MATEMÁTICA ELEMENTAR

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Matemática Básica
Números
Potenciação
Radiciação
Funções
Polinômios
Sistemas de Equações do 1º e 2º graus
ASSUNTOS ABORDADOS
NÚMEROS
NÚMEROS INTEIROS
NÚMEROS NATURAIS
NÚMEROS RACIONAIS
São frações entre números inteiros.
NÚMEROS REAIS
Chama-se conjunto dos números reais (R) aquele formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
RETA REAL
O conjunto dos números reais pode ser representado por um conjunto de pontos de uma reta, chamada reta real.
RETA REAL
Convenções para representar conjuntos:
O sinal asterisco (*) retira o zero.
O sinal mais (+) retira os negativos.
O sinal menos (-) retira os positivos.
Exemplos:
OPERAÇÕES EM N
As operações fundamentais são adição e multiplicação. Suas inversas são, respectivamente, a subtração e a divisão exata.
Se an=b, o n° a é denominado base, n é o expoente e b é o resultado.
Propriedades da Potenciação
MDC e MMC
Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números naturais é o maior natural que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor natural não-nulo que é múltiplo ao mesmo tempo de todos eles.
CÁLCULO DO MDC E MMC
Fatoram-se os números e, em seguida, aplica-se a seguinte regra geral:
MDC: tomam-se apenas os fatores comuns, com os menores expoentes.
MMC: tomam-se tanto os fatores comuns como os não-comuns, com os maiores expoentes.
Calcule o mdc e mmc de 1200 e 2520.
Máximo Divisor Comum (MDC)
Fatores comuns: 2,3,5
C/ os menores expoentes: 23.3.5=120
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Fatores comuns e não-comuns: 2,3,5,7
C/ os maiores expoentes: 24.32.52.7=25200
FRAÇÕES RACIONAIS
São frações do tipo:
Mesmo denominador: opera-se o numerador.
Adição e Subtração
Efetua-se as simplificações possíveis entre os numeradores e denominadores (mesmo que sejam de frações diferentes. Em seguida, multiplica-se os numeradores e denominadores.
Multiplicação
Para dividir duas frações, multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda.
Divisão
POTENCIAÇÃO
E
RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
a) Base positiva: potência positiva
b) Base negativa:
	b.1) expoente par: potência positiva
	b.2) expoente ímpar: potência negativa
RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação.
Expoente Inteiro Negativo
Expoente Fracionário Racional
Propriedades da Radiciação
Simplificando Radicais
Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.
Exemplos:
Operando com radicais
A soma ou diferença de radicais semelhantes é um radical semelhante a eles, cujo coeficiente é a soma ou a diferença de seus coeficientes.
Exemplo:
Racionalizando Denominadores
O processo geral consiste em multiplicar-se numerador e denominador por um mesmo fator (o que não altera a fração), chamado fator racionalizante. Ele é escolhido de forma a desaparecer a raiz do donominador.
Exemplos:
FUNÇÕES
Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos valores de outra variável
A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta)
O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco
Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função.
OBS:
A é o domínio
B é a imagem (contra-domínio)
Funções
Nomenclatura (Leonhard Euler)
y é igual a f de x
Funções
POLINÔMIOS
Expressões algébricas constituídas de monômios ou soma de monômios.
Cada uma das parcelas é um termo do polinômio.
Polinômios
É o maior grau dos termos de um polinômio.
Exemplos: P(x)=x3+2x2-x+3 (grau 3)
Grau de um Polinômio
Operações com Polinômios
Reduz-se ao máximo os termos semelhantes.
Exemplo:
A(x)=x2-3x+1 B(x)=2x2-5
A(x)-B(x)= ?
A(x)-B(x)=(x2-3x+1)-(2x2-5)=x2-3x+1-2x2+5
A(x)-B(x)= -x2-3x+6
Soma ou Subtração
Operações com Polinômios
Multiplica-se cada termo de um por todos os termos do outro.
Exemplo: A(x)=x2-1 B(x)=2x2-5
A(x).B(x)=(x2-1).(2x2-5)
A(x).B(x)=x2.2x2+x2.(-5)+(-1).2x2+(-1).(-5)
A(x).B(x)=2x4-7x2+5
Multiplicação
Operações com Polinômios
Um dos processos para se efetuar a divisão de polinômios é semelhante ao da divisão de números naturais.
Dividir um polinômio A(x) por B(x) é encontrar os polinômios Q(x) e R(x), tais que:
Divisão
A(x)=B(x).Q(x)+R(x)
O grau de R(x) é nulo ou é < que o de B(x)
Exemplo: dividir 2x3-5x2+5 por x-2
Divisão de Polinômios
Produtos Notáveis
Raízes de um Polinômio
Todo polinômio pode ser fatorado no produto da diferença entre a variável e suas raízes.
Exemplo:
Polinômios de uma variável
Um polinômio de variável x e de grau n pode ser representado, genericamente, por
Essa forma organizada de se representar um polinômio de uma variável é chamada forma canônica.
As constantes			 , com 	 ,	são coeficientes do polinômio. Cada uma das (n+1) parcelas é um termo do polinômio. O último termo (de grau zero), que não contém a variável, é chamado termo independente.
Exemplo
Escrever, na forma canônica, o polinômio
Reduzindo os termos semelhantes:
Completando-o (falta o termo de 3º grau):
Ordenando-o do maior para o menor grau:
Exemplo
Sabe-se que os polinômios 
e são idênticos. Calcular as constantes reais a, b e c.
Os dois polinômios estão escritos na forma canônica. Devemos igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau.
Coeficientes de x2:
Coeficientes de x:
Termos independentes:
Portanto,		 e 
SISTEMA DE EQUAÇÕES
DO 1o GRAU
São equações do tipo:
Sistema é um conjunto, no caso, de equações do 1o grau.
Resolver um sistema é encontrar valores para as variáveis que satisfazem, simultaneamente, todas as equações.
Equações do 1o Grau
Método da Substituição
Método da Adição
SISTEMA DE EQUAÇÕES
DO 2o GRAU
São equações do tipo:
Equações do 2o Grau
Relações entre os Coeficientes e 
Raízes de uma Equação do 2o Grau
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