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MÉTODOS QUANTITATIVOS – AULA 3
ANTONIO VIANA MATIAS
Rio de Janeiro, 2011
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 Aula 3 - Programação Linear e seus Conceitos Básicos
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AULA 03 – PROGRAMAÇÃO LINEAR: CONCEITOS BÁSICOS 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- A utilização do modelo matemático de Programação Linear;
- As áreas de aplicação da Programação Linear.
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PROGRAMAÇÃO LINEAR
É um subitem de programação matemática é um dos elementos mais utilizados em Pesquisa Operacional. É um modelo de otimização. Visa alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrência (em competição).
	
A tarefa primordial ao utilizar a programação linear é o reconhecimento e a formulação do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e assim fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
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ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático de Programação Linear, existem três conjuntos de elementos:
- Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
- Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis); e
- Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
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PROGRAMAÇÃO LINEAR: IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS 
Exemplo 1
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa (PARÂMETROS). Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro (VARIÁVEIS DE DECISÃO). Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas (RESTRIÇÕS). Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
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Variáveis de decisão:
- X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
- X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
 Parâmetros:
- Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
- Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser minimizada: 
	ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
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QUADRO RESUMO
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PARÂMETROS		SPO RIO	RESTRIÇÃO
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Lamina fina			8	2	16
Lamina média		1	1	 6
Lamina grossa		2	7	28
Custo (função objetivo)100.000 200.000
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Restrições técnicas: 
	8 X1 + 2 X2  16 
	 X1 + X2  6 
	 2 X1 + 7 X2  28 
 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
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Exemplo 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
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Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos calzones
 Parâmetros:
- Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
- capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
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- Capacidade de pizza 1 0 	 128 (8 x 16)
- Capacidade de calzone 0	 1 	 72 (8 x 9)
Queijo		 40 60 5.000 (5 kg)
Lucro (função Objetivo) 18 	 22
QUADRO RESUMO
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PARÂMETROS	 PIZZA CALZONE	 RESTRIÇÃO
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Restrições técnicas: 
	 X1  128 (8 x 16) 
	 X2  72 (8 x 9) 
	40 X1 + 60 X2  5000 (5 kg) 
 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
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Exemplo 3:
Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
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Variáveis de decisão:
 X1 = Qtd. de serviços tipo A
 X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
- Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
- Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de custos de produção
Função Objetivo:
	Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2
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QUADRO RESUMO
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PARÂMETROS	 SERV. A	SERV. B RESTRIÇÃO
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Recurso I			4	 6		36
 Recurso II			4	 2		20
 Custo produção	 800	 900	 7200
 lucro			 70	 160
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Restrições técnicas: 
 4 X1 + 6 X2  36 
 4 X1 + 2 X2  20 
 800 X1 + 900 X2  7200 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
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Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear pode-se destacar as seguintes: 
- Administração da Produção;
- Análise de Investimentos;
- Alocação de recursos limitados;
- Planejamento regional;
- Logística;
- Custo de transporte;
- Localização da rede de distribuição;
- Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação.
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	Nesta aula você aprendeu:
A utilização do modelo matemático de Programação Linear;
As áreas de aplicação da Programação Linear.
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