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Conversa inicial Na aula de hoje, estudaremos os vetores na perspectiva algébrica, iniciando com o Plano Cartesiano Ortogonal, na sequência veremos as componentes de vetores, inclinação de um vetor, espaço tridimensional R³ e por fim faremos operações com vetores. Acessando o material on-line, você pode assistir ao vídeo do professor Nacib Jr. sobre o conteúdo que será visto. Bons estudos! Contextualizando A geometria analítica é muito utilizada em diversas áreas do conhecimento. Veja um exemplo de uso na computação gráfica. NÍVEL Graduação CURSO Engenharia de Produção DISCIPLINA Geometria Analítica MÓDULO A1 2016 AULA 2 PROFESSOR Nacib Mattar Jr Vamos imaginar que Júlio está desenvolvendo um jogo para celulares, tablets e computadores. Em um determinado momento, dois objetos do jogo (tanques de guerra) estão disputando uma batalha e o tanque 1 irá atirar no tanque 2. Precisaremos criar um vetor que vai do tanque 1 para o tanque 2. A posição de cada tanque é dada por um vetor de três dimensões. O vetor 𝑣1⃗⃗⃗⃗ indica a posição do tanque 1 e o vetor 𝑣2⃗⃗⃗⃗ indica a posição do tanque 2. Para que Júlio possa calcular a direção do projétil que sairá do tanque 1 em direção ao tanque 2 ele vai ter que resolver o seguinte problema: 𝑣 = 𝑣2⃗⃗⃗⃗ − 𝑣1⃗⃗⃗⃗ Onde v indica o vetor que vai do tanque 1 ao tanque 2. Observe que basta fazermos a subtração de dois vetores. Mas como podemos realizar a subtração de dois vetores? Veremos isso no decorrer da aula. Para saber um pouco mais sobre o uso de vetores nos jogos, leia o texto a seguir. http://www.pontov.com.br/site/arquitetura/54-matematica-e-fisica/132- o-uso-de-vetores-nos-jogos Assista também ao vídeo a seguir, que trata de conceitos relacionados à computação gráfica. https://www.youtube.com/watch?v=uEAC-EePSR0 Vetores Perspectiva Algébrica: Plano Cartesiano Ortogonal Plano Cartesiano Ortogonal – Plano x 0 y - R² Componentes de um vetor . Observe a figura a seguir em que foi representado um vetor no Plano Cartesiano: No desenho que vimos anteriormente, foram indicadas as projeções do vetor sobre os eixos x ey, obtidas por meio de retas paralelas aos eixos. Com as medidas destas projeções é possível determinar todas as características de : módulo, direção e sentido, como a seguir. Módulo: Direção: Sentido: Indicado pela orientação da seta, ou seja, do ponto O = (0,0) para o ponto A = (5,3). O vetor representa toda a classe de vetores a ele equipolentes – vetores de mesmo módulo, direção e sentido –, e em geral, para representação no Plano Cartesiano e mesmo para simplificação de processos, para cada classe de vetores equipolentes toma-se o vetor cujo ponto inicial coincide com a origem do Plano Cartesiano – ponto O = (0,0). Sempre que se tratar de um vetor com ponto inicial na origem, as medidas das projeções sobre os eixos x e y podem ser obtidas pelas coordenadas do ponto final do vetor. No exemplo vimos as medidas 5 e 3 usadas para determinação do módulo e da inclinação do vetor, elas são dadas pelas coordenadas do ponto A=(5,3). Observe a figura a seguir em que novamente se representou, no Plano Cartesiano, o vetor de ponto inicial em O = (0,0) e final em A = (5,3), isto é, o vetor = : Nesta figura também estão indicados dois vetores chamados de versores e que possuem uma denominação padrão: Vetor : ponto inicial na origem e final em (1,0) Vetor : ponto inicial na origem e final em (0,1) As projeções de sobre os eixos x e y são vetores múltiplos de e : neste exemplo, a projeção em x é o vetor 5. e em y o vetor 3. Note ainda que = 5. + 3. , ou seja, é uma combinação linear de e : Para que não seja necessário desenhar o vetor sempre que se quiser representá-lo ou ainda efetuar cálculos e análises, é possível identificá- lo por meio da combinação linear de e : 5. + 3. , ou seja, . Há ainda outro modo de identificar , indicando-se somente os coeficientes desta combinação linear com o par ordenado: = (5,3) , sendo que 5, coeficiente de , é a componente x do vetor (também denominada de abscissa), e 3, coeficiente de , é a componente y do vetor (também denominada de ordenada). Em resumo: = 5. + 3. é combinação linear de e = (5,3) as componentes de são os coeficientes da combinação linear = (5,3) como tem ponto inicial na origem, as suas componentes coincidem com as coordenadas do seu ponto final: A = (5,3) 5 é a componente x de (abscissa) 3 é a componente y de (ordenada) O conjunto formado pelos dois vetores, { , }, é uma base do espaço R², denominada de base canônica – os conceitos de combinação linear, dimensão, espaços vetoriais e bases de um espaço vetorial serão abordados na disciplina de Álgebra Linear. Neste momento, será usada a nomenclatura adequada, porém, trataremos apenas dos aspectos essenciais para a compreensão dos temas aqui estudados – e isto significa que não apenas o vetor = (5,3) pode ser escrito como combinação linear e , mas todos os vetores de duas componentes podem ser representados de maneira única como combinação linear e . Exemplo 1: Exemplo 2: Para vetores com número maior de componentes a definição das componentes é análoga, no entanto, a base utilizada como referência terá mais vetores. Para vetores com três componentes, a base canônica é { , , } sendo = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) e = (0, 0, 1). Por exemplo, o vetor de componentes = (5, 3, -4) é dado pela combinação linear: = 5 + 3 - 4 . Caso os vetores da base canônica sejam dispostos em colunas, pode- se sempre formar a matriz identidade – assim é possível determinar qual é a base canônica em um espaço com vetores den componentes: Em geral, os exemplos tratados nesta seção apresentaram vetores de duas componentes porque com isso a visualização no Plano Cartesiano pode auxiliar na compreensão dos temas, no entanto, a menos que seja dito o contrário, os desenvolvimentos algébricos aqui apresentados podem ser aplicados a vetores com qualquer número de componentes. Quer conhecer um pouco mais sobre os vetores no plano cartesiano? Leia a seguir um artigo sobre isso! http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/vetor2d/vetor2d .htm Antes de prosseguir com seus estudos, não esqueça de assistir ao vídeo com o professor Nacib Jr no material on-line! Perspectiva Algébrica: Componentes de um Vetor Dado um vetor qualquer, pode-se dizer que As componentes de e podem ser obtidas diretamente das coordenadas dos pontos A eB, já que estes vetores têm ponto inicial na origem, e a equação é equivalente a , com a qual são calculadas as componentes do vetor AB. Observe o exemplo em que se calculam as componentes do vetor , sendo A = (-2, 2) e B = (1, 3). Cálculo das componentes do vetor As componentes encontradas indicam qual é o vetor equipolente a AB que tem ponto inicial na origem: O vetor , com P = (3, 1) , é equipolente a AB: possui módulo, direção e sentido coincidentes com AB. Para obter mais informações, assista ao vídeo preparado pelo professor Nacib Jr. especialmente para você! Confira no material on-line! Vetores Perspectiva Algébrica: Inclinação de um Vetor Determinação do módulo e da direção de um vetor : Dado um vetor com A = (XA, YA) e B = (XB, YB) tem-se: = (XB - XA,YB - XB) Observe que, na figuraa seguir, aplicando-se a relação de Pitágoras no triângulo retângulo indicado, construído por linhas paralelas aos eixos coordenados, obtém-se: E então: Por exemplo, para o vetor , com A = (-2, 2) e B = (1, 3), cujas componentes são: = (3, 1), tem-se: Além disso, tem-se: Vamos apreender um pouco mais sobre Vetores Perspectiva Algébrica: Inclinação de um Vetor? Acompanhe a explicação do professor Nacib Jr. sobre o assunto no material on-line! 1. Dado o vetor onde A = (3, 7) e B = (5, 11), determine | |. 2. Determine o módulo de um vetor cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está no ponto (-1, 1). 3. Dado o vetor onde A = (3, 7) e B = (5, 11), determine sua direção. 4. Sendo A = (2, 3) e B = (8, 5), determine as componentes de . Sabemos que . Logo, para encontrarmos as componentes de , basta subtrairmos as componentes dos vetores e . Os vetores e são os vetores com origem no ponto O e extremidades nos pontos A e B, respectivamente. Sendo assim, corresponde a = (8,5) - (2,3) Subtraindo as respectivas componentes, temos: = (8 - 2, 5 - 3) O que resulta em: = (6, 2) Portanto, as componentes do vetor são (6, 2). A figura abaixo apresenta os vetores , e e o vetor que é equipolente ao vetor e que tem ponto inicial na origem. Vetores Perspectiva Algébrica: Espaço Tridimensional R³ Analogamente ao que foi comentado para vetores no Plano Cartesiano, em R³ pode-se entender os vetores como combinações lineares de: = ( 1, 0, 0), = ( 0, 1, 0) = (0, 0, 1) Vetores estes que compõem a base canônica do espaço R³, sendo todos unitários (módulo igual a 1) e ortogonais entre si. Observe a figura a seguir: Como o vetor representado na figura possui ponto inicial na origem – ponto 0 = (0, 0, 0) –, seus componentes coincidem com as coordenadas do ponto final P = (3,2,4), ou seja: = = (3, 2, 4). Observe o desenho a seguir: Nesse desenho foram indicadas as projeções do vetor sobre os eixos x, y e z: 3 , 2 e 4 . Pode-se escrever: = = 3 + 2 + 4 . Em resumo: = 3 + 2 + 4 . é combinação linear de , e = (3, 2, 4) componentes de : coeficientes da combinação linear = (3, 2, 4) ponto inicial na origem: componentes coincidem com as coordenadas do ponto final: P = (3, 2, 4). 3 é a componente x de (abscissa) 2 é a componente y de (ordenada) 4 é a componente z de (cota) Para exemplificar, caso se queira calcular o módulo do vetor = = 3 + 2 + 4 , pode-se realizar o procedimento a seguir, análogo ao realizado para vetores com duas componentes, incluindo agora a terceira componente do vetor: Para um vetor cujo ponto inicial não coincida com a origem do sistema de coordenadas, por exemplo, um vetor , com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), a determinação das suas componentes também segue o procedimento apresentado anteriormente para vetores de R²: = - = (xB, yB, zB) - (xA, yA, zA) = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) E então, o módulo do vetor pode ser calculado por: Dado um vetor , com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), tem-se: Exemplo: determine o módulo do vetor , com P = (3, 5, 1) e Q = (- 1, 0, 3). Pode-se calcular diretamente pela expressão: Como a seguir: Ou ainda, pode-se calcular inicialmente os componentes de para só então calcular o módulo do vetor: Com os componentes do vetor, calcule-se o módulo: 1. Calcule o módulo do vetor = 2 + 7 - 5 . 2. Sejam M = (1, 1, 3) e N = (3, 2, 1), determine o módulo de . Confira a seguir um artigo sobre o Espaço Tridimensional! http://www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga2V1aula1.pdf E para encerrar esta parte da aula, acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Nacib Jr. para complementar seus conhecimentos! Vetores Perspectiva Algébrica: Operação por Meio das Componentes dos Vetores Igualdade de vetores Dados = (a1, a2, a3, ... , an) e = (b1, b2, b3, ... , bn) dois vetores quaisquer com n componentes cada um, tem-se a = b se, e somente se: ai = bi ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n}. Produto de vetor por escalar Ao se multiplicar um vetor por um escalar, os componentes do vetor resultante serão dados pelas componentes do vetor inicial multiplicadas pelo escalar. Formalmente, pode-se dizer que, dado um vetor = (c1, c2, c3, ... , cn) e um escalar k ∈ , tem-se: k . = (k . c1, k . c2, k . c3, ... , k . cn) Por exemplo, para = (-2, 1) e k = 2: = (-2 , 1) 2 . = 2 . (-2 , 1) 2 . = (2 . (-2), 2 . 1) 2 . = (-4 , 2) Por exemplo, para = (8, 4) e k = 3: = (8 , 4) 3 . = 3 . (8 , 4) 3 . = (3 . 8, 3 . 4) 3 . = (24 , 12) Nos dois exemplos, as componentes do vetor k. foram calculadas algebricamente, sem necessidade de se recorrer aos desenhos, incluídos nos exemplos apenas como recurso pedagógico. Observe os exemplos a seguir: 1) Dado = (1. -3, 5) e k = 6, determine as componentes de k . . = (1 , -3, 5) 6 . = 6 . (1, -3, 5) 6 . = (6 . 1, 6 . (-3), 6 . 5) 6 . = (6, -18, 30) 2) Dado = (-2, 0, 1, -7), determine -3 . . = (-2 , 0, 1, -7) -3 . = -3 . (-2, 0, 1, -7) -3 . = (-3 . (-2), -3 . 0, -3 . 1, -3 . (-7)) -3 . = (6, 0, -3, 21) 3) Dado , encontre as componentes de 0,4 . 4) Dado = , sendo A = (1, -3, 5) e B = (0, 2, -1), determinar as componentes de 2 . . Cálculo das componentes de : = = - = (0, 2, -1) - (1, -3, 5) = (0 - 1, 2 - (-3), -1 - 5) = (-1, 5, -6) Cálculo das componentes de 2 . : = (-1, 5, -6) 2 . = 2 . (-1, 5, -6) 2 . = (2 . (-1), 2 . 5, 2 . (-6)) 2 . = (-2, 10, -12) 1. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor = (4, -3, 6)? 2. Calcule 5 onde é igual a (-1, 7, 0, 4, 2). 3. Sejam P = (6, 10, 4) e Q = (2, 5, 2) calcule 2 onde = . Adição e subtração de vetores Dados dois vetores = (a1, a2, a3, ..., an) e = (b1, b2, b3, ..., bn) ambos com n componentes, o vetor + é dado por : + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn). Observe o exemplo a seguir, para vetores com duas componentes: Dados 1 = (2, 4) e 2 = (3, 2), calcular 1 + 2. 1 + 2 = (2, 4) + (3, 2) 1 + 2 = (2 + 3, 4 + 2) 1 + 2 = (5, 6) Representação geométrica de 1 + 2: Mais exemplos: 1) Dados = (1, 4, 3) e = (5, 2, 0), calcular: + e - . 2) Dados = (7, -2, 1, 1) e = (-1, 1, 2, 3), calcular: 2 . + 10 . e 3 . ( - ). 4. Considere os vetores = (2, 3) e = (-5, 7). Determine: a) + b) 5 + 2 c) - + d) - e) -2 + 3 5. Considere os vetores = (3, 5, 1, 4) e = (4, 0, 2, 6). Calcule 4 + 3 . O valor de 4 + 3 pode ser facilmente calculado. Primeiro vamos substituir e por(3, 5, 1, 4) e (4, 0, 2, 6), respectivamente: 4 + 3 = 4(3, 5, 1, 4) + 3(4, 0, 2, 6) O próximo passo é multiplicarmos cada componente de = (3, 5, 1, 4) por 4 e cada componente de = (4, 0, 2, 6) por 3: 4 + 3 = (4.3, 4.5, 4.1, 4.4) + (3.4, 3.0, 3.2, 3.6) Que resulta em: 4 + 3 = (12, 20, 4, 16) + (12, 0, 6, 18) Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor: 4 + 3 = (12 + 12, 20 + 0, 4 + 6, 16 + 18) Logo: 4 + 3 = (24, 20, 10, 34) Portantoa soma 4 + 3 é igual a (24, 20, 10, 34) Produto Escalar Operação de ampla utilização na física, no cálculo de ângulos e em problemas geométricos de modo geral, retorna como resultado um número real (escalar) e pode ser definida como a seguir: Dados dois vetores = (a1, a2, a3, ..., an) e = (b1, b2, b3, ..., bn), ambos com n componentes, o produto escalar entre eles, denotado por . , é dado por: . = (a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 + ... + an . bn) Exemplos: 1) Dados = (5, 0), = (-2, 0) calcular: . . . = 5 . (-2) + 0 . 0 . = -10 2) Dados = (3, 0) e = (0, -4), calcular: . . . = 3 . 0 + 0 .(-4) . = 0 3) Dados = (3, 1) e = (-4, 5), calcular: . . . = 3 . (-4) + 1 . 5 . = -12 + 5 . = -7 4) Dados = (-1, 2, -3, 4), = (5, 7, -6, 4) calcular: . . . = -1 . 5 + 2 . 7 + (-3).(-6) + 4 . 4 . = -5 + 14 + 18 +16 . = 43 Propriedades do produto escalar: Dados três vetores quaisquer, 1, 2 e 3, cada um com n componentes, e um escalar real k, são válidas as propriedades: I) 1 . 2 = 2 . 1 II) 1 . ( 2 + 3) = 1 . 2 + 1 . 3 III) 𝑘. (𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑘. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ). 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . (𝑘. 𝑣2)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ IV) 1 . 1 > 0, se 1 ≠ e 1 . 1 = 0, se, e somente se, 1 = O produto escalar entre dois vetores e , cada um com n componentes, também pode ser formulado por: Sendo o ângulo entre os vetores e . Exemplos: 1) Dados = (5, 0) e = (-2, 0), calcular . . Como o ângulo entre e é de 180º, tem-se: 2) Dados = (3, 0) e = (0, -4), calcular . . Neste, e formam entre si dois ângulos de diferentes medidas, um de 90º e o outro de 270º - considere sempre o de menor medida. Assim: 6. Sejam os vetores = 2 + 7 + 4 e = 5 + 6 + 3 . Determine . . O produto escalar . é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores e , ou seja, . = 2 . 5 + 7 . 6 + 4 . 3. Fazendo as devidas multiplicações, temos: . = 10 + 42 + 12 Que resulta em: . = 64 7. Determine o produto escalar . onde = (2, 1, 5, 3, 7) e = (5, 2, 8, 3, 1). O produto escalar . pode ser calculado como segue: . = 1 . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 ... + n . n Em particular, o produto . com = (2, 1, 5, 3, 7) e = (5, 2, 8, 3, 1) é igual a: . = 2 . 5 + 1 . 2 + 5 . 8 + 3 . 3 + 7 . 1 Somando os termos, temos: . = 68 Logo, o produto escalar . é igual a 68. 8. Calcule o produto escalar entre os vetores = (5, 0) e = (0, 6) utilizando a expressão . = | |.| |.cos θ. Produto Vetorial Esta é também uma operação de ampla utilização na física e no cálculo, e retorna como resultado um vetor. Pode ser definida como a seguir: Dados dois vetores = (a1, a2, a3) e = (b1, b2, b3), ambos com 3 componentes, o produto escalar entre eles, denotado por x , é dado por: Aplicações dos produtos vetorial e escalar serão estudadas nas próximas aulas! Exemplo: Dados = (1, 0, 2) e = (-4, 3, 5) , calcular: x . 9. Dados os vetores = (4, 1, 2) e = (3, 4, -1), calcule o produto vetorial x . 10. Dados os vetores = (4, 1, 2) e = (3, 4, -1), calcule o produto vetorial x . Sugestões de Estudo Para conhecer um pouco mais sobre Produto Escalar e Vetorial, e Operações com Vetores na Perspectiva Analítica, confira os links a segur! https://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo https://www.youtube.com/watch?v=pVZucIu-icY https://www.youtube.com/watch?v=1q3RAr4wsjU Se você quiser ler um mais sobre as Operações com Vetores, clique no botão Saiba Mais e aprecie! http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/ca pitulos/cap91s4.html Muito bem! Chegamos ao final de mais uma aula de Geometria Analítica. Para fixar melhor os conteúdos, veja no material on-line o vídeo preparado pelo professor Nacib Jr. e aprimore seus conhecimentos! Na prática Vamos colocar em prática o que estudamos nessa aula! Agora que já sabemos resolver situações que envolvem a soma de vetores, vamos ajudar o Júlio a resolver o seu problema que consiste em encontrar o vetor que vai do tanque 1 ao tanque 2. Sabendo que o vetor 𝑣1⃗⃗⃗⃗ que indica a posição do tanque 1 é dado por 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (70,−20, 0) e o vetor 𝑣2⃗⃗⃗⃗ que indica a posição do tanque 2 é dado por 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (−53, 10,5), encontre o vetor 𝑣 que tem origem no tanque 1 e final no tanque 2. Para encontrarmos o vetor 𝑣 , precisamos resolver o seguinte problema: 𝑣 = 𝑣2⃗⃗⃗⃗ − 𝑣1⃗⃗⃗⃗ Substituindo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ por (70,−20, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ por (−53, 10, 5), temos: 𝑣 = (−53, 10, 5) − (70,−20, 0) Vamos agora subtrair as respectivas componentes: 𝑣 = (−53 − 70, 10 − (−20), 5 − 0) O que resulta em: 𝑣 = (−123,30, 5) Portanto, o vetor 𝑣 que tem origem no tanque 1 e final no tanque 2 é dado por 𝑣 = (−123, 30, 5). Agora Júlio já sabe como continuar a desenvolver o seu jogo. Síntese Chegamos ao final da aula! Nessa aula, você aprendeu a representar um vetor em um plano cartesiano ortogonal. Aprendeu também o que são as componentes de um vetor, o que são vetores equipolentes e o que são vetores, a calcular a inclinação de um vetor utilizando as suas componentes e representar vetores tridimensionais como uma combinação linear dos vetores canônicos i, j e k. E por fim, aprendeu a realizar operações vetoriais utilizando as componentes dos vetores. Até a próxima! Referências WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
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