Interpolação Polinomial em Métodos Quantitativos

Prévia do material em texto

MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zannardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Estamos na quinta aula de Métodos Quantitativos e chegou o 
momento de falarmos a respeito da interpolação polinomial. Por meio da 
interpolação é possível modelarmos diversos problemas e também fazermos 
previsões ou estimativas. Veremos como é possível obtermos um polinômio 
interpolador por meio da interpolação de Lagrange. Também descobriremos 
como é possível utilizarmos o GeoGebra e o Excel para a obtenção de um 
polinômio interpolador. Finalmente, exploraremos diversas aplicações práticas. 
TEMA 1 – POLINÔMIOS 
Antes de falarmos a respeito da interpolação polinomial, vamos falar um 
pouco a respeito de polinômios. 
Um polinômio é uma expressão da forma 
  01
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxp
n
n
n
n 


 
Em que 
0121 ,,,...,, aaaaa nn 
 são os coeficientes do polinômio. Para que 
possamos garantir que o polinômio tem grau n, é preciso que 
0na
. 
Em diversas situações do cotidiano, podemos ter polinômios nos 
auxiliando na modelagem e na resolução de problemas. 
Imagens podem ser geradas por meio de polinômios. No caso das fontes 
que vemos na tela do celular ou do computador, por exemplo, temos um conjunto 
de pontos, e por meio de polinômios interpoladores é possível obtermos essas 
fontes. 
Figura 1 – Exemplo de fonte 
 
Fonte: Johnson, 2015. 
 
 
3 
Esse processo facilita não só a construção da fonte, mas também a 
variação de tamanho ou de espessura. 
Figura 2 – Variações de tamanho e espessura de fonte 
 
Fonte: Johnson, 2015. 
Também é possível utilizarmos polinômios para modelarmos fenômenos 
físicos, tais como o movimento de um objeto sendo lançado ao ar, ou também 
para relacionarmos quantidades. Podemos, por exemplo, utilizar polinômios para 
relacionar a variação do lucro da venda de uma certa mercadoria à respectiva 
variação de preço dessa mercadoria. 
TEMA 2 – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Quando temos um conjunto finito de pontos, podemos encontrar uma 
função f(x) que passa por todos esses pontos. Essa função é chamada de função 
interpoladora. Dentre diversos tipos de funções interpoladoras, as funções 
polinomiais são muito comuns e podem ser úteis na resolução de diversos 
problemas. 
Dados x0, x1, . . . , xn números distintos e y0, y1, . . . , yn os respectivos 
valores funcionais associados a eles, a função f(xi) = yi , i = 0, 1, . . . ,n que 
interpola esses pontos pode ser encontrada. 
Basicamente, podemos escrever 
p(xi) = a0 + a1x + . . . + anxn 
 
para um polinômio de grau n. 
 
 
 
4 
Para p(xi) = yi temos o seguinte sistema de equações 
n
n
nnnn
n
n
n
n
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa



...
..
..
..
...
...
2
210
11
2
12110
00
2
02010
 
 
Muitas vezes a solução desse sistema de equações pode ser mais 
complicado. 
 Para simplificar a resolução do sistema, podemos escrever 
   xlyxp i
n
i
in 


0
 
em que 
  n,...,,i
xx
xx
xl
ji
j
ij
i 10 











 
Essa fórmula é conhecida como fórmula da Lagrange para a interpolação 
polinomial. 
Por exemplo, se temos os seguintes pontos 
6,5
2,4
0,3
22
11
00



yx
yx
yx
 
nesse caso a função original é dada por 
  652  xxxf
. 
Como temos três pontos, o polinômio interpolador tem grau 2. 
 
Logo 
   xlyxp i
i
in 


2
0
 
em que 
  2,1,0 












i
xx
xx
xl
ji
j
ij
i
 
 
 
 
5 
Portanto, o polinômio de Lagrange corresponde a 
 
  
  
  
  
  
  
6.
4535
43
2.
5434
53
0.
5343
54









xxxxxx
xpn
 
 
        643
2
1
253  xxxxxpn
 
 
       2562367216
2
1
226
2
1 2  xxxpn
 
 
Graficamente, temos a comparação entre a função original em vermelho 
e a função interpoladora em verde. 
Gráfico 1 – Comparação entre a função original (em vermelho) e a função 
interpoladora (em verde) 
 
 
O erro pode ser estimado como apresentado a seguir: 
       max10 ... DxxxxxxxEn n
 
 
em que Dmax é a norma máxima da n-ésima diferença dividida. 
 
 
 
6 
 
x f(x) 
Primeira 
diferença 
dividida 
Segunda diferença 
dividida 
Terceira diferença 
dividida 
3 0 
 
2
 
4 
2
 
2
26  
 
6
-
2
 
3
236312  
5 
6
 
2
26212  
 
12
-
6
 
6 
12
 
 
Logo 
      119424.0543  xxxxEn
 
Em particular, se x = 4.5, temos 
      119424.055.445.435.4 xEn
 
  044784.0xEn
 
Quando temos poucos pontos, é possível resolvermos o sistema de 
equações para obtermos o polinômio interpolador. 
TEMA 3 – RESOLUÇÃO DE SISTEMA LINEAR 
Quando temos dois pontos, o polinômio interpolador tem grau 1, e quando 
temos três pontos, o polinômio interpolador tem grau 2. 
Nesses casos, é simples obtermos o polinômio interpolador por meio da 
resolução de um sistema linear associado ao problema. 
Para entendermos melhor, vamos acompanhar um exemplo: 
Uma empresa comercializa uma certa mercadoria e deseja aumentar o 
lucro mensal referente às vendas dessa mercadoria fazendo uma alteração no 
preço. Mensalmente, os custos fixos correspondem a R$ 1.200,00. Quando a 
mercadoria era comercializada por R$ 20,00, o lucro mensal referente era de 
R$ 600,00. Após um aumento de R$ 2,00 no preço de venda, o lucro mensal 
passou a ser de R$ 648,00. Encontre a função polinomial quadrática que 
relaciona o lucro y com o preço de venda x. 
 
 
7 
Resolução: 
Os custos fixos associados a esse produto totalizam R$ 1.200,00. 
Logo, para x=0, temos y=-1200. 
O primeiro ponto é (0, -1200). 
Se o preço é de R$ 20,00, o lucro é de R$ 600,00 e se o preço é de 
R$ 22,00, o lucro é de R$ 648,00. 
Assim, temos os pontos 
(20, 600) e (22, 648). 
 
Vamos substituir cada um desses pontos na expressão y=ax2+bx+c 
para encontrarmos os coeficientes a, b e c. 
Para o ponto (0, -1200), temos: 
y=ax2+bx+c 
-1200=a(0)2+b(0)+c 
-1200=0+0+c 
-1200=c 
c=-1200 
Para o ponto (20, 600), temos: 
y=ax2+bx+c 
600=a(20)2+b(20)+(-1200) 
600=400a+20b-1200 
600+1200=400a+20b 
1800=400a+20b 
400a+20b=1800 
Para o ponto (22, 648), temos: 
y=ax2+bx+c 
648=a(22)2+b(22)+(-1200) 
648=484a+22b-1200 
648+1200=484a+22b 
1848=484a+22b 
484a+22b=1848 
Precisamos resolver agora o sistema de equações 





184822b484a
180020b400a
 
para obtermos os valores de a e b. 
 
 
8 
Para simplificarmos, podemos dividir a primeira equação por 20 e a 
segunda equação por 22, o que resulta em 





48b22a
90b20a
 
Multiplicando a segunda equação por -1, temos: 





48b22a
90b20a
 
Somando termo a termo, temos: 
602
48b22a
90b20a






a 
-2a=6 
a=6/(-2) 
a=-3 
 
Vamos substituir o valor de a na equação 20a+b=90 para calcularmos o 
valor de b: 
20a+b=90 
20(-3)+b=90 
-60+b=90 
b=90+60 
b=150 
Logo, a=-3, b=150 e c=-1200 
Portanto, o polinômio quadrático que relaciona o lucro com o preço é 
y=-3x2+150x-1200 
Graficamente, temos9 
Gráfico 2 – Resolução do exemplo 
 
TEMA 4 – O USO DO GEOGEBRA NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Podemos utilizar o GeoGebra para encontrarmos o polinômio que passa 
por um conjunto de pontos. 
Para isso, o primeiro passo é criar uma lista de pontos. Os pontos 
precisam estar entre chaves e separados por vírgula. 
Em seguida, devemos utilizar o comando “Polinômio” para que o 
GeoGebra gere o polinômio desejado e o respectivo gráfico. 
Vamos acompanhar um exemplo para entendermos melhor como 
podemos obter um polinômio interpolador a partir de um conjunto de pontos. 
Exemplo: 
Após a partida, um automóvel apresenta as seguintes velocidades, em 
quilômetros por hora, dadas em função do tempo em segundos: 
 
Tempo 1 3 5 7 12 
Velocidade 10 20 25 32 60 
 
Qual é o polinômio interpolador e qual é a velocidade estimada do 
automóvel quando o tempo é igual a 10 segundos? 
 
 
10 
Resolução: 
Primeiro precisamos criar a lista de pontos. Vamos chamar essa lista de 
P. Os tempos correspondem à variável independente x e as velocidades estão 
relacionadas à variável dependente y. Isso é feito porque a velocidade é dada 
em função do tempo. 
A lista de pontos corresponde a 
P={(1, 10), (3, 20), (5, 25), (7, 32), (12, 60)} 
O próximo passo é utilizarmos o comando Polinômio que é escrito como 
mostrado a seguir 
Polinômio[P] 
Fazendo isso, temos o polinômio f(x)=-0,01x4+0,35x3-3,03x2+13,1x-0,4 
que é o polinômio que interpola os pontos dados 
Figura 3 – Resolução do problema utilizando o GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Além do polinômio, o GeoGebra gera também o gráfico. Para melhorar a 
visualização, estamos utilizando a escala 1:10. 
Figura 4 – Geração de gráfico no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
11 
Agora precisamos fazer a estimativa de velocidade para o tempo de 10 
segundos. 
Vamos digitar f(10) na caixa de entrada do GeoGebra. 
O resultado corresponde a 49,51 km/h, que é a estimativa da velocidade 
quando x é igual a 10. 
Agora que já sabemos como resolver problemas de interpolação por meio 
do GeoGebra, podemos ver diversas situações práticos nos quais a interpolação 
é muito útil. 
TEMA 5 – APLICAÇÕES 
Vamos acompanhar diversos exemplos nos quais é possível utilizarmos 
nossos conhecimentos para a resolução desses problemas. 
1. Uma indústria teve os seguintes níveis de produção para os 3 primeiros 
meses do ano: 
Mês 1 2 3 
Produção (em milhares) 3 6 4 
Qual é o polinômio que interpola esses pontos? 
Resolução: 
Lista={(1,3),(2,6),(3,4)} 
Polinômio[Lista] 
Figura 5 – Resolução do exemplo no Geogebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
12 
2. Encontre o polinômio quadrático que modela a estrutura em forma de 
parábola da ponte apresentada na imagem a seguir. 
Figura 6 – Ponte em forma de parábola 
 
Fonte: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ponte_D._Luis_-_Porto.JPG>. 
Resolução: 
Inicialmente precisamos importar a imagem para o GeoGebra. Esse 
procedimento é bem simples. 
Basta clicar no penúltimo ícone e manter o botão do mouse pressionado 
para que possamos ter acesso a todas as opções. 
Figura 7 – Importação de imagens para o GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
 
13 
Vamos clicar na opção “Inserir Imagem”. 
Figura 8 – Inserir imagem no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Em seguida, vamos selecionar a imagem “Ponte”. 
Figura 9 – Seleção de imagem no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Vamos clicar em “Propriedades” para alterarmos a transparência da 
imagem. 
 
 
 
14 
Figura 10 – Alteração de transparência no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Basta clicarmos em “Cor” e depois reduzir a transparência. Isso facilita o 
ajuste da imagem sobre o eixo x. 
Figura 11 – Alterações de transparência no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Vamos ajustar a imagem de modo que a parábola referente à estrutura da 
ponte esteja na origem do sistema de eixos coordenados. 
 
 
15 
Figura 12 – Ajuste de imagem no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
O próximo passo é clicar no ícone referente ao ponto. 
Figura 13 – GeoGebra: ícone do ponto 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Agora é só clicar em três pontos quaisquer da estrutura da ponte. A 
sugestão é escolhermos um ponto no início, um no meio e um no final da 
estrutura. 
Figura 14 – Geração de polinômios quadráticos no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
16 
Precisamos agora criar uma lista que contenha esses pontos. 
O procedimento é bem simples. Basta clicarmos no ícone “Ângulo” e 
selecionarmos a opção “Lista”. 
Figura 15 – Geração de polinômios quadráticos no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Em seguida, vamos criar uma seleção em torno desses pontos clicando 
em qualquer lugar da tela do GeoGebra. Em seguida, com o botão esquerdo do 
mouse pressionado, arrastamos o cursor de modo a selecionar apenas os três 
pontos sobre a estrutura da ponte. 
O GeoGebra criará uma lista denominada lista1. 
Figura 16 – Geração de polinômios no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
 
17 
Agora, na caixa de entrada, é só digitar 
Polinômio[lista1] 
Agora já temos o polinômio associado à estrutura da ponte e a 
representação da respectiva parábola. 
Figura 17 – Resolução do exemplo no GeoGebra 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
É fácil perceber que a parábola está bem ajustada à estrutura da ponte. 
3. Utilize um polinômio de grau dois para obter a função que descreve o 
movimento de um dos jatos de água da fonte apresentada na imagem abaixo. 
Figura 18 – Representação do exemplo 
 
 
 
 
18 
Resolução: 
Como vimos no exemplo anterior, precisamos importar a imagem para o 
GeoGebra e marcar três pontos sobre um dos jatos de água. Em seguida, é 
preciso criar uma lista de pontos e utilizar o comando “Polinômio”. 
Figura 19 – Resolução do exemplo 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Figura 20 – Resolução do exemplo 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
4. Encontre um polinômio que se ajusta à seguinte garrafa, que tem 18 cm 
de altura: 
 
 
19 
Figura 21 – Representação do exemplo 
 
 
Fonte: Freepik, 2017. 
Resolução: 
O primeiro passo é importar a imagem para o GeoGebra. Como a garrafa 
tem 18 cm, precisamos ajusta essa imagem de modo que o início coincida com 
a origem e o final com o ponto onde x é igual a 18. Depois vamos marcar alguns 
pontos sobre a garrafa. Se colocarmos poucos pontos, o polinômio não se ajusta 
corretamente, e se colocarmos muitos pontos, pode haver oscilações do 
polinômio e o ajuste também não ficar de acordo com o esperado. Para este 
exemplo, 7 pontos foram ideais. Após ajustarmos esses pontos, é preciso criar 
uma lista de pontos e utilizar o comando “Polinômio”. 
Figura 22 – Resolução do exemplo 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
 
 
 
20 
Figura 23 – Resolução do exemplo 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
5. Uma loja comercializa bolas de basquete a um preço de R$ 59,00, 
gerando um lucro mensal de R$ 3.500,00. Quando essa loja cobrava R$ 49,00 
por bola, o lucro mensal referente a essas bolas era de R$ 4.000,00. Se os custos 
mensais fixos correspondem a R$ 1.000,00, determine o preço que maximiza o 
lucro mensal da loja em relação às bolas de basquete. 
Resolução: 
No GeoGebra: 
Como os custos fixos correspondem a R$ 1.000,00, o primeiro ponto é 
(0, -1000). Os demais pontos são (49,4000) e (59,3500). 
Logo, a lista de pontos corresponde a 
Lista={(0,-1000),(49,4000),(59,3500)} 
Depois vamos obter o polinômio 
Polinômio[Lista] 
Tendo o polinômio, vamos escolher a opção “Otimização” no menu.21 
Figura 24 – Resolução do exemplo 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Agora é só clicar no polinômio para termos o valor do preço que 
maximiza o lucro. Esse valor corresponde a R$ 44,30. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, vimos a importância dos polinômios e como podemos resolver 
problemas práticos para os quais o uso dos polinômios é bastante comum. 
A resolução desses problemas pode ser feita por meio de sistema de 
equação, pela interpolação de Lagrange ou também por meio do GeoGebra. 
Na matemática existem também outras formas de resolução de problemas 
relacionados à interpolação polinomial e que podem ser vistas em livros de 
cálculo numérico ou de análise numérica. Há diversos artigos científicos que 
apresentam importantes resultados relacionados à interpolação e a diferentes 
métodos existentes. 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
CASTANHERIA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2. ed, 
São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Função de uma variável. 
2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
FREEPIK. Garrafa azul 1. Freepik. Disponível em: <http://br.freepik.com/fotos-
gratis/garrafa-azul-1_22491.htm>. Acesso em: 02 out. 2017. 
GEOGEBRA. [S.l.]: International GeoGebra Corporation, 2017. Disponível em: 
<https://www.geogebra.org/>. Acesso em: 02 out. 2017. 
JOHNSON, A. Live Font Interpolation on the Web. A List Apart, 20 jan. 2015. 
Disponível em: <https://alistapart.com/article/live-font-interpolation-on-the-web>. 
Acesso em: 02 out. 2017.