Cap5_Const Conc Arm_Lajes_A

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Ouro Preto, 2015/2
Profa. Rovadávia Aline Jesus Ribas
CAPÍTULO 5: LAJES
Universidade Federal de Ouro Preto - Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
CIV620-Construções de Concreto Armado
Curso: Arquitetura e Urbanismo
1. Introdução
2. Tipologias de pavimentos
3. Classificação das lajes
4. Comportamento estrutural de lajes
5. Dimensionamento (lajes maciças) e detalhamento
6. Exercícios
Plano da aula
� LAJES: são elementos estruturais formados por placas de concreto armado de
superfícies planas em que a dimensão perpendicular à superfície (espessura) é
pequena em relação às demais (largura e comprimento), sujeitos principalmente a
ações normais a seu plano
Introdução
lx: menor vão
ly: maior vão
h: espessura (altura)
h
Tipologias de pavimentos
Tipologias de pavimentos
� As ações das lajes são transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje ou 
diretamente aos pilares e podem estar
• distribuídas na área (peso próprio, revestimento de piso)
• distribuídas linearmente (paredes)
• forças concentradas (pilar apoiado sobre a laje)
� Para efeito de cálculo, apesar da laje estar ligada monoliticamente às vigas,
geralmente, admite-se que ela está simplesmente apoiada nas vigas de contorno, no
caso de lajes isoladas
� Representação em planta de um pavimento
Tipologias de pavimentos
Simbologia
V: viga; P: pilar; L: laje
Corte A-A
L 1 L 2
� Quanto à disposição dos apoios
(a) contínuas em uma ou duas direções
(b) isoladas apoiadas no contorno
(c) em balanço
(a) (c)(b)
Classificação das lajes
� Quanto à fabricação as lajes podem ser 
a) Pré-moldadas
b) Moldadas in loco (maciças e nervuradas)
� Quanto ao tipo da seção
a) Laje maciça (lisa ou cogumelo)
b) Laje nervurada (pré-fabricada)
c) Laje steel-deck (laje mista)
d) Laje alveolar de concreto protendido
Classificação das lajes
Classificação das lajes
a) LAJE MACIÇA
� Toda a sua espessura é composta por concreto,
contendo armaduras longitudinais e transversais
� São apoiadas em vigas ou paredes ao longo das
bordas e distribuem suas reações nas vigas de
contorno aproveitando melhor o desempenho da
laje
� São moldadas in loco a partir do lançamento do
concreto fresco sobre um sistema de formas planas
� Oferecem facilidade de colocação de tubulações
elétricas e outras instalações antes da concretagem
� Sua desvantagem é o custo com formas e escoramentos, que pode ser compensado se o
pavimento do edifício se repete e esses componentes podem ser aplicados várias vezes
� Utilização: Edifícios de múltiplos pavimentos (residenciais e comerciais), escadas,
reservatórios, pontes de grandes vãos, entre outros
Classificação das lajes
Lajes lisas apoiam-se nos pilares sem capitéis
Lajes cogumelo são lajes maciças apoiadas diretamente em pilares com capitéis
Laje lisa Laje cogumelo
Classificação das lajes
b) LAJE NERVURADA
Usa-se um material de enchimento na região tracionada,
criando-se nervuras e diminuindo-se a quantidade de
concreto, acarretando redução do consumo de concreto e
alívio do peso próprio
Material de enchimento: leve, mas com resistência
suficiente para suportar as operações de execução
Importante: a resistência do material de enchimento não é
considerada no cálculo da laje
Tipos de materiais de enchimento: blocos cerâmicos,
blocos vazados de concreto e blocos de EPS (poliestireno
expandido)
Vantagens do EPS (isopor): baixo peso em relação a outros
elementos de enchimento, isolamento térmico e acústico
As nervuras podem estar em uma direção (unidirecional) ou
duas direções (bidirecional)
Classificação das lajes
b.1) LAJE NERVURADA PRÉ-FABRICADA
Vigota treliçadaVigotas treliçadas e 
blocos cerâmicos
base de concreto
Classificação das lajes
c) LAJE STEEL-DECK
Laje mista, composta de chapa nervurada de aço, que serve de forma para uma laje
de concreto armado com reforços de armadura se necessário
As chapas de aço são colaborantes: na fase construtiva trabalham como forma e, na
fase de utilização, trabalham conjuntamente com o concreto, atuando como armadura
de tração resistindo a momentos fletores
A interação aço-concreto é feita por meio de conectores de cisalhamento
base de concreto
Classificação das lajes
d) LAJE ALVEOLAR DE CONCRETO PROTENDIDO
base de concreto
Seção transversal 
com álveolos 
longitudinais
Painel de concreto 
protendido
Classificação das lajes
lx = menor vão 
ly = maior vão
a) Laje armada em uma direção:
uma dimensão é maior que o dobro da outra
� Classificação das lajes quanto à relação entre os vãos (λ)
x
y
l
l
=λ
2>λ
Considera-se que a laje trabalha em apenas uma
direção (a do menor vão). A armadura principal é
calculada para resistir ao momento fletor nessa
direção. Essa armadura é posicionada paralelamente
à direção do vão menor. Na outra direção existe a
obrigatoriedade de se fazer uma armadura
transversal de distribuição (armadura mínima).
lx
ly
b) Laje armada nas duas direções (lajes armadas em cruz):
as duas dimensões não diferem muito
2≤λ
Considera-se, para efeito de cálculo, que essa laje
trabalha em duas direções ou é armada em duas
direções
lx
ly
Classificação das lajes
� VÃO EFETIVO 210 aallef ++=
- l0: distância entre as faces internas 
de dois apoios consecutivos
- a1: menor valor entre t1/2 e 0,3h
- a2: menor valor entre t2/2 e 0,3h
Comportamento estrutural de lajes
� VINCULAÇÃO
Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes torna-se necessário
estabelecer os vínculos da laje com os apoios, sejam eles pontuais como os pilares, ou
lineares como as vigas de borda.
As bordas podem ser:
a) livres: ausência de apoio (ex.: balanço).
Símbolo:
b) apoiadas: não existe ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas.
Símbolo:
c) engastada: admite-se a continuidade da laje com outras lajes vizinhas.
Símbolo:
Comportamento estrutural de lajes
Ábacos de vinculação das lajes:
1: quatro bordas simplesmente apoiadas
2: uma borda menor engastada
3: uma borda maior engastada
4: duas bordas adjacentes engastadas
5: duas bordas menores engastadas 
6: duas bordas maiores engastadas
7: uma borda maior apoiadas
8: uma borda menor apoiada
9: quatro bordas engastadas
Comportamento estrutural de lajes
Normalmente, considera-se que as lajes menores e menos rígidas são engastadas nas 
maiores e mais rígidas.
Situação 1 de vinculação: Lajes adjacentes com espessuras diferentes
Comportamento estrutural de lajes
� Situação 2 de vinculação: Lajes parcialmente contínuas
2
3
a L≥ Laje L1 engastada em L2
2
3
a L< Laje L1 apoiada em L2
Laje L2 engastada em L1 nos dois casos
Importante: 
O lado adjacente a uma laje rebaixada é considerado apoiado
Toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (exceto se os outros três lados 
forem livres)
Comportamento estrutural de lajes
� Limites mínimos para espessura
Comportamento estrutural de lajes
5 cm: lajes de cobertura em balanço
7 cm: lajes de piso ou de cobertura em balanço
10 cm: lajes que suportam veículos de peso ≤ 30 kN
12 cm: lajes que suportam veículos de peso > 30 kN
� Pré-dimensionamento da altura útil (d) e da espessura (h) 
a) Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas: 
100/)1,05,2( *lnd −= n : número de bordas engastadasl* : menor valor entre lx e 0,7 ly
Altura total da laje: 
cdh tl +++= φφ2
b) Para lajes em balanço
Comportamento estrutural de lajes
32ψψ
xld ≥
: coeficiente que depende das dimensões da laje e condições
de vinculação
: coeficiente que depende do tipo de aço
2ψ
3ψ
Valores de 3ψ
Comportamento estrutural de lajesValores de 2ψ
Cobrimento mínimo das armaduras (NBR 6118) 
Comportamento estrutural de lajes
Comportamento estrutural de lajes
Determinação da flecha elástica
para lajes com carregamento
uniforme
p: carregamento
α: coeficiente tabelado
lx: menor vão da laje
E: módulo de deformação longitudinal
do concreto
h: espessura da laje
Tabela: Coeficientes α para o cálculo das
flechas
� ETAPAS DO PROJETO DE LAJES
Dimensionamento
■ Definição do tipo de laje
■ Determinação dos carregamentos
■ Dimensionamento (esforços solicitantes, dimensão da seção transversal, 
armaduras)
■ Verificação dos estados limites de serviço: limitações de flechas, abertura 
de fissuras ou de vibrações
■ Detalhamento
O projeto de lajes de concreto armado envolve:
� CARGAS ATUANTES NAS LAJES
Dimensionamento
O carregamento p nas lajes maciças, em geral, é considerado uniformemente
distribuído (carga por metro quadrado de laje)
p g q= +
g: cargas permanentes que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento, reboco, etc.)
q: cargas variáveis (peso das pessoas, móveis e equipamentos)
Valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações: NBR 
6120 (1980)
Peso específico do concreto armado: 25 kN/m3
Peso específico do concreto simples: 24 kN/m3
Enchimento de lajes rebaixadas: 14 kN/m3
Reboco (1 cm): 0,2 kN/m2
Revestimento de tacos ou madeira: 0,7 kN/m2
Revestimento de material cerâmico: 0,85 kN/m2
Forro falso: 0,5 kN/m2
Cargas permanentes
Dimensionamento
Cargas variáveis
Valores de sobrecarga
Local Carga (kN/m2) 
Corredores 
Com acesso ao público 
Sem acesso ao público 
3.0 
2.0 
Edifícios 
residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 
Despensa, área de serviço e lavanderia 
1.5 
2.0 
Escadas 
Com acesso ao público 
Sem acesso ao público 
3.0 
2.5 
Forros Sem acesso a pessoas 0.5 
Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2.0 
 
Cargas lineares (paredes de alvenaria executadas sobre a laje): São obtidas a partir 
do peso específico da alvenaria, da espessura da parede e de sua altura
tijolos furados: 13 kN/m3
tijolos maciços: 18 kN/m3
Exemplo: p = 13 x 0,15 x 2,60 = 5,1 kN/m
Dimensionamento
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS – LAGES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão,
chamada direção principal. As lajes são calculadas como vigas segundo a direção principal
Na outra direção (direção secundária), os esforços solicitantes são menores e podem ser
desprezados
A armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir ao momento fletor
nessa direção
A laje é calculada (esforços solicitantes e flechas) como se fosse um conjunto de vigas de
largura igual a 1m na direção principal
Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com seção transversal mínima
dada pela NBR 6118, para solidarizar as faixas de laje evitando a concentração de esforços
Momentos fletores em laje
armada em uma direção
Dimensionamento
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS – LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
� Processos de determinação dos esforços (momentos fletores e reações)
a) Diferenças finitas
b) Elementos finitos
c) Grelha equivalente
d) Determinação de esforços e deslocamentos por meio de series
Grelha equivalente
Consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas. O Método de Marcus trata
a laje como uma grelha constituída de duas faixas de largura unitária e ortogonais entre si e
aplica adequados coeficientes que levam em conta o aspecto de continuidade da laje
solidarizando toda a malha.
Dimensionamento
Determinação de esforços e deslocamentos por meio de series
Substitui-se o valor da carga atuante (px, py) por uma série de Fourier dupla (Navier), a partir da
qual é possível obter-se a equação da linha elástica. Os momentos mx e my, por comprimento
unitário, nas direções x e y, são obtidos a partir das derivadas da linha elástica w(x, y)
Ao aplicar esse método podem ser utilizadas tabelas elaboradas para facilitar a determinação
dos valores máximos dos momentos fletores e dos deslocamentos (flechas) a partir da
geometria e das condições de vinculação da laje
Cada laje é tratada individualmente de acordo com sua vinculação com as demais, de modo
que, quando sua borda é suportada por vigas ou paredes, tem-se esse lado apoiado, e, quando
nas bordas há continuidade entre duas lajes vizinhas, tem-se o lado engastado
Dimensionamento
Determinação dos momentos máximos nas
direções x e y
Momentos máximos positivos/unidade de
comprimento
Momentos máximos negativos/unidade de
comprimento
Tabela: Coeficientes para o
cálculo dos momentos máximos (casos
1, 2 e 3 de vinculação das lajes)
100
.
2
x
yy
lpM µ=
100
.
2
x
xx
lpM µ=
100
.
2
' x
xx
lpX µ=
100
.
2
' x
yy
lpX µ=
''
,,, yxyx µµµµ
Dimensionamento
Tabela: Coeficientes para o
cálculo dos momentos máximos (casos
4, 5 e 6 de vinculação das lajes)
''
,,, yxyx µµµµ
Dimensionamento
Tabela: Coeficientes para o
cálculo dos momentos máximos (casos
7, 8 e 9 de vinculação das lajes)
''
,,, yxyx µµµµ
Dimensionamento
Para compatibilizar momentos
fletores negativos de valores
diferentes em duas lajes
adjacentes adota-se:
Dimensionamento
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
O cálculo da armadura das lajes, nas direções x e y, é feito como no caso de vigas,
tomando-se uma faixa unitária para a largura da seção (um metro), e, portanto, a armadura
encontrada deve ser distribuída ao longo dessa largura.
Conhecidos os momentos fletores característicos (Mk) compatibilizados, passa-se ao
dimensionamento das armaduras.
1. Determinar o momento fletor de cálculo: 1.4d f k fM M= γ γ =, 
2. Calcular o valor do coeficiente kc :
3. Calcular a armadura As :
cmb
M
dbk w
d
w
c 100
.
2
=>−=
d
MkA
M
dAk dss
d
s
s =>−=
.
4. Verificar o atendimento ao valor mínimo de As : hb
A
A
A
w
s
c
s
s
.
==ρ
Dimensionamento
Laje armada em uma direção
a) Armadura positiva principal (dimensionamento por tabelas)



⋅=
==
⋅
=
kfd
w
d
w
c MM
cmmb
M
dbk γ
10012 kc é função do tipo de concreto
ks é função do tipo de açod
MkA dss=
Dimensionamento
Armadura 
mínima 
positiva 
principal
Dimensionamento
cmínmínscmínsmíns
wss
AAAA
hbA
⋅=⇒=≥
⋅=
ρρρ
ρ
,,
/mas
/:anterior tabelaDa ρmín depende do tipo de concreto 
e é dado em %.
Dimensionamento
b) Armadura positiva secundária (o cálculo é feito pela área mínima)
As 3 condições da tabela abaixo têm que ser atendidas.
Dimensionamento
c) Armadura negativa (cálculo feito por tabelas)
Cálculo igual ao das armaduras positivas principais e a armadura mínima conforme a tabela 
abaixo.
Dimensionamento
Laje armada nas duas direções
a) Armadura positiva (dimensionamento por tabelas)
Cálculo igual a letra a do item anterior, para as duas direções, com exceção da armadura 
mínima.
Dimensionamento
b) Armadura negativa (cálculo feito por tabelas)
Cálculo igual a letra a do item anterior e a armadura mínima conforme a tabela abaixo.
Dimensionamento
RESUMINDO:
Dimensionamento
REAÇÕES DE APOIO
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio e um procedimento de
cálculo dessas ações, chamado de processo das áreas, consiste em calcular as reações de
apoio de lajes retangulares, sob carregamento uniformemente distribuído, considerando-se,
para cada apoio, uma carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando-
se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
� 45° entre dois apoios do mesmo tipo
� 60° a partirdo apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado
� 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre
Dimensionamento
As reações de apoio por unidade de largura são dadas por:
Detalhamento
NBR 6118:
a) Diâmetro 
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. 
Adota-se:
para armadura positiva: bitola mais fina com menor espaçamento, para um maior controle 
da fissuração (φ 5 , φ 6,3 mm)
para armadura negativa: bitola mais grossa com maior espaçamento (φ 8 , φ 10 mm)
8
h<φ
b) Espaçamentos máximos Para armadura principal: 2h ou 20cm
Para armadura secundária: 33cm
Detalhamento
c) Altura útil mínima limmin c
w
d k
b
Md ⋅=
( ) cdxxc fkmas ⋅⋅−⋅= lim,lim,lim, 4,0168,0
1
, ββ
cckw
d
fb
Md
γ/)628,04,01(628,068,0min ⋅⋅−⋅⋅⋅=∴
cckcdx ffe γβ /628,0lim, ==
2/
1
mkNemf
mb
kNmemM
ck
w
d
=
Armadura principal, φp
Armadura secundária, φsdmin
p
scdh φφ +++=
2minmin
Detalhamento
⇒ Se a altura da laje adotada inicialmente for inferior a hmin, deve-se refazer os cálculos
de momento para hmin
⇒ Por simplificação adota-se o mesmo valor de dmin para o cálculo das armaduras
positivas e das negativas
⇒ Também deve ser verificada a altura da laje em função da flecha limite (NBR 6118)
⇒ As barras correspondentes à direção de maior momento fletor, que em geral coincide
com a direção do menor vão, devem ser colocadas ao fundo da laje, respeitando o
cobrimento
d) Posicionamento das barras positivas
� Devem ser colocadas barras em todo o vão 
das lajes (armadura corrida)
� as barras devem penetrar nos apoios 
(vigas) com o maior dos seguintes 
comprimentos: 6 cm ou 10 φ
Ay
Ax
vigas
Detalhamento
Exemplo: detalhamento da armadura positiva de uma laje
L205
N1 – 12 φ 5.0 C/ 24 -406
2
8
9
394
N
3
–
2
8
φ
5
.
0
C
/
1
4
-
3
0
1
Detalhamento
A numeração das barras de aço pode ser feita da esquerda para a direita e de cima para
baixo com o desenho em posição normal. Gira-se o desenho de 90º no sentido horário e
continua-se a numeração.
Detalhamento
e) Posicionamento das barras negativas
� Para armadura corrida:
viga
viga
v
i
g
a
v
i
g
a 0,25 l +lb 0,25 l +lb
l = maior valor entre os lx das lajes adjacentes
lb = comprimento de ancoragem reta
para concreto C20 e aço CA-50, lb =44 φ (por exemplo: lb =35cm (φ 8); lb =44cm (φ 10))
Detalhamento
� Comprimento do gancho:
Devem ser adotados, em todas as extremidades da armadura negativa, ganchos
retos, calculados de forma simplificada, descontando-se da altura total da laje duas
vezes o cobrimento.
ch 2ganchodoocompriment −=
Detalhamento
Exemplo: detalhamento da armadura negativa das lajes
Detalhamento
Exemplo: detalhamento da armadura negativa das lajes
Detalhamento
f) Flecha inicial (imediata):
Cálculo da flecha inicial em lajes
Ou:
1 2 9876543
Detalhamento
Limites para deslocamentos 
(ou flechas)
l/250 para a totalidade das 
cargas
l/350 para a carga acidental 
EXERCÍCIOS