Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes

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Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry 
 
 
Á L G E B R A L I N E A R 
 
Professor Julierme Gomes Correia de Oliveira, DSc. 
julierme.oliveira@fbv.edu.br 
Faculdade Boa Viagem 
 
 
Introdução: 
A Álgebra Linear é a área de estudo da Matemática que institui as relações existentes entre a álgebra vetorial e a 
álgebra matricial. As matrizes só tiveram sua importância definitivamente apresentada a pouco mais de 150 anos 
com a famosa publicação no Philosophical Transactions of the Royal Society of London do matemático Arthur 
Cayley intitulada como “Memoir on the Theory of Matrices” (1858). Neste trabalho, Cayley foi primeiro a utilizar 
o termo Matriz em publicações científicas. Até então estes conjuntos de elementos numéricos eram chamados de 
“tableau”, termo adotado pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy nos estudos sobre os determinantes em 
torno de 1830. Apesar de Cayley ter sido o pioneiro no uso formal do termo Matriz, deve-se a sua autoria ao 
matemático inglês Joseph Sylvester Roman. Sylvester foi inspirado pelo significado coloquial da palavra Matriz 
na língua inglesa, que em tradução livre é: “local onde algo é gerado ou criado”. Esta inspiração é resultado dos 
trabalhos de Cauchy para os determinantes. Sylvester entendeu que um “tableau” é um bloco retangular de termos 
na qual se pode gerar ou criar vários sistemas de determinantes. Cayley foi quem ampliou o conceito de Matriz 
além das aplicações restritas ao estudo dos determinantes. 
 
Ementa: 
As ferramentas da álgebra linear permitem tratar problemas de forma concisa e precisa, buscando desenvolver a 
capacidade de aplicar os conhecimentos básicos sobre matrizes e álgebra matricial na solução de sistemas 
lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Utiliza também conceitos de autovalores e autovetores no 
estudo de problemas matemáticos aplicados à física e engenharia. 
Conteúdos: 
Unidade 1 – Matrizes e Determinantes: 
1.1. Definição; 1.2. Tipos de Matrizes; 1.3. Operações; 1.4. Propriedades; 1.5. Conceito; 1.6. Operações; 1.7. 
Propriedades; 
Unidade 2 - Sistemas Lineares: 
2.1. Equação Linear; 2.2. Sistemas de Equações Lineares; 2.3. Solução de um sistema linear; 2.4. Sistema 
compatível: determinado e indeterminado; 2.5. Sistema incompatível; 2.6. Operações elementares; 2.7. 
Sistemas equivalentes; 2.8. Sistema linear homogêneo; 2.9. Estudo e solução dos sistemas de equações 
lineares; 2.10. Escalonamento de sistemas lineares e métodos de Gauss; 2.11. A regra de Cramer; 2.12. 
Aplicações; 
 
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Unidade 3 - Espaços Vetoriais: 
3.1. Definição; 3.2. Propriedades dos espaços vetoriais; 3.3. Subespaços vetoriais; 3.4. Combinações 
lineares; 3.5. Geradores de um espaço vetorial; 3.6. Somas de subespaços; 3.7. Soma direta; 3.8. Dependência 
e independência linear; 3.9. Base e dimensão; 3.10. Coordenadas; 3.11. Mudança de base; 
Unidade 4 - Transformações Lineares: 
4.1. Definição; 4.2. Propriedades das transformações lineares; 4.3. Imagem; 4.4. Núcleo; 4.5. Matriz de uma 
transformação linear; 4.6. Operações com transformações lineares; 
Unidade 5 - Autovalor e Autovetor: 
5.1. Definição; 5.2. Propriedades; 5.3. Aplicações. 
Sobre este material: 
Este material apresenta uma lista com 211 exercícios recomentados para a disciplina de álgebra linear. Os 
exercícios estão separados por unidades (1 a 6) e também por tipo de questões (teóricas, de fixação e problemas). 
É recomendado também resolver os exercícios contidos nas bibliografias recomendadas. 
Bibliografia recomendada: 
1. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra, 1986. 
2. CALLIOLI, Carlos A. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
3. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1987. 
4. LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1998. 
5. LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
6. SHOKRANIAN, S. Uma introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009. 
7. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. São Paulo: Bookman, 2001. 
8. BLOCH, S. C. Excel para engenheiros e cientistas. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
 
 
 
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UNIDADE 1: MATRIZES e DETERMINANTES 
 
PARTE 1.1: Questões teóricas 
T1.01: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde 
{
 
 
 
 
𝑖) 𝑚 = 6; 
𝑖𝑖) 𝑛 = 𝑚; 
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 0; 
𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 1; 
𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = −1;
 
T1.02: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde 
{
 
 
 
 
𝑖) 𝑚 = 9; 
𝑖𝑖) 𝑛 = 5; 
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑗; 
𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 0; 
𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 + 1;
 
T1.03: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde 
{
 
 
 
 
𝑖) 𝑚 = 12; 
𝑖𝑖) 𝑛 = 15; 
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 − 2; 
𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗; 
𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗;
 
T1.04: Se M é uma matriz simétrica, é possível afirmar que M – MT é uma matriz nula? 
T1.05: Se M é uma matriz triangular superior, é possível afirmar que M
T
 é uma matriz triangular inferior? 
T1.06: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação de “M” por uma 
matriz “N” resulta em uma matriz de três linhas e sete colunas, qual é a dimensão de “N”? 
T1.07: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação de uma matriz “N” por 
“M” resulta em uma matriz de duas linhas e cinco colunas, qual é a dimensão de “N”? 
T1.08: Se D é uma matriz diagonal, é possível afirmar que D = D
T
? 
T1.09: Se T é uma matriz triangular superior, que tipo de matriz é T²? 
T1.10: Seja uma matriz M. É possível afirmar que ( ─ M) T = ─ (MT)? 
T1.11: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a soma. É Possível afirmar que (M + N)
 T
 = M
T
 + N
T
? 
T1.12: Seja uma matriz M. Se pudermos efetuar o produto M·M, então M obrigatoriamente será uma matriz 
quadrada? 
T1.13: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. Sejam também dois números reais m 
e n. É possível afirmar que (𝑚 ∙ 𝑀) × (𝑛 ∙ 𝑁) = 𝑚 ∙ 𝑛(𝑀 × 𝑁)? 
T1.14: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. É possível afirmar que 
( ─ 𝑀) × ( ─ 𝑁) = ─ (𝑀 × 𝑁)? 
T1.15: Suponha que existe uma matriz quadrada A não nula onde 𝑀 × 𝐴 = 𝑀 × 𝐵. É possível afirmar que 
𝐴 = 𝐵? Justifique sua resposta por meio de uma demonstração. 
T1.16: Seja uma matriz quadrada M. Se 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 1, estão podemos afirmar que 𝑀─1 = 𝑀? 
 
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T1.17: Se M é uma matriz triangular superior com 𝑑𝑒𝑡(𝑀) ≠ 0, então M─1 também será uma matriz triangular 
superior? 
T1.18: Se uma matriz M é quadrada e de ordem n, o seu posto terá valor n se, e somente se, M admitir inversa? 
T1.19: Sejam duas matrizes M e N com 𝑑𝑒𝑡(𝑀) ≠ 0 e 𝑑𝑒𝑡(𝑁) ≠ 0, então podemos afirmar que 
(𝐴 × 𝐵)−1 = 𝐴−1 × 𝐵−1? 
T1.20: Se M é uma matriz inversível, então a inversa da matriz inversa de M é a própria matriz M, ou seja, 
(𝑀−1)−1 = 𝑀? 
T1.21: Se uma matriz M pode ser escalonada até se transformar na sua matriz identidade associada, então esta 
matriz M necessariamente é inversível? 
PARTE 1.2: Exercícios de Fixação 
E1.01: Sejam as matrizes:  1 2 3 4 5 6
7 8 9 107 1 4 1 0 2 3 3 1
2 1 ; ; ; ; ; ; 
3 4 0 2 1 1 1 1 2
2 0 1
4 1 7 0 1 1 4 1
; ; ; 0 1 3 ; 
3 2 1 5 2 5 3 0
1 0 2
M M M M M M
M M M M
         
                            
 
                              
 
Executar as operações: 
a) ─ 2 M1 
b) M2
T
 
c) M1 + M2
T
 
d) M3 ─ 2 M4 
e) 3 M5 ─ M6 
f) M3 + M7 
g) ─ 3 M8 + 2 M9 
h) 3 M7 ─ I 
i) M10 ─ 5I 
E1.02: Sejam as matrizes: 
 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12
1
7 1 4 1 0 2 3 3 1
2 1 ; ; 2 ; ; ; ; ;
3 4 0 2 1 1 1 1 2
4
7 0 1 1 4 1 1 2 3 2 0 1 1 1 0
; ; ; ; ;
1 5 2 5 3 0 2 1 1 3 0 1 0 3 2
M M M M M M M
M M M M M
 
                                          
            
                        
 
13 14 15 16 17
1 3 3 4 1 0 4 5 3 2 0 1
0 4 ; 5 0 ; 4 0 ; 5 7 2 ; 0 1 3 
2 1 1 2 5 2 3 2 1 1 0 2
M M M M M
         
               
         
                     
 
Quando possível, executar as operações: 
a) M1 x M2 
b) M3 x M2 
c) M5 x M4 
d) M4 x M6 
e) M8 x M3 
f) M3 x M9 
g) M5 x M10 
h) M12 x M7 
i) M3 x M13 
j) M14 x M12 
k) M14 x M13 
l) M12 x M13 
m) M8 x M15 
n) M16 x M17 
o) M3 x M17 
p) M10 x M11 
q) M11 x M15 
r) M16 x M3 
s) M9 x M17 
t) M16 x M10 
u) M15 x M17 
E1.03: Sejam as matrizes: 
1 2 3 4 5 6
1
1 0 2 3 3 1 7 0 1 1 4 1
 2 ; ; ; ; ; ; 
2 1 1 1 1 2 1 5 2 5 3 0
4
M M M M M M
 
                                           
 
 
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7 8 9 10 11 12
1 3 3 4 4 5 3 2 0 1
2 0 1 1 1 0
; ; 0 4 ; 5 0 ; 5 7 2 ; 0 1 3 ; 
3 0 1 0 3 2
2 1 1 2 3 2 1 1 0 2
M M M M M M
       
                              
                    
 
Quando possível, executar as operações: 
a) (M7 x M9) x M2 
b) M12
T
 x M1 
c) M11 x M11
T
 
d) M11 x(M10 x M6) 
e) (3I) x M12 
f) (M10
T
) x M10 
g) {[2M3 x ( ─ 3M4
T
)] x M8
T 
} + 25M5 
h) M7 x ( M11 + M12
T
) x M9 
E1.04: Sejam as matrizes: 
1 2 3 4 5
6 7
3 7 9 5 6 4 7 1 1
2 4 0 2
; ; 0 4 3 ; 4 5 3 ; 4 3 0 ; 
1 3 5 9
3 4 2 4 4 1 5 2 8
4 0 7 3 5
1 2 5 2
0 0 2 0 0
2 8 6 3
 ; 7 3 6 4
2 6 7 5
5 0 4 4
M M M M M
M M
       
                                      
 
 
 
   
  
 
 
8
5 0 5 2 3
0 0 9 1 2
 
 
 
 
 
 
  
 
Calcule os determinantes os postos e as nulidades das matrizes M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7: 
 a) det (M1), p1, N1 
 b) det (M2), p2, N2 
 c) det (M3), p3, N3 
 
d) det (M4), p4, N4 
e) det (M5), p5, N5 
 
f) det (M6), p6, N6 
g) det (M7), p7, N7 
 
E1.05: Sejam as matrizes: 
1 2 3 4
5 6
1 3 2 2 4 3 2 7 1
2 2
; 2 3 2 ; 3 1 2 ; 4 3 0 ;
5 8
5 6 8 1 4 1 2 4 1
6 3 2 4 0
1 2 5 2
9 0 4 1 0
2 6 7 5
 ; 8 5 6 7 1
0 0 3 0
3 0 0 0 0
5 0 4 4
4 2 3 2 0
M M M M
M M
        
                  
             
 
       
    
   
   
    
 
Encontre as matrizes de cofatores e alguma matriz na forma escada para: a)M1, b)M2, c)M3 d)M4, e) M5. 
E1.06: Sejam as matrizes: 
1 2 3 4 5
3 5 8 4
2 3 4 4 3 0 1 3 5
7 4 0 2 3 7
; 4 0 5 ; 6 5 2 ; 2 1 1 ; 
9 3 0 0 1 5
5 1 6 9 7 3 3 4 2
0 0 0 2
M M M M M
 
                                            
 
 
Encontre as matrizes Adjuntas e alguma matriz na forma condensada para: a)M1, b)M2, c)M3 d)M4, e) M5. 
E1.07: Sejam as matrizes: 
1 2 3 4 5 6
4 0 0 0
9 2 2 5 2 4 8 1 6
6 4 1 3 7 1 0 0
; ; 1 4 0 ; 0 3 5 ; 4 0 3 ;
5 2 2 4 2 6 3 0
0 5 1 2 4 7 3 2 5
5 8 4 3
M M M M M M
 
                                                        
  
 
Encontre as matrizes inversas: 
a) M1
-1 
b) M2
-1
 
c) M3
-1
 
d) M4
-1
 
e) M5
-1
 
f) M6
-1
 
 
 
 
 
 
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E1.08: Sabendo que 
det 7
a b c
d e f
g h i
 
 
 
 
 
, calcule: 
a) det
5 5 5
a b c
d e f
g h i
 
 
 
 
 
 
c) det
a b c
g h i
d e f
 
 
 
 
 
 
e) det 2 2 2
a b c
d a e b f c
g h i
 
 
   
 
 
 
b) det 3 3 3
a b c
d e f
g h i
 
 
 
 
 
 
d) det
g h i
a b c
d e f
 
 
 
 
 
 
f) det
a d b e c f
d e f
g h i
   
 
 
 
 
 
 
E1.09: Encontre o valor de x nas equações: 
a) 
22 0
det 0 1 4 9
1 1 1
x x 
 
 
  
 
b) 21 1 2
det 2 3 det
10
1 5
x
x x
x
x
x
 
  
   
   
 
c) 
2 4 3 2
1 5 6det det
1 0 2 8
 x + = det 0 2 4
3 1 3 5
det det 3 7 1
4 2 1 2
      
     
                     
    
 
d) 2
3 4 6 2
1 5 3det det
2 8 3 5
 x + x = det 2 2 4
6 4 2 1
det det 3 7 1
2 1 7 2
        
       
                  
               
 
 
E1.10: Seja a Matriz M: 
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
a
b
M
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
a) Se "a=0" e "b=0", qual o valor do determinante de M? 
b) Se "a=1" e "b=0", qual o valor do determinante de M? 
c) Se "a=0" e"b=1" , qual o valor do determinante de M? 
d) Se "a=1" e "b=1", qual o valor do determinante de M? 
e) O que é necessário para que M esteja na forma escada? 
f) O que é necessário para que M esteja na forma condensada? 
g) Para as condições da letra “f”, encontre a forma escalonada de M; 
 
 
E1.11: Seja a matriz A: 
 
 
a) Calcule det(A); 
b) Encontre uma forma escada para A; 
c) Encontre a forma escalonada para A; 
d) Determine Adj(A); 
e) Determine A-1; 
 
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PARTE 1.3: Problemas 
P1.01: Seja 
22
2 1 0
x
M
x
 
  
 
, calcule o valor de x para que M = M
T
. 
P1.02: Sejam 
3 4
5 1
A
 
   
 e 
7 4
5
B
k
 
  
 
. Quais os valores de k para que A x B = B x A. 
P1.03: Sejam 
1 2
3 6
A
 
  
 
, 
3 8
2 3
B
 
  
 
 e 
5 2
1 2
C
 
   
. Verifique que A x B = A x C, apesar de B ≠ C. 
P1.04: Se A é uma matriz quadrada, então A
2
 = AxA. Assumindo que esta sentença é verdadeira, calcule 
2
2 1
3 2
 
 
 
. 
P1.05: Seja a matriz 5 2 2
7 1 3
4 8 6
x x
M
 
  
 
  
, calcule o valor de x para que 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 240. 
P1.06: Sejam as matrizes 1 1
2 3
1 5
x
M x
x 
 
 
  
 e 
2 2
10
x x
N
x
 
  
 
. Calcule o valor de x para que 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 𝑑𝑒𝑡(𝑁). 
 
P1.07: Em 2015, o IBGE realizou uma pesquisa com um grupo de crianças do estado de Pernambuco e concluiu 
que o peso médio, em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz: 
1 1 1
3 0
20 2
3
M x
 
 
  
 
  
 
Sabendo que a variável “x” representa a idade: 
a) Em que ano teria nascido uma criança cujo peso é 30 kg? 
b) Qual é o peso médio de uma criança que nasceu em 2010? 
 
P1.08: Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Podemos associar as 
letras do alfabeto aos números, ou seja: 
0 = _ 
1 = A 
2 = B 
3 = C 
4 = D 
5 = E 
6 = F 
7 = G 
8 = H 
9 = I 
10 = J 
11 = L 
12 = M 
13 = N 
14 = O 
15 = P 
16 = Q 
17 = R 
18 = S 
19 = T 
20 = U 
21 = V 
22 = X 
23 = Z 
Suponhamos que a nossa mensagem seja “Boa Prova". Podemos formar a matriz 
_
B O A
P R
O V A
 
 
 
  
 e usar sua 
correspondência numérica 2 14 1
0 15 17
14 21 1
M
 
 
 
  
. Considere agora a matriz 1 0 1
1 3 1
0 1 1
C
 
  
 
  
. Se nós multiplicarmos a 
matriz mensagem (M) pela matriz C, obtemos uma terceira matriz 12 43 17
15 62 32
7 64 36
A M C
 
    
 
  
. Então, a matriz A é 
enviada como mensagem. Quem recebe a mensagem pode decodificar fazendo uso da matriz inversa de C, ou seja, 
 1 1A C M C C M     
. Posteriormente, é realizada a transcrição dos números para letras. Esta matriz C é 
chamada Matriz Chave para o código. 
Suponha que você recebeu o código 15 50 20
11 23 28
10 71 42
 
 
 
  
, utilizando a chave C, qual é a mensagem recebida? 
 
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P1.09: O somatório de todos os elementos da diagonal de uma matriz é conhecido como traço. Seja a matriz 
𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde {
 𝑖) 𝑚 = 𝑛; 
 𝑖𝑖) ∀ 𝑒𝑖𝑗 = 2
−(𝑖+𝑗);
 Se 𝑚 tende a um número muito grande, qual será o valor aproximado do 
traço de 𝑀? 
 
P1.10: Seja a matriz 2 4
0 8
0 0
m n
M m m
n
 
 
 
  
, quais os valores de 𝑚 e 𝑛 que tornam o seu traço igual a 10 e o seu 
determinante igual a 30? 
P1.11: Seja a matriz 
1 0 0
2 0
3
M p m
p p n
 
 
 
  
, quais os valores de 𝑚, 𝑛 e 𝑝 que tornam o seu traço igual a 9 e o seu 
determinante igual a 15? 
 
 
 
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UNIDADE 2: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LIEARES 
PARTE 2.1: Questões teóricas 
T2.01: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 − 7𝑥5 = 14, 
2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 5𝑥5 = −2 e 𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥5 = −1. Qual é o seu grau de liberdade e o que ele 
representa? 
T2.02: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0, 
−2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑧 = 0. É possível classificar este SEL como SPD, SPI ou SI sem utilizar nenhum 
método de resolução? Justifique sua resposta. 
T2.03:. A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 + 𝛼𝑦 + 2𝑧 = 0, 
−𝑥 + 𝛼𝑦 + 3𝑧 = 0 e 4𝑥 + 6𝑦 + 𝛼𝑧 = 0, onde “α” é um número real. a) Quais as condições para o sistema ser 
SPD? b) Quais as condições para o sistema ser SPI? c) Quais as condições para o sistema ser SI? 
T2.04: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 e 
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2. a) É correto afirmar que cada equação deste sistema representa uma reta em R3? b) É correto 
afirmar que a solução deste sistema representa uma reta em R
3
? c) A solução deste sistema pode ser representada 
pela equação (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,3/2,0) + 𝑛(−1, 0, 1)? 
T2.05: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 1, 
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 e 3𝑥 + 𝑦 − 𝑝𝑧 = 𝑞, onde “p” e “q” são números reais. a) Quais as condições para o sistema ser 
SPD? b) Quais as condições para o sistema ser SPI? c) Quais as condições para o sistema ser SI? 
PARTE 2.2: Exercícios de Fixação 
E2.01: Seja o sistema de equações lineares 
2 3 11
4 3 2 0
6 
3 4 
x y z
x y z
x y z
x y z
  
   

  
   
; 
a) Escreva este sistema na forma matricial; 
b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
E2.02: Seja o sistema de equações lineares 
2 2
3
2 4 2
3 3 1
y
x y
x y
x y

  

 
  
; 
a) Escreva este sistema na forma matricial; 
b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
E2.03: Seja o sistema de equações lineares 3 2
2 4 3
2 3 2 1
y z
x y z
x y z
  

  
    
; 
a) É possível resolver este sistema utilizando o método de Cramer? 
b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
 
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E2.04: Seja o sistema de equações lineares 3 5 1
2 3
5 0
x y
x z
x y z
 

 
   
; 
a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; 
b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
E2.05: Seja o sistema de equações lineares 2 3 1
2 2 3
3 2 3
x y z
x y z
x y z
   

  
   
; 
a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; 
b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
E2.06: Seja o sistema de equações lineares 2 3
3 5
3 5
x y z
y z
x y z
  

  
   
; 
a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; 
b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; 
c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; 
d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; 
e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; 
f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; 
g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. 
E2.07: Sejam os SEL abaixo. Encontre seus graus de liberdade: 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
) 2 3 1
2 3 0
 ) 
2 5 6 0
4
) 
2 5 2 3
0
4
 ) 4
) 2 5 2 3
7 7 5
a x x x x
x y z
d
x y z
x y z
b
x y z
x x xx
x x x x
ex y z
x x x x
c x y z
x y z
   
  

  
  

  
   
   
  
  
  
   
1 2 3 4
2 3 0
 ) 2 3 0
3 2 0
3 2 4 1
3
 ) 4 3 3
2 3 3 5 0
1
x y z
f x y z
x y z
x y z
x y z
g x y z
x x x x x y z
x y z
  

  
   
   
     
     
        
   
 
PARTE 2.3: Problemas 
P2.01: Quais os valores de X, Y, Z e W para que 
2 3 1 0
3 4 0 1
X Y
Z W
     
      
     
? 
P2.02: Determine o valor de 𝑘 para que o sistema seja possível:
 
4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
  

 
  
 
 
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P2.03: Na região central de uma grande cidade, dois conjuntos de 
ruas de mão única se interceptam em quatro cruzamentos 
conforme a figura. O volume horário de tráfego entrando e 
saindo de cada região pode ser realizado através de um 
balanço unitário de carros que entram e saem de um 
determinado cruzamento. Por meio destas informações, 
calcule a quantidade de carros que saem do cruzamento “A” 
na direção oeste. 
 
 
P2.04: Um engenheiro de alimentos realizou uma análise nutricional em três tipos de ingredientes. Cada grama do 
primeiro apresentava 1mg de vitamina A, 3 mg vitamina B e 4 mg de vitamina C. Cada grama do segundo 
apresentava 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B e 5 mg de vitamina C. Por fim, cada grama do 
terceiro apresentava 3 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina C e não apresentava vitamina B. O objetivo 
deste estudo era preparar um alimento rico em vitaminas A, B e C com proporções exatas de 11:9:20, 
respectivamente. Este engenheiro conseguirá elaborar este alimento? 
 
P2.05: Um nutricionista está planejando uma refeição que forneça determinadas quantidades de vitamina C, cálcio 
e magnésio. Três ingredientes serão utilizados: o primeiro alimento apresenta 10 mg de vitamina C, 50 mg 
de cálcio e 30 mg de Magnésio; O segundo alimento apresenta 20 mg de vitamina C, 40 mg de cálcio e 10 
mg de Magnésio; O terceiro alimento apresenta 30 mg de vitamina C, 10 mg de cálcio e 40 mg de 
Magnésio. Sabendo que as exigências nutritivas da dieta são de 100 mg de vitamina C, 300 mg de cálcio e 
200 mg de Magnésio, qual a quantidade de cada alimento dever ser utilizado na receita? 
 
 
P2.06: Um problema clássico de engenharia é o estudo do equilíbrio 
de energia térmica entre corpos. Imagine uma placa delgada e 
homogênea de metal de coeficiente de dilatação desprezível e 
que as temperaturas das bordas sejam conhecidas. Suponha 
que T1, T2, T3 e T4 sejam as temperaturas dos quatro vértices 
internos da placa e que cada uma destas temperaturas seja 
igual à média das quatro temperaturas mais próximas (direita, 
esquerda, acima e abaixo). Calcule o valor destas 
temperaturas. 
 
 
P2.07: O balanceamento de equações químicas consiste em igualar o número de elementos do produto em relação 
aos reagentes. Numa equação química é necessário verificar o número de átomos de cada elemento é o 
mesmo em ambos os lados da equação. Com base nestas informações, quais os valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾 para que 
a reação 𝛼 ∙ 𝑁2𝑂5 → 𝛽 ∙ 𝑁𝑂2 + 𝛾 ∙ 𝑂2 seja balanceada. 
 
P2.08: O ácido fluorídrico (HF) é conhecido pela sua potencialidade de dissolver silicatos, como o dióxido de 
silício (SiO2), principal componente do vidro. Esta propriedade é bastante utilizada na indústria desde o 
início da revolução industrial do século XVII. Um engenheiro químico precisa desenvolver um processo 
industrial de customização de peças vítreas por meio da reação com ácido fluorídrico: 𝛼 ∙ 𝐻𝐹 + 𝛽 ∙ 𝑆𝑖𝑂2 →
𝛾 ∙ 𝑆𝑖𝐹4 + 𝜔 ∙ 𝐻2𝑂. Quais os valores de 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝜔 que relacionam reagentes e produtos desta reação? 
 
 
 
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UNIDADE 3: ESPAÇOS VETORIAIS 
PARTE 3.1: Questões teóricas 
T3.01: Seja W o espaço vetorial das matrizes de 2 linhas e 3 colunas. Qual é o elemento nulo de W? 
T3.02: Seja W o espaço vetorial dos polinômios de ordem 5. Qual seria a dimensão de W? 
T3.03: Seja W o espaço vetorial do R
4
. Qual seria a base canônica de W? 
T3.04: Sejam v = (a, b) e w = (c, d) vetores do R². Mostre que v e w são LD se e somente se Se ad – bc = 0. 
T3.05: Sejam u = (a1, b1,c1), v = (a2, b2,c2) e w = (a3, b3,c3) vetores do R³. O que é necessário para que eles sejam 
LI? 
T3.06: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. 
T3.07: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥1 / ∀𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. 
T3.08: Seja 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 ∈ 𝑃2/ 𝑎0, 𝑎1 𝑒 𝑎2 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. 
T3.09: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑧}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.10: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)  𝑅3 / 𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑧 = 3𝑥}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.11: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 / 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 − 𝑡 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.12: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 / 2𝑥 + 𝑦– 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.13: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡)  𝑅5 / 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥, 𝑤 = 0; 𝑡 = 𝑥}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.14: Seja 𝑊 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.15: Seja 𝑊 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐 + 1}. Mostre que W não é um subespaço vetorial. 
T3.16: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎11 ∙ 𝑎22 = 0}. Mostre que W não é um subespaço vetorial. 
T3.17: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎12 = 𝑎11 + 𝑎22 𝑒 𝑎21 = 𝑎11}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.18: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 / 𝑚 = 𝑛 = 4 𝑒 ∀𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.19: Seja 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥
3 ∈ 𝑃3 / 𝑎0 = 𝑎3 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. 
T3.20: Seja 𝑊 = {∑𝑎𝑖𝑥
𝑖  𝑃 5/ 𝑎0 = 0, 𝑎4 = 0 𝑒 ∀ 𝑎𝑗 = 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑗 = 1, 3 𝑜𝑢 5 𝑒 𝑘 = 1, 3 𝑜𝑢 5}. Mostre que W é 
um subespaço vetorial. 
PARTE 3.2: Exercícios de Fixação 
E3.01: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑧}. Encontre sua base e dimensão. 
E3.02: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)  𝑅3 / 𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑧 = 3𝑥}. Encontre sua base e dimensão. 
E3.03: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4 / 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 − 𝑡 = 0}. Encontre sua base e dimensão. 
E3.04: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4 / 2𝑥 + 𝑦– 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0}. Encontre sua base e 
dimensão. 
 
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E3.05: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡)  𝑅5 / 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥, 𝑤 = 0; 𝑡 = 𝑥}. Encontre sua base e 
dimensão. 
E3.06: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐}. Encontre sua base e dimensão. 
E3.07: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎12 = 𝑎11 + 𝑎22 𝑒 𝑎21 = 𝑎11}. Encontre sua base e 
dimensão. 
E3.08: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 / 𝑚 = 𝑛 = 4 𝑒 ∀𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗}. Encontre sua base e 
dimensão. 
E3.09: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥
3 ∈ 𝑃3 / 𝑎0 = 𝑎3 = 0}. Encontre sua base e 
dimensão. 
E3.10: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {∑𝑎𝑖𝑥
𝑖  𝑃 5/ 𝑎0 = 0, 𝑎4 = 0 𝑒 ∀ 𝑎𝑗 = 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑗 = 1, 3 𝑜𝑢 5 𝑒 𝑘 =
1, 3 𝑜𝑢 5}. Encontre sua base e dimensão. 
E3.11: Sejao conjunto gerador 𝑊 = [(2,0,0,1), (0, −1,1,2), (1,0, −1,0), (1, −1,4,4)]. Encontre a base e a 
dimensão de W. 
E3.12: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(
1 −1
0 0
) , (
0 1
0 0
) , (
0 1
−1 0
) , (
1 1
−1 0
)]. Encontre a base e a dimensão de 
W. 
E3.13: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [𝑥 , 𝑥 − 2 , 𝑥4 − 𝑥] ∈ 𝑃4. Encontre a base e a dimensão de W. 
E3.14: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,1), (1,0,0), (0,0,3)]. Encontre o subespaço gerado por W. 
E3.15: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(
1 1
0 1
0 0
) , (
−1 1
1 0
0 0
)]. Encontre o subespaço gerado por W. 
E3.16: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [1 , 𝑥2 + 2,− 𝑥2] ∈ 𝑃3. Encontre o subespaço gerado por W. 
E3.17: Sejam os conjuntos geradores 𝑉 = [(
1 −1
0 0
) , (
0 1
0 0
) , (
0 0
1 0
)] e 𝑊 = [(
1 0
0 1
) , (
0 1
1 1
)]. Encontre 
𝑉 ∩𝑊 e 𝑈 = 𝑉 +𝑊. 
E3.18: Sejam os conjuntos geradores 𝑈 = [(1,2,0), (1,0, −1), (0,4,2), (2, −1,2)], 𝑉 = [(1,1,0), (0,1,1), (2,0, −2)] 
e 𝑊 = [(1, −2,3), (−3,6, −9), (2, −4,6)]. a) U é base para o R3? b) V é base para o R3? c) W é base para o R3? d) 
É possível obter uma base para o R
3
 a partir de U? d) Encontre a base e a dimensão do subespaço gerado por V; e) 
Encontre o subespaço gerado por W; f) Encontre 𝑉 ∩𝑊; g) É possível 
V W
? 
E3.19: Considere os subespaços vetoriais 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 | [
1 2 1 3
3 6 2 9
1 2 1 3
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
] = [
0
0
0
]} e 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4| 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 𝑒 𝑤 = 3𝑥 }. a) Encontre a base e a dimensão de V; b) Encontre a base e a 
dimensão de W; c) Encontre 𝑉 ∩𝑊; d) Encontre a base e a dimensão de 𝑉 ∩𝑊; e) Encontre a base e a dimensão 
de 𝑉 +𝑊 
E3.20: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,0,1), (0,1,1,1)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com 
relação à base canônica de R
4
. 
E3.21: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,1), (1,0,0), (0,0,3)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com 
relação à base canônica de R
3
. 
E3.22: Sejam o conjunto gerador 𝑊 = [(
1 0
0 1
) , (
0 1
1 1
)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com 
relação à base canônica de M2x2. 
 
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E3.23: Sejam o conjunto gerador 𝑊 = [(
1 −1
0 0
) , (
0 1
0 0
) , (
0 0
−1 0
)]. Encontre as coordenadas dos elementos 
de W
 
com relação à base canônica de M2x2. 
E3.24: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(
1 1
0 1
0 0
) , (
−1 1
1 0
0 0
)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com 
relação à base canônica de M3x2. 
E3.25: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [𝑥 , 𝑥 − 2 , 𝑥4 − 𝑥] ∈ 𝑃4. Encontre as coordenadas dos elementos de W
 
com 
relação à base canônica de P4. 
E3.26: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [1 , 𝑥2 + 2,− 𝑥2] ∈ 𝑃5. Encontre as coordenadas dos elementos de W
 
com 
relação à base canônica de P5. 
E3.27: Sejam as bases do R³: 
α = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}; 
β = {(1,0,-1), (1,1,1); (-1,1,0)}; 
γ = {(1,0,0)}, (1,1,0), (1,1,1)}; 
δ = {(-1,0,0)}, (2,3,0), (0,-2,1)}; 
ζ = {(1,-1,1)}, (0,1,1), (3,2,1)}; 
η = {(-1,-2,3)}, (-3,2,-5), (6,1,-3)}; 
λ = {(-1,-3,6)}, (-2,2,1), (3,-5,-3)}; 
Encontre as matrizes mudança de base: 
a) 
 I


 b) 
 I


 c) 
 I


 d) 
 I


 e) 
 I


 f) 
 I


 
g) 
 I


 h) 
 I


 i) 
 I


 j) 
 I


 k) 
 I


 l) 
 I


 
m) 
 I


 n) 
 I


 o) 
 I


 p) 
 I


 q) 
 I


 r) 
 I


 
s) 
 I


 t) 
 I


 u) 
 I


 v) 
 I


 w) 
 I


 x) 
 I


 
PARTE 3.3: Problemas 
P3.01: Sejam os vetores 𝑢 = (2,0,0,1), 𝑣 = (0,0,1,1) e 𝑤 = (α,0,1,2). Qual o único valor de α que tornam estes 
vetores linearmente dependentes (L.D.)? 
P3.02: Considere o conjunto gerador W = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)]: a) Encontre uma base para W; b) 
O vetor (2, 3, -3, 6) pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence ao espaço gerado por W? 
P3.03: Considere o conjunto gerador W = [(5, -5, 5, 0), (3, 0, 1, 1), (0, -3, 2, -1), (4, 2, 0, 2)]: a) Encontre uma base 
para W; b) O vetor (1, 5, 0, 1) pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor (1, 1, 0, 0) pertence ao espaço gerado 
por W? 
P3.04: Considere o conjunto gerador W =[(1,-1,0,0) , (0,0,1,1) , (-2,2,1,1) , (1,0,0,0)]: a) Encontre uma base para 
W; b) O vetor (2 , -3 , 2 , 2) pertence ao espaço gerado por W? c) Quais são as coordenadas de 𝑤 em relação à 
base encontrada para W? 
P3.05: Considere o subespaço 𝑊 = {[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] ∈ 𝑀2𝑥2 | 𝑥 = 2𝑎, 𝑦 = 2𝑎 + 𝑏, 𝑧 = 0 𝑒 𝑤 = 𝑎 − 𝑏, ∀𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝑅}: 
a) Encontre uma base para W; b) O vetor [
0 −2
0 1
] pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor [
0 2
3 1
] pertence 
ao espaço gerado por W? d) Quais são as coordenadas de [
6 −7
3 1
] em relação à base canônica de 𝑀2𝑥2 ? 
 
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P3.06: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,1,1); (-1,1,0); (1,0,-1)}. 
P3.07: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,0,-1), (1,1,1); (-1,1,0)}. 
P3.08: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,1,0)}, (1,0,-1), (1,1,1)}. 
P3.09: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,0,0)}, (1,1,0), (1,1,1)}. 
P3.10: Seja 𝑤 = (-5,2,1). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,0,0)}, (2,3,0), (0,-2,1)}. 
P3.11: Seja 𝑤 = (-1,0,2). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,-1,1)}, (0,1,1), (3,2,1)}. 
P3.12: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,-2,3)}, (-3,2,-5), (6,1,-3)}. 
P3.13: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,-3,6)}, (-2,2,1), (3,-5,-3)}. 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 4: TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
PARTE 4.1: Questões teóricas 
T4.01: Seja o operador T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.02: Seja o operador T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑦 , 𝑥). Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.03: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑦, 3𝑦). Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.04: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 3𝑧). Mostre que T é uma transformação 
linear. 
T4.05: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Mostre que T é uma transformação 
linear. 
T4.06: Seja o operador T: M3x3 R³: [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] → (𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33). Mostre que T é uma transformação 
linear. 
T4.07: Seja o operador T: M2x2 M2x2: [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] → [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 𝑇. Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.08: Seja o operador T: P2

 P3: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥. Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.09: Seja o operador T: P2 P2: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 𝑐𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏. Mostre que T é uma transformação linear. 
T4.10: Um operador T: R³ → R³ associa a cada vetor 𝒗 do R³ ao resultado do produto vetorial deste vetor 𝒗 com um 
vetor não nulo 𝑤 também do R³. De modo que T(𝒗) = 𝒗 × 𝑤. Mostre que T é um operador linear. 
T4.11: Seja o operador T: R²

R: (𝑥, 𝑦) → 𝑥 ∙ 𝑦. Mostre que T não é uma transformação linear. 
T4.12: Seja o operador T: M2x2R: [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] → 𝑑𝑒𝑡 [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]. Mostre que T não é uma transformação linear. 
T4.13: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 2𝑥 + 𝑦). Encontre o núcleo de T. 
T4.14: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Encontre 
o núcleo de T. 
T4.15: Seja o operador transformação linear T: R²

R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
0 2
1 1
]. Encontre o núcleo do operador T. 
T4.16: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑥 , 𝑥 + 𝑦). Encontre uma base para o 
subespaço gerado pelo o núcleo de T. 
T4.17: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 2𝑦 , 3𝑧 − 𝑥). Encontre uma base para o 
subespaço gerado pelo o núcleo de T. 
T4.18: Seja o operador transformação linear T: R³

R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
]. Encontre uma base para o subespaço gerado pelo o núcleo de T. 
 
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T4.19: Seja o operador derivada D: Pn

 Pn-1: 
1
0 0
n n
i i
i i
i i
a x i a x 
 
    
. Sabendo que D é um operador 
transformação linear, encontre a base do núcleo de D quando n=3. 
 
T4.20: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Encontre a imagem de T. 
T4.21: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧, 𝑦 + 2𝑧 , 𝑧). Encontre a 
imagem de T. 
T4.22: Seja o operador transformação linear T: R²

R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
3 −1
0 2
] −1. Encontre a imagem do operador T. 
 
T4.23: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(1,1) = (2 , −1) e 𝑇(−1,2) = (3 , −2). Encontre 
a imagem de T. 
T4.24: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 , 3𝑧). Encontre uma base 
para a imagem de T. 
T4.25: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , −𝑥 + 𝑧 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre 
uma base para a imagem de T. 
T4.26: Seja o operador transformação linear T: R³

R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
1 0 0
0 2 0
1 3 3
]. Encontre uma base para a imagem de T. 
T4.27: Seja o operador integral 
I
: Pn Pn+1: 1
0 0 1
in n
i i
i
i i
a x
a x
i

 

 

 
. Sabendo que I é um operador 
transformação linear, encontre a base da imagem de I quando n = 2. 
T4.28: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (−2𝑥 + 𝑦 , 4𝑦). Quais os tipos transformações 
lineares T executa no R²? 
T4.29: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(−2,3) = (1 , 1) e 𝑇(4,5) = (9 , 9). Quais os tipos 
transformações lineares T executa no R²? 
T4.30: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 3𝑦 , 𝑦 + 𝑧). Quais os tipos 
transformações lineares T executa no R³? 
T4.31: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 − 2𝑧 , 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧). Quais os tipos 
transformações lineares T executa no R³? 
T4.32: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧). Quais 
os tipos transformações lineares T executa no R³? 
T4.33: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 3𝑦 , 4𝑦). Esta transformação linear é 
injetora, sobrejetora ou bijetora? 
 
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T4.34: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(3,1) = (−2,8) e 𝑇(1, −1) = (6,2). Esta 
transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.35: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦 , 𝑧 − 𝑥 , 2𝑥). Esta transformação linear é 
injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.36: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦). Esta transformação linear é 
injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.37: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 ,3𝑦 + 5𝑧 , −𝑧). Esta 
transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.38: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦, 𝑧 , −𝑥). Esta transformação linear é 
injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.39: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧, 4𝑦 , −3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧). Esta 
transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? 
T4.40: Seja um vetor 𝑣 ∈ 𝑅³. Caso seja necessário executar uma rotação de um ângulo 𝜙 no sentido anti-horário 
em torno do eixo 𝑧, qual seria a matriz associada a esta transformação linear? 
PARTE 4.2: Exercícios de Fixação 
E4.01: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦 ). a) Encontre a matriz 
transformação linear de T. b) Encontre o núcleo e imagem de T. c) Classifique o operador T. 
E4.02: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 – 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ). a) Encontre a 
matriz transformação linear de T. b) Encontre o núcleo e imagem de T. c) Classifique o operador T. 
E4.03: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(1,0) = (−1,1) e 𝑇(0,1) = (4,2). a) Encontre o 
operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) Classifique o 
operador T. 
E4.04: Seja o operador transformação linear T: R²

R³ onde 𝑇(1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0, −2) = (0,1,0). a) 
Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) 
Classifique o operador T. 
E4.05: Seja o operador transformação linear T: R³

R² onde 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e 𝑇(0,0,1) =
(0, −1). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e 
imagem de T. d) Classifique o operador T. 
E4.06: Seja o operador transformação linear T: R³

R² onde T(3,2,1) = (1,1), T(0,1,0) = (0, −2) e T(0,0,1) =
 (0, −1). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e 
imagem de T. d) Classifique o operador T. 
E4.07: Sejam os operadores lineares F e Q: 
     
3 3 3
, , , ,, ,, ,,
 
, , , , , ,
F Q
F Q
R R R
x y z x y z x y z
 
 
 
 
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       
, ,, ,
, , , , , , , ,, ,, ,, ,, ,
, ,, ,
2 2
, , , , , , , , 3
 5
:Onde
x x y x x
F x y z x y z y y Q x y z x y z y y
z z z z
   
 
    
   
 
a) Encontre a matriz transformação associado ao operador “F”. 
b) Que tipo de transformação o operador “F” realiza no R3? 
c) Qual é o núcleo de “F”? 
d) Encontre a matriz transformação associado ao operador “Q”. 
e) Que tipo de transformação o operador “Q” realiza no R3? 
f) Qual é o núcleo de “Q”? 
g) Encontre a matriz transformação global. 
h) Que tipo de transformação o operador global realiza no R3? 
i) Qual é o núcleo de do operador global? 
PARTE 4.3: Problemas 
P4.01: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(1,0) = (4,2) e 𝑇(0,1) = (1,1). Qual seria o vetor 
𝒗 na qual T(𝒗) = (14, 4)? 
P4.02: Seja o operador transformação linear T: R²

R³ onde 𝑇(1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0,−2) = (0,1,0). Qual seria 
o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (15,11,5)? 
P4.03: Seja o operador transformação linear T: R³

R² onde 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e 𝑇(0,0,1) =
(0, −1). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (4, 1)? 
P4.04: Seja o operador transformação linear T: R³

R² onde T(3,2,1) = (1,1), T(0,1,0) = (0, −2) e 
T(0,0,1) = (0, −1). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (3, 2)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 5: AUTOVETORES E AUTOVALORES 
PARTE 5.1: Questões teóricas 
 
T5.01: Seja o operador T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). O operador T admite a existência de autovetores e 
autovalores? 
T5.02: Seja o operador T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑦 , 𝑥). O operador T admite a existência de autovetores e 
autovalores? 
T5.03: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑦, 3𝑦). O operador T admite a existência de autovetores 
e autovalores? 
T5.04: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 3𝑧). O operador T admite a existência de 
autovetores e autovalores? 
T5.05: Seja o operador transformação linear T: R²

R³ onde 𝑇(45,20) = (234 , 8956 , 9991) e 𝑇(−1,34) =
(22 , −546 , 1236). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? Por quê? 
PARTE 5.2: Exercícios de Fixação 
E5.01: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 2𝑥 + 𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.02: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑥 , 𝑥 + 𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.03: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (−2𝑥 + 𝑦 , 4𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.04: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.05: Seja o operador transformação linear T: R²

R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 3𝑦 , 4𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.06: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Encontre 
os autovetores e autovalores de T. 
E5.07: Seja o operador T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre os autovetores e 
autovalores de T.. 
E5.08: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 2𝑦 , 3𝑧 − 𝑥). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.09: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧, 𝑦 + 2𝑧 , 𝑧). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
E5.10: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 , 3𝑧). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
 
Álgebra Linear 
Prof. Julierme Oliveira, DSc. 
 
21 
Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry 
 
E5.11: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , −𝑥 + 𝑧 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre os 
autovetores e autovalores de T.. 
E5.12: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 3𝑦 , 𝑦 + 𝑧). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.13: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 − 2𝑧 , 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
E5.14: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧). 
Encontre os autovetores e autovalores de T. 
E5.15: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦 , 𝑧 − 𝑥 , 2𝑥). Encontre os autovetores e 
autovalores de T. 
E5.16: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦). Encontre os autovetores e 
autovalores de T.? 
E5.17: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 ,3𝑦 + 5𝑧 , −𝑧). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
E5.18: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦, 𝑧 , −𝑥). Encontre os autovetores e 
autovalores de T.? 
E5.19: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧, 4𝑦 , −3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧). Encontre 
os autovetores e autovalores de T. 
E5.20: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦 ). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
E5.21: Seja o operador transformação linear T: R³

R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 – 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
PARTE 5.3: Problemas 
P5.01: Seja o operador transformação linear T: R²

R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
0 2
1 1
]. Encontre os autovetores e autovalores de T. 
P5.02: Seja o operador transformação linear T: R²

R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
−1 3
4 3
] −1. Encontre os autovetores e autovalores de T. 
P5.03: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(3,1) = (−2,8) e 𝑇(1, −1) = (6,2). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
P5.04: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(1,1) = (2 , −1) e 𝑇(−1,2) = (3 , −2). Encontre 
os autovetores e autovalores de T. 
P5.05: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(−2,3) = (1 , 1) e 𝑇(4,5) = (9 , 9). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
 
Álgebra Linear 
Prof. Julierme Oliveira, DSc. 
 
22 
Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry 
 
P5.06: Seja o operador transformação linear T: R²

R² onde 𝑇(1,0) = (−1,1) e 𝑇(0,1) = (4,2). Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
P5.07: Seja o operador transformação linear T: R³

R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = [
1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
]. Encontre os autovetores e autovalores de T. 
P5.08: Seja o operador transformação linear T: R³

R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada 
por 𝑀𝑇 = 𝐴 × (𝐵 − 2𝐶), onde 𝐴 = [
1 0 −1
0 1 0
0 0 4
], 𝐵 = [
−2 6 2
7 1 4
4 6 4
] e 𝐶 = [
1 3 1
0 −1 2
0 0 1
]. Encontre os 
autovetores e autovalores de T. 
P5.09: Seja o operador transformação linear T: R³

R³ onde 𝑇(3,1,2) = (9,8,7), 𝑇(2, −1,2) = (9,6,5) e 
𝑇(1,1,2) = (5,4,7). Encontre os autovetores e autovalores de T. 
P5.10: Seja o operador transformação linear T: R³

R³ onde 𝑇(1,1, −1) = (2,2,0), 𝑇(0,1,1) = (1,1,3) e 
𝑇(−2,1,1) = (−1,−1,5). Encontre os autovetores e autovalores de T.