Relatório_1 - Lei de Stokes

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Relatório N° 1
Determinação da velocidade pela lei de Stokes
Aluna: Suênia Fernandes de Vasconcelos
Matricula: 112150877
Comp. Curricular: Laboratório de Engenharia Química I
Campina Grande, Dezembro de 2013
Introdução
A viscosidade dinâmica ou simplesmente viscosidade é o coeficiente de arrasto entre as várias camadas de um fluido em movimento relativo e o movimento de um corpo em um meio viscoso é influenciado pela ação de uma força viscosa, Fv, proporcional a uma velocidade v, conhecida como lei de Stokes. Se uma esfera de densidade maior que a de um líquido for solta na superfície do mesmo, no instante inicial a velocidade é zero, mas a força resultante acelera a esfera de forma que sua velocidade vai aumentando, mas de forma não uniforme. Pode-se verificar que a velocidade aumenta não uniformemente com o tempo, mas atinge um valor limite, que ocorre quando a força resultante for nula. A partir desse instante a esfera descreve um movimento retilíneo a velocidade constante
Objetivos
Este experimento tem como objetivo determinar a viscosidade dinâmica através da aplicação da Lei de Stokes.
Revisão Bibliográfica
A Lei de Stokes, como o próprio nome indica, foi descoberta pelo físico e matemático irlandês George Gabriel Stokes (1819 – 1903). Esta lei é aplicada para corpos esféricos que se movem sob a ação das seguintes forças: o peso, o empuxo (supomos que o corpo está completamente submerso no seio de um fluído), e uma força de atrito que é proporcional à velocidade da esfera (suponha que o fluxo é mantido em regime laminar). O peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade g. A massa é o produto da densidade absoluta do material ρe pelo volume da esfera de raio r.
 (1)
De acordo com o princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao produto da densidade absoluta do fluído ρf, pelo volume do corpo submerso, e pela aceleração da gravidade.
 (2)
Figura 1: Diagrama de forças para a esfera de vidro no fluido.
A força de atrito (resistência) é proporcional à velocidade e sua expressão é denominada lei de Stokes:
 (3)
Onde:
r é raio da esfera;
µ é a viscosidade dinâmica do fluido;
v é a velocidade terminal.
A velocidade limite é alcançada quando a aceleração é zero, logo, quando a resultante das forças que atuam sobre a esfera é zero, temos:
 (4)
Explicitamos a velocidade limite vL:
vL = [(ρe - ρf)/v] g r2 (5)
Onde ρe é densidade da esfera e ρf é a densidade do fluido.
 
A equação do movimento é:
 (6)
Onde: F é a diferença entre o peso e o empuxo, F = mg - E, e k = 6πrh.
Integramos a equação do movimento para obter a velocidade da esfera em função do tempo.
 (7)
Obtemos:
 (8)
Esta equação nos diz que é alcançada a velocidade limite vL depois de um tempo teoricamente infinito. Se representarmos v em função do tempo t o gráfico tem uma assíntota horizontal em v = vL.
Figura 2: Gráfico da velocidade limite versus o tempo
Integramos a expressão da velocidade em função do tempo para obter  a posição x do móvel em função do tempo t. Supomos que a esfera parte da origem x = 0, no instante inicial t = 0.
 (9)
É obtido:
 (10)
Dado que a exponencial tende a zero rapidamente à medida que transcorre o tempo, vemos que ao cabo de certo tempo, o deslocamento x do móvel será proporcional ao tempo t.
Para um corpo em queda livre a velocidade é proporcional ao tempo e o deslocamento é proporcional ao quadrado do tempo, já para um corpo que cai no seio de um fluído viscoso a velocidade tende para um valor constante e o seu deslocamento é proporcional ao tempo.
Material e Métodos
Materiais
Os matérias necessários para a realização do experimento foram:
Balança Analítica;
Termômetro;
Provetas;
Bolinhas de vidro;
Cronômetro;
Fita adesiva;
Régua Graduada;
Reagentes Utilizados: óleo e detergente;
Metodologia
Inicialmente registrou-se a temperatura ambiente da sala. Foram escolhidas 10 esferas de vidro, 5 para serem imersas no óleo e 5 para serem imersas no detergente. Utilizando uma balança analítica pesou-se um vidro relógio vazio (afim de calibrar a balança), depois as 5 esferas foram colocadas sobre o vidro relógio e o conjunto foi novamente pesado. O resultado lido na balança foi dividido por 5 (a quantidade total de esferas), e assim obteve-se o peso médio de cada uma. Em seguida o mesmo procedimento foi repetido para demais esferas.
	Para calcular a densidade do óleo e do detergente fez-se a pesagem de uma amostra do fluido. Pesou-se um volume de 2 ml do óleo, e através do valor lido na balança calculou-se o valor da densidade. Repetiu-se esse procedimento três vezes e calculou-se a média das densidades obtidas afim de ter uma maior validação dos resultados. Para o detergente realizou-se um procedimento semelhante, porém o volume pesado foi de 1 ml.
	Agora com todas as medidas necessárias conhecidas iniciou-se a segunda parte do experimento para determinar a viscosidade dos fluidos. Duas provetas, uma com óleo e outra com detergente já estavam prontos no laboratório e com as devidas marcações feitas com fita adesiva, uma em um ponto superior e outra em um ponto inferior, os dois abaixo do nível do fluido, como mostra a figura 3. Mediu-se em cada um das provetas com a régua graduada a distância entre essas marcações e os diâmetros das mesmas. Em seguida soltou-se no centro de cada proveta uma esfera de cada vez e cronometrou-se o tempo de queda que cada uma levou para se deslocar entre a primeira e a segunda marcação. Em cada proveta imergiu-se 5 esferas de vidro.
 Figura 3: Arranjo experimental
Resultados e Discussões
Dados Obtidos
Temperatura ambiente: 26°C.
Temperatura do experimento: 26°C.
Os resultados obtidos experimentalmente encontram-se tabelados abaixo,
Tabela 1: Tempo em segundos que as esferas demoram a percorrer a trajetória especificada na proveta
	Esferas de vidro
	Óleo comestível
Tempo (s)
	Detergente
Tempo (s)
	1
	4,83
	12,98
	2
	6,79
	12,73
	3
	4,63
	11,77
	4
	7,01
	13,24
	5
	5,16
	10,71
	Média
	5,68
	12,28
Tabela 2: Valores obtidos no experimento.
	Óleo
	
	Detergente
	
	Densidade (g/ml)
	0,8567
	Densidade (g/ml)
	0,9877
	Massa média das bolinhas (g)
	
	Massa média das bolinhas (g)
	
	Diâmetro da proveta (cm)
	8
	Diâmetro da proveta (cm)
	1,5
	Distância entre as faixas de marcação (cm)
	23,7
	Distância entre as faixas de marcação (cm)
	38
Procedimento de cálculo
Óleo e Detergente:
Velocidade Terminal:
Óleo:
Detergente:
Velocidade média:
Óleo:
Detergente:
Viscosidade dinâmica:
Óleo
 
Detergente:
Força de atrito:
Óleo:
 
Detergente:
Erro:
Óleo: 
Detergente:
Conclusões
A partir da realização do experimento, pode-se observar que os objetivos foram alcançados, visto que é possível determinar a viscosidade de uma substância a partir da Lei de Stokes. No entanto alguns fatores como o tipo de óleo utilizado, a cronometragem, a temperatura ambiente, a inexatidão dos raios das esferas, assim como suas massas, já que se utilizou a média entre elas e não os reais valores ocasionaram erros percentuais consideráveis comparados com os das viscosidades teóricas encontradas na literatura, conforme apresentados nos resultados e discursões. 
Referências Bibliográficas
- Fogler, H. Scott. Elementos de engenharia das reações químicas/ H. Scott Fogler – Rio de Janeiro: LTC, 2008.
- ATKINS, P. & DE PAULA, J. Físico-Química, 8ª Ed. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S/A. 2008.