Buscar

Geometria Analítica aula 2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 39 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 39 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 39 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Conversa inicial 
Na aula de hoje, estudaremos os vetores na perspectiva algébrica, 
iniciando com o Plano Cartesiano Ortogonal, na sequência veremos as 
componentes de vetores, inclinação de um vetor, espaço 
tridimensional R³ e por fim faremos operações com vetores. 
 
Acessando o material on-line, você pode assistir ao vídeo do professor 
Nacib Jr. sobre o conteúdo que será visto. 
 
Bons estudos! 
 
Contextualizando 
A geometria analítica é muito utilizada em diversas áreas do 
conhecimento. Veja um exemplo de uso na computação gráfica. 
 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 2 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
Vamos imaginar que Júlio está desenvolvendo um jogo para celulares, 
tablets e computadores. Em um determinado momento, dois objetos do 
jogo (tanques de guerra) estão disputando uma batalha e o tanque 1 irá 
atirar no tanque 2. 
 
Precisaremos criar um vetor que vai do tanque 1 para o tanque 2. A 
posição de cada tanque é dada por um vetor de três dimensões. 
O vetor 𝑣1⃗⃗⃗⃗ indica a posição do tanque 1 e o vetor 𝑣2⃗⃗⃗⃗ indica a posição do 
tanque 2. Para que Júlio possa calcular a direção do projétil que sairá 
do tanque 1 em direção ao tanque 2 ele vai ter que resolver o seguinte 
problema: 
𝑣 = 𝑣2⃗⃗⃗⃗ − 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 
Onde v indica o vetor que vai do tanque 1 ao tanque 2. 
Observe que basta fazermos a subtração de dois vetores. 
Mas como podemos realizar a subtração de dois vetores? Veremos isso 
no decorrer da aula. 
Para saber um pouco mais sobre o uso de vetores nos jogos, leia o texto 
a seguir. 
http://www.pontov.com.br/site/arquitetura/54-matematica-e-fisica/132-
o-uso-de-vetores-nos-jogos 
Assista também ao vídeo a seguir, que trata de conceitos relacionados 
à computação gráfica. 
https://www.youtube.com/watch?v=uEAC-EePSR0 
Vetores Perspectiva Algébrica: Plano Cartesiano 
Ortogonal 
Plano Cartesiano Ortogonal – Plano x 0 y - R² Componentes de um 
vetor . 
Observe a figura a seguir em que foi representado um vetor no Plano 
Cartesiano: 
 
No desenho que vimos anteriormente, foram indicadas as projeções do 
vetor sobre os eixos x ey, obtidas por meio de retas paralelas aos eixos. 
Com as medidas destas projeções é possível determinar todas as 
características de : módulo, direção e sentido, como a seguir. 
Módulo: 
 
Direção: 
 
 
Sentido: 
Indicado pela orientação da seta, ou seja, do ponto 
O = (0,0) para o ponto 
A = (5,3). 
O vetor representa toda a classe de vetores a ele equipolentes – 
vetores de mesmo módulo, direção e sentido –, e em geral, para 
representação no Plano Cartesiano e mesmo para simplificação de 
processos, para cada classe de vetores equipolentes toma-se o vetor 
cujo ponto inicial coincide com a origem do Plano Cartesiano – ponto O 
= (0,0). 
Sempre que se tratar de um vetor com ponto inicial na origem, as 
medidas das projeções sobre os eixos x e y podem ser obtidas pelas 
coordenadas do ponto final do vetor. 
No exemplo vimos as medidas 5 e 3 usadas para determinação do 
módulo e da inclinação do vetor, elas são dadas pelas coordenadas do 
ponto A=(5,3). 
 
Observe a figura a seguir em que novamente se representou, no Plano 
Cartesiano, o vetor de ponto inicial em O = (0,0) e final em A = (5,3), 
isto é, o vetor = : 
 
 
 
Nesta figura também estão indicados dois vetores chamados 
de versores e que possuem uma denominação padrão: 
 
Vetor : ponto inicial na origem e final em (1,0) 
Vetor : ponto inicial na origem e final em (0,1) 
As projeções de sobre os eixos x e y são vetores múltiplos de e 
: neste exemplo, a projeção em x é o vetor 5. e em y o vetor 
3. 
Note ainda que = 5. + 3. , ou seja, é uma combinação linear 
de e : 
 
Para que não seja necessário desenhar o vetor sempre que se quiser 
representá-lo ou ainda efetuar cálculos e análises, é possível identificá-
lo por meio da combinação linear de 
 e : 5. + 3. , ou seja, . 
 
Há ainda outro modo de identificar , indicando-se somente os 
coeficientes desta combinação linear com o par ordenado: = (5,3) , 
sendo que 5, coeficiente de , é a componente x do vetor (também 
denominada de abscissa), e 3, coeficiente de , é a componente y do 
vetor (também denominada de ordenada). 
Em resumo: 
 
 = 5. + 3. é combinação linear de e 
 = (5,3) as componentes de são os coeficientes da 
combinação linear 
 = (5,3) como tem ponto inicial na origem, as suas 
componentes coincidem com as coordenadas do seu ponto 
final: A = (5,3) 
 5 é a componente x de (abscissa) 
 3 é a componente y de (ordenada) 
 
O conjunto formado pelos dois vetores, { , }, é uma base do 
espaço R², denominada de base canônica – os conceitos de 
combinação linear, dimensão, espaços vetoriais e bases de um espaço 
vetorial serão abordados na disciplina de Álgebra Linear. 
 
Neste momento, será usada a nomenclatura adequada, porém, 
trataremos apenas dos aspectos essenciais para a compreensão dos 
temas aqui estudados – e isto significa que não apenas o vetor 
 = (5,3) pode ser escrito como combinação linear e , mas todos 
os vetores de duas componentes podem ser representados de maneira 
única como combinação linear e . 
 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Para vetores com número maior de componentes a definição das 
componentes é análoga, no entanto, a base utilizada como referência 
terá mais vetores. Para vetores com três componentes, a base canônica 
é { , , } sendo = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) e = (0, 0, 1). Por 
exemplo, o vetor de componentes = (5, 3, -4) é dado pela 
combinação linear: 
 = 5 + 3 - 4 . 
 
Caso os vetores da base canônica sejam dispostos em colunas, pode-
se sempre formar a matriz identidade – assim é possível determinar 
qual é a base canônica em um espaço com vetores den componentes: 
 
 
 
Em geral, os exemplos tratados nesta seção apresentaram vetores de 
duas componentes porque com isso a visualização no Plano Cartesiano 
pode auxiliar na compreensão dos temas, no entanto, a menos que seja 
dito o contrário, os desenvolvimentos algébricos aqui apresentados 
podem ser aplicados a vetores com qualquer número de componentes. 
 
Quer conhecer um pouco mais sobre os vetores no plano cartesiano? 
Leia a seguir um artigo sobre isso! 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/vetor2d/vetor2d
.htm 
Antes de prosseguir com seus estudos, não esqueça de assistir ao 
vídeo com o professor Nacib Jr no material on-line! 
 
Perspectiva Algébrica: Componentes de um 
Vetor 
Dado um vetor qualquer, pode-se dizer que 
 
 
As componentes de e podem ser obtidas diretamente das 
coordenadas dos pontos A eB, já que estes vetores têm ponto inicial na 
origem, e a equação é equivalente 
a , com a qual são calculadas as componentes do 
vetor AB. 
Observe o exemplo em que se calculam as componentes do vetor , 
sendo A = (-2, 2) e B = (1, 3). 
 
 
Cálculo das componentes do vetor 
 
As componentes encontradas indicam qual é o vetor equipolente 
a AB que tem ponto inicial na origem: 
 
O vetor , com P = (3, 1) , é equipolente a AB: possui módulo, 
direção e sentido coincidentes com AB. 
 
Para obter mais informações, assista ao vídeo preparado pelo professor 
Nacib Jr. especialmente para você! Confira no material on-line! 
Vetores Perspectiva Algébrica: Inclinação de um Vetor 
Determinação do módulo e da direção de um vetor : 
Dado um vetor com A = (XA, YA) e B = (XB, YB) tem-se: 
= (XB - XA,YB - XB) 
 
 
 
Observe que, na figuraa seguir, aplicando-se a relação de Pitágoras no 
triângulo retângulo indicado, construído por linhas paralelas aos eixos 
coordenados, obtém-se: 
 
 
E então: 
 
 
 
 
Por exemplo, para o vetor , com A = (-2, 2) e B = (1, 3), cujas 
componentes são: 
 = (3, 1), tem-se: 
 
 
Além disso, tem-se: 
 
 
 
Vamos apreender um pouco mais sobre Vetores Perspectiva Algébrica: 
Inclinação de um Vetor? Acompanhe a explicação do professor Nacib 
Jr. sobre o assunto no material on-line! 
1. Dado o vetor onde A = (3, 7) e B = (5, 11), determine | |. 
 
2. Determine o módulo de um vetor cuja origem está no ponto (2, 3) e 
cuja extremidade está no ponto (-1, 1). 
 
 
 
3. Dado o vetor onde A = (3, 7) e B = (5, 11), determine sua 
direção. 
 
 
 
 
4. Sendo A = (2, 3) e B = (8, 5), determine as componentes de . 
 
Sabemos que . Logo, para encontrarmos as 
componentes de , basta subtrairmos as componentes dos 
vetores e . Os vetores e são os vetores com origem 
no ponto O e extremidades nos pontos A e B, respectivamente. Sendo 
assim, corresponde a = (8,5) - (2,3) 
Subtraindo as respectivas componentes, temos: 
= (8 - 2, 5 - 3) 
O que resulta em: 
= (6, 2) 
 
Portanto, as componentes do vetor são (6, 2). 
A figura abaixo apresenta os vetores , e e o 
vetor que é equipolente ao vetor e que tem ponto inicial na 
origem. 
 
 
Vetores Perspectiva Algébrica: Espaço 
Tridimensional R³ 
Analogamente ao que foi comentado para vetores no Plano Cartesiano, 
em R³ pode-se entender os vetores como combinações lineares de: 
= ( 1, 0, 0), = ( 0, 1, 0) 
 = (0, 0, 1) 
Vetores estes que compõem a base canônica do espaço R³, sendo 
todos unitários (módulo igual a 1) e ortogonais entre si. Observe a figura 
a seguir: 
 
 
Como o vetor representado na figura possui ponto inicial na origem – 
ponto 0 = (0, 0, 0) –, seus componentes coincidem com as coordenadas 
do ponto final P = (3,2,4), ou seja: 
 = = (3, 2, 4). 
Observe o desenho a seguir: 
 
 
Nesse desenho foram indicadas as projeções do vetor sobre os eixos x, 
y e z: 3 , 2 e 4 . Pode-se escrever: = = 3 + 2 + 4 . 
Em resumo: 
 = 3 + 2 + 4 . é combinação linear de , e 
 = (3, 2, 4) componentes de : coeficientes da 
combinação linear 
 = (3, 2, 4) ponto inicial na origem: componentes 
coincidem com as coordenadas do ponto final: P = (3, 2, 4). 
 3 é a componente x de (abscissa) 
 2 é a componente y de (ordenada) 
 4 é a componente z de (cota) 
 
Para exemplificar, caso se queira calcular o módulo do vetor = = 
3 + 2 + 4 , pode-se realizar o procedimento a seguir, análogo ao 
realizado para vetores com duas componentes, incluindo agora a 
terceira componente do vetor: 
 
 
Para um vetor cujo ponto inicial não coincida com a origem do sistema 
de coordenadas, por exemplo, um vetor , com A = (xA, yA, zA) e B 
= (xB, yB, zB), a determinação das suas componentes também segue o 
procedimento apresentado anteriormente para vetores de R²: 
 
= - 
= (xB, yB, zB) - (xA, yA, zA) 
 = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) 
 
E então, o módulo do vetor pode ser calculado por: 
Dado um vetor , com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), tem-se: 
 
 
 
Exemplo: determine o módulo do vetor , com P = (3, 5, 1) e Q = (-
1, 0, 3). Pode-se calcular diretamente pela expressão: 
 
 
 
Como a seguir: 
 
 
Ou ainda, pode-se calcular inicialmente os componentes de para 
só então calcular o módulo do vetor: 
 
 
 
Com os componentes do vetor, calcule-se o módulo: 
 
 
 
1. Calcule o módulo do vetor = 2 + 7 - 5 . 
 
 
2. Sejam M = (1, 1, 3) e N = (3, 2, 1), determine o módulo de . 
 
Confira a seguir um artigo sobre o Espaço Tridimensional! 
http://www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga2V1aula1.pdf 
 
E para encerrar esta parte da aula, acesse o material on-line e assista 
ao vídeo do professor Nacib Jr. para complementar seus 
conhecimentos! 
 
Vetores Perspectiva Algébrica: Operação por 
Meio das Componentes dos Vetores 
Igualdade de vetores 
Dados = (a1, a2, a3, ... , an) e = (b1, b2, b3, ... , bn) dois vetores 
quaisquer com n componentes cada um, tem-se a = b se, e somente 
se: ai = bi ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n}. 
 
Produto de vetor por escalar 
Ao se multiplicar um vetor por um escalar, os componentes do vetor 
resultante serão dados pelas componentes do vetor inicial multiplicadas 
pelo escalar. 
Formalmente, pode-se dizer que, dado um vetor = (c1, c2, c3, ... , cn) e 
um escalar k ∈ , tem-se: 
 
k . = (k . c1, k . c2, k . c3, ... , k . cn) 
 
Por exemplo, para = (-2, 1) e k = 2: 
 
 
= (-2 , 1) 
2 . = 2 . (-2 , 1) 
2 . = (2 . (-2), 2 . 1) 
2 . = (-4 , 2) 
Por exemplo, para = (8, 4) e k = 3: 
 = (8 , 4) 
3 . = 3 . (8 , 4) 
3 . = (3 . 8, 3 . 4) 
3 . = (24 , 12) 
 
Nos dois exemplos, as componentes do vetor k. foram calculadas 
algebricamente, sem necessidade de se recorrer aos desenhos, 
incluídos nos exemplos apenas como recurso pedagógico. 
 
Observe os exemplos a seguir: 
 
1) Dado = (1. -3, 5) e k = 6, determine as componentes de k . . 
 = (1 , -3, 5) 
6 . = 6 . (1, -3, 5) 
6 . = (6 . 1, 6 . (-3), 6 . 5) 
6 . = (6, -18, 30) 
 
2) Dado = (-2, 0, 1, -7), determine -3 . . 
 = (-2 , 0, 1, -7) 
-3 . = -3 . (-2, 0, 1, -7) 
-3 . = (-3 . (-2), -3 . 0, -3 . 1, -3 . (-7)) 
-3 . = (6, 0, -3, 21) 
3) Dado , encontre as componentes de 0,4 . 
 
 
 
4) Dado = , sendo A = (1, -3, 5) e B = (0, 2, -1), determinar as 
componentes de 2 . . 
Cálculo das componentes de : 
 
 = 
 = - 
 = (0, 2, -1) - (1, -3, 5) 
 = (0 - 1, 2 - (-3), -1 - 5) 
 = (-1, 5, -6) 
 
Cálculo das componentes de 2 . : 
 = (-1, 5, -6) 
2 . = 2 . (-1, 5, -6) 
2 . = (2 . (-1), 2 . 5, 2 . (-6)) 
2 . = (-2, 10, -12) 
 
1. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor 
 = (4, -3, 6)? 
 
 
 
2. Calcule 5 onde é igual a (-1, 7, 0, 4, 2). 
 
 
 
3. Sejam P = (6, 10, 4) e Q = (2, 5, 2) calcule 2 onde = . 
 
 
 
 
Adição e subtração de vetores 
 
Dados dois vetores = (a1, a2, a3, ..., an) e = (b1, b2, b3, ..., 
bn) ambos com n componentes, o vetor + é dado por : 
 + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn). 
 
Observe o exemplo a seguir, para vetores com duas componentes: 
Dados 1 = (2, 4) e 2 = (3, 2), calcular 1 + 2. 
1 + 2 = (2, 4) + (3, 2) 
1 + 2 = (2 + 3, 4 + 2) 
1 + 2 = (5, 6) 
 
Representação geométrica de 1 + 2: 
 
 
Mais exemplos: 
1) Dados = (1, 4, 3) e = (5, 2, 0), calcular: + e - . 
 
 
 
2) Dados = (7, -2, 1, 1) e = (-1, 1, 2, 3), calcular: 2 . + 10 
. e 3 . ( - ). 
 
 
 
4. Considere os vetores = (2, 3) e = (-5, 7). Determine: 
 
a) + 
b) 5 + 2 
c) - + 
d) - 
e) -2 + 3 
 
 
 
5. Considere os vetores = (3, 5, 1, 4) e = (4, 0, 2, 6). Calcule 4
 + 3 . 
O valor de 4 + 3 pode ser facilmente calculado. Primeiro vamos 
substituir e por(3, 5, 1, 4) e (4, 0, 2, 6), respectivamente: 
4 + 3 = 4(3, 5, 1, 4) + 3(4, 0, 2, 6) 
 
O próximo passo é multiplicarmos cada componente de = (3, 5, 1, 
4) por 4 e cada componente de = (4, 0, 2, 6) por 3: 
4 + 3 = (4.3, 4.5, 4.1, 4.4) + (3.4, 3.0, 3.2, 3.6) 
Que resulta em: 4 + 3 = (12, 20, 4, 16) + (12, 0, 6, 18) 
 
Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor: 
4 + 3 = (12 + 12, 20 + 0, 4 + 6, 16 + 18) 
Logo: 
4 + 3 = (24, 20, 10, 34) 
Portantoa soma 4 + 3 é igual a (24, 20, 10, 34) 
 
Produto Escalar 
 
Operação de ampla utilização na física, no cálculo de ângulos e em 
problemas geométricos de modo geral, retorna como resultado um 
número real (escalar) e pode ser definida como a seguir: 
 
Dados dois vetores = (a1, a2, a3, ..., an) e = (b1, b2, b3, ..., bn), 
ambos com n componentes, o produto escalar entre eles, denotado 
por . , é dado por: 
 
 . = (a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 + ... + an . bn) 
 
Exemplos: 
1) Dados = (5, 0), = (-2, 0) calcular: . . 
 . = 5 . (-2) + 0 . 0 
 . = -10 
 
2) Dados = (3, 0) e = (0, -4), calcular: . . 
 . = 3 . 0 + 0 .(-4) 
 . = 0 
 
3) Dados = (3, 1) e = (-4, 5), calcular: . . 
 . = 3 . (-4) + 1 . 5 
 . = -12 + 5 
 . = -7 
 
4) Dados = (-1, 2, -3, 4), = (5, 7, -6, 4) calcular: . . 
 . = -1 . 5 + 2 . 7 + (-3).(-6) + 4 . 4 
 . = -5 + 14 + 18 +16 
 . = 43 
 
Propriedades do produto escalar: 
 
Dados três vetores quaisquer, 1, 2 e 3, cada um 
com n componentes, e um escalar real k, são válidas as propriedades: 
 
I) 1 . 2 = 2 . 1 
II) 1 . ( 2 + 3) = 1 . 2 + 1 . 3 
III) 𝑘. (𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑘. 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ). 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . (𝑘. 𝑣2)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
IV) 1 . 1 > 0, se 1 ≠ e 1 . 1 = 0, se, e somente se, 1 = 
 
O produto escalar entre dois vetores e , cada um 
com n componentes, também pode ser formulado por: 
 
 
 
Sendo o ângulo entre os vetores e . 
Exemplos: 
 
1) Dados = (5, 0) e = (-2, 0), calcular . . 
Como o ângulo entre e é de 180º, tem-se: 
 
 
 
 
2) Dados = (3, 0) e = (0, -4), calcular . . 
Neste, e formam entre si dois ângulos de diferentes medidas, um 
de 90º e o outro de 270º - considere sempre o de menor medida. Assim: 
 
 
 
 
6. Sejam os vetores = 2 + 7 + 4 e = 5 + 6 + 3 . 
Determine . . 
 
O produto escalar . é obtido a partir da soma dos produtos das 
componentes dos vetores e , ou seja, . = 2 . 5 + 7 . 6 + 4 . 3. 
Fazendo as devidas multiplicações, temos: 
. = 10 + 42 + 12 
Que resulta em: . = 64 
7. Determine o produto escalar . onde = (2, 1, 5, 3, 7) e 
 = (5, 2, 8, 3, 1). 
 
O produto escalar . pode ser calculado como segue: 
. = 1 . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 ... + n . n 
Em particular, o produto . com = (2, 1, 5, 3, 7) e = (5, 2, 8, 3, 
1) é igual a: 
. = 2 . 5 + 1 . 2 + 5 . 8 + 3 . 3 + 7 . 1 
Somando os termos, temos: . = 68 
Logo, o produto escalar . é igual a 68. 
 
8. Calcule o produto escalar entre os vetores = (5, 0) e = (0, 
6) utilizando a expressão . = | |.| |.cos θ. 
 
 
 
Produto Vetorial 
Esta é também uma operação de ampla utilização na física e no cálculo, 
e retorna como resultado um vetor. Pode ser definida como a seguir: 
Dados dois vetores = (a1, a2, a3) e = (b1, b2, b3), ambos com 3 
componentes, o produto escalar entre eles, denotado por x , é 
dado por: 
 
Aplicações dos produtos vetorial e escalar serão estudadas nas 
próximas aulas! 
Exemplo: Dados = (1, 0, 2) e = (-4, 3, 5) , calcular: x . 
 
 
 
9. Dados os vetores = (4, 1, 2) e = (3, 4, -1), calcule o produto 
vetorial x . 
 
 
 
 
10. Dados os vetores = (4, 1, 2) e = (3, 4, -1), calcule o produto 
vetorial x . 
 
 
Sugestões de Estudo 
 
Para conhecer um pouco mais sobre Produto Escalar e Vetorial, e 
Operações com Vetores na Perspectiva Analítica, confira os links a 
segur! 
 
https://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo 
 
https://www.youtube.com/watch?v=pVZucIu-icY 
 
https://www.youtube.com/watch?v=1q3RAr4wsjU 
 
Se você quiser ler um mais sobre as Operações com Vetores, clique 
no botão Saiba Mais e aprecie! 
 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/ca
pitulos/cap91s4.html 
 
Muito bem! Chegamos ao final de mais uma aula de Geometria 
Analítica. Para fixar melhor os conteúdos, veja no material on-line o 
vídeo preparado pelo professor Nacib Jr. e aprimore seus 
conhecimentos! 
 
Na prática 
Vamos colocar em prática o que estudamos nessa aula! Agora que já 
sabemos resolver situações que envolvem a soma de vetores, vamos 
ajudar o Júlio a resolver o seu problema que consiste em encontrar o 
vetor que vai do tanque 1 ao tanque 2. 
Sabendo que o vetor 𝑣1⃗⃗⃗⃗ que indica a posição do tanque 1 é dado por 
𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (70,−20, 0) e o vetor 𝑣2⃗⃗⃗⃗ que indica a posição do tanque 2 é dado 
por 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (−53, 10,5), encontre o vetor 𝑣 que tem origem no tanque 1 e 
final no tanque 2. 
Para encontrarmos o vetor 𝑣 , precisamos resolver o seguinte problema: 
𝑣 = 𝑣2⃗⃗⃗⃗ − 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 
Substituindo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ por (70,−20, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ por (−53, 10, 5), temos: 𝑣 =
(−53, 10, 5) − (70,−20, 0) 
Vamos agora subtrair as respectivas componentes: 𝑣 = (−53 −
70, 10 − (−20), 5 − 0) 
O que resulta em: 
𝑣 = (−123,30, 5) 
Portanto, o vetor 𝑣 que tem origem no tanque 1 e final no tanque 2 é 
dado por 𝑣 = (−123, 30, 5). Agora Júlio já sabe como continuar a 
desenvolver o seu jogo. 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Nessa aula, você aprendeu a representar um vetor em um plano 
cartesiano ortogonal. Aprendeu também o que são as componentes de 
um vetor, o que são vetores equipolentes e o que são vetores, a calcular 
a inclinação de um vetor utilizando as suas componentes e representar 
vetores tridimensionais como uma combinação linear dos vetores 
canônicos i, j e k. E por fim, aprendeu a realizar operações vetoriais 
utilizando as componentes dos vetores. 
Até a próxima! 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.

Outros materiais

Outros materiais