9ª Integral indefinida

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INTEGRAL 
 
 
 Professor: Dra. Cícera Maria dos Santos Xavier
 e-mail institucional: profcicera@uni9.pro.br
 Disciplina: 
Cálculo Diferencial e Integral
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Um pouco da história
Quando estudamos as derivadas discutimos que a mesma está ligada ao problema de uma reta tangente a curva.
E deixei em suspense que a integral estava relacionada com o problema da área.
Partindo da nossa primeira aula vamos falar um pouco da história.
 
Um pouco da história
Civilizações antigas já conheciam as fórmulas para cálculo de áreas de polígonos básicos como o quadrado, o retângulo, triângulos e os trapézios.
A dificuldade surgia quando as regiões a trem suas áreas determinadas tinham delimitações curvilíneas. 
Esse problema de certa maneira começou a ser resolvido por Arquimedes. Ele usou uma técnica chamada método da exaustão que consiste no seguinte procedimento:
 
Um pouco da história
Para estimar a área de um círculo pelo método da exaustão, são inscritos uma sucessão de polígonos regulares no círculo, de maneira que o número de lados dos polígonos cresça indefinidamente
Um pouco da história
Arquimedes com o seu método fez uma boa aproximação, uma vez que inscrever vários polígonos na circunferência preenchia quase que totalmente a área do círculo.
Para visualizar melhor vamos imaginar o seguinte:
Um pouco da história
O problema da área entre curvas e o método dos retângulos
Dada uma função f contínua e não- negativa em um intervalo [a,b], queremos encontrar a área da região entre o gráfico de f e o intervalo [a,b] no eixo x:
Observe que os retângulos forma aumentando até conseguirmos uma boa aproximação da área.
O problema da área entre curvas e o método dos retângulos
Quanto mais conseguimos fazer o retângulos mais conseguimos fazer a estimativa da área
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Podemos observar que utilizando esse método praticamente quase toda a área que desejamos é preenchida. Esse método é genial e atraente, mas em alguns casos os limites que delas resultam não podem ser calculados. Assim, vamos formalizar o conceito de integral que Newton e Leibniz, de maneiras independentes, descobriram uma relação entre áreas e derivadas.
Já é conhecido que, seja uma função f(x) qualquer, podemos determinar a sua derivada tal que f(x)’=g(x).
Exemplo:
Seja a função
Temos sua derivada
Pergunta:
E se fosse ao contrário? Se tivéssemos uma função g(x) e desejássemos determinar a função f(x), tal que f’(x)=g(x)?
Este processo é chamado de integração.
Integral indefinida
Integral Indefinida
Exemplo:
Seja a função
, determine a função f(x), tal que f’(x)=g(x):
Mas seria esta a única solução?
Chama-se Integral Indefinida de g(x) o valor de uma primitiva qualquer de g(x) adicionada a uma constante arbitrária real c.
Notação:
Onde:
f(x) é primitiva de g(x)
Portanto:
Sejam as primitivas de g(x): 
Temos que:
Integral Indefinida
Retomando ao exemplo anterior:
Seja a função
, determine a função f(x), tal que f’(x)=g(x):
Resolução
Vejamos algumas derivadas de funções já conhecidas para tentar determinar integrais indefinidas:
Integral Indefinida
Quais os passos que deveriam ser tomados para que
volte a ser
Se no processo da derivação, subtraímos uma unidade do expoente e multiplicamos a incógnita pelo mesmo valor do expoente, no processo de integração, que é reverso ao de derivação, iremos adicionar uma unidade ao expoente e dividir a incógnita pelo mesmo expoente. Assim:
Se está com dúvidas sobre o resultado, basta submetê-lo ao processo de derivação, ele precisa voltar ao formato original da integral pedida.
Integral Indefinida
As duas outras derivadas citadas são mais simples de “reverter”. Vejamos:
Se
Então:
Se
Então:
Integral Indefinida
Juntando as partes para formar o todo
A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada . F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.
Juntando as partes para formar o todo
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: 
É chamado sinal de integração
f(x) é a função integrando
d(x) é a diferencial que serve para indicar a variável de integração
C é a constante de integração
 REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Regra da potência: 
REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA 
Para qualquer constante k,
REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Regra da soma para integrais: a integral de uma soma ou subtração é a soma ou subtração de integrais:
REGRA DE PRODUTOS E QUOCIENTE: 
não existem regras
Gerais, utilizaremos as regras já apresentadas
TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
Uma vez eu o processo de integração é o inverso da derivação, podemos, com base nas derivadas das funções elementares, obter uma tabela de integrais – que serão aqui denominadas de integrais imediatas – apresentadas a seguir
TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
Integração
Exemplos
Integração
Integração
- 8 cos(x) + C
Integração