exercicios 5

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA E INFORMA´TICA
LICENCIATURA EM FI´SICA
Estatı´stica B
Quinta Lista de Exerc´ıcios - Fevereiro de 2017
Prof. Antonio Samuel Alves da Silva
1. Observando o gra´fico a seguir, verificar:
(a) quais sa˜o os estimadores na˜o viesados de θ;
(b) qual(is) e´(sa˜o) o(s) estimador(es) viesado(s)
de θ;
(c) qual o estimador na˜o viesado de variaˆncia
mı´nima de θ;
(d) qual o estimador com maior variaˆncia;
(e) quais dos estimadores deve ser o escolhido;
2. Suponha uma populac¸a˜o qualquer, com me´dia µ e variaˆncia σ2, de onde sa˜o extra´ıdas todas as amostras poss´ıveis de
tamanho 3. Qual(is) do(s) estimador(es) e´(sa˜o) na˜o viciado(s) para µ?
(a) µˆ1 =
1
6
X1 +
1
3
X2 +
1
2
X3 (b) µˆ2 =
1
3
X1 +
1
3
X2 +
1
3
X3 (c) µˆ3 =
1
4
X1 +
1
6
X2 +
1
3
X3
3. Seja X ∼ N(900, 642). Retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar:
(a) P (X ≤ 894); Resp.:0,96801
(b) P (896 ≤ X ≤ 903); Resp.:0,54726
(c) P (X − 3σx < µ < X + 3σx), em que σx e´ o desvio padra˜o da me´dia amostral (σx = σ/
√
n). Resp.:0,9973
4. Seja X ∼ N(1200, 1444). Retiramos uma amostra de tamanho 15. Determinar:
(a) P (1194 < X < 1206); Resp.:0,458138
(b) P (X − Zασx < µ < X + Zασx) = 0, 90, em que σx e´ o desvio padra˜o da me´dia amostral (σx = σ/
√
n).
Resp.:P (1183, 91 < x < 1216, 09) = 0.90
5. Existem va´rios algoritmos computacionais que permitem gerar nu´meros aleato´rios (ou, mais apropriadamente, pseudo-
aleato´rios) no intervalo [0,1], com distribuic¸a˜o uniforme. Considere a gerac¸a˜o de 100 nu´meros (X1, X2, . . . , X100) e seja
X a me´dia aritme´tica simples desses 100 nu´meros.
Dica: Se X ∼ Uniforme(a, b) enta˜o µ = E(X) = (a+ b)/2 e σ2 = V ar(X) = (b− a)2/12
(a) Qual e´ a distribuic¸a˜o de probabilidade de X? Resp.: X ∼ N(1/2, 1/1200)
(b) Qual a probabilidade de X assumir um valor no intervalo [0,47;0,53]? Resp.:0,7016
6. Qual devera´ ser o tamanho de uma amostra a ser retirada de uma populac¸a˜o X ∼ N(200, 350) para que P (|X − µ| <
5) = 0.95. Resp.:n ≥ 54
7. Uma amostra aleato´ria simples de tamanho 100 e´ retirada de uma populac¸a˜o em que p = 0, 4 e´ a proporc¸a˜o de
determinada caracter´ıstica nessa populac¸a˜o.
(a) Qual o valor esperado da proporc¸a˜o amostral f? Resp.: 0,4
(b) Qual o desvio padra˜o da proporc¸a˜o amostral f? Resp.: 0.04899979
(c) Qual a distribuic¸a˜o de f? Resp.: f ∼ N(0, 4; 0, 0.0024)
8. Deseja-se saber qual o nu´mero de eleitores de determinada regia˜o que votara˜o no candidato A, de forma que a pro-
babilidade do erro de estimac¸a˜o seja no ma´ximo 3%, com 95% de confianc¸a. Para estudar o problema, retira-se uma
amostra de 500 eleitores dessa regia˜o, obtendo-se 120 eleitores que votam em A. Resp.:n ≥ 779