AULA 01 Calculo III

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Cálculo Diferencial 
e Integral III
Prof: Marcelo R. Munhoz
Aula 1
Objetivos
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• Identificar uma Equação Diferencial (ED)
• Classificar quanto a Ordem uma ED
• Identificar o grau de uma ED
• Verificar se uma solução dada é solução para 
determinada ED
• Identificar os tipos de solução das Equações 
Diferenciais
• Identificar e Resolver Equações de Variáveis 
Separáveis
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED)
Chamamos de equação diferencial toda 
equação em que aparece pelo menos uma 
derivada ou diferencial da função incógnita.
032  yx
dx
dy
Exemplos:
0)()( 22  dyyxdxyx
senxyy  3)'(''
0
2
2
2
2






y
z
x
z
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EQUAÇÕES DIF. ORDINÁRIAS E PARCIAIS
Uma Eq. Dif. Ordinária (EDO) envolve funções de 
uma variável e suas derivadas, enquanto uma Eq. 
Dif. Parcial envolve funções de muitas variáveis e 
suas derivadas.
Exemplos:
032  yx
dx
dy
0
2
2
2
2






y
z
x
z
EDO
EDP
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ORDEM E GRAU DE UMA EQ. DIFERENCIAL
Vamos considerar as equações abaixo:
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SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Consideremos a equação diferencial y” + 4y = 0. 
Será que y = cos2x – 3sen2x é solução da
Equação diferencial dada?
Precisamos determinar a segunda derivada e
substituir na equação diferencial, verificando se
realmente será uma identidade.
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Equação diferencial y” + 4y = 0. 
y = cos2x – 3sen2x
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TIPOS DE SOLUÇÃO DE UMA EQ.DIFERENCIAL
Solução geral
é a solução que contém tantas constantes
arbitrárias quantas são as unidades da ordem da
equação.
Exemplos: y(x) = x2 + C 
y(x) = C1.e
x + C2.e
2x
Solução particular
é toda solução obtida da solução geral, quando
atribuímos valores particulares às constantes.
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PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Seja y = C1e
-2t + C2e
-3t a solução geral da eq. Dif.
y” + 5y´ + 6y = 0. 
Encontre a solução do problema de valor inicial 
(PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3.
Vamos encontrar o valor das constantes C1 e 
C2.
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Seja y(0) = 2, onde t = 0 e y = 2.
y = C1e
-2t+C2e
-3t => 2 = C1e
-2(0)+C2e
-3(0) =>2 = C1 + C2
Seja y`(0) = 3, onde t = 0 e y` = 3.
y = C1e
-2t + C2e
-3t => y`= -2C1e
-2t - 3C2e
-3t 
3 = -2C1e
-2(0) - 3C2e
-3(0) => 3 = -2C1 - 3C2
11
79
332
2
21
21
21






CeC
CC
CC
Vamos resolver o sistema de equações.
Logo, a solução particular será: y = 9e-2t - 72e
-3t 
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EQUAÇÃO DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
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1.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 
13  x
dx
dy
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2.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis
y dx – x dy = 0. 
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