MODELAGEM

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MODELAGEM 
A resolução de uma situação problema em matemática pode ser desenvolvida de várias maneiras desde que seja clara e atinja o resultado esperado. 
Um mesmo problema pode ser resolvido utilizando a operação de multiplicação ou da adição, ou até mesmo por métodos e algoritmos.
As equações e/ou inequações são maneiras de resolver um problema matemático e para aplicar esse método, é preciso sequer umas regras.
Retirar os dados importantes para resolução do problema
Identificar as incógnitas (valores variáveis)
Identificar as variações envolvidas
Montar as equações ou inequações
Escolher método de solução
Resolver problema obtendo os valores das incógnitas
Verificar se o resultado está correto
Exemplo 1 
O triplo de um número menos 5 é igual a 4. Qual é esse número?
‘’ um número’’ > incógnita
X = ? >>> 3X-5=4
M.S >>> 3X=4+5
 X= 9/3
	 X = 3
V >>> 3 (3) – 5 = 4 
Exemplo 2 
	O dobro de um número mais 16 é igual a 28. Qual é esse número? 
	X = ? >>> 2X + 16 = 28
 MS >>> 2X = 28-16 
 		 X = 12/2
 	 X = 6
	V >>> 2 (6) +16 = 12+16 = 28
Exemplo 3
	Um número subtraído de 7 obtém 56 de resultado. Qual é esse número? 
	X = ? >>> X – 7 = 56
	MS >>> X = 56+7
		 X = 63
	V >>> 	 63 – 7 = 56
Exemplo 4 
	A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 72. Determine o valor dos números. 
	‘’ três números’’ ou seja, 3 incógnitas 
	X1 = N					X1 +X2 + X3 = 72 >>> N + (N+1) + (N+2) = 72
	X2 = N +1 				3N + 3 = 72
	X3 = N +2 				MS >>> 3N = 72 – 3 >>> 3N = 69 >>> N = 69/3 
							 N = 23 >>> X1 = 23; X2= 24; X3 = 25
						V >>> 23 + 24 + 25 = 72 
Exemplo 5
	Em uma faculdade ouve uma eleição para o representante do prêmio acadêmico, votaram 943 alunos. Carlos teve 7 votos a mais que Paulo e André teve 5 votos a mais que Carlos. Quantos votos teve o aluno vencedor? 
	C = V + 7			C + P + A = 943 >>> V + 7 + V + V + 12 = 943
	P = V 				 MS >>> 	 3V + 19 = 943 
	A = ( V + 7 ) + 5 >>> V + 12 			 3V = 943 – 19 = 924
								 V = 924/3 >>> V = 308
					V >>> P = 308; C = 308+7= 315; A = 308+12 = 320
EXERCÍCIOS
Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários em dezembro ( o salário normal mais o 13º salário). Se a pessoa trabalha 12 meses do ano, os dois salários são iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário correspondera a essa fração do salário normal. Se o salário dessa pessoa é 880 ‘’dinheiros’’ e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela receberá em dezembro?
S = 880 
D = 1/12 >>> 880/12 = 73,33 . 7 = 513,33
S + D = 880 + 513, 33 = 1.393,33
 Um clube promoveu um show de MPB ao qual compareceram 200 pessoas entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1.400,00 e todas as pessoas pagaram ingressos. Sabendo – se que o preço do ingresso foi de R$ 10,00 e que cada sócio pagou ‘’ meio ingresso’’. Qual o número de sócios que assistiu ao show?
S 	S+NS=200 (número total de pessoas no show)
NS	5 S + 10.NS = 1.400 (arrecadação)
							Solução
Lembrando 					S = 200 - NS
Cada sócio paga R$ 5,00			Então
Não sócio R$ 10,00				5.(200-NS)+10NS = 1.400
							Resolvendo
							5 (200-NS)+10NS = 1.400
							1000 – 5NS+10NS = 1.400
							1000 + 5NS = 1400
							5 NS = 1400-1000
							5 NS = 400
							 NS = 400/5 = 80 pagantes
							Como >>>>>>>> S = 200 – NS 
 S = 200-80 = 120
	S =120. 
*Continuação dos exercícios * - 15/08
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população de uma cidade B. Somando a população das duas cidades, o total chega a 200.000 pessoas. Qual o número de habitantes tem em cada cidade? 
3.(A) + B = 200.000
4.AB = 200.000
AB = 200.000/4
AB= 50.000		Sendo a cidade A = 50.000.3 = 150.000
 Ao efetuar um pagamento, utilizam-se apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00. O valor total do pagamento foi de R$ 140,00 e foram utilizadas 10 notas no total. Quantas notas de todas as foram utilizadas? 
N (20) 	20. N(20) + 5. N (5) - 140
N (5) 	 	 N(20) + N(5) = 10 
Solução: Como:
	N(20) =10 – N(5) N(20) = 10-N(5) = 10-4=6
Então: [20[10-n(5)] + N(5) = 140 Assim: N(20) =6 e N(5) = 4
	 200 -20 N(5) + N(5) = 140
	 - 15 N(5) = 140 - 200
	 N(5) = -60/-15 = 4 
Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos cada caixa. Sabendo que cada caixa continha 2 frascos de detergente a mais no aroma limão do que no de coco, qual o número de frascos entregues no aroma limão?
C 	C + L = 24
L 	L = C + 2
Observação: 1 caixa = 24 flores na compra 
		Foram entregues 10 caixas
Solução: Como: L = e + 2 >> L = 11 + 2 = 13 
C+ (c+2)=24 >> 2e +2 = 24 Considerando 10 Caixas ... 
2e= 24 – 2 >> 2e=22 TC: 110 frascos 
	C = 22/2 = 11				 TL= 130 frascos
Duas pessoas fizeram uma poupança para uma pequena reforma residência, num total de R$ 9.300,00. A razão entre os valores poupados pelas pessoas foi de 1 para 2. Desse modo qual o valor poupado por cada uma das pessoas?
X	 X+Y = 9300
Y X/Y = ½
Solução:
Como: x/y = ½ >>>>>> Y = 2Y Como: Y = 2*X >>> Y = 2.3100 >>> Y = 6200
Então: X+2y = 9300 
 3X = 9300 
	 X = 9300/3 = X = 3100
PROGRAMAÇÃO LINEAR 24-08
	Definição: É umas das técnicas da 10 utilizados em problema de otimização. Os problemas de PL visam a distribuição eficiente de recursos de forma a atender um determinado objetivo, tais como, maximizar lucros ou minimizar custos, sendo esse objetivo expresso através de uma função linear, determinado ‘’FUNÇÃO OBJETIVA’’.
	Portanto é necessária também a definição das atividades que consomem recursos e em que proporções os mesmo são consumidos. Matematicamente, essas informações devem ser apresentados na forma de lineares , uma para cada recurso. 
	O conjunto de tais equações (e/ou inequações) denomina-se ‘’restrições do modelo’’. 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
	Para construir uma casa popular, por mês , uma construtora necessita de 2 pedreiros e 4 serventes, enquanto para construir um apartamento no mesmo intervalo de tempo, necessita de 3 pedreiros e 3 serventes. A construtora possui um efetivo total de 30 pedreiros e 70 serventes contratados. A construtora obtém de um lucro de R$ 300,00 na venda de cada casa popular e R$ 500,00 na venda de cada apartamento e ‘’’’ população é vendido. 
	Qual é a quantidade ótima de casas e apartamentos que a construtora deve construir para que obtenha um lucro máximo?
	
PEDREIRO
SERVENTE
LUCRO
	CASA
2
4
3000
	APTO
3
8
5000
	MÃO DE OBRA
30
70
Variáveis: CA 				 
		AP
	MODELAGEM 
2 CA + 3AP < 30
4 CA + 8AP < 70
CA > 0
AP > 0 
 Função objetiva
F (CA, AP) = 3000. CA + 5000. AP 
 	Para analise gráfica :
As inequações de restrição devem ser assumidos como equações;
Das equações objetivas em (I) torna-se uma variável em função de outra;
Elabore o gráfico correspondente
Analise em função das restrições e do que se pretende em relação ao objetivo
No exemplo 
2 CA + 3 AP < 30 >>> 2 CA + 3AP = 30
Função >>> CA = 30 – 3 AP/2 OU CA = 15 – 1.5 AP
 4 CA + 3AP <70 >>> 4 CA + 3AP = 70
Função >>> CA = 70 – 3AP/4 OU CA = 17,5 – 2 AP 
 
F (CA, AP) = 3000 CP +5000 SP PARA (1) Y >> 15 –X = -15/-1,5 = 10
CP= 15-1,5 AP 
CA = 17,5-2APPARA (2) Y = -17,5 >> X= -17,5/-2 = 8,75
OBS: Substituindo (AP.CK)=(5,10)
2-10+8.3 = 29 <30
4(10) 8.3 = 40+24<70
GRAFICAMENTE
P0 (AP,CA)= (5;7,5)
SUBSTITUINDO
2 (7,5) + 3 (5) = 30 < 30
4 (7,5) + 8 (5) = 70 < 70 
No caso especifico em que a unidade é necessario o arredondamento deve ser feito de forma a satisfazer o negócio de interesse
P1 (5,7)
F(5,7) = 3000.7+5000(5) = 21000+2500
F (5;7) = 4600
PO >> LsLL
-1,5 AP + 15 = -2AP + 17,5
-1,5A + 2AD = 17,5 -15
0,5AP=2,5
AP=2,5 = 5 
0,5
CA = 1,5 (3) + 15 = 7,5 
Exercicio 
A direção de uma fabrica de móveis sugere lançamentos de um novo modelo de escrivania e de estante em substituição dos modelos atuais. A direção não vê dificuldades de venda para estantes enquanto que aconcelha que a produção mensal de escrivanias não utrapasse 160 unidades. Após o estudo feito pela diretoria de produção conclui-se que:
A disponibilidade do departamento de estampagem é de 720 horas.maquina
A disponibilidade mensal do departamentod e montagem é de 880 horas.homem
 Cada escrivania necessita de 2 horas.maquinas e 4 horas.homem na produção 
As margens brutas estimadas são de R$60,00 para cada escrivania e R$ 30,00 para estantes.
Determinar um plano de produção que maximiza a marquem bruta. 
HOJE É DIA DE EXERCICIOS 29/08/2017
Para cada um dos casos a seguir represente a região admissivel e determine os valores maximo e minimo da função obejtivo
f(x,y)= 2x + 3y + 2
x+y</= 1
x</=
2x – y</= 5
-x + y </= 2
y>/=4
f(x,y) = 2x – y + 5
x>/= 0 ; y>/= 0
-x – y </= 1
-x + 2y </= 4
-x + 2y >/= 5
f(x,y) = x+y
2x – y </=
x+y >/= 140
3x+y</= 300
x>/= 0 ; y>/= 0
f(x,y) = -9x + 6y
-x + y </= 3
x+y </= 7
3x – 2y </= 15
x>/= 0 ; y >/= 0
f(x,y) =2x + y
10x + 10y </= 9
10x + 5y </= 1
x >/= 0 ; y >/= 0 ambos inteiros
Exercício 14-09-2017 - Sistema A incognitas e sistema B equações
 	1) Uma loja vende certo equipamento elétrico, que é fabricado por 3 marcas diferentes (A,B e C). Um levantamento sobre as vendas, realizado durante três dias consecutivos mostrou que: no 1º dia foram vendidos duas unidades da marca A, uma da marca B e uma da marca C, resultando num ganho total de R$ 150,00; no 2º dia foram vendidos quatro unidades de A, três unidades de B e nenhum de C, totalizando R$ 240,00; no ultimo dia não houve vendas de A, foram vendidas cinco de B e três de C, totalizando R$ 350,00. Qual o preço de cada componente ?
Modelagem
A
B	VARIAVEIS
C,
2A + 1B + 1C = R$150,00
4A + 3B + 0C = R$240,00
0A + 5B + 3C = R$350,00
		2 1 1 A 150
		4 3 0 B = 240
		0 5 3 C 350
Uma herança de R$ 134.000,00 deve ser repartida entre três herdeiros, de maneira que o 1º receba R$ 40.000,00 mais do que o 2º, e este, mais R$ 20.000,00 do que o 3º. Qual cota de cada herdeiro 
Três agencias bancarias (Ana Costa, Boqueirão e Conselheiro) participaram de uma promoção de vendas de três pacotes de serviços ( Argent, Gold e Platinum) que levaria à obtenção de um premio extra em função do numero de vendas destes. Cada agência deveria vender 10 pacotes cada, e o final da promoção foi informada a pontuação geral obtida por agencia, conforme as vendas. A tabela a seguir mostra o resultado.
	Agencia
	Plano ARGENT
	Plano GOLD
	Plano PLATINUM
	Total de pontos
	AC
	4
	2
	2
	46
	BO
	5
	3
	1
	57
	CO
	4
	3
	3
	53
O gerente da agencia conselheiro não gostou do resultado, pois vendeu 10 pacotes conforme solicitado. Qual a pontuação de cada pacote da promoção.
Qual justificativa para a divida do gerente da agencia conselheiro?