Apostila Geometria e Álgebra

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UNIVAS – UNIVERSIDADE DO VALE DO SAPUCAÍ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E 
ÁLGEBRA LINEAR II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Felipe S. de Godoy 
 
 
2015
CAPÍTULO 1 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
Existem dois tipos de grandezas físicas: as escalares e as vetoriais 
 
As grandezas escalares ficam completamente definidas por apenas um número real 
acompanhado de uma unidade adequada. Podemos citar como exemplos: comprimento, 
área, volume, massa, temperatura, densidade. 
 
 As grandezas vetoriais ou simplesmente vetores como velocidade, força, impulso, 
quantidade de movimento, para serem completamente identificadas precisam, além da 
intensidade (módulo), a direção e o sentido. Geometricamente, vetores são 
representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido 
de percurso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada 
ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou 
origem do segmento orientado. Segmentos orientados com mesma direção, mesmo 
sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. A direção, o sentido e o 
comprimento do vetor são definidos como sendo a direção, o sentido e o comprimento 
de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. A definição de igualdade 
de vetores é análoga a igualdade de números racionais. Dizemos que dois vetores são 
iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
No estudo de vetores dois tratamentos se completam: geométrico e algébrico. 
 
1.2 – PLANO CARTESIANO R2 
 
É o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais, em linguagem 
matemática temos: ( ){ }ℜ∈ℜ∈=ℜℜ=ℜ yxyxx ,,2 
A cada par ordenado (x, y) é associado um ponto P do plano cartesiano. No qual P é 
o ponto do plano cartesiano definido a partir das coordenadas cartesianas x e y. A 
coordenada x é denominada abscissa de P enquanto a coordenada y é a ordenada de P. 
 
Obs: É importante observar que o plano cartesiano R2 divide-se em quatro regiões, 
denominadas quadrantes, conforme estão mostrados a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I quadrante II quadrante 
III quadrante IV quadrante 
x 
y 
Exercício: Represente geometricamente os pares ordenados (-2, 3), (3, 2), (2, -2) e (-3, -3) 
. 
1.3 – ESPAÇO CARTESIANO R3 
 
É o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais (x, y, z), em linguagem 
matemática podemos escrever: ( ){ }ℜ∈ℜ∈ℜ∈=ℜℜℜ=ℜ zyxzyxxx ,,,,3 . 
A cada tripla ordenada (x, y, z) é associado um ponto P no espaço. No qual P é o 
ponto do espaço cartesiano definido a partir das coordenadas cartesianas x, y e z que 
recebem, respectivamente, as denominações abscissa, ordenada e cota de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: É fácil perceber que o plano cartesiano R2 é um subconjunto do R3, para z = 0. 
 
Exercícios: Represente geometricamente os pontos: 
 
a) P1 = (2, 3, 5) 
b) P2 = (4, -3, 4) Resolvido como exemplo 
c) P3 = (-3, 4, 3) 
d) P4 = (-2, -2, -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 – DEFINIÇÕES 
 
1.4.1 – Reta 
 
 Conjunto de pontos 
 
x 
y 
z 
P = (x, y, z) 
y 
x 
z 
x 
y 
z 
. 
– 3 
4 
4 P2 
1.4.2 – Reta Orientada (eixo) 
 
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado 
positivo e indicado por uma seta. 
Para todo eixo deve-se definir a origem O, a unidade de comprimento e o sentido 
positivo. 
 
 
 
 
Obs: Considerado o sentido positivo de orientação, o sentido oposto é negativo. 
 
1.4.3 – Segmento de Reta 
 
Determinado por um par ordenado de pontos 
 
 
 
 
 
1.4.4 – Segmento de Reta Orientado 
 
Um segmento de reta orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o 
primeiro chamado origem do segmento e o segundo chamado extremidade (ponto final). 
O segmento orientado de origem A, e extremidade B será representado por AB e 
geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do 
segmento. 
 
 
 
 
 
 
 Módulo (comprimento): Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento 
orientado pode-se associar um número real, positivo, que é a medida do segmento em 
relação àquela unidade. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 O comprimento do segmento AB acima é de 7 unidades de comprimento e é 
representado por .c.u 7AB = 
 
 
 
Direção e sentido: Dois segmentos orientados não nulos AB e CD tem a mesma 
direção se as retas suportes desses segmentos são: 
- 
0 2 1 3 -3 -2 -1 x 
+ 
A B 
AB
 
A B 
 
Características: 
- Módulo 
- Direção 
- Sentido 
A B 
1 u 
 
a) Paralelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Coincidentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.5 – Segmento nulo 
 
É aquele cuja extremidade coincide com a origem. 
 
1.4.6 – Segmentos opostos 
 
Se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto de AB. 
 
1.4.7 – Segmentos Equipolentes 
 
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, 
o mesmo sentido e o mesmo comprimento (módulo). AB ~ CD equipolência 
 
1.4.8 – Vetor 
 
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os 
segmentos orientados eqüipolentes a AB. 
 
 
 
 
 
 
Se indicarmos por v este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: 
{ }ABXYXYv ~/= onde XY é um segmento qualquer do conjunto. 
A 
B 
X 
y 
v 
Sentidos opostos 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
D 
Mesma direção 
Mesmo sentido 
Mesma direção 
Sentidos opostos 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
D 
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou AB − ou v . O módulo de v 
se indica por v 
 
1.4.9 – Vetor Nulo 
 
É um vetor cuja origem coincide com a extremidade e tem módulo igual a zero, e é 
indicado por 0 . 
 
1.4.10 – Vetores Opostos 
 
Possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 
Dado um vetor ABv = , o vetor BA é o oposto de AB e indicamos por AB− ou por 
v− . 
 
1.4.11 – Vetores iguais 
 
Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB~CD. Se 
),(),( 2211 yxveyxu == então vu = se, e somente se, 2121 yyexx == 
 
1.4.12 – Vetor Unitário 
 
É um vetor de módulo igual a um e serve para caracterizar uma direção. É representado 
por um acento circunflexo acima da letra. 
 
1.4.13 – Versor 
 
O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido 
de v . 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.14 – Vetor Posição: 
 
É um vetor cuja origem coincide com a origem do sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
x 
y 
z 
P OP vetor posição 
x 
y 
0 
A B 
1 u 
=> versor de AB 
1.4.15 – Vetores colineares 
 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja são colineares 
se pertencerem a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
Obs: Dois vetores não colineares formam um plano. 
 
 
 
 
 
1.4.16 – Vetores Coplanares 
 
Se os vetores não nulos wevu, (o número de vetores não importa) possuem 
representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são 
coplanares. 
 
Obs: Dois vetores são sempre coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 – VETORES NO PLANO R2 
 
Neste tópico o par ordenado (x,y) será associado a um segmento orientado, 
representante geométrico da grandeza vetor. 
O vetor ),( yxv = possui no plano cartesiano, 
infinitas representações geométricas, pois:OPBABABAv nn ===== ...2211 
 
 
 
 
 
 
 
nn BABABA === ...2211 são vetores livres (origem arbitrária) 
OP vetor posição 
ABABv −== � ),(),( ABAB yyxxyxv −−== 
 
A1 
B1 
A2 
B2 
O 
P 
x 
y 
F A 
B 
E 
C 
D 
w
r
u 
v
r
w 
u
r
 
π
 
),( yxv = x e y são as coordenadas canônicas do vetor v . 
1.5 – OPERAÇÕES GRÁFICAS COM VETORES 
 
1.5.1 – Soma e subtração de vetores: 
 
Sejam dois vetores Ar e Br não nulos, a soma gráfica será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na subtração: )B(ABAT
rrrrr
−+=−= 
 
 
 Propriedades da soma: 
1) comutativa: ABBA
rrrr
+=+ 
2) associativa: ( ) )CB(ACBA rrrrrr ++=++ 
3) Elemento Neutro: AA00A
rrrrr
=+=+ 
4) Elemento Oposto: 0A)A()A(A
rrrrr
=+−=−+ 
 
1.5.2 – Multiplicação por um escalar (real) 
 
 Dado um vetor 0A
rr
≠ e um número real 0α ≠ , o produto do escalar α pelo vetor 
A
r
 será: 
 
AαP
rr
= 
 
Módulo: AP
rr
α= 
Direção: a mesma de A
r
 (vetores colineares) 
P
r
 Sentido: 0>α � mesmo sentido de A
r
 
 0=α � 0P
rr
= 
 0<α � sentido oposto ao de A
r
 
 
 
Propriedades: 
Sejam os vetores u , v e w e os escalares ℜ∈βα , . 
1) Associativa ( ) ( )uuu αββαβα == 
2) Distributiva em relação à adição de vetores ( ) vuvu ααα +=+ 
3) Distributiva em relação à adição de escalares ( ) uuu β+α=β+α 
4) Se 0)0,0,0(0 == ve α então 0=α ou 0=v 
BAS
rrr
+=
 
A
r
 
B
r
 
A
r
 
B
r
 
BAS
rrr
+=
 
BAS
rrr
−= 
A
r
 B
r
− 
A
r
 
A
r
α+
 
A
r
α−
 
5) vvvvv de oposto o é ' onde ')1( =−=− 
 
Obs: a) O vetor vrα é sempre paralelo ao vetor vr para 0≠α e 0v
rr
≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja um vetor vrα , com 0≠α e 0v rr ≠ . Se fizermos com que o número α , percorra 
o conjunto dos Reais, teremos infinitos vetores colineares a vr e, portanto colineares 
entre si, isto é, qualquer um deles é sempre múltiplo escalar do outro. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
1.5.3 – Versor: 
O versor de um vetor 0A
rr
≠ é o vetor unitário 
A
A
u r
r
r
=
 ou A.
A
1
uˆ
r
r= 
 
Podemos escrever vˆ.vv vr = , isto é, o vetor vr é o produto de seu módulo pelo vetor 
unitário de mesma direção e sentido de vr . 
 
Pois, 1
A
A
A
A
u === r
r
r
r
r
 
 
1.6 – VETORES NO R2 E NO R3 
 
 Dois vetores 1v
r
 e 2v
r
, não colineares, são sempre coplanares. Como 1v
r
α tem a 
direção de 1v
r
 e 2v
rβ a direção de 2vr , o vetor 21 vvv rrr β+α= será sempre em vetor 
representado no mesmo plano de 1v
r
 e 2v
r
, sejam quais forem os reais α e β . 
 
 
 
 
 
 
 
A
r
 
u
r
 
u 
v 
vu
5
2
= ou uv
2
5
=
 
1v
r
 
1v
r
α
 
2v
r
 
2v
rβ
 
21 vvv
rrr β+α=
 
x 
y 
z 
v 
v
r
α
 
v
r
α−
 
 O vetor vr é combinação linear de 1v
r
 e 2v
r
. O par de vetores 1v
r
 e 2v
r
 é chamado 
base no plano. Aliás, qualquer conjunto { }21 v,v rr de vetores não colineares constitui uma 
base no plano. Os números α e β são chamados componentes ou coordenadas do vetor 
v
r
, na base { }21 v,v rr . 
 Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortogonais. Uma base é dita 
ortogonal quando seus vetores são ortogonais e unitários. 
 Existem infinitas bases ortogonais no plano x0y, porém, a mais importante é a base 
canônica, simbolizada por { }j,i rr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No espaço, qualquer conjunto { }321 v,v,v rrr de vetores não coplanares é uma base. 
Todo vetor vr do espaço é combinação linear dos vetores da base e pode ser escrito 
como 321 vvvv
rrrr γ+β+α= . Os escalares α , β e γ são as componentes de vr na base 
considerada. 
 Uma base no espaço é ortogonal se os três vetores forem unitários e dois a dois, 
ortogonais. Dentre as infinitas bases ortogonais existentes, a mais importante é a base 
canônica representada por { }k,j,i rrr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM VETORES 
 
 Sejam os vetores kajaiaA 321
rrrr
++= , kbjbibB 321
rrrr
++=
 e 
kcjcicC 321
rrrr
++=
 e sendo α um número real. 
 
1.7.1 – Igualdade 
 
 Os vetores A
r
 e B
r
 são iguais quando 11 ba = , 22 ba = e 33 ba = 
 
1.7.2 – Soma 
j
r
 
i
r
 
y 
x 
kzjyixv rrrr ++=
 
P(x,y,z) 
k
r
 
z 
ix
r
 
jy
r
 
kz
r
 
jr
 i
r
 
y 
x ix
r
 
jyr
 jyixv rrr +=
 
P(x,y) 
 
 k)ba(j)ba(i)ba(BAs 332211
rrrvrr
+++++=+= 
 
Exemplo: Se )8,4,4(ve)5,2,3( −=−= encontre os vetores 
uv e vu
rrrr
++ 
 
)13,2,1()58,24,34(uv )13,2,1()85,42,43(vu −=++−−=+−=+−+−=+ rrrr
 
1.7.3 – Subtração 
 
 k)ba(j)ba(i)ba(BAt 332211
rrrvrr
−+−+−=−= 
 
1.7.4 – Multiplicação de um número real por um vetor 
 
 ( ) kajaiakajaiaAp 321321 rrrrrrrr α+α+α=++α=α= 
 
 
 
1.8 – CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
 
Se )z,y,x(v e )z,y,x(u 222111 == são colineares (paralelos), existe um número 
k tal que vku rr = , logo, 
)zk,yk,xk()z,y,x( )z,y,x(k)z,y,x( 222111222111 =⇒= 
 
Assim, pela definição de igualdade de vetores: 
 
2
1
21
2
1
21
2
1
21
z
zk zkz
y
yk yky
x
xk xkx
=⇒=
=⇒=
=⇒=
 � 
 
Exemplo: Dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. Os 
vetores )12,9,6( e )4,3,2( −−=−−= vu são paralelos, pois: 
 
3
1k 
12
4
9
3
6
2k 
z
z
y
y
x
xk
2
1
2
1
2
1
=⇒
−
−
==
−
−
=⇒===
 
 
1.9 – PRODUTO ESCALAR 
 
Chama-se produto escalar (produto interno usual) de dois vetores 
kzjyixu 111 ++= e kzjyixv 222 ++= , e se representa por u e v 
ao número real (escalar): 
k
z
z
y
y
x
x
===
2
1
2
1
2
1
 
 
212121 zzyyxxvu ++=⋅ 
 
O produto escalar de u e v também é indicado por <u , v > e se lê 
“u escalar v ”. 
 
Exemplo: Se kjivekjiu −−=+−= 24853 tem-se: 
 
14)1(8)2()5(43 =−⋅+−⋅−+⋅=⋅ vu 
 
Propriedades do Produto Escalar 
 
Para quaisquer que sejam os vetores )z,y,x(u 111=r , )z,y,x(v 222=r e 
)z,y,x(w 333=
r
 e 
ℜ∈α , é fácil verificar que: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
uuu)5
vuvuvu)4
)vetoresdeadiçãoàvadistributi(wuvuwvu)3
)comutativa(uvvu)2
0,0,00u se somente 0uue0uu )1
=⋅
α⋅=⋅α=⋅α
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
===⋅≥⋅
 
 
1.10 – Módulo de um vetor 
 
 Módulo de um vetor )z,y,x(v =r , representado por vr , é o número real não 
negativo, 
 
vvv
rrr
.= 
 
( ) ( ) 222 zyxv z,y,xz,y,xv ++=→⋅= 
 
Exemplo: ( ) 39414)2()1()2(v então, 2,1,2v Se 222 ==++=−++=−= 
 
1.11 – Versor de um vetor 
 
)
3
2
,
3
1
,
3
2()2,1,2(
3
1
v
v
u
:se- tem,upor designadofor exemplo do v vetor do versor o Se
−=−==
 
 
1
9
4
9
1
9
4
3
2
3
1
3
2
3
2
,
3
1
,
3
2
:pois unitário, vetor um verdade,na é, versor O
222
=++=





−+





+





=





−
 
 
1.12 – Distância d entre os pontos 
 
A distância d entre dois pontos ),,( e ),,( 222111 zyxBzyxA é assim definida: 
 
( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxABABd −+−+−=−== 
 
Exemplos: 
 
 1. Sabendo que a distância entre os pontos A (-1, 2, 3,) e B (1, -1, m) é 7, calcular m. 
93
 temosequaçãoa resolvendo 7)3()3((2) 7)3,3,2(
7 assim )3,3,2()3,21),1(1(
222
=−=
=−+−+⇒=−−
==−−=−−−−−=−=
moum
mm
ABdmmABAB
 
 
2. Determinar α para que o vetor 





−=
4
1
,
2
1
,αv seja unitário. 
 
4
11
:
1
4
1
2
1
 seja,ou ,1v ter se-Deve
22
2
±=
=





+





−+=
α
α
temosresolvendo
 
 
1.13 – ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 
O ângulo de dois vetores ur e vr não nulos é o ângulo θ formado pelas semi retas 
AO e OB tal que piθ ≤≤0 . 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
a) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
b) Se ur é ortogonal a vr e α é um número real qualquer, ur é ortogonal a vrα . 
 
O ângulo formado por dois vetores u e v . 
 
:então ,v e u vetoresdos ângulo o é se e 0v ,0u Se θ≠≠ 
 
θ 
O 
A 
B 
u 
v 
Podemos escrever: 
 
 
 
Concluindo: O produto escalar de dois vetores ut e vr é o produto dos seus módulos 
pelo co-seno do ângulo por eles formado. 
 
Casos particulares: 
a) Se 0>⋅vu o ângulo é agudo ou nulo º90º0 <≤ θ 
b) Se 0<⋅vu o ângulo é obtuso ou raso º180º90 ≤< θ 
c) Se 0=⋅vu o ângulo é reto º90=θ Caso de Ortogonalidade 
 
Importante: 
 






→=θ
=
=
=⋅
laresperpendicu vetores 90º se
ou 0v se
ou 0u Se
 0vu
rr
rr
rr
 
 
Pela equação (I) podemos calcular o ângulo entre dois vetores; 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores )2,2,1()4,1,1( −== veu 
( ) ( )
º45)
2
2(cos
2
2
2
1
323
9
918
821
22)1(411
2,2,14,1,1
cos
222222
==
==
×
=
×
++−
=
++−×++
−⋅
=
arcθ
θ
 
 
1.14 – Ângulo Diretores e Co-Senos Diretores de um Vetor 
 
Seja o vetor kzjyixv rrrr ++= . Os ângulos diretores de vr são os ângulos γβα e , 
formados com os vetores k e j ,i rrr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θcosvuvu =⋅
 
vu
vu ⋅
=θcos
 
α 
β 
γ 
i j 
k 
x 
y 
z 
v
 
Co-senos diretores de vr são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, 
.cose,cos,cos γβα 
 
Para o cálculo dos co-senos diretores utilizaremos a Fórmula: 
 
v
z
1v
)1,0,0()z,y,x(
kv
kv
cos
v
y
1v
)0,1,0()z,y,x(
jv
jv
cos
v
x
1v
)0,0,1()z,y,x(
iv
iv
cos
=
⋅
=
⋅
=γ
=
⋅
=
⋅
=β
=
⋅
=
⋅
=α rrrr
rr
 
 
Propriedades: 
 
a) As componentes do versor de um vetor são os co-senos diretores deste vetor. 
 
)cos,cos,(cos,,),,(ˆ γβα==== 






v
z
v
y
v
x
v
zyx
v
v
v rrrrr
r
 
 
b) Como o versor de vr é um vetor unitário, tem-se que: 
 
12cos2cos2cos)cos,cos,(cos =++= γβαγβα
 
 
o que decorre: 12cos2cos2cos =++ γβα 
 
Portanto, a soma dos quadrados dos co-senos diretores de um vetor é igual a 1. 
 
 
1.15 – Projeção de um Vetor 
 
Sejam os vetores ur e vr , com θ≠≠ e 0v e 0u o ângulo formado por eles. 
Pretendemos calcular o vetor w que representa a projeção de . sobre vu 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo vem: 
v
vu
vu
vu
ucosuw r
rr
rr
rr
rrr ⋅
=
⋅
=θ=
 
θ 
u 
w v 
 
 Como os vetores wr e vr têm a mesma direção, segue-se que: vkw rr = , com ℜ∈k 
 
 2
v
vuk
v
1
v
vu
v
1
wkou vkw :Então ⋅=∴
⋅
===
 
v
v
vu
w :Assim 2












⋅
=
 
Portanto, o vetor projeção de )(proj. sobre 
v
wuvu =
 é: 
 
v
vv
vuproj
v
v
v
v
uproj uvuv 






⋅
⋅
=







⋅= vrr
r
r
r
r
r
r
r ou 
 
 
Exemplo: Determine o vetor projeção de )0,1,1( sobre )4,3,2( −== vu 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 

























−=−−=−
−
=
−
−⋅−
−⋅
=
⋅
⋅
=
0,
2
1
,
2
1
0,1,1
2
1
0,1,1
2
32
0,1,1
0,1,10,1,1
0,1,143,2,
 
u
v
proj
v
vv
vuu
v
proj
r
r
vr
r
r
 
 
1.16 – PRODUTO VETORIAL 
 
Há uma operação espacial para vetores ur e vr 3em ℜ , chamada produto vetorial, 
e denotada por vu × (lê-se: ur vetorial vr ). 
 
 
Sejam kajaiau 321 ++= e kbjbibv 321 ++= , tem-se que: 
 
k)baba(j)babai)baba(vu 122131132332 −+−−−=× ( 
 
Note-se que vu x é um vetor, daí a designação de produto vetorial (também 
chamado de produto externo) de vu x . 
 
Utilizando a notação de determinante, onde bcad
dc
ba
−= , o produto vetorial 
também pode ser expresso como: k
bb
aaj
bb
aa
i
bb
aa
vu
21
21
31
31
32
32 +−=× ou 
equivalente, 
 
321
321
bbb
aaa
kji
vu =× 
 
 Na verdade o símbolo à direita da igualdade não é um determinante, pois a primeira 
linha contém vetores ao invés de escalares. No entanto usaremos esta notação pela 
facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. 
Observemos que os determinantes de 2º ordem estabelecidos a partir do produto 
vetorial eliminam na seqüência a 1ª coluna, a 2ª coluna e a 3ª coluna. 
 
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores kivkjiu +=++= e345 
 
101
345
kji
vu =× k
01
45j
11
35
i
10
34
vu +−=× 
k4j2i4vu
k)40(j)35(i)04(vu
−−=×
−+−−−=×
 
 
Refaça este exercício trocando a ordem dos fatores no produto vetorial e perceba que 
não existe comutatividade nesta operação vetorial. 
 
Propriedades do produto vetorial: 
 
Sejam 3 emvetorese, ℜwvu 
 
v aeu a ortogonal é vuw vetor o)1 ×= 
 
0kkjjii :que resulta epropriedad desta 
u seja quequalquer ,0uu)2
=×=×=×
=×
 
 
kiik ; jkkj ; ijji :que resulta epropriedad desta 
uvvu)3
×−=××−=××−=×
×−=×
 
 
wuvu)wv(u)4 ×+×=+× 
 ( ) ( ) ( )vuvuvu)5 α×=×α=×α 
 
{ }
 jik ; ikj ; kji 
 :que temosk,j,i canônica base da vetoresos observando 
 triedro.um de arestas das direções as têmvuev,u vetoresos)6
=×=×=×
×
 
 ( )2222 vuvuvu)7 ⋅−=× , conhecida como identidade de Lagrange, também pode 
ser escrita como: ( )( ) ( )2vuvvuu)vu()vu( ⋅−⋅⋅=×⋅×
 
 ( ) wvu)wv(ué isto , vetorialproduto O)8 ××≠×× ,oassociativ é não 
 
:veu vetoresdos ângulo o é se e 0v,0u Se)9 θ≠≠ 
 
 θ=× senvuvu rrrr 
 
 tˆ sen v uvu θ=× rrrr � vetor 
 






→=θ
=
=
=×
colineares vetores 180ºou 0º se
ou 0v se
ou 0u Se
 0vu )10
rr
rr
rrr
 
 
1.16.1 – Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores 
 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores vu e mede a área do 
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ACvABu == e da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ=
θ==
senvu ABCD Área :escrever podemos
senvh e hu ABCD Área a Como
 
ABCD Áreavu : teremoslogo
senvuvu como mas
=×
θ=×
 
 
Exemplo: Dados os vetores zyvezyxu ˆ3ˆ ˆˆ2ˆ +−=−+= calcular a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores uveu −3 . 
θ
 
h v 
u
 
A B 
C D 
θ
 
u
r
 
v
r
 
vu
rr
× 
tˆ 
 
Sabemos que a área A é dada por vuA ×= assim: 
)4,3,1(uv e )3,6,3(u3 como )uv()u3(A −−=−−=−×=
 
 
u.a.353315981225)3,9,15(A
)3,9,15(
431
363
kji
)uv()u3(==++=−−=
−−=
−−
−=−×
 
 
 
1.17 – PRODUTO MISTO 
 
Dados os vetores abaixo: 
 
kzjyixwekzjyixvkzjyixu 333222111 ; ++=++=++= 
 
Tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores wvu e, ao número 
real ( ).wvu ×⋅ Indica-se o produto misto por ( )wvu ,, e lê-se: ur escalar vr vetorial wr . 
 
( )
33
22
1
33
22
1
33
22
1 yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
xw,v,u +−=
 
 
( )
333
222
111
zyx
zyx
zyx
w,v,u =
 � escalar 
 
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores abaixo: 
 
kjiwekjivkjiu 23433;532 +−=++−=++= 
 
( ) 27
234
331
532
w,v,u =
−
−= 
 
Propriedades do produto misto 
 




 ===
=ו
coplanares forem vetores trêsos se
ou colineares forem deles dois se
ou 0wou 0vou 0u Se
 0wvu )1
rrrrrr
rrr
 
 
( ) 0
zyx
zyx
000
w,v,u 
:forma desta 0) 0, (0, são scomponente suas as nulo é u se a) 
333
222 ==
 
 
 kzjy ixu ou v u 
: temos,colineares são v e u se mas nulos, são v nem ,u nem se b) 
222 α+α+α=α=
 
 
( ) 0 ,, 
333
222
222
==
zyx
zyx
zyx
wvu
ααα
 
 ( )
( ) .coplanares são w e v , u que significa w,v,u de anulamento O 
nulo. é wvuescalar produto o ,ortogonais são wveu se c) ×⋅×
 
 
2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores (propriedade cíclica): 
 ( ) ( ) ( )v,u,wu,w,vw,v,u == 
 
Entretanto o produto misto muda de sinal se trocam as posições de dois vetores 
consecutivos, isto é: ( ) ( )w,u,vw,v,u −= 
 
Resulta desta propriedade que os sinais ×⋅ e permutam entre si: 
 ( ) ( ) wvuwvu ⋅×=×⋅ 
 ( ) ( ) ( )r,v,uw,v,urw,v,u)3 +=+ 
 ( ) ( ) ( )w,v,uw,v,u)w,v,u(w,v,u)4 α=α=α=α 
 
Obs: O produto vetorial e o produto misto não são definidos para 2ℜ 
 
Exemplo: Qual deve ser o valor de m para que os vetores abaixo sejam coplanares? 
zyzyxzyxma ˆ4ˆ2c ˆ3ˆˆb ˆˆ2ˆ +−=+−=−+= 
 
Solução: 
3 m 0 2 8 6m 4m 0
4 20
3 11
12 m
)c,b,a(
0)c,b,a( :tersedeve,coplanaressejamceb,aquePara
=⇒=+−+−⇒=
−
−
−
=
=−
 
 
1.17.1 – Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 
 
Geometricamente, o produto misto ( )wvu ×⋅ é igual, em módulo, ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores ACwABvADu === e, 
O volume é dado por: ( ) ( )w,v,uwvuV =×⋅= 
 
Obs: Volume do tetraedro = 1/6 do volume do paralelepípedo. 
 
( ) ( )wvuwvuVT ,,61x61 =⋅= 
 
Exemplo: Dados os vetores ),1,1,1()1,2,3(),0,5,( −=−== wevxu calcular o 
valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por wevu, seja 24 u.v. 
(unidades de volume). 
 
Solução: Como o volume do paralelepípedo é dado por: ( ) 24,, =wvu , então: 
 
( )
44 2420 
42420:
2420 volumedo equação Pela
2024 
11 1
1 23
0 5 
 ,, 
−=∴=−−
=∴=+
=+
+⇒=
−
−=
xx
xxassim
x
x
x
wvu
 
 
 
4.18 – DUPLO PRODUTO VETORIAL 
 
Dados os vetores abaixo: 
 
kzjyixwekzjyixvkzjyixu 333222111 ; ++=++=++= 
 
Chama-se duplo produto vetorial dos vetores wvu e, (lê-se: uv vetorial vv 
vetorial wr ) ao vetor ).wv(u ×× 
Propriedades: 
 
1) O produto vetorial não é associativo, então: w)vu()wv(u ××≠×× 
 
2) O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com 
coeficientes escalares (regra do termo central): 
 
( ) ( )wvuvwu)wv(u ⋅−⋅=××
 
 
Esta fórmula pode ser escrita sob a forma de determinante: 
wuvu
wv )wv(u
⋅⋅
=××
 
Exemplo: Dados os vetores abaixo, determine ).wv(u ×× 
kjiwejivkjiu 432623 ++=−=−−= 
Solução: 
 
27463213
806)1(223
−=⋅−⋅−⋅=⋅
=⋅−−⋅−⋅=⋅
wu
vu
 
 
278
wv
wuvu
wv )wv(u:Assim
−
=
⋅⋅
=××
 
 
kjikjijiwvu
kjijiwvwvu
32362322482754)(
)43(8)2(27827)(
−+−=−−−+−=××
++−−−=−−=××
rrr 
 
 
CAPÍTULO 2 
RETAS 
 
2.1 – EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
 
 Seja r uma reta que passa pelo ponto A e que tem a direção do vetor não nulo vr . Para 
que o ponto P pertença à reta é necessário que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde o vetor vr é chamado de vetor diretor da reta, e, t é o parâmetro. 
 
2.2 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
 
 Substituindo as coordenadas do vetor k)zz(j)yy(i)xx(AB 111
rrr
−+−+−= na 
equação vetorial da reta temos: 
 
)()()()( 111 kcjbiatkzzjyyixx
rrrrrr
++⋅=−+−+− 
 Daí vem: 





⋅+=
⋅+=
⋅+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
 
→
 Equações paramétricas da reta r 
 
Reta definida por dois pontos 
 
 A reta definida pelos pontos )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 é a reta que passa pelo A 
(ou B) e que tem a direção do vetor AB , ou seja, é a reta definida pela equação vetorial 
AB ⋅= tAP 
 
 
)z,y,x(A 111
 
( )z,y,xP
 
kcjbiaV rrrr ++=
 
a 
b 
c 
X 
Y 
Z 
V 
r
⋅= tAP � Equação paramétrica vetorial da reta 
Daí: 
( )
( )
( )



−⋅+=
−⋅+=
−⋅+=
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
r
 
 
 
 
 
2.3 – EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
 
 Das equações paramétricas temos: 
c
zz
t
b
yy
t
a
xx
t
1
1
1
−
=
−
=
−
=
 
 Então: 
 


 −
=
−
=
−
c
zz
b
yy
a
xx
 r 111 � Equações simétricas � 



−
−
=
−
−
=
−
−
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
r
 
 
2.4 – EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
 
Das equações simétricas, 
 


 −
=
−
b
yy
a
xx
 
11
 
)xx(
a
byy 11 −=− 
11 yx
a
b
x
a
by +−= 
Fazendo: 
a
b
m = 
 11 yx
a
b
n +−= 
Tem-se: nmxy += 
 


 −
=
−
c
zz
a
xx
r 11 
)xx(
a
c
zz 11 −=− 
11 zx
a
c
x
a
c
z +−= 
Fazendo: 
a
cp = 
 11 zx
a
cq +−= 
Tem-se: qpxz += 
 



+=
+=
qpxz
nmxy
 r � Equações reduzidas da reta r em função de X 
 
 
 
 
)z,y,x(A 111
 
( )z,y,xP
 ( )222 z,y,xB
 
Casos particulares: 
 
 
 
a) Reta paralela ao plano coordenado YZ. 
 
 
V 
r
⋅= tAP � Equação paramétrica vetorial 
 





⋅+=
⋅+=
=
ctzz
btyyr
1
1
1xx
 
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11
 , xx
c
zz
b
yy
r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmyz
xx
 r
1
 � Equações reduzidas 
 
 
 
 
b) Reta paralela ao plano coordenado XZ. 
 
 
V 
r
⋅= tAP � Equação paramétrica vetorial 
 





⋅+=
=
⋅+=
ctzz
yy
at
r
1
1
1xx
 
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 y , y
c
zz
a
xx
r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmxz
yy
 r
1
 � Equações reduzidas em função de X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )ZYXP ,,
 
zcybV ˆˆ +=
r
 
b 
c 
X 
Y 
Z 
( )111 ,, ZYXA
 
1XX =
 X1 
( )ZYXP ,, 
zˆcxˆaV +=
r
X 
Y 
Z 
( )111 ,, ZYXA 
Y1 
1YY =
 
a 
c 
 
c) Reta paralela ao plano coordenado XY 
 
 
V AP
r
α= � Equação paramétrica vetorial 
 





=
⋅+=
⋅+=
1
1
1xx
 
zz
btyy
at
r
 �Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 z , z
b
yy
a
xx
r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmxy
zz
 r
1
 � Equações reduzidas em função de X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )Z,Y,XP
yˆbxˆaV +=
r
X 
Y 
Z 
( )111 Z,Y,XA
 
Z1 
1ZZ =
a 
b 
xˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
Z1 
Y1 
1ZZ =
 
1YY =
d) Reta paralela ao eixo coordenado OX 
 
 



=
=
1
1
zz
yy
 r
 
e) Reta paralela ao eixo coordenado OY 
 
 



=
=
1
1
zz
xx
 r
 
yˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
Z1 
X1 
1ZZ =
 
1XX =
 
yˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
X1 1
YY =
1XX =
Y1 
zˆV =
r
 
f) Reta paralela ao eixo coordenado OZ 
 
 



=
=
1
1
yy
xx
 r
 
2.5 – ÂNGULO DE DUAS RETAS 
 
 Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1 e tem a direção de um vetor 1v
r
, e r2, que 
passa pelo ponto A2 e tem a direção de um vetor 2v
r
, chama-se ângulo de duas retas r1 e 
r2 o menor ângulo entre os vetores 1v
r
 e 2v
r
. 
 
21
21
v v
vv
cos rr
rr
•
=θ , com º900 ≤θ≤ 
 
2.6 – CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r1 e r2 são paralelas quando 21 vmv
rr
= . 
 
2.7 – CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r1 e r2 são ortogonais quando 0vv 21 =•
rr
. 
 
2.8 – CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS 
 
A reta r1, que passa por um ponto A1 e tem a direção de um vetor 1v
r
, e a reta r2, que 
passa por um ponto A2 e tem a direção de um vetor 2v
r
, são coplanares se os vetores 1v
r
, 
2v
r
 e 21AA forem coplanares, ou seja, 
 
0AAvv 2121 =ו
rr
 
 
 
CAPÍTULO 3 
PLANOS 
 
3.1 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 
 Seja ( )111 z,y,xA um ponto pertencente a um plano pi e kcjbian rrrr ++= um vetor, 
não nulo, normal (ortogonal) ao plano. Para que o ponto P pertença ao plano é 
necessário que: 
 
0APn =•r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo k)zz(j)yy(i)xx(AP 111
rrr
−+−+−= e kcjbian rrrr ++= , 
 ( ) ( ) 0kcjbiak)zz(j)yy(i)xx( 111 =++•−+−+− rrrrrr 
0)zz(c)yy(b)xx(a 111 =−+−+− 
 
 
 
 
 
Observe que os coeficientes a, b e c da equação cartesiana representam as 
coordenadas do vetor normal ao plano. O coeficiente d é o que diferencia um plano dos 
outros planos paralelos a pi . 
 
3.2 – DETERMINAÇÃO DE UM PLANO 
 
1) Plano que passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 1v
r
 e 2v
r
 não 
colineares. 
Neste caso: 21 vvn
rrr
×= 
 
 
 
 
 
 
kcjbian rrrr ++=
 
a 
b 
c 
X 
Y 
Z 
•
 
n
r
 
A P 
0dczbyax =+++
 
→
 Equação cartesiana do plano 
n
r
 
1v
r
 
2v
r
 A 
 
 
2) Plano que passa por três pontos A, B e C não colineares. 
Neste caso: ACABn ×=r 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
 
Seja )z,y,x(A ooo um ponto do plano pi e kcjbiau 111
rrrrrr
++= e kcjbiav 222
rrrrrr
++= 
dois vetores não colineares. O ponto P pertence ao plano pi se, 
 
vtuhAP rr += → Equação paramétrica vetorial do plano 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo as coordenadas dos vetores k)zz(j)yy(i)xx(AP 000
rrr
−+−+−= , u
r
 e 
v
r
 na equação vetorial do plano temos: 
 
)kcjbia(t)kcjbia(hk)zz(j)yy(i)xx( 222111ooo
rrrrrrrrrrr
+++++=−+−+−
 
 Daí vem: 





++=
++=
++=
21o
21o
21o
c tc hzz
b tb hyy
a ta hxx
 
→
 Equações paramétricas do plano 
 
3.4 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO 
 
 Seja o plano pi de equação 0dczbyax =+++ , 
 
 1) Se 0zy == e mx = → 0dam =+ → 
a
d
m −= 
 O ponto )0,0,m(A1 é a interseção do plano pi com o eixo dos x; 
 2) Se 0zx == e ny = → 0dbn =+ → 
b
d
n −= 
 O ponto )0,n,0(A2 é a interseção do plano pi com o eixo dos y; 
 3) Se 0yx == e pz = → 0dcp =+ → 
c
dp −= 
n
r
 
A 
B 
C 
A 
P u
r
 
uhr
 
v
r
 
vt
r
 
pi
 
 O ponto )p,0,0(A3 é a interseção do plano pi com o eixo dos z; 
 
Da equação cartesiana, 
 
dczbyax −=++ ⇒ 1
d
cz
d
by
d
ax
=
−
+
−
+
−
 1
c
d
z
b
d
y
a
d
x
=
−
+
−
+
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 – CASOS PARTICULARES: 
 
 
 
a) Plano paralelo ao eixo coordenado OX. 
 
Fazendo ∞→m na equação segmentária, 
 
 1
p
z
n
yx
∴=++
∞
1
p
z
n
y
=+ 
 
Assim, na equação cartesiana 0A = , 
 
 0czby =+ 
 
b) Reta paralela ao plano coordenado XZ. 
 
 
 





⋅+=
=
⋅+=
ctzz
yy
at
r
1
1
1xx
 
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 x x,
c
zz
a
xx
 r � Equações simétricas 
Y X 
Z 
Y1 
1
p
z
n
y
m
x
=++
 
)0,0,m(A1 )0,n,0(A2 
)p,0,0(A3 
X 
Y 
Z 
2A
 
∞
 
3A
 
x 
y 
z 
Equação segmentária do plano