v(a
252225-425)v(a
 )225-(1 + 254 = )v(a
2
2
2



 
300100)v(a
300300-400)v(a
 )300-(1 + 004 = )v(a
3
3
3



 
450)v(a
450450-450)v(a
 )450-(1 + 054 = )v(a
4
4
4



 
Aplicando um gráfico v(ai) versus α 
 
 
A alternativa 4 se mostra a melhor opção para a 
maioria dos valores de α. 
A partir de α = 0,9375, a melhor alternativa passa a 
ser a alternativa 1. 
 
e) Pelo critério do mínimo arrependimento 
 
4321 SSSS
 
4321 rrrr
 































0000
0100100100
050200200
0120200320
450450450450
400300300300
425375225225
470350270150
a
a
a
a
4
3
2
1
 
Usando o critério do MINIMAX 














0
100
200
320
a
a
a
a
4
3
2
1
 
Pelo critério do mínimo arrependimento, a melhor 
opção é a alternativa 4. 
 
2.5. DECISÃO SOB RISCO 
 
2.5.1. Definição do Problema 
 
Os resultados dependem dos cenários 
 
n21 SSS 
 












)S,A(v)S,A(v)S,A(v
)S,A(v)S,A(v)S,A(v
)S,A(v)S,A(v)S,A(v
a
a
a
nm1m1m
n22212
n12111
m
2
1





 
 
A decisão com risco surge quando as probabilidades 
Pi de ocorrência de cada cenário Si, são conhecidas. 
Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
Sob condições de risco, os retornos associados com 
cada alternativa de decisão, são descritos por 
distribuições de probabilidade. Por essa razão, a 
tomada de decisão sob risco pode ser baseada no 
critério do valor esperado, no qual as alternativas de 
decisão são comparadas com base na maximização 
do lucro esperado ou na minimização do custo 
esperado. 
. 
 
nnj22j11jj p).S,a(v...p).S,a(vp).S,a(v)a(E 
 
 
Critério do Valor Esperado Baseado em Informação 
Perfeita 
 
Uma vez que não se conhece qual o Estado da 
Natureza que será identificado como o verdadeiro 
Estado da Natureza, o cálculo do payoff esperado com 
informação perfeita (ignorando os custos de 
experimentação), requer ponderar o máximo payoff 
para cada Estado da Natureza pelas suas respectivas 
probabilidades a priori. 
 
2.5.2. Decisão Sem Experimentação 
 
Em termos gerais, o decisor deve escolher uma 
alternativa ou ação a ser tomada, dentre um conjunto 
de alternativas ou ações. 
Esta escolha deve ser feita levando em conta fatores 
aleatórios que poderão afetar a escolha feita no futuro. 
Para o caso de uma decisão sem experimentação, 
deve-se ignorar as probabilidades (regra pessimista). 
 
Etapas de um Processo de Decisão sob Risco (SE) 
 
1. Construir a tabela de prêmios (payoff) 
2. Aplique o critério do valor esperado 
3. Considere que todos os cenários possuam a 
probabilidade de ocorrência já conhecida. 
4. Escolha o maior valor (prêmio máximo) 
 
Exemplos: 
 
Suponha-se que um feirante trabalhe com melões. 
Estes são comprados no sábado e vendidos na feira 
no domingo. O feirante paga R$ 2,00 por melão que 
compra e revende-os por R$ 4,00 a unidade. Para 
facilitar as análises, admita que a demanda de melões 
assuma apenas valores de 50, 100 ou 150 unidades. 
O feirante poderá comprar qualquer uma dessas 
mesmas quantidades, mas não sabe de antemão qual 
será sua demanda, apenas as probabilidades de 
ocorrência. Admite-se também que se por acaso o 
feirante comprar mais melões do que conseguir 
vender, ele perde completamente os melões não 
vendidos. Sabe-se que o feirante estima em 0,35; 0,45 
e 0,20, respectivamente, a probabilidade que a 
demanda seja 50, 100 ou 150 unidades. Dentro desta 
situação, pede-se: 
a) a melhor decisão a tomar sob risco 
 
Ofeirante compra o melão por R$ 4,00 e vende por 
R$ 2,00, então, ele obtém R$ 2,00 de lucro por cada 
melão vendido. 
Desta forma, tem-se a matriz: 
 
 Vender 50 
melões 
(p = 0,35) 
Vender 100 
melões 
(p = 0,45) 
Vender 150 
melões 
(p = 0,20) 
Comprar 
50 melões 
R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 100,00 
Comprar 
100 melões 
R$ 0,00 R$ 200,00 R$ 200,00 
Comprar 
150 melões 
- R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 300,00 
 
Cálculo do VEA: 
- Comprar 50 melões 
VEA1 = 100,00.0,35 + 100,00.0,45 + 100,00.0,2 
VEA1 = 35,00 + 45,00 + 20,00 = R$ 100,00 
 
- Comprar 100 melões 
VEA2 = 0,00.0,35 + 200,00.0,45 + 200,00.0,20 
VEA2 = 0,00 + 90,00 + 40,00 = R$ 130,00 
 
- Comprar 150 melões 
VEA3 = (-100,00).0,35 + 100,00.0,45 + 300,00.0,20 
VEA3 = -35,00 + 45,00 + 60,00 = R$ 70,00 
 
De acordo com a regra do valor esperado, a melhor 
escolha é comprar 100 melões. 
b) o valor esperado da informação perfeita 
 
Considerando a informação perfeita, faz-se: 
 
- O feirante lucrará R$ 100,00 35% das vezes. 
- O feirante lucrará R$ 200,00 45% das vezes 
- O feirante lucrará R$ 300,00 20% das vezes. 
 
Logo: 
 
VEA = 100,00.0,35 + 200,00.0,45 + 300,00.0,20 
VEA = 35,00 + 90,00 + 60,00 = R$ 185,00 
 
Com isso pode-se dizer que o valor esperado 
utilizando uma informação perfeita será: 
 
VEIP = 185,00 – 130,00 = R$ 55,00 
Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
 
O valor esperado da informação perfeita é de R$ 
55,00. 
 
Uma empresa A é proprietária de uma área de terra 
que pode conter petróleo. Um geólogo consultor 
relatou à direção que ele acredita que haja 1 chance 
em 4 de encontrar petróleo. Uma companhia 
petrolífera B ofereceu US$ 90.000,00 para comprar o 
terreno. No entanto, a empresa A está considerando a 
possibilidade de permanecer no terreno e ela própria 
perfura-lo em busca de petróleo. O custo de 
perfuração é de US$ 100.000,00. Se for encontrado 
petróleo, a receita esperada será de US$ 800.000,00. 
Caso a empresa não encontre petróleo, a empresa 
arcará com o prejuízo de R$ 100.000,00. 
Qual a melhor opção? 
 
 Há Petróleo 
(p = 0,25) 
Não Há 
Petróleo 
(p = 0,75) 
Vender o 
Terreno 
US$ 90.000,00 US$ 90.000,00 
Não Vender o 
Terreno 
US$ 700.000,00 -US$ 100.000,00 
 
Pelo Critério do Valor Esperado (VEA) 
- Vender o Terreno 
VEA1 = 90000,00.0,25 + 90000,00.0,75 
VEA1 = 22500,00 + 67500,00 = US$ 90.000,00 
 
- Não Vender o Terreno 
VEA2 = 700000,00.0,25 – 100000,00.0,75 
VEA2 = 175000,00 – 75000,00 = US$ 100.000,00 
 
Usando de uma Análise de Sensibilidade: 
90000)a(v
90000)1(90000)a(v
1
1

 
100000800000)a(v
)100000)(1(700000)a(v
2
2

 
 
Para uma probabilidade p < 0,2375 para a existência 
de petróleo, e melhor opção é vender o terreno. 
Porém, para qualquer probabilidade p > 0,2375, a 
melhor opção é explorar o terreno. 
 
2.5.3. Decisão Com Experimentação 
 
Há casos, em que é possível realizar testes adicionais 
para aperfeiçoar estimativas preliminares das 
probabilidades dos estados da natureza (cenários): 
probabilidades posteriores. 
 
Etapas de um Processo de Decisão sob Risco (CE) 
 
1. Construir a tabela de prêmios (payoff) 
2. Considere que todos os cenários possuam a 
probabilidade de ocorrência já conhecida. (a 
priori) 
3. A experimentação gerará novas 
probabilidades (condicionais), que deverão ser 
analisadas pelo Teorema de Bayes 
4. Obtenha as novas probabilidades (a 
posteriori) 
5. Aplique o critério do valor esperado 
6. Escolha o maior valor (prêmio máximo) 
 
Observação: A árvore de decisão auxilia muito nas 
análises. 
 
Probabilidade Condicional 
 
Quando se adiciona novas probabilidades no 
problema, passa a ter probabilidades que dependem 
de determinadas condições, ou seja, probabilidades 
condicionais. 
Por isso, é necessário que se obtenha probabilidades 
posteriores, a posteriori, usando o Teorema de Bayes. 
 



n
1j
jjk
jjk
k
jjk
kj
)S(P).St(P
)S(P).St(P
)t(P
)S(P).St(P
)tS(P
 
 
Para descrever o comportamento de P(Ai I B) 
 
Exemplo: 
 
Do exemplo do terreno com a possibilidade de 
existência de petróleo. 
Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
Imagine que agora, a empresa deseja antes de tomar 
uma decisão, fazer um levantamento sísmico do 
terreno a fim de melhorar a análise da decisão. 
A sondagem sísmica levantará uma estimativa da 
existência ou não existência de petróleo no terreno a 
um custo de US$ 30.000,00. Acerca das sondagens 
sísmicas há duas possibilidades: 
 USS, sondagens sísmicas desfarováveis 
(presença de petróleo bastante improvável) 
 FSS, sondagens sísmicas favoráveis 
(presença de petróleo bastante provável) 
Baseados em experiências anteriores é possível 
verificar que: 
 Se existir petróleo, então a probabilidade de 
USS é de 0,40. 
 Se não existir petróleo, então a probabilidade 
de USS é de 0,80. 
Encontre todas as probabilidades e obtenha a melhor 
alternativa. 
 
 Há Petróleo Não Há 
Petróleo 
Sondagens Sismicas 
Favoráveis (FSS) 
60% 20% 
Sondagens Sísmicas 
Desfavoráveis (USS) 
40% 80% 
 
 
 
Aplicando Probabilidade Condicional 
 
)75,0.(8,0)25,0.(40,0
)25,0.(40,0
)USSPetróleo(P


 
7
1
60,010,0
10,0
)USSPetróleo(P 


 
1428,0)USSPetróleo(P 
 
 
Logo a probabilidade de não se encontrar petróleo 
(seco) dado que a sondagem sísmica foi desfavorável 
(USS) será de: 
8572,0
7
6
)USSSeco(P 
 
Para o outro dado FSS, faz-se o seguinte: 
)75,0.(2,0)25,0.(60,0
)25,0.(60,0
)FSSPetróleo(P


 
2
1
15,015,0
15,0
)FSSPetróleo(P 


 
5000,0)FSSPetróleo(P 
 
Logo a probabilidade para a situação contrária será: 
5000,0)FSSSeco(P 
 
Os quadros a seguir, auxiliam no entendimento do 
problema. 
 
Estado da 
Natureza 
Probabilidades 
a priori 
FSS USS 
Há Petróleo 0,25 0,60 0,40 
Seco 0,75 0,20 0,80 
 
 
 Probabilidades 
a posteriori 
Há 
Petróleo 
Seco 
FSS 0,30 0,50 0,50 
USS 0,70 0,1428 0,8572 
 
Observação: Utilizando árvore de decisão e/ou o 
próprio Teorema de Bayes, é possível chegar aos 
valores a posteriori. 
 
 
 
Calculando os valores esperados, tem-se que: 
- Vender o Terreno dado que o resultado da análise foi 
USS 
VEA1 = 90000.(0,1428)+90000.(0,8572)-30000 
VEA1 = 12852,00 + 77148,00 – 30000,00 
VEA1 = US$ 60.000,00 
 
- Não Vender o Terreno dado que o resultado da 
análise foi USS 
VEA2 = 700000.(0,1428)-100000,00.(0,8528)-30000 
VEA2 = 99960,00-85280,00-30000,00 
VEA2 = - US$ 15.320,00 
 
- Vender o Terreno dado que o resultado da análise foi 
FSS 
VEA1 = 90000.(0,5000)+90000.(0,5000)-30000 
VEA1 = 45000,00 + 45000,00 – 30000,00 
VEA1 = US$ 60.000,00 
 
- Não Vender o Terreno dado que o resultado da 
análise foi FSS 
VEA2 = 700000.(0,5000)-100000,00.(0,5000)-30000 
Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
VEA2 = 350000,00-50000,00-30000,00 
VEA2 = US$ 270.000,00 
 
COMO FAZER A ÁRVORE DE DECISÃO DA 
SITUAÇÃO COMPLETA? 
 
2.5.4. Árvore de Decisão 
 
De forma genérica, a árvore de decisão pode ser feita 
da seguinte forma: 
 
Observação: Para problemas de decisão sob risco 
sem experimentação, não há probabilidades 
condicionais, enquanto em problemas que há 
experimentação, deve-se utilizar as probabilidades 
condicionais. 
 
2.6. BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS 
 
[1] TAHA, Hamdy. Pesquisa Operacional.8ª Edição. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
[2] HILLIER, Frederick S. & LIEBERMAN, Gerald J. 
Introduction to Operations Research. 7th Edition. 
McGraw Hill. 2001. 
[3] MEZA, Lidia Angulo. Auxílio Multicritério à 
Decisão. Universidade Federal Fluminense. 
Disciplina: Pesquisa Operacional II. 32 slides. 2010. 
[4] MEZA, Lidia Angulo. Decisão com Incerteza. 
Universidade Federal Fluminense. Disciplina: 
Pesquisa Operacional II. 32 slides. 2010. 
[5] MEZA, Lidia Angulo. Decisão com Risco. 
Universidade Federal Fluminense. Disciplina: 
Pesquisa Operacional II. 32 slides. 2010. 
[6] LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa 
Operacional na Tomada de Decisões. Modelagem 
em Excel. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 
[7] MALCZEWSKI, Jacek. GIS and Mulcriteria 
Decision Analysis. John Wiley & Sons, 1999. 
[7] SAATY, Thomas L. e WIND, Yoram. Marketing 
Applications of the Analytic Hierarchy Process. 
Management Sciences. 1980. 
[8] SAATY, Thomas L. Response to Holder's 
Comments on the Analytic Hierarchy Process. 
Journal of Operations Research Society.1991 
[9] Conceitos Básicos do Apoio Multicritério à 
Decisão e sua Aplicação no Projeto Aerodesign. 
Acessado em 03/09/2017. 
[10] DE MELLO, João Carlos Correia Baptista Soares; 
MEZA, Lidia Angulo; GOMES, Eliane Gonçalves e 
NETO, Luiz Biondi. Curso de Análise Envoltória de 
Dados. XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa 
Operacional. Gramado – RS. 2005. Acessado em 
setembro de 2017. 
[11] COSTA, Helder Gomes. Notas de Aula. 2010.