Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
a: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2017.1 (G) / EX 1. Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 2√(π^2+ 1) √(π^2+ 1) 5√(π^2+ 1) 4√(π^2+ 1) 3√(π^2+ 1) 2. Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2). -2 1 2 -1 0 3. Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). Seja z=sen(xy)+xseny . Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 0 -1 -2 2 1 4. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 12 16 20 14 10 5. ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy y2 cos xy + x sen xy xy2 cos xy + sen xy x y2 cos xy + x sen xy x2 y cos xy + x sen xy xy cos xy + sen xy 6. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π3 2π2 3π2 2π π2 7. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 4 * (2)^(1/2) 14 * (2)^(1/2) 4 2 * (14)^(1/2) 4 * (14)^(1/2) 8. Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 128π3 64π 32π3 36π 128π 1. A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: -37/7 12/7 -51/7 26/7 40/7 2. Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x - (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) x3.cos(x) +y3.sen(x) (x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 3. Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 4. Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 3√3 √3 √3/3 2√3 √3/2 5. Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1). 0,58 0,38 0,48 0,28 0,18 6. Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 3 1 2 4 5 7. Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0. - 3i i + j + 2k - 3j + 2k - 3i + 2k 3i + 2k 8. Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 - 9 E 15 - 8 E 14 - 6 E 12 - 10 E 16 - 7 E 13 1. Calcule ∫14∫0x32eyxdydx e-1 7e-7 7e 7 e7 2. Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 60PI 80PI 100PI 40PI 20PI 3. Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2. V = 1/4 u.v. V = 3/4 u.v V=2/3 u.v V = 21 u.v. V = 1/3 u.v 4. O valor da integral é -1/12 1/12 -2/3 0 2/3 5. Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. - 3x - 2y - 3x + 2y 3x + 2y 3x - 2y 2x - 3y 6. Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). -7/2 1/2 0 -1/2 7/2 7. Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) -4 4 6 -2 2 8. Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 1 20 16 10 2 1. 25, 33 34,67 32,59 33,19 53,52 2. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira . -3 -1 3 6 -6 3. A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 1,3,4 1,2,3 1,2,5 1,2,4 1,3,5 4. Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 0 13 14 12 15 5. Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 2 -2 0 1 -10 6. Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 1 2 0 4 3 7. Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k, a≤t≤b passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de linha de f(x,y,z) ao longo da curva. Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 423 233 1 324 2 8. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 14u.c. 21u.c. 7u.c. 28u.c. 49u.c. 1. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2j. Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 0 3t2 i + 2t j 2t j - 3t2 i + 2t j t2 i + 2 j 2. Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: A função f(t) é contínua para t = 0; A função g(t) é descontínua para t = 0; A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; Encontramos afirmativas corretas somente em: I I e II II I, II e III III 3. Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 x=1+t ; y=2+5t x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t x=1+t ; y=2+5t, z=-1 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 4. Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. r'(t)=v(t)=12i - j r'(t)=v(t)=15i - 3j r'(t)=v(t)=32i - j r'(t)=v(t)=14i + j r'(t)=v(t)=13i - 2j 5. Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: -cost j + t2 k + C sent i - t2 k + C πsenti - cost j + t2 k + C 2sent i - cost j + t2 k + C 2senti + cost j - t2 k + C 6. Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. (0,-1,-1) (0,0,0) (0,0,2) (0, 1,-2) (0,-1,2) 7. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. ti+2j 6ti+2j 6ti -2j 6i+2j 6ti+j 8. O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k j + k j i - j + k k j - k 1. Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. (1-cost,sent,1) (1-sent,sent,0) (1-cost,sent,0) (1 +cost,sent,0) (1-cost,0,0) 2. Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t pertencente a R. As coordenadas de seu vetor velocidade em t = 0 são: (2; -3; 3) (1; -2; -1) (2; 0; 3) (2; -6; -3) (0; 8; 4) 3. Sendo C(x, y) = 200 + 3x + 2y a função custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, o custo para fabricar 20 unidades de A e 15 unidades de B é: 270 250 300 290 280 4. O custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B é dado por C(x, y) = 200 + 3x + 2y. Ao custo total de 270 e fabricando 20 unidades de B, quantas unidades de A podem ser fabricadas? 15 20 10 25 5 5. A equação paramétrica da reta tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5] em t0=2 é: x = 4 - 4t; y = 19 -16 t x = 4 + 2t; y = 16 +19 t x = 2 + 4t; y = 19 +16 t x = 2 - 4t; y = 19 +16 t x = -2 + 4t; y = -19 +16 t 6. Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t pertencente a R. As coordenadas de seu vetor aceleração em t = 0 são: (-2; 6; 2) (1; -2; 0) (0; 8; 4) (0; -6; 0) (2; -3; 3) 7. Dada a equação da velocidade v(t)=(sent)i+t2j, o vetor aceleração no instante t=0 tem módulo: 4 0 3 1 2 8. Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. -0,25i - 7j - 1,5k -0,25i + 7j + 1,5k 0,25i + 7j + 1,5k 0,25i + 7j - 1,5k 0,25i - 7j + 1,5k 1. Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 2. Encontre a derivada direcional da função f(x,y)= x^2 y^3-4 y no ponto (2,-1) na direção do vetor v=2i+5j. (32)/29 (32√29)/29 (32√29)/9 (3√29)/2 (√29)/29 3. Considerando a função f(x,y) = 2.x3.3y2, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(-1;2) e fy(-2,1) são, respectivamente. 18 e 6 72 e -24 18 e - 54 36 e -96 72 e -96 4. Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 36 e -60 36 e 60 18 e -30 9 e 15 0 e 0 5. Calcule e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de f(x,y,z)=x3yz2+x+2y+4. fx=3x2yz2+1; fy=x3yz2-2; fz=2x3yz. fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. fx=3x2yz2; fy=x3z2+2; fz=2x3yz2. fx=2x3yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 6. Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx. fx = 2x.senx + 2x.cosx e fy = 3y.senx fx = 2x.cosx + (2x2 + y3).senx e fy = 3y2.senx fx = 2x.senx + (x2 + y3).cosx e fy = 3y2.senx fx = x.senx + (x2 + y3).cosx e fy = 3y2.senx + x2 fx = 2x.senx + (x2 + 3y).cosx e fy = 3y2 7. Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = (x2 + 2xy)3, paralela ao eixo x, no ponto P = (1;2). 200 320 150 125 450 8. Determine o coeficiente angular da retatangente à função f(x,y) = 4xy2, paralela ao eixo x, no ponto P = (5;4). 160 32 135 64 26 1. Encontre o lim┬(t→3)〖(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos(tπ)k)〗 27i - (2e^6 - 1)j + k 27i - (2e^6 - 1)j - k 27i - (2e^3 + 1)j - k 27i - (2e^3 - 1)j - k 27i + (2e^6 - 1)j - k 2. Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função f(x,y) = ln(x2 + 2xy), o valor de fx e fy será: fx = 2/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy) fx = 1/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy) fx = (2x+2y)/(x2 + 2xy) e fy = 2x/(x2 + 2xy) fx = (2x+2y) e fy = e(x + 2xy) fx = (x+y)/(x2 + 2xy)2 e fy = x/(x2 + 2xy)2 3. Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função f(x,y) = (x2 + y2).sen(x), o valor de fx e fy será: fx = sen(x) + cos(x) e fy = 2y fx = 2x.sen(x) - cos(x) e fy = y.cos(x) fx = 2x.sen(x) + (x2 + y2).cos(x) e fy = 2y.sen(x) fx = 2x.cos(x) - (x2 + y2).sen(x) e fy = 2y.cos(x) fx = 2x.sen(x) e fy = 2y.sen(x) 4. Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. z / (yz + 1) z / y z / (y - 1) z / (yz - 1) z / ( z - 1) 5. Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 3x2y, paralela ao eixo y, no ponto P = (10;15). 900 500 300 700 200 6. Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y e z. dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+cos2zdx) dz= e^(x^2+ y^2 )(2sen^2 zdx+2sen^2 zdy+sen2zdx) dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) dz= e^(y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) dz= e^(x^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy + sen2zdx) 7. Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = x2 + 3y2, paralela ao eixo y, no ponto P = (3;2). -8 18 6 3 12 8. Sabendo que uma partícula se move ao longo de uma curva no espaço, com velocidade v = (2t;-4t; 1) e que a sua posição no instante t=0 era (1;1;0), qual é sua posição em qualquer t maior que zero. s (t) = (t^2; 1 - 2t^2; t) s (t) = (t^2+1; 1 - 4t^2; t) s (t) = (t^2 +1; 1 - 2t^2; t) Nenhuma das alternativas anteriores s (t) = (t^2; 1 - 4t^2; t) 1. Calcule a integral dupla: ∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 70/13 70/15 70/9 70/11 70/3 2. Encontrando Primitivas. Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, qual a resposta correta? (cost)i - 3tj (sent)i + t³j -(sent)i -3tj (cost)i - sentj + 3tk (cost)i + 3tj 3. Calcule a Integral Dupla: -1/2 2/3 1/3 5/2 1/2 4. Marque apenas a alternativa correta: Todas as opções são verdadeiras. Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3. Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%. Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 5. Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 2i + 2j 2j 2i 2i + j i/2 + j/2 6. 41 22 27/2 33/19 18/5 7. Determine e indique a única resposta correta para fx,fy,fz, se f(x,y,z)=exylnz. fy=yexylnz; fx=xexylnz; fz=eyz fx=zyexylnz; fy=xyexylnz; fz=xyexyz fx=yexylnz; fy=xexylnz; fz=exyz fx=exylnz; fy=exylnz; fz=xyexyz fx=yexylnyz; fy=xexylny; fz=exyx 8. Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 13 15 16 12 14 1. Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1) ∇f=<-e,-e,-e> ∇f=<-1,-1,-1> ∇f=<-e,-1,-e> ∇f=<-e,-e, e> ∇f=<e, e,-e> 2. Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 2sen(x - 3y) 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 2sen(x + 3y)cos(x + 3y) sen(x - 3y)cos(x - 3y) 2cos(x - 3y) 3. Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 4. Considerando que a equação define y como uma função diferenciável de x, use a Diferenciação Implícita para encontrar o valor de dydx no ponto dado. x3 - 2y2 + xy = 0, (1,1). 3/4 -3/4 -4/3 4/3 1/2 5. Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2). ∇f=<-8,8,8> ∇f=<-8,-8,-8> ∇f=<8,8,8> ∇f=<8,8,-8> ∇f=<8,-8,8> 6. Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. (2,et,(1+t)et) (t,et,(1+t)et) (2t,et,(1+t)et) (t,et,(2+t)et) (2t,et,(1 - t)et) 7. Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1). ∇f=<1e,1e,1e> ∇f=<1e,-1e,1e> ∇f=<-1e,1e,1e> ∇f=<1e,1e,-1e> ∇f=<2e,3e,4e> 8. Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 2bcotgt + tgt 2/t + 2bcotgt 2/t + 2bt + tgt 2/t + 2bcotgt + tgt 2/t + 2btgt + cotgt 1a Questão (Ref.: 201503237643) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se : Qual o valor exatodo acréscimo no custo da caixa? R$ 19,30 R$ 25,17 R$ 10,47 R$ 10,00 R$ 11,21 2a Questão (Ref.: 201503089530) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) O valor de ∫012∫0yx dx dy é 64 144 128 288 328 3a Questão (Ref.: 201503062832) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). y = 7 + 2x + 0,25x² y = x - 7x² + 5 y = 7 + 2x - 0,25x² y = x² -7x - 1 y = x³ -5x² -3 4a Questão (Ref.: 201503132313) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Calcule a derivada de 2ª Ordem D2f/dxdy da função f(x,y) = (y/2)e2x+xln(2y) e2x+ln(2y) ye2x+ln(2y) e2x+(2/y) ye2x+(2/y) e2x+(1/y) 5a Questão (Ref.: 201502819614) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. 5/6 2/3 7/6 1/2 1/6 6a Questão (Ref.: 201503092636) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 27/2 12 15/17 18/35 14 7a Questão (Ref.: 201503095516) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Determine a área limitada da região limitada entre as curvas, y = x + 6 e y = x². 13/2 49/6 22/3 125/6 27/2 8a Questão (Ref.: 201502818830) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i - 4j usando o gradiente. 8/5 -1 1 3/5 -4/5 1a Questão (Ref.: 201502836809) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 1-z 0 1 2-2z 2 2a Questão (Ref.: 201503089604) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2 é 8/3 2/3 4/3 1/3 16/3 3a Questão (Ref.: 201502825407) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 50 π 73,37 π 33,37 π 37,33 π 60 π 4a Questão (Ref.: 201503089957) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 244π 188π 288π 144π 36π 5a Questão (Ref.: 201503241396) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Calcule a integral de linha ∮c (x2 ydx (x-2y)dy, onde a curva "c" é o segmento da parábola y = x2 de (0,0) a (1,1) -2/5 -3/5 -1/5 -1/15 -2/15 6a Questão (Ref.: 201503241422) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ - sen (x) - 6 - cos x - 3 - sen(x) + 6 6 -cos ( x) + 3 7a Questão (Ref.: 201503203769) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 10 u.v 16/3 u.v 24/5 u.v 18 u.v 9/2 u.v 8a Questão (Ref.: 201503000412) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2. e) 25 /5 c) 89 / 5 b) 85/ 2 a) 86 / 3 d) 82 /3 1. Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 4√(π^2+ 1) √(π^2+ 1) 5√(π^2+ 1) 3√(π^2+ 1) 2√(π^2+ 1) 2. Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2). 0 2 -2 -1 1 3. Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). Seja z=sen(xy)+xseny . Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. -1 0 -2 2 1 4. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 10 16 20 14 12 5. ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy xy2 cos xy + sen xy y2 cos xy + x sen xy xy cos xy + sen xy x y2 cos xy + x sen xy x2 y cos xy + x sen xy 6. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π3 π2 2π 2π2 3π2 7. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 4 * (2)^(1/2) 4 14 * (2)^(1/2) 2 * (14)^(1/2) 4 * (14)^(1/2) 8. Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 64π 128π 32π3 128π3 36π 1. Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 2. Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 2√3 √3 3√3 √3/2 √3/3 3. Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 - 10 E 16 - 9 E 15 - 8 E 14 - 7 E 13 - 6 E 12 4. Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x - (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) (x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) x3.cos(x) +y3.sen(x) 3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 5. A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 12/7 26/7 40/7 -51/7 -37/7 6. Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1). 0,18 0,380,48 0,58 0,28 7. Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 5 4 1 3 2 8. Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0. - 3i + 2k 3i + 2k - 3j + 2k i + j + 2k - 3i 1. Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 7e 7e-7 7 e7 e-1 2. Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 20PI 60PI 40PI 80PI 100PI 3. Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2. V = 1/3 u.v V = 1/4 u.v. V = 21 u.v. V = 3/4 u.v V=2/3 u.v 4. O valor da integral é 0 -2/3 1/12 -1/12 2/3 5. Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 3x + 2y 2x - 3y 3x - 2y - 3x - 2y - 3x + 2y 6. Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 0 -7/2 1/2 7/2 -1/2 7. Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) -2 4 6 -4 2 8. Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 20 2 16 1 10 1. 33,19 32,59 53,52 34,67 25, 33 2. Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira . -3 3 -6 -1 6 3. A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 1,2,5 1,2,3 1,3,5 1,2,4 1,3,4 4. Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 14 0 13 12 15 5. Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 2 -2 0 1 -10 6. Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 3 4 0 2 1 7. Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de linha de f(x,y,z) ao longo da curva. Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 2 324 423 1 233 8. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 7u.c. 21u.c. 28u.c. 14u.c. 49u.c.
Compartilhar