APOSTILA Teoria de Filas

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Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
1 
Pesquisa Operacional II – Notas de aula 
Prof. Emerson Scheidegger 
 
Teoria de Filas 
 
Módulo 1 - Conceitos Básicos 
 
1 – Conceito de Filas 
 
As filas existem constantemente no cotidiano das pessoas, indústrias, portos, etc. Para o 
engenheiro, as filas aparecem trazendo grandes implicações econômicas demandando uma solução 
racional para o problema. As filas ocorrem quando a demanda por um determinado serviço cresce 
além da sua capacidade de atendimento. Como exemplos de filas tem-se: navios aguardando em 
um porto para atracar, aeronaves aguardando para aterrizar, produtos aguardando para serem 
processados, clientes esperando atendimento em um caixa de banco, restaurante, médico, etc. 
 
A Teoria de Filas utiliza-se de matemática e de conceitos de processos estocásticos para estudar o 
processo de formação de filas. Analisa características como: número médio de usuários da fila, 
tempo médio de espera do usuário por serviço, número médio de usuários no sistema, tempo médio 
que o usuário gasta na fila e no atendimento e outras características. Tem como objetivo observar 
ou prever o comportamento de uma fila a fim de dimensionar corretamente as instalações de 
atendimento. 
 
Dimensionar corretamente as instalações significa obter um balanceamento econômico entre o custo 
do serviço e o custo associado à espera por este serviço. É impossível prever com precisão a 
demanda por um serviço e quanto tempo será necessário para a execução deste serviço. Oferecer 
serviços demais implicaria em custos excessivos, por outro lado oferecer com uma baixa capacidade 
implica na formação de filas, que excessivamente longas podem se tornar muito caras, por 
empregados aguardando atendimento, por perda de clientes, por produto em produção aguardando 
o processamento, etc. 
 
Segundo NOVAES , uma boa abordagem para problemas de filas pode ser aquela que permite uma 
análise preliminar através de um modelo matemático (Teoria de Filas), seguida de uma simulação 
(quando necessária), que considere aspectos não levados em conta. Pois, a simulação embora seja 
uma ferramenta muito poderosa, apresenta os inconvenientes de demandar muito tempo para sua 
realização. 
 
Os primeiros trabalhos nesta área foram realizados pelo matemático dinamarquês A. K. Erlang em 
1909 para resolver problemas dos sistemas telefônicos. Nesta mesma área foram publicados 
trabalhos por Molina (1927) e Thornston Fry (1928). 
 
A partir de 1930 os trabalhos de Felix Polhaczek, Kolmogorov, Khitchine, Crommlin e Palm 
estenderam as pesquisas as mais diversas áreas. 
 
Muitas aplicações recentes desta Teoria foram desenvolvidas em diversas áreas como as de 
transporte, indústria, computação e outras. 
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1. 2 - Características dos sistemas de Filas 
 
 
 
 
Figura 1 - Processo de fila 
 
 
 A figura 1 apresenta um esquema ilustrativo de um processo de filas. Os clientes podem ser 
pessoas, itens esperando para serem processados, automóveis esperando para serem atendidos 
em um posto de pedágio, etc. A fila não precisa ser física. Um servidor não precisa ser um a única 
pessoa, pode ser um grupo de trabalhadores fazendo simultaneamente o serviço solicitado pelo 
cliente. Pode ser uma máquina para processar itens, etc. 
 
 A seguir estão listadas as características básicas em todo processo de filas: 
 
Fonte de chegada (população): A população potencial que irá utilizar o serviço pode ser finita ou 
infinita. Os cálculos para os casos infinitos são bem mais fáceis. Assim esta suposição é feita, 
mesmo que o tamanho real da população seja um número finito relativamente grande. O caso finito 
é mais difícil analiticamente pois o número de clientes no sistema de filas afeta o numero de clientes 
potenciais a qualquer tempo (Lieberman). 
 
Processo de chegadas de clientes: A caracterização das chegadas é, normalmente, função da 
média das chegadas por unidade de tempo ou, equivalentemente do tempo médio entre chegadas 
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sucessivas. Se as chegadas fossem conhecidas, e se fosse um processo determinístico, uma destas 
médias determina completamente o processo de chegadas. 
Se houvesse incerteza, e, se o processo fosse probabilístico ou estocástico, estas médias não são 
suficientes para a caracterização das chegadas, sendo necessário para tal efeito, definir a 
distribuição de probabilidade de variável aleatória que representa como o tempo entre chegadas 
sucessivas ou o número de usuários por unidade de tempo chegando para atendimento se 
distribuem em torno da média. 
 
As chegadas ao sistema podem ser individuais ou por grupos sendo que o número de cada grupo 
pode ser também probabilístico. 
 
λ: Taxa média de chegadas 
IC: intervalo médio entre chegadas 
 
IC
1
=λ λ
1
=IC 
 
Exemplo: 
A um caixa de supermercado chegam 10 clientes no intervalo de 1 hora : λ = 10clientes/hora 
 
min6min60
10
1
=×=IC 
 
Processo de atendimento: semelhante ao processo de chegada, existe um tempo médio que os 
servidores gastam para atender aos clientes. Um modelo de filas tem de especificar a distribuição 
de probabilidades destes tempos de atendimento. È comum supor a mesma distribuição de 
probabilidades para todos os servidores. 
µ: Taxa média de atendimento 
TA: tempo médio de atendimento 
 
TA
1
=µ 
µ
1
=TA 
 
Exemplo: 
Um caixa de supermercado atende 10 clientes / hora : µ = 10clientes/hora 
 
min6min60
10
1
=×=TA 
 
Os valores indicados para o processo de atendimento e chegada são valores médios, é necessário 
saber como eles se distribuem em torno da média, por isso as distribuições de probabilidades. 
 
 Número de postos de atendimento (c): A quantidade de servidores que farão os atendimentos 
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Capacidade do sistema: O sistema de filas pode ter capacidade para suportar filas finitas ou 
infinitas. Filas infinitas são consideradas na maioria dos modelos, mesmo para os casos em que 
exista um valor superior finito relativamente grande. A capacidade do sistema refere-se a limitações 
físicas de alguns processos impostos pelas medidas das salas de espera. 
 
Disciplina da fila: A disciplina se refere a como os usuários que estão na fila são selecionados para 
serem atendidos. Normalmente os modelos supõem a ordem de chegadas. FIFO (First in First out) 
 
 
1.3 - Sistemas Estáveis 
 
A abordagem pela teoria das filas exige: 
 
- Estabilidade nos fluxos de chegada e no processo de atendimento (λ e µ constantes no 
tempo); 
- Os atendentes devem ser capazes de atender ao fluxo de chegada (cµ > λ). 
 
1.4 - O Tamanho da Amostra 
 
- Escolha correta é fundamental para a confiabilidade dos dados. 
 
1.5 - Opções de Dimensionamento 
 
- Uma fila única e um único servidor; 
- Uma fila e diversos servidores; 
- Diversas filas e diversos servidores; 
- Alteração dinâmica no sistema de atendimento. 
 
1.6 - Gerenciamento De Filas 
 
- Modificar sistemas que possuem gargalos 
 
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1.7 - Variáveis Randômicas (Aleatórias) Fundamentais 
 
 
• Variáveis referentes ao sistema 
- TS (W): Tempo Médio de permanência do cliente no sistema 
- NS( L): Número médio de clientes no sistema 
• Variáveis referentes ao processo de chegada 
- λ :Taxa de chegadas 
- IC = 1/λ : Intervalo entre chegadas 
• Variáveis referentes à fila 
- TF (Wq): Tempo médio de permanência do cliente na fila 
- NF (Lq): Número médio de clientes na fila 
• Variáveis referentes ao processo de atendimento 
- NA: Número médio de clientes que estão sendoatendidos 
- c: Quantidade de atendentes 
- µ: Taxa média de atendimento 
- TA = 1/µ : Tempo médio de atendimento 
 
Relações básicas 
 
 
NANFNS += TATFTS += 
 
Taxa de utilização dos atendentes 
 
- Uma fila / um atendente ⇒ 
µ
λ
=ρ 
- Uma fila / vários atendentes ⇒ 
µ
λρ
c
=
 
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Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes 
 
IC
TAi =
µ
λ
=
 ( i deve ser o próximo valor inteiro) 
 
Fórmulas de Little 
 
J.D.C Little demonstrou que para um sistema estável: 
 
qq WL ⋅= λ WL ⋅= λ 
 
WL λ= 
qq WL λ= µ
1
+= qWW 
 
1.8 Postulados Básicos 
 
a) Em qualquer fluxo estável, o fluxo que entra é igual ao que sai 
 
 
 
b) Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema 
 
 
 
Teremos sempre ρ < 1 (sistemas estáveis) 
 
Ex: ρ = 0,4 ⇒ o atendente fica 40% do tempo ocupado e 60% ocioso. 
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c) Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas 
 
λ1+λ2=λ3 
 
 
d) Em um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente 
 
 
 
2 - Modelos de Filas Básicos 
 
Notação de KENDALL 
 
De uma maneira geral, um modelo de filas pode ser descrito pela seguinte notação: A/B/c/K/m/Z , 
em que: 
A - distribuição dos intervalos entre chegadas; 
B - distribuição de tempos de serviços; 
c - quantidade de atendimento; 
K - capacidade máxima do sistema; 
M - tamanho da população que fornece clientes; 
Z - disciplina da fila (FIFO, LIFO). 
Os códigos utilizados para A e B são em geral os apresentados a seguir e representam a 
distribuição a utilizar. 
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� M: exponencial negativa (M vem de memoryless, ou perda de memória)para tempos, ou Poisson 
para taxas. 
� D: determinística 
� Ek: distribuição Erlang de ordem k 
� G: distribuição genérica 
 
Quando utilizar A/B/C supõe-se que a fila não tem limites, a população é infinita e a disciplina é 
FIFO. 
 
3. Aplicações 
 
Sistemas tradicionais 
• Balcão de check-in em um aeroporto 
• Caixas automáticos 
• Restaurantes self-service 
• Espera numa ligação 0800 
• Interseção viária 
• Cabines de pedágio 
• Chamados a polícia, bombeiro ou empresas prestadoras de serviços 
Critérios para definição de níveis de serviço (NS) 
Relação entre nível de serviço e custos operacionais 
 
4. Vantagens e desvantagens 
 
• Os modelos de filas sempre envolvem aproximações e simplificações do sistema real; 
• Os resultados podem ser úteis para: estimativas a respeito da grandeza de medidas de 
desempenho do sistema; 
• Análises de sensibilidade a respeito do impacto de mudanças operacionais; 
• Tomada de decisão sobre melhorias no sistema; 
• Os resultados são limitados a “condições de equilíbrio”. 
 
 
5. Processo Estocástico 
Os processos com fila com tempos entre chegadas sucessivas e/ou de atendimento representados 
por variáveis aleatórias são processos denominados estocáticos (probabilísticos). 
 
Um processo estocástico {X(t) / t ∈ U} é uma família/ seqüência de variáveis aletórias X(t) que 
descreve a evolução de alguma característica X do processo sob análise ao longo do tempo t ∈ U. 
 
A um processo estocástico estão associados dois espaços: o espaço de estados, E e o espaço de 
parâmetros, U. O espaço E é o conjunto de valores que a variável aleatória X(t) pode assumir e o 
espaço U é o conjunto de valores assumidos pela varável t (tempos ou índices). 
 
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Se E é um conjunto discreto, o processo estocástico é denominado cadeia estocástica, caso 
contrário é denominado processo contínuo. Se U é um conjunto discreto (índices), o processo é 
denotado por {Xt / t ∈ U}. 
 
 
Processo de Estados Discretos 
Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade finita, ou contável. Também 
conhecido como Cadeia Estocástica. Ex.: quantidade de pessoas numa fila, quantidade de celulares 
conectados a uma ERB. 
Processo de Estados Contínuos 
Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade infinita, ou contável. Ex.: tempo de 
conexão de um aparelho telefônico, tempo de espera numa fila. 
 
 
6. Processos de Markov 
• É um Processo Estocástico onde: 
• Os estados futuros do processo são independentes dos estados passados e dependentes apenas 
do presente; 
• Para analisar um Processo de Markov não é necessário conhecer toda a trajetória de estados 
passados, apenas o estado anterior (o sistema não possui memória); 
• Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907 definiu e analisou esses processos; 
• Um Processo de Markov de estados discretos é chamado Cadeia de Markov; 
• Aplicação: modelagem de Sistemas de Filas. 
 
Processos de Nascimento e Morte 
• São Cadeias de Markov onde as transições de estado são restritas a estados vizinhos apenas; 
• É possível representar o estado através de um número Inteiro. 
 
 
 
 
Estado do sistema: número de clientes no sistema de filas (n); 
• N(t) = número de clientes no sistema no instante t; 
• Pn(t) = probabilidade de N(t) ser igual a n; 
• λn: taxa média de chegadas quando N(t) = n; número de vezes por unidade de tempo que o 
sistema sai do estado n para o estado n+1 
• µn: taxa média (combinada) de atendimentos quando N(t) = n; número de vezes por unidade de 
tempo que o sistema sai do estado n para o estado n-1 
0 1 2 n-2 n-1 n n+1 
λλλλ0 λλλλ1 
3 
λλλλ2 
µµµµ1 µµµµ2 µµµµ3 
λλλλn-2 λλλλn-1 λλλλn 
µµµµn+1 µµµµn µµµµn-1 
... 
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Número de vezes que o sistema entra no estado é igual ao número de vezes que sai 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de vezes que sai do estado 1 para o estado zero por unidade de tempo vezes a 
probabilidade de estar no estado 1 = taxa de saída do estado zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Façamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com 
 
 
λn é a tx média no estado n, λ é a taxa média de chegada a longo prazo 
 
7. Processo de Poisson 
 
Um processo de Poisson é uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo onde a única mudança 
permitida a partir de qualquer estado n é para o estado n+1 e se processa com uma taxa constante. 
Então esse processo pode ser modelado de forma análoga a um processo de nascimento e morte, 
considerando-se as taxas de nascimento (ocorrências) λn = λ, ∀ n e as taxas de morte µn = 0, ∀ n 
≥ 1. 
 
O processo de Poisson pode ser descrito de forma equivalente pela caracterização do tempo entre 
mudanças sucessivas como uma variável aleatória exponencial. 
 
8. Modelos de filas baseados no processo de vida e morte 
 
� Estes modelos são casos especiais do processo de vida e morte; 
∑
∞
=
−=
cn
nq PcnL )(
λ
LW =
λ
q
q
L
W =
n
n
nP∑
∞
=
=
0
λλ
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� Os resultados gerais do estado de equilíbrio são utilizados para a obtenção dos resultados 
dos diversos modelos baseados neste processo; 
� Estes modelos são ditos terem uma entrada de Poisson e tempos de serviços exponenciais; 
� Os modelos diferem apenas quanto as suas suposições de como λn e µn variam ao longo 
do tempo. Portanto variam Cn para cada modelo. 
 
 
a) FIFOMM ///1// ∞∞ 
b) FIFOcMM ///// ∞∞ 
c) FIFOkMM ///1// ∞ 
d) FIFOkcMM ///// ∞ 
e) FIFOMMM ///1// ∞ 
f) FIFOMcMM ///// ∞9. Outros modelos de filas 
 
a) FIFOEM k ///1// ∞∞ 
b) FIFOcEM k ///// ∞∞ 
c) Modelos sem uma chegada de Poisson 
d) Modelos determinísticos, etc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pesquisa Operacional II – Notas de aula 
Prof. Gesiane Silveira Pereira 
 
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Módulo II - Coleta e Tratamento dos Dados 
 
 
1. Testes de aderência 
 
Os dados coletados serão analisados estatisticamente, por meio de testes de aderência, para 
verificar se os dados aderem às distribuições de probabilidade. O estudo de filas exige, para os 
modelos baseados no processo de vida de morte, que a taxa de chegadas siga a distribuição de 
Poisson e os tempos de atendimento sigam distribuição exponencial. Estes testes podem ser feitos 
também para verificar se os tempos de atendimento seguem a distribuição de Erlang de grau n, pois 
existem formulações de TF onde os tempos de atendimento seguem esta distribuição. 
Portanto o objetivo dos testes de aderência são: 
- Verificar como os dados de chegadas e atendimento se distribuem em torno da média; 
- Verificar se a distribuição observada se desvia significativamente ou não da distribuição de 
probabilidades teórica 
 
1.1 Teste Qui-Quadrado (χχχχ2) 
 
Dentre os diversos testes de aderência estudaremos o teste qui-quadrado. 
 
Para realizar o teste faz-se os seguintes passos: 
 
Passo 1) Supõe-se as seguintes hipóteses: 
 
Ho: os dados aderem à distribuição em questão 
H1: os dados não aderem à distribuição em questão 
 
Passo 2) Obtém-se o qui-quadrado calculado por meio da seguinte fórmula: 
 
∑
=
−
=
k
E
EO
1i i
2)ii(2
ν
χ
 
 Onde: 
Oi � valores observados da variável aleatória 
Ei � valores esperados da variável aleatória 
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Passo 3) Obtém-se o qui-quadrado tabelado. Para obter-se o qui-quadrado tabelado deve buscá-lo 
em uma tabela utilizando os parâmetros νννν e αααα . Em algumas tabelas deve-se utilizar νννν e (1-αααα). 
2
1, ανχ − 
 
Onde: 
ν: graus de liberdade � ν = k – 1 – m 
k: número de classes 
m: número de parâmetros independentes (estimados) da distribuição 
α: grau de significância 
 
Passo 4) Compara-se o qui-quadrado calculado com o qui-quadrado tabelado 
Se 
∑
=
−
=
k
E
EO
1i i
2)ii(2
ν
χ
 
 
2
1, ανχ −> 
 
Conclui-se que as freqüências observadas diferem, de modo significativo, dos esperados. Portanto 
há evidências para rejeitar H0. 
Se a hipótese H0 for rejeitada a α de significância, supondo α=0,05, significa que a probabilidade 
da decisão estar errada é de 5%, ou seja, há 5 % de chance da hipótese estar sendo rejeitada sendo 
ela verdadeira. 
1.1.1 Processo de Chegadas 
 
Exemplo: 
Na tabela a seguir estão apresentados dados referentes a chegadas de veículos a um pedágio entre 
7 e 8 horas da manhã 
 
2 1 2 1 0 2 1 0 1 2 
0 2 3 1 3 1 3 4 5 1 
2 0 1 2 1 0 1 1 0 2 
2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 
1 6 0 2 3 7 0 2 2 0 
4 1 1 1 1 8 4 3 1 4 
Quadro 1 - Quantidade de chegadas em intervalos de 1 min 
 
Iremos testar se os dados seguem uma distribuição de Poisson 
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a) Cálculo do qui-quadrado 
 
Iremos utilizar uma tabela para auxiliar o cálculo do qui-quadrado 
 
Número de 
Chegadas por min 
Freqüência 
observada 
(Oi) 
Freqüência Esperada 
(Ei) 
i
ii
E
EO 2)( −
 
0 9 8,1 0,1 
1 17 16,26 0,034 
2 17 16,26 0,034 
3 9 10,80 0,3 
4 4 
5 1 
6 1 8,58 0,039 
7 1 
8 1 
 Σ = 60 = N Σ = 0,507 
Tabela 1 – Cálculo do qui-quadrado para Poisson 
Obs: Importante verificar se as freqüências em todas as classes são maiores que 5, caso contrário, agrupar as classes. 
 
Onde: 
 
Oi : freqüência observada para a classe i 
Ei: freqüência esperada para a classe i 
 Ei= N.P(X=xi) 
 P(X=xi): Probabilidade de ocorrência do número de chegadas xi 
 N: número de observações 
 
 
a.1) Cálculo das probabilidades (Poisson) : 
 
x!
.e�
x)P(X
�x −
== 
 
a.2) Cálculo da taxa média de chegadas 
 
λ=120/60 
λ=2 veículos/hora 
 
 
a.3) O teste 
 
Ho: os dados aderem à distribuição de Poisson 
H1: os dados não aderem à distribuição de Poisson 
8 
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α=0,05 
K=5 
m=1 
ν=k-1-m = 3 
 
 
( ) 815,72 05,01,3 =−χ tabelado 
 
i
2
ii
K
1i
2
� E
)E(O
�
−
= ∑
=
=0,507 calculado 
 
calculado < tabelado 
 
Portanto, há evidências para não rejeitar H0. Se não rejeitamos H0, significa que os dados aderem à 
distribuição de Poisson 
 
1.1.2 - Processo de atendimento 
 
Exemplo: As durações do atendimento no pedágio foram também medidas e encontrou-se os 
valores indicados no quadro a seguir: 
 
21 47 13 16 12 15 26 22 17 11 
19 17 12 15 18 10 33 23 21 14 
43 11 23 25 24 17 16 20 22 20 
14 32 26 12 20 20 19 21 30 20 
43 17 20 15 11 11 19 22 20 18 
12 33 24 26 12 16 34 10 13 36 
18 25 23 27 14 12 12 17 16 18 
16 19 36 10 37 12 16 28 18 16 
37 25 14 16 15 16 19 13 48 10 
15 12 11 16 11 32 19 14 20 18 
Quadro 2 – Duração do atendimento em segundos 
 
Vamos testar para uma distribuição exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo do qui-quadrado 
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Classes 
(seg) 
Valor Observado 
(Oi) 
Valor Esperado 
(Ei) 
i
ii
E
EO 2)( −
 
0  5 0 52,76 8,2 
5  10 4 
10  15 28 
15  20 35 10,45 57,7 
20  25 14 8,1 4,3 
25  30 6 6,3 0,02 
30  35 5 4,9 0 
35  40 4 
40  45 2 17,3 5 
45  50 2 
 
 Σ =100 Σ = 75,2 
Tabela 2 – Cálculo do qui-quadrado para a Distribuição Exponencial 
 
a.1) No de classes: 
5 classes para N ≤ 25 
N para N maior que 25 
 
a.2) Tamanho da classe: maior número / número de classes 
48/10 = (5) 
 
a.3) Parâmetros da tabela 
 
Oi : freqüência observada para a classe i 
Ei: freqüência esperada para a classe i 
 Ei= N.P(t0i <T<t1i) 
 P(t0i <T<t1i): Probabilidade de que o tempo de atendimento esteja entre t0i e t1i 
 N: número de observações 
 
a.4) Cálculo das probabilidades (Exponencial) : 
 
 P(t0 <X<t1) = P(T > t0) - P(T > t1) 
 
 P(T>t) = e-µt 
 P(T<t) 1 - e-µt 
 
a.5) Tempo médio de atendimento: 
 
TA=20 s 
 
32 
8 
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a.6) Cálculo da taxa de atendimento: 
 
TA
1
=µ = 0,05 atendimentos por segundo 
 
 
a.7) Teste de aderência: 
 
Ho: os dados aderem à distribuição Exponencial 
H1: os dados não aderem à distribuição Exponencial 
 
ν=6-1-1 ∴ ν =4 
nível de 5% de significância (α =0,05) 
 
Qui-Quadrado calculado Qui-quadrado tabelado 
 
i
2
ii
K
1i
2
� E
)E(O
�
−
= ∑
=
 = 75,2 49,9� 24 = 
 
Como 2
�
� calculado é maior que 2
�
� tabelado, rejeitar a hipótese Ho, portanto os dados não à 
distribuição exponencial. 
 
 
 
Exercícios 
 
1) A tabela a seguir mostra quantos navios chegaram a um determinado porto em cada intervalo de 
1 dia durante 100 dias. Verificar se o número de chegadas segue uma distribuição de Poisson. 
 
 
0 1 2 0 1 0 1 0 1 7 
2 1 2 2 1 2 0 1 0 1 
1 3 3 1 3 1 4 2 1 3 
2 1 0 2 0 2 0 4 3 0 
1 4 1 1 1 2 1 1 0 3 
1 2 0 1 0 1 0 2 1 1 
3 1 3 3 1 2 3 1 2 1 
0 6 0 5 0 2 0 3 0 1 
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 
0 6 0 5 0 4 0 3 0 3 
 
 
 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
19 
2) A tabela abaixo mostra a duração do atendimento de cada navio, em horas. Verifiquese a 
duração do atendimento segue a distribuição exponencial negativa. 
 
16 6,5 7,5 4,0 8,0 14,5 4,0 14,5 10,0 16,0 
9,5 8,0 13,0 4,0 15,0 4,0 7,0 4,0 30,0 7,0 
10 6,0 14,5 7,0 13,0 10,0 12,0 6,5 13,0 14,0 
9,5 7,0 6,5 8,0 10,0 3,0 7,0 12,5 7,0 17,0 
10 12,5 16,0 8,0 7,0 10,0 7,0 8,0 18,0 16,0 
4 8,0 3,0 7,0 7,0 3,0 25,0 3,0 6,0 4,0 
9,5 7,5 6,5 8,0 13,0 7,0 6,5 23,5 14,0 6,5 
10 14,0 13,0 6,5 8,0 14,0 10 7,0 18,5 7,0 
9,5 8,0 12,0 8,0 10,0 10,0 10 19,0 8,0 10,0 
10 5,0 15,5 5,0 10,0 18,5 10 5,0 23,0 6,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
20 
 
Pesquisa Operacional II – Notas de aula 
Prof. Gesiane Silveira Pereira 
 
Teoria de Filas 
 
Módulo III - Modelos Marovianos 
 
 
1 - Modelo FIFOMM ///1// ∞∞ 
- λ :Taxa média de chegadas 
- IC = 1/λ : Intervalo entre chegadas 
- µ: Taxa média de atendimento 
- TA=1/µ 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
�)-(�
�L = 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
�)-�(�
�Wq = 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
�)-(�
1W = 
 
Probabilidade de existirem ‘n’ clientes no sistema 
n












−=
�
�
�
�1Pn 
 
Probabilidade de o cliente esperar na fila menos ou mais que um tempo pré-determinado 
0)1(
0q �e1)tP(W tρµ −−−=≤ 0)t-(1-0q �e)tP(W ρµ=> 
 
 
�)-�(�
�Lq
2
=
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
21 
Taxa de utilização do sistema 
µ
λρ = 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
1 Um estudante atende a cantina da universidade às noites, e é seu único atendente nesse 
período. Os usuários chegam conforme uma distribuição de Poisson com taxa média de 
10/h e são atendidos na ordem de chegada em um tempo médio exponencial de 4 min. 
 
i) Qual é a probabilidade de ter fila ? 
R.67% 
ii) O comprimento médio da fila? 
R. 1,33 usuários 
iii) O tempo médio do usuário no sistema? 
R. 1/5 hora 
iv) Qual é a probabilidade de o usuário aguardar mais que 5 min para ser atendido? 
R. 44% 
v) Se o estudante trabalha 4 horas na cantina, qual é o seu tempo livre? 
R. 1,33 horas 
 
2 A um hospital chegam usuários nas 3as. feiras, a fazer um teste de glaucoma que leva em 
média 5 min de aplicação, estando estes tempos exponencialmente distribuídos. Os 
pacientes chegam segundo uma distribuição de Poisson com taxa de 6 us por hora e são 
atendidos por 1 médico: 
 
i) Qual o número médio de pessoas aguardando atendimento? 
 
ii) Qual o tempo médio que um paciente passa na clínica? 
 
iii) Qual o tempo médio ocioso do médico em um dia de trabalho de 6 horas? 
 
 
3 Um técnico em televisores gasta um tempo de conserto, que segue um a distribuição 
exponencial, com média de 30 min. Os aparelhos chegam para conserto conforme Poisson 
com taxa média de 10 por cada dia de 8 horas de trabalho. Os consertos são realizados na 
ordem de chegada. Qual o tempo ocioso médio do técnico por dia? 
R. Tempo médio ocioso: 3 horas 
 
4 Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as 
ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo 
de chegada é λ = 1 chegada por min seguindo uma distribuição de Poisson. E a taxa de 
atendimento de um atendente é igual a 1,2 atendimento por min, com os tempos médios 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
22 
exponencialmente distribuídos. A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao 
operário. Pede-se: 
a. O custo horário do sistema 
b. A fração do dia em que o atendente não trabalha 
Resp. a) $99,00 b)0,16 
 
5 Uma empresa deseja comprar um equipamento para efetuar manutenção em suas 
máquinas que estragam a um ritmo de 12 falhas por semana. Possui duas opções: o 
equipamento marca A custa $20.000,00 e é capaz de efetuar 15 consertos por semana; o 
equipamento B custa $ 80.000, 00 e é capaz de efetuar 50 consertos por semana. Sabe-se 
que o custo semanal de uma máquina parada é de $500,00 e que o tempo útil de vida de 
ambos os equipamentos é de 5 anos. Qual deve equipamento deve ser adquirido de modo 
que o custo total anual (52 semanas) seja mínimo? 
 
Obs.: Custo anual = custo do equipamento x fator de recuperação do capital. 
Considerando uma taxa de juros de 15% ao ano, o fator de recuperação do capital é de 0,2984 
 
Resp. 
Equipamento A : $ 109.968,00 por ano 
Equipamento B: 32.082,00 por ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
23 
2 - O modelo M/M/c/∞∞∞∞/∞∞∞∞/FIFO 
 
- Este modelo apresenta c postos de atendimento em paralelo; 
- Os usuários ao chegarem formam fila única, passando a ser atendidos na ordem a de 
chegada, no momento em que um dos c postos que atendem em paralelo, fique livre. 
- λ :Taxa média de chegadas 
- IC = 1/λ : Intervalo entre chegadas 
- µ: Taxa média de atendimento 
- TA=1/µ 
 
Probabilidade de ter “n” clientes no sistema 
 
 














==≥
==<
−− cn
nn
ncn
nn
n
cc
rP
cc
P
Pncn
n
rP
n
P
Pncn
!
.
!
.
,
!
.
!
.
,
00
00
µ
λ
µ
λ
 
 
definimos 
µ
λ
=r e 
µ
λρ
cc
r
== 
 
 
Probabilidade de o sistema estar ocioso 
 
 
)(∑
−
=
−
+
=
1
0
0
!!
1
c
n
cn
rcc
cr
n
r
P 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 )( 2
1
0
!
..
rcc
rcP
L
c
q
−
=
+
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
 
 ( ) 02
1
!
. P
rcc
cr
rL
c






−
+=
+
 
 
 
 
 
 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
24 
 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
( ) ( ) 02!1 Pcc
rW
c
q λµ
µ
−−
= 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
 ( ) ( ) 02!1
1 P
cc
rW
c
λµ
µ
µ
−−
+= 
 
Probabilidade de o cliente esperar na fila menos tempo t0 
( ) 0
)(
c
00q e 
-1c!
r
.1)tP(W tcP λµ
ρ
−−
−=≤ 
 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
1) Uma companhia telefônica tem dois operadores que por um período determinado atendem os 
usuários chegando seguindo uma distribuição de Poisson com média igual a 15/hora com tempo de 
atendimento exponencial com média igual a 5 min. Calcule as variáveis fundamentais do sistema e a 
analise os resultados. 
Usuários na fila: 0,8014 us 
Usuário no sistema: 2,05 
Tempo na fila: 3,21 min 
Tempo no sistema: 8,18 min 
 
2)Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas 
especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ=1 
chegada por min) e o ritmo de atendimento (µ=1,2 atendimentos por minuto) seguem o modelo 
marcoviano . A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao operário. Pede-se calcular o 
número de atendentes que minimiza o custo total do sistema. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 (EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES) 
 
1) Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, 
que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um reparador 
lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que 
é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador 
lento é de $3,00 e do rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que ocusto total do sistema (reparador mais máquinas paradas ) seja mínimo? Sabe-se que uma 
máquina parada implica em um custo horário $5,00. 
 
2) Em um sistema de filas seqüenciais (veja a figura), no qual as peças fluem pela linha de 
produção, temos: 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
25 
 
λ1 = 10, λ2=5, µ1=15, µ2=30, µ3=20 
 
Calcule: 
a) NF, TF, NS e TS para cada servidor 
b) NS e TS para o sistema como um todo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um banco deseja modificar a forma de atendimento a seus clientes, que hoje funciona com 
diversas filas, pela introdução do sistema de fila única. Os dados de hoje são : 
λ = 70 clientes por hora que se distribuem em 5 filas 
c = 5 atendentes 
µ=20 clientes por hora (TA = 3 min) 
 
Analise a situação atual e a proposta e compare os resultados de NS e TF. 
 
4) Uma usina siderúrgica possui três veículos para atender deslocamentos de seus 
funcionários dentro da empresa. O ritmo médio de solicitações de veículos é de 10 pedidos 
por hora e o tempo médio de uma viagem é de 20 min. Calcule o número médio de clientes 
na fila e o tempo médio na fila. Qual deve ser o número adequado de veículos de modo que 
o tempo médio de espera na fila seja inferior a 5 min? 
 
 
5) Veículos chegam a um posto de pedágio à razão de 10 por min. Um único atendente pode 
atender 6 veículos por min. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o 
tempo médio na fila (única) seja menor que 0,2 min. Certamente a proposição de fila única 
não seria conveniente para um posto de pedágio; imagine, então, que os veículos se 
distribuam por diversos saervidores. Calcule agora a quantidade ótima de servidores tal que 
para cada um deles TF seja inferior a 0,2 minuto. Compare as duas situações 
 
6) Navios chegam a um porto para para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas 
por semana. O porto possui 3 cais de atracação e o tempo médio de carga de cada navio é 
de 0,5 semana. Sabendo–se que um navio parado esperando para ser carregado , implica 
µ1 
µ2 
 
 
µ3 
λ1 
λ3 λ3 
λ2 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
26 
uma multa de $ 70.000 por semana para a administração do porto (esta multa é conhecida 
por demurrage no ambiente portuário), pede-se o custo semanal resultante das multas. 
 
 
7) Em uma estação de processamento de peças temos uma taxa de chegada de produtos para 
serem processados igual 37 por hora (poisson) e a taxa de atendimento de um funcionário 
é igual a 20 por hora. Dimensione o número de trabalhadores de modo que o custo do 
sistema seja mínimo. 
Custo horário do atendente: $ 5 
Custo horário da peça parada: $ 8 
Respostas: 
 
1)Para o cálculo de máquinas paradas temos que calcular NS. 
 
a) Reparador lento 
NS = 3 máquinas 
Custo de máquinas paradas: 3 x $5,00 = $15,00 
Custo do reparador: $3,00 
Custo total: $ 18,00 
 
b) Reparador rápido 
NS = 1 máquina 
Custo de máquinas paradas: 1 x $5,00 = $5,00 
Custo do reparador: $5,00 
Custo total: $ 10,00 
 
Apesar do reparador rápido ter um custo maior, implica em um custo total menor. 
 
2) 
Servidor λλλλ µµµµ NF TF TS NS 
1 10 15 1,33 0,13 0,20 2 
2 5 30 0,03 0,007 0,04 0,2 
3 15 20 2,25 0,15 0,20 3 
 
 
Para o sistema como um todo temos: 
NS =2 + 0,2 + 3 = 5,2 
TS: 
a) para quem entra pelo servidor 1: TS = TS(1) +TS(3) = 0,20 + 0,20 = 0,40 
b) para quem entra pelo servidor 2: TS = TS(2) +TS(3) = 0,04 + 0,20 = 0,24 
 
 
3) 
a) Situação atual com 5 filas: 
(analisa uma fila) 
λ = 70/5 = 14 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
27 
TS = 0,167 hora = 10 min 
NS = 2,33 (em uma fila) 
Nas 5 filas temos: NS(total) = 5 x2,33 = 11,67 pessoas 
 
b) Situação futura com fila única 
λ = 70 
NS(total) = 4.3817pessoas 
TS = 0,0626 horas = 3,75 min 
 
Conclusão : a fila única presta um melhor serviço. 
 5 filas Fila única 
NS(total) 
TS 
11,67 
10 min 
5 
4,3 min 
 
 
 
4) Situação atual: 3 veículos 
TF = infinito NF = infinito 
Com 4 veículos: TF = 19,73 min 
Com 5 veículos: TF = 3,93 min 
 
5) 
a) Fila única (4 servidores) NF=0,2976 TF=0,0073 
b) 4 filas independentes TF = 0,438 
 
6) Custo das multas = NFx $70.000 = 0,2368x $ 70.000 = $ 16.576,88 
 
 
7) 
C ρ NS Custo 
atendentes 
Custo peça Custo total 
1 
2 
3 
4 
5 
- 
0,93 
0,62 
0,46 
0,37 
- 
13 
2,5 
2 
2 
- 
10 
15 
20 
25 
- 
104 
20 
16 
16 
- 
114 
35 
36 
41 
CONCLUSÃO: 3 servidores fornecem o custo mínimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
28 
 
 
3 - O modelo M/M/1/k/∞∞∞∞/FIFO 
 
 
� C=1 ; 
� Fila finita; 
 k: capacidade física do sistema 
 λ :Taxa média de chegadas 
IC = 1/λ : Intervalo médio entre chegadas 
 µ: Taxa média de atendimento 
 TA=1/µ : Tempo médio de atendimento 
 
µ
λρ = 
 
Probabilidade de ter “n” clientes no sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade de o sistema estar ocioso 
 
 
 
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 
 
 






≠
−
−
=
+
=
+
1 se,
1
1
1 se ,
1
1
1
0
ρ
ρ
ρ
ρ
k
kP
( )
( )









≤∀
≠
−
−
=
+
=
+
k n 
1 se ,
1
1
1 se ,
1
1
1 ρρρ
ρ
ρ
n
kn
k
P
[ ]
( )



≠
−−
+−+
=
=
+
+
1 se ,
1)1(
)1(1
1 ,
2
1
1
ρ
ρρ
ρρρ
ρ
k
kk kk
se
k
L
01 PLLq +−=
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
29 
 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
 
 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
 
 
 
Taxa média de rejeição do sistema 
 
 
Taxa média de entrada efetiva no sistema 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCOS 4 
 
1) Uma companhia de mineração opera um porto onde carrega minério. A companhia tem 5 
berços e 1 equipe de trabalho. Quando os 5 berços estão ocupados os navios se dirigem a 
um outro porto auxiliar ao porto principal. Os navios chegam conforme uma distribuição de 
Poisson com média igual a 5 navios por dia. São descarregados seguindo a ordem de 
chegada e o tempo de descarregamento segue uma distribuição exponencial com média 
igual a 4 horas. O porto trabalha as 24 horas do dia. 
 
i. Qual a taxa média de chegada de navios ao porto auxiliar? 
ii. Quantos usuários vão para o porto auxiliar em uma semana (7 dias)? 
iii. Qual o tempo médio que um usuário aguarda na fila? 
iv. Quantos navios há em média no sistema? 
v. Qual a probabilidade de ter 3 navios no sistema? 
 
2) Uma oficina que conserta empilhadeiras em um centro de distribuição tem capacidade para 
1 empilhadeira sendo atendida e 4 aguardando atendimento. No CD não há espaço fora da 
oficina para as empilhadeiras aguardarem atendimento, de modo que quando a oficina está 
com a sua área toda ocupada, as empilhadeiras são levadas para serem consertadas em 
uma oficina terceirizada. As empilhadeiras quebram numa taxa de 5 por semana conforme 
uma distribuição de Poisson e o único mecânico da oficina tem capacidade para consertar 6 
empilhadeiras por semana, estando os tempos de conserto exponencialmente distribuídos. 
Considere que o número de empilhadeiras do CD é suficientemente grande para que a 
população de empilhadeiras seja considerada infinita. Considere um mês de quatro 
semanas. Calcule quantas empilhadeiras são levadas para a oficina terceirizada em um 
mês. 
 
 
 
 
λ
q
q
L
W =
λ
L
W =
λλ −
( )kP−= 1λλ
Notas de aula 
PesquisaOperacional II 
Teoria de Filas 
30 
3.1 - O modelo M/M/c/k/∞∞∞∞/FIFO 
 
� C>1 (mais de um servidor); 
� Fila finita; 
 k: capacidade física do sistema 
 λ :Taxa média de chegadas 
IC = 1/λ : Intervalo médio entre chegadas 
 µ: Taxa média de atendimento 
 TA=1/µ : Tempo médio de atendimento 
 
Probabilidade de ter “n” clientes no sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
definimos 
µ
λ
=r e 
µ
λρ
cc
r
== 
 
 
Probabilidade de o sistema estar ocioso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 
 
 
 
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
 
 
 
 
1 )1(!
)1(
!
11
0
1
0 ≠





−
−
+=
−
−
=
−+
∑ ρρ
ρ
se
c
r
n
rP
c
n
ckcn









>
≤≤
<
=
−
Kparan
KnparacP
cc
r
cparanP
n
r
P
cn
n
n
n
,0
,
!
,
!
0
0
[ ] 1 se )1()1(1)1(! 120 ≠−+−−−−= −+− ρρρρρ
ρ ckckc
q ck
c
rP
L
n
c
on
q PcncLL ∑
−
=
−++=
1
)(
1 
!
)1(
!
11
0
0 =




 −+
+=
−
−
=
∑ ρse
c
ckr
n
rP
c
n
cn
[ ] 1 se 
2
))(1(
!
0
=
−+−
= ρckck
c
rP
L
c
q
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
31 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
 
 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
 
 
 
Taxa média de rejeição do sistema 
 
 
Taxa média de entrada efetiva no sistema 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCOS 5 
 
1) Considere um centro de inspeção de carros com três postos de atendimento individual. Os 
carros chegam seguindo uma distribuição de Poisson com taxa de um carro/min e formam 
uma única fila. Ao ficar vazio um posto, o primeiro carro da fila passa a ser atendido. O 
centro tem capacidade para 4 carros esperando, isto é, 7 carros no posto. O tempo de 
serviço é exponencial com média em torno de 6 min. O chefe de inspeção quer saber qual é 
o número médio de carros esperando no sistema, o tempo médio de espera no sistema e o 
número médio de carros que não entram devido à limitação na capacidade. O posto precisa 
de expansão? 
 
2) Uma companhia de petróleo opera em sua refinaria um porto onde descarrega petróleo cru. 
Conta com 6 berços e 4 equipes de trabalho. Quando os 6 berços estão ocupados os navios 
se dirigem a um outro porto auxiliar ao porto principal. Os navios chegam conforme uma 
distribuição de Poisson com média igual a 1 navio a cada 2 horas. São descarregados 
seguindo a ordem de chegada e o tempo de descarregamento segue uma distribuição 
exponencial com média igual a 10 horas. 
a) Quantos navios há no porto em média? 
b) Qual o tempo médio no porto? 
c) Qual a taxa média de chegada ao porto auxiliar? 
d) Há indícios para se construir um novo berço? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
λλ −
( )kP−= 1λλ
λ
q
q
L
W =
λ
L
W =
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
32 
 
4 - O modelo M/M/C/∞∞∞∞/M/FIFO 
 
 
Este modelo apresenta uma fonte de chegada limitada. 
M: tamanho da população ou da fonte de chegada 
 λ: taxa de chegada de cada membro ao sistema 
 IC = 1/λ : Tempo médio que cada membro da população fica fora do sistema 
 µ: Taxa média de atendimento 
 TA=1/µ: Tempo médio de atendimento 
 λ’=(M-L) λ : taxa de chegada ao sistema = número de usuários fora do sistema multiplicado 
pela taxa de cheda de cada usuário 
 
Se c=1 
 
Probabilidade de ter “n” clientes no sistema 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade de o sistema estar ocioso 
 
 
 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
 
 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
 
 
 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
 
 
 
 
 
1
0
0 )!(
!
−
= 













−
= ∑
nM
n nM
MP
µ
λ
( ) 0!
! P
nM
MP
n
n 





−
=
µ
λ
)1( 0PML −





−= λ
µ
( ) )1( 0PMLq −+−= λ
µλ
´λ
q
q
L
W =
´λ
LW =
Mn ,...,0=∀
( )λλ LM −='
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
33 
 
Se c>1 
 
Probabilidade de ter “n” clientes no sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade de o sistema estar ocioso 
 
 
 
 
Número médio de clientes no sistema (NS) 
 
 
 
 
 
Número médio de clientes na fila (NF) 
 
 
 
 
 
 
Tempo médio que o cliente fica na fila (TF) 
 
 
 
Tempo médio que o cliente fica no sistema (TS) 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCOS 6 
 
1) A Worthington Gear instalou um conjunto de dez robôs há cerca de três anos. Os robôs 
aumentaram consideravelmente a produtividade da mão-de-obra da empresa; 







≤≤





−
<<





−
=
−
MncP
ccnM
M
cnP
nnM
M
P
n
cn
n
n
,
!)!(
!
0,
!)!(
!
0)(
0
µ
λ
µ
λ
1
)(
1
0
0 !)!(
!
!)!(
!
−
=
−
−
= 













−
+





−
= ∑∑
nM
cn
cn
n
c
n ccnM
M
nnM
MP
µ
λ
µ
λ














−
+





−
= ∑∑
=
−
−
=
nM
cn
cn
n
c
n cnM
nM
cnnM
nMPL
µ
λ
µ
λ
)(
1
0
0 )!(
!
!
1
!)!(
!
n
c
n
q PncPcLL ∑
−
=
−+−=
1
0
0 )(
´λ
q
q
L
W =
´λ
LW =
( )λλ LM −='
Notas de aula 
Pesquisa Operacional II 
Teoria de Filas 
34 
recentemente, porém a atenção tem se concentrado na manutenção. A empresa não realiza 
manutenção preventiva nos robôs por causa da variabilidade na distribuição das quebras. 
Cada máquina possui uma distribuição de quebra (ou entre as chegadas) com um tempo 
médio de 200 horas entre falhas. Cada hora de máquina parada custa $30,00, o que 
significa que a empresa tem de reagir rapidamente a uma falha. A empresa posui um 
operário de manutenção que precisa de dez horas em média para consertar um robô. As 
durações reais da manutenção, possuem uma distribuição exponencial. O salário é de 10 
dólares por hora para o operário de manutenção, que pode ser aproveitado em outro setor 
da produção quando não está consertando robôs. Determine o custo diário total do sistema. 
Considerar dia de 8 horas de trabalho. 
 
2) A mina de carvão Severance atende a seis trens com tempos entre chegadas distribuidos 
exponencialmente com uma média de 30 horas. O tempo necessário para carregar um trem 
de carvão varia segundo o número de vagões, atrasos provocados pelo tempo e falhas nos 
equipamentos. O tempo para carregar um trem pode ser aproximado por uma distribuição 
exponencial negativa com média de 6 horas e 40 minutos. A ferrovia exige que a mina de 
carvão pague taxas de demurrage (permanência) muito elevadas caso um trem gaste mais 
de 24 horas na mina. Qual é o tempo médio que um trem gastará na mina? 
 
3) Uma companhia tem 5 máquinas em operação estando otempo de serviço dos 
equipamentos exponencialmente distribuidos em torno de 30 horas. Quando se quebram 
são consertados por 2 funcionários cujo tempo de atendimento são idênticos e estão 
exponencialmente distribuidos em torno de um média de 3 horas. 
c) Qual é o número médio de máquinas funcionando em qualquer instante? 
d) Qual é o tempo médio que cada máquina passa quebrada? 
 
BIBLIOGRAFIA: 
FOGLIATTI, M. C. Teoria de Filas. Rio de Janeiro: Interciência, 2007 
PRADO, D. S.- Teoria das Filas e da Simulação. Belo Horizonte, MG: Ed deDesenvolvimento 
Gerencial, 2003. 
HILLIER, F.S., LIEBERMAN, G.J. – Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Editora 
Campus, 1988. 
NOVAES, A. G. N. – Pesquisa Operacional e Transportes. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 
1975. 
SINAY, M. C. F. - Notas de aula da disciplina Métodos de Otimização II. Rio de Janeiro: IME, 2000.