Lista de Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
Lista de Exerc´ıcios de Matema´tica- Derivadas e Aplicac¸o˜es
Profa Isis Gabriella Quinteiro
1. Calcule f ′(x) em cada caso:
(a) f(x) =
3− 1x
x+5
(b) f(x) = ( 1x + 1)(x− 1)
(c) f(x) = 4x−5x2−1
(d) f(x) = x+1√
x
(e) f(x) = (x−3x+4 )(x
2 + 2x+ 1)
(f) f(x) = (3x3 + 4x)(x− 5)(x+ 1)
(g) f(x) = (x3 + 1)2
(h) f(x) = 1x+1
(i) f(x) = (x2 + 1)
3
2
(j) f(x) = 3(x+5)2
(k) f(x) = x2
√
1− x2
(l) f(x) = (3x−1x2+5 )
2
(m) f(x) = 3x sinx
(n) f(x) = e−x lnx
(o) f(x) = ln( 1+e
x
1−ex )
(p) f(x) = ln xx
(q) f(x) = x lnx
(r) f(x) =
√
x cos(x2 + 1)
(s) f(x) = x
3−7
sec(x2+1)
(t) f(x) = (tanx+ 3)7
2. Uma bola e´ arremessada verticalmente para cima do alto de um morro
de 50m de altura. A velocidade inicial da bola e´ de 14m/s e, portanto, a
func¸a˜o posic¸a˜o e´
s(t) = −4, 9t2 + 14t+ 50,
onde t e´ o tempo em segundos. Determine a altura, a velocidade e a
acelerac¸a˜o da bola no instante t = 3s.
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3. Em uma fazenda, uma populac¸a˜o de insetos e´ colocada dentro de uma
certa a´rea e removida regularmente. Um modelo para a taxa de variac¸a˜o
da populac¸a˜o e´ dado por:
dP
dt
= r0(1− P (t)
Pc
)P (t)− βP (t),
onde r0 e´ a taxa de nascimento dos insetos, Pc a populac¸a˜o ma´xima que
a a´rea pode manter e β a porcentagem da populac¸a˜o que e´ removida.
(a) Qual o valor de dPdt que corresponde a` populac¸a˜o esta´vel.
(b) Se a a´rea pode manter 10000 insetos, a taxa de nascimento dos insetos
e´ de 5 porcento e a porcentagem de insetos removida do espac¸o e´ de
4 porcento, encontre o n´ıvel esta´vel da populac¸a˜o.
(c) O que ocorre se β for aumentada para 5 porcento?
4. No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa e´ usado para estudar
a interac¸a˜o entre as espe´cies. Considere uma populac¸a˜o de sapos, dada
por W (t), e mosquitos, dada por C(t). A interac¸a˜o foi modelada pelas
equac¸o˜es:
dC
dt
= aC − bCW
dW
dt
= −cW + dCW
onde a, b, c, d sa˜o constantes.
(a) Que valores de dCdt e
dW
dt correspondem a populac¸o˜es esta´veis.
(b) Como representar matematicamente a frase ”O mosquito esta´ ex-
tinto”?
5. A 0◦ Celsius, a perda de calor H (em quilocalorias por metro quadrado-
hora) de uma espe´cie de planta em uma fazenda na Noruega pode ser
expressa pela func¸a˜o
H = 33(10
√
v − v + 10, 45)
onde v e´ a velocidade do vento (em metros por segundo).
(a) Determine dHdv .
(b) Calcule a taxa de variac¸a˜o de H para v = 2 e v = 5.
”Se na˜o houver frutos, valeu a beleza das flores. Se na˜o houver flores, valeu a
sombra das folhas. Se na˜o houver folhas, valeu a intenc¸a˜o da semente. ”
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