GA - Caderno De Exercicios 1 - Vetores com resolução

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Caderno de exercícios resolvidos e comentados 
 
O presente caderno tem como objetivo apresentar de maneira clara e 
objetiva a resolução de diversos exercícios de Geometria Analítica. Esse caderno é 
mais do que simplesmente um conjunto de exercícios resolvidos. A nossa proposta 
é auxiliar o estudante na aquisição e, principalmente, na consolidação dos 
conhecimentos relacionados aos principais conteúdos da Geometria Analítica. O 
intuito desses exercícios é proporcionar ao estudante a fixação dos procedimentos 
necessários para a resolução dos problemas propostos e a fixação de operações 
relativas aos temas abordados. Antes de cada conjunto de exercícios, 
apresentaremos uma breve visão sobre os conteúdos que serão necessários para a 
resolução dos exercícios propostos. Desde já desejamos bons estudos! 
 
1. Vetores 
 
1.1 Vetores 
 
Vetor: um vetor é um segmento de reta que possui módulo, direção e sentido. 
 
Módulo: o módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 
 
22|| bav 
 . 
 
 
 
 
 
 
1.2 Casos particulares de vetores 
 
Vetores paralelos: possuem a mesma direção. 
 
 
 
 
 
Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 
Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço. 
 
 
 
 
 
Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários. 
 
 
 
Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1. 
 
 
 
 
 
Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto. 
 
 
 
Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano. 
 
 
 
 
1.3 Inclinação de um vetor 
 
A inclinação de um vetor é a medida 

 em relação à horizontal, no sentido anti-
horário. 
 
 
 
 
||
)(sen
v
b

 
||
)(cos
v
a

 
a
b
)(tg 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta os valores do seno, cosseno e tangente para os arcos 
notáveis correspondentes a 30°, 45° e 60° e será útil em muitos casos. 
 
 30° 45° 60° 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 
1
 
3
 
 
 
 
 
2. Operações envolvendo vetores 
 
2.1 Produto de um vetor por um escalar 
O produto de 

 por 
v
 é o vetor 
v


, onde 
0

v
, 
0
, 
R
. 
 
2.2 Adição de vetores 
 
ACvu 
 ou 
ACBCAB 
 
 
 
 
 
ou 
 
ACvu 
 ou 
ACADAB 
 
 
 
 
 
2.3 Subtração de vetores 
 
vuvu

 )(
 
DBvu 
 ou 
DBCBDC 
 
 
 
 
 
Observação: As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a 
u
 e 
v
 
correspondem a 
vu


 e 
vu


. 
 
 
 
 
 
 
2.4 Combinação linear de vetores 
 
Um vetor 
v
 é uma combinação linear dos vetores 
nvvv

,...,, 21
 quando 
v
 é a soma 
dos múltiplos dos vetores 
nvvv

,...,, 21
: 
 
nnvvvv
   2211
, onde 
Rn  ,...,, 21
 
 
Exercícios 
 
1. Considere os pontos A, B, C e D localizados nos vértices do quadrado abaixo. 
 
 
 
Dentre as afirmativas a seguir, determine quais são verdadeiras e quais são falsas. 
a) 
CDAB //
 
b) 
ACAB //
 
c) 
BDAC //
 
d) 
CDAC 
 
e) 
BDAC 
 
f) 
BDCD 
 
 
Resolução: 
a) Como 
AB
 e 
CD
 estão sobre os lados opostos do quadrado ABCD, 
AB
 e 
CD
 
são paralelos. Portanto a afirmação 
CDAB //
 é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
b) Os vetores 
AB
 e 
AC
 estão sobre dois lados adjacentes do quadrado ABCD. 
Logo, 
AB
 e 
AC
 não são paralelos. Portanto a afirmação 
ACAB //
 é FALSA. 
 
 
 
c) Os vetores 
AC
 e 
BD
 estão sobre dois lados paralelos do quadrado ABCD. 
Logo, 
AC
 e 
BD
 são paralelos. Portanto a afirmação 
BDAC //
 é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
d) Observe que os vetores 
AC
 e 
CD
 estão sobre lados adjacentes do quadrado 
ABCD. Logo 
AC
 e 
CD
 são ortogonais. Portanto, a afirmação 
CDAC 
 é 
VERDADEIRA. 
 
 
 
 
e) Como vimos no item (c), os vetores 
AC
 e 
BD
 estão sobre dois lados paralelos 
do quadrado ABCD. Logo, 
AC
 e 
BD
 não são ortogonais. Portanto a afirmação 
BDAC 
 é FALSA. 
 
 
 
 
f) Os vetores 
CD
 e 
BD
 estão sobre lados adjacentes do quadrado ABCD. Logo 
CD
 e 
BD
 são ortogonais. Portanto, a afirmação 
BDCD 
 é VERDADEIRA. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 
 
 
 
Resolução: 
Sabemos que o módulo 
|| v

 consiste no comprimento do vetor 
v
 . Para calcularmos 
esse comprimento, podemos utilizar a fórmula 
22|| bav 
 . 
Como a=4 e b=3, vamos substituir esses valores na expressão 
22|| bav 
 . 
Fazendo essa substituição, temos 
22 34|| v
 
O próximo passo é elevarmos 4 ao quadrado e também 3 ao quadrado que 
resultam, respectivamente, em 16 e 9. 
916|| v
 
 
Somando 16 e 9, temos 16+9=25 
25|| v
 
Para, finalmente, encontrarmos o valor do módulo do vetor 
v
 , precisamos calcular 
a raiz quadrada de 25, o que é igual a 5 
5|| v

 
Portanto, o módulo de 
v
 , representado por 
|| v

, é igual a 5. 
 
 
3. Determine a inclinação do vetor 
v
 . 
 
 
 
Resolução: 
Para determinarmos a inclinação do vetor 
v
 , podemos utilizar a relação 
a
b
)(tg 
 
pois temos, nesse exercício, os valores de a e b. Sabemos que b é o cateto oposto 
ao ângulo 

 e que a é o cateto adjacente a esse ângulo. Logo, b=3 e a=4. 
Substituindo esses valores na fórmula 
a
b
)(tg 
 
temos 
4
3
)(tg 
 
Dividindo 3 por 4, o resultado é 0,75, ou seja, 
75,0)(tg 
 
Precisamos agora determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 0,75. Para 
isso, vamos utilizar a função inversa 
1tg
, também conhecida como arco tangente e 
representada por 
 tgarc
. O cálculo do arco tangente é feito facilmente com o uso de 
uma calculadora científica. Para isso, o valor de 

 é dado por 
75,0 tgarc
 
Nesse caso, o valor de 

 é 36,87°. Portanto 
 87,36
 
Obs.: O valor de 

, com mais casas decimais, é 36,8698976... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos usar a calculadora: 
 
Para calcularmos o arco tangente, podemos utilizar uma calculadora científica. 
 
 
Nesse caso, utilizaremos as teclas e . 
 
Dependendo do modelo da calculadora, primeiro iremos fazer a divisão de b por a. 
Depois deveremos pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [tan-1]. Em 
outros modelos, primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em seguida a tecla [tan-1] 
e depois digitamos, entre parênteses, a divisão de b por a. 
 
Veja como é simples: 
 
1° Caso: [3] [

] [4] [=] [SHIFT] [tan-1] 
 
2° Caso: [SHIFT] [tan-1] [(] [3] [

] [4] [)] [=] 
 
Obs.: Dependendo do modelo da calculadora, vamos encontrar a tecla [2ndf] no 
lugar da tecla [SHIFT]. 
 
 
4. Determine o módulo e a inclinação do vetor 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Nesse exercício temos dois itens a serem calculados: o módulo e a inclinação do 
vetor. Para calcularmos o módulo de 
v
 , vamos utilizar a fórmula 
22|| bav 
 . 
É importante ressaltar que a=9 e b=5. Vamos agora substituir esses valores na 
fórmula 
22|| bav 
 . 
Substituindo a por 9 e b por 5, temos 
22 59|| v
 
Ao elevarmos 9 e 5 ao quadrado, temos, respectivamente, em 81 e25. Logo 
2581|| v
 
Efetuando a soma, temos 81+25 que é igual a 106 
106|| v
 
O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 106. Com o auxílio de uma 
calculadora, o resultado é 10,3. 
3,10|| v

 
Sendo assim, o módulo de 
v
 é igual a 10,3. Note que temos as componentes do 
vetor 
v
 e também o módulo de 
v
 . Por isso, para calcularmos a inclinação do vetor 
v
 , podemos usar uma das seguintes relações 
 
||
)(sen
v
b

 
||
)(cos
v
a

 
a
b
)(tg 
 
 
Vamos utilizar a relação 
a
b
)(tg 
. 
Inicialmente vamos considerar o ângulo 

 indicado na figura a seguir 
 
 
Para que possamos calcular o valor de 

, precisaremos calcular o valor de 

. 
Como 
 180
, temos que 
 180
. Para calcularmos 

, basta utilizarmos 
a relação 
a
b
)(tg 
 
Substituindo a por 9 e b por 5 na fórmula, temos 
9
5
)(tg 
 
Efetuando a divisão de 5 por 9, temos 0,56. Portanto 
 
 
56,0)(tg 
 
Vamos determinar qual é o ângulo 

 cuja tangente é igual a 0,56. Para isso, basta 
calcularmos o arco tangente de 0,56 
56,0 tgarc
 
Com o uso de uma calculadora científica, chegamos à conclusão que 

 é igual a 
29,25°. Portanto 
 25,29
 
Vamos determinar agora o valor de 

. Como 
 180
, e 
 25,29
, temos 
 
 25,29180
 
Logo 
 75,150
 
ou seja, a inclinação do vetor 
v
 é igual a 150,75°. 
 
 
 
5. Determine a inclinação do vetor 
u
 . 
 
 
 
Resolução: 
Como o vetor 
u
 está sobre uma reta horizontal e seu sentido é da esquerda para a 
direita, a sua inclinação é igual a zero. Para comprovarmos isso, vamos fazer os 
cálculos necessários. Sabemos que 
a
b
)(tg 
 
e que, nessa situação, a=7 e que b=0. 
Substituindo a e b por 7 e 0, respectivamente, temos 
7
0
)(tg 
 
Dividindo 0 por 7, o resultado é igual a 0 
0)(tg 
 
Para encontrarmos o valor de 

, vamos calcular o arco tangente de 0 
0 tgarc
 
Finalmente, o arco tangente de 0 é igual a 0. Logo, 
0
. Portanto, a inclinação do 
vetor 
u
 é igual a 0. 
 
 
6. Qual é a inclinação do vetor 
v
 ? 
 
 
 
Resolução: 
A inclinação do vetor é igual a 180°. Observe que 
v
 está sobre uma reta horizontal 
e o sentido de 
v
 é da direita para a esquerda. 
 
 
7. O que é um vetor nulo? 
 
 
Resolução: 
Um vetor 
v
 é dito nulo quando 
0|| v

. Podemos representar um vetor nulo por um 
único ponto. 
 
 
 
8. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
 
 
Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. 
a) 
AEAB 
 
b) 
FJEG 
 
c) 
NFNP 
 
d) 
DHIL 
 
e) 
MEMN 
 
f) 
CDAC 
 
d) 
KLIJ 
 
h) 
GCIK 
 
i) 
MN3
 
j) 
GH2
 
 
Resolução: 
a) Na figura abaixo temos a representação dos vetores 
AB
 e 
AE
. Como ambos 
têm a mesma origem, podemos utilizar a regra do paralelogramo para 
encontrarmos a soma. Logo, 
AFAEAB 
. 
 
 
 
 
 
b) Os vetores 
EG
 e 
FJ
 estão representados na figura abaixo. 
 
 
 
Para podermos encontrar a soma desses vetores, vamos coincidir a origem do vetor 
FJ
 com a extremidade do vetor 
EG
. 
 
 
 
 
 
A soma 
FJEG 
 consiste no vetor 
EK
. 
Uma outra alternativa é fazermos a origem do vetor 
EG
 coincidir com a 
extremidade do vetor 
FJ
. 
 
 
 
Nesse caso a soma 
FJEG 
 é representada pelo vetor 
FL
. 
 
 
c) A soma 
NFNP 
 pode ser obtida pela regra do paralelogramo, pois 
NP
 e 
NF
 
têm a mesma origem. 
 
 
 
 
Nesse caso, o resultado da soma é o vetor 
NH
. 
 
d) A figura abaixo ilustra os vetores 
IL
 e 
DH
. 
 
 
Vamos representar o vetor 
DH
 de modo que a sua origem coincida com a 
extremidade do vetor 
IL
. 
 
 
 
 
 
 
Fazendo isso, temos que a soma 
DHIL 
 é igual a 
IP
. 
 
 
e) Utilizando a regra do paralelogramo, o resultado de 
MEMN 
 é o vetor 
MF
. 
 
 
 
f) A figura a seguir apresenta os vetores 
AC
 e 
CD
. 
 
 
 
 
 
Para calcularmos 
CDAC 
 vamos determinar o oposto do vetor 
CD
, o que 
corresponde ao vetor 
CD
, representado na figura abaixo. 
 
 
 
A subtração 
CDAC 
 corresponde à soma 
 CDAC 
, o que resulta no vetor 
AB
. Observe que a origem do vetor 
CD
 coincide com a extremidade do vetor 
AC
. 
 
g) Inicialmente, vamos representar os vetores 
IJ
 e 
KL
. 
 
 
 
 
 
Como 
KLIJ 
 corresponde a 
 KLIJ 
, basta representarmos a origem do vetor 
KL
 coincidindo com a extremidade do vetor 
IJ
. 
 
 
Os dois vetores têm mesma direção e módulo, mas sentidos opostos. Logo, 
0

 KLIJ
. 
 
 
h) A representação dos vetores 
IK
 e 
GC
 está na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Fazendo 
 GCIKGCIK 
, e representando o vetor 
GC
 de modo que sua 
origem coincida com a extremidade de 
IK
, temos que 
IOGCIK 
. 
 
 
 
 
i) O vetor 
MN
 está representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
A multiplicação do vetor 
MN
 pelo escalar 3 resulta em um vetor de mesma direção 
e sentido do que 
MN
, as com módulo 3 vezes maior do que o módulo de 
MN
. 
 
 
Portanto, 
MPMN 3
. 
 
j) A representação do vetor 
GH
 pode ser vista na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
O vetor 
GH2
 tem direção igual à do vetor 
GH
, mas com sentido oposto e 
módulo igual ao dobro do módulo de 
GH
. 
 
Logo, 
GEGH  2
. 
 
 
9. Considere os vetores 
u
 e 
v
 representados a seguir. 
 
 e 
 
 
 
Determine a soma 
vu


. 
 
Resolução: 
A soma 
vu


 é obtida a partir das somas das componentes dos vetores 
u
 e 
v
 , ou 
seja, precisamos calcular 4+6 e 5+3, o que resulta em 10 e 8, respectivamente. A 
figura abaixo ilustra os vetores 
u
 e 
v
 e a soma 
vu


. 
 
 
 
 
10. Calcule a diferença 
vu


 onde 
u
 e 
v
 são dados a seguir. 
 
 e 
 
 
Resolução: 
O cálculo de 
vu


 é dado pela soma de 
u
 e 
v


, ou seja, 
 vu


. Vamos calcular 
4-6 e 5-3. Logo, temos como resultado, um vetor cuja extremidade está em x=-2 e 
y=2. 
 
 
 
 
 
 
11. Determine o vetor 
r
 como combinação linear dos vetores 
u
 e 
v
 onde 
vur

32 
 e 
u
 e 
v
 são os vetores dados a seguir. 
 
 e 
 
Resolução: 
Vamos considerar os vetores 
u

2
 e 
v

3
 
 
 e 
 
Somando os vetores 
u

2
 e 
v

3
, temos 
 
 
 
 
 
 
Logo, o vetor 
r
 é dado a seguir. 
 
 
 
 
12. Sabendo que o módulo do vetor 
) ,7( w
 é igual a 12,2066, determine o 
valor de 

. 
 
Resolução: 
Sabemos que 
22|| baw 
 
Substituindo a por 7, b por 

 e 
|| w

 por 12,2066, temos 
2272066,12 
 
Para obtermos o valor e 

 vamos, inicialmente, calcular o valor de 72 
2492066,12 
 
O próximo passo é elevarmos os dois membros ao quadrado para que possamos 
eliminar a raiz que está no segundo membro 
   222 492066,12  
Calculando 12,20662 e simplificando a raiz com a potência, temos 
 
 
2490011,149 
 
Como149,0011 é igual a 49+

2, podemos escrever, equivalentemente, que 49+

2 
é igual a 149,0011 
0011,14949 2 
 
Subtraindo 49 dos dois membros, temos 
490011,1494949 2   
que resulta em: 
0011,1002 
 
Vamos agora extrair a raiz quadrada dos dois membros 
0011,1002 
 
Isso nos leva a 
000055,10
 
Logo, 

 = 10. Graficamente, o vetor 
w
 é representado como segue 
 
 
 
13. Determine as componentes do vetor 
v
 sabendo que seu módulo é igual a 17 e 
sua inclinação é igual a 60°. 
 
Resolução: 
Se conhecemos o módulo do vetor e a sua inclinação, podemos utilizar as relações 
a seguir para encontrarmos as componentes a e b do vetor 
v
 . 
||
)(sen
v
b

 
||
)(cos
v
a

 
Sabemos que 
 60
 e que 
17|| v

. Inicialmente, vamos calcular o valor de b 
||
)(sen
v
b

 
O primeiro passo é substituirmos os valores de 

 e de 
|| v

 por 60° e 17, 
respectivamente 
 
 
17
)60(sen
b

 
Como 
2
3
)60(sen 
, podemos escrever 
172
3 b

 
Multiplicando b por 2 e 
3
 por 17, temos 
3172 b
 
Dividindo ambos os membros por 2, temos 
2
317
b
 
Para obtermos o valor de b na forma decimal, basta calcularmos o valor da raiz 
quadrada de 3, multiplicarmos esse resultado por 17 e, depois, dividirmos esse 
valor por 2: 
72,14b
 
 
O cálculo de a pode ser feito de forma análoga ao cálculo de b. Para isso, vamos 
utilizar a relação 
||
)(cos
v
a

 
Substituindo 

 por 60° e 
|| v

 por 17 temos 
17
)60(cos
a

 
Vamos agora substituir 
)60(cos 
 por 
2
1
 
172
1 a

 
Multiplicaremos a por 2 e 17 por 1 
1x172 a
 
Donde 
172 a
 
Dividindo ambos os membro por 2, temos 
2
17
a
 
Finalmente, dividindo 17 por 2, temos o valor de a 
5,8a
 
Sendo assim, as componentes do vetor 
v
 são 
5,8a
 e 
72,14b
. A representação 
de 
v
 é dada por 
 
 
 
 
 
14. Sejam 
)1 ,1(u

 e 
)2 ,3(v

. Calcule o módulo de 
vu

45 
. 
 
Resolução: 
Para calcularmos o módulo de 
vu

45 
, primeiro precisamos obter as componentes 
do vetor 
vu

45 
. 
)2 ,3(4)1 ,1(545  vu

 
Vamos agora multiplicar cada componente do vetor (1, 1) por 5 e cada componente 
do vetor (3, 2) por 4 
)8 ,12()5 ,5(45  vu

 
O próximo passo é somarmos as respectivas componentes, ou seja, 5+12 e 5+8 
)31 ,17(45  vu

 
Agora que já sabemos quais são as componentes de 
vu

45 
, vamos calcular o seu 
módulo 
22 1317|45|  vu
 
Elevando 17 e 13 ao quadrado, temos 
169289|45|  vu
 
Vamos agora somar 289 com 169 
458|45|  vu
 
Para obtermos o valor de 
|45| vu


, vamos calcular a raiz quadrada de 458 
4,21|45|  vu

 
Portanto, o módulo de 
|45| vu


 é igual a 21,4.