Coordenadas Polares

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IFSul-PELOTAS CINAT - MATEMÁTICA 1 
Coordenadas Polares 
 
Seja P(x,y), onde x e y são as coordenadas cartesianas de P. 
 
 
 
 
 
Outra relação trigonométrica é tgθ =
x
y
 ⇒ θ = arctg 





x
y
. 
Obs: Caso P(0,y) considere θ = ...,3,2,1,0,
2
)12( ±±±=+ nn pi 
 
Portanto, para transformar: 
(i) as coordenadas cartesianas (x,y) em coordenadas polares (r,θ ) utilize 
22 yxr += 
para x≠ 0, θ = arctg 





x
y
+ ,...2,1,0,2 ±±=nnpi 
 
(ii) as coordenadas polares (r,θ ) em coordenadas polares (x,y) utilize 
x = r.cosθ e y = r.senθ 
 
 
Exemplos 
 
a) O ponto P( 1,3 ) está em coordenadas cartesianas. Já em coordenadas 
polares: 
P(r,θ )=P 





+ pi
pi
n2
6
,2 , ,...2,1,0 ±±=n 
 
b) As coordenadas polares de S 





4
,3 pi transformadas para cartesianas (x,y) será 
S(x,y)= 







2
23
,
2
23
. 
 
r=distância de P à origem O 
θ =ângulo entre OP e o eixo x (positivo) 
 
cosθ =
r
x
 ⇒ x=r.cosθ 
senθ =
r
y
⇒ y=r.senθ 
22 yxr += 
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Gráficos em coordenadas polares 
 
Nota Histórica: Coordenadas polares são úteis para descrever situações que 
exibem simetria em torno de um ponto e, em particular, para descrever o 
movimento planetário – um tópico que interessou Newton (1642-1727). 
Newton utilizou coordenadas polares em seu livro Method of Fluxions e é 
interessante que o crédito por esse desenvolvimento tenha sido atribuído a 
Jacob Bernoulli em 1691. Bernoulli também usou coordenadas polares de 
maneira muito análoga ao utilizado por Newton em sua publicação de 1694. Um 
estudo formal do sistema de coordenadas polares foi posteriormente 
desenvolvido por Abraham DeMoivre (1667-1754). O estudo de coordenadas 
polares tem sido um importante campo de estudo em astronomia, engenharia 
aeronáutica e engenharia elétrica. 
 
Exercícios: Transforme as equações dadas (em coordenadas cartesianas) em 
equações de coordenadas polares. 
 
Sugestão: Faça a substituição x=r.cosθ e y=r.senθ . 
 
a) x2 + y2 = a2 (circunferência de centro na origem) 
 
b) (x-a)2 + y2 = a2 (circunferência de centro (a,0), tangente ao eixo y) 
 
c) x2 + (y-a)2 = a2 (circunferência de centro (0,a), tangente ao eixo x) 
Respostas: a) r=a; b) r=2acosθ ; c) r=2asenθ 
Para gráficos em coordenadas polares é conveniente 
definir r quando for menor que zero (r<0). 
Considere o eixo x positivo (do sistema cartesiano) como 
sendo o Eixo Polar e o segmento OP, o Eixo Terminal. 
Por exemplo, para marcar o ponto Q 





−
3
,2 pi , 
antes represente o ponto Q’ 





3
,2 pi . Prolonga-se 
o eixo terminal e marque Q como sendo o 
simétrico em relação à origem. 
 
IFSul-PELOTAS CINAT - MATEMÁTICA 3 
LIMAÇON 
 
O gráfico de uma equação da forma r=a ± b.cosθ ou r=a ± b.senθ 
é uma limaçon. 
Cada limaçon depende da razão 
b
a
. 
Tipo 1: 0<
b
a
<1 Limaçon com um laço (Figura a) 
Tipo 2: 
b
a
 = 1 Cardióide (formato de coração) (Figura b) 
Tipo 3: 1<
b
a
<2 Limaçon com um dente (Figura c) 
Tipo 4: b
a≤2 Limaçon Convexa (sem dente) (Figura d) 
 
Da equação r=a+b.cosθ (a>0 e b>0) temos os seguintes gráficos. 
 
IFSul-PELOTAS CINAT - MATEMÁTICA 4 
As limaçons obtidas da equação r=a+b.senθ (a>0 e b>0) têm o semi-eixo 
2
pi
=θ 
como eixo de simetria. 
Para a limaçon r=a-b.cosθ , o eixo de simetria é piθ = e 
para a limaçon r=a-b.sen θ , o eixo de simetria é 2
3piθ = . 
 
Exemplo: Faça um esboço do gráfico de cada limaçon. 
 
a) r=3+2.senθ (Fig. a) b) r=2+2.cosθ (Fig. b) 
c) r=2-senθ (Fig. c) 
 
 
 
 
θ r 
0 3 
6/pi 4 
3/pi 3+ 3 
2/pi 5 
pi 3 
6/7pi 2 
3/4pi 3- 3 
2/3pi 1 
θ r 
0 4 
6/pi 2+ 3 
3/pi 3 
2/pi 2 
3/2pi 1 
6/5pi 2- 3 
pi 0 
IFSul-PELOTAS CINAT - MATEMÁTICA 5 
 
 
 
 
 
Lemniscata 
Tipos: r2= ± a2.cos(2θ ), r2=± a2.sen(2θ ) 
 
Um pouco de história 
Esta curva apareceu pela primeira vez na Acta Eruditorum (espécie de “periódico 
científico” mensal fundado em 1682) de Jacques Bernoulli em 1694. Ela tem a 
forma de um laço de fita. Daí o nome lemniscata, que vem do grego lemniscos 
(fita). As principais propriedades dessa curva foram estudadas pelo conde G.C. 
Fagnano (1682-1766) usando métodos geométricos, e em seguida, por Euler. 
 
Exemplo: r2=cos(2θ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ r 
0 2 
6/pi 3/2 
3/pi 2- 2/3 
2/pi 1 
pi 2 
6/7pi 5/2 
3/4pi 2+ 2/3 
2/3pi 3