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Elementos de Máquinas I Elementos de Transmissão (Eixo)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
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1. INTRODUÇÃO 
 Os eixos, por sua enorme variedade de aplicações, são elementos de 
máquina de extrema importância e merecem especial atenção do projetista. A 
quantidade de formas e aplicações impossibilitam sua padronização, exigindo 
assim, para cada projeto, um eixo com características específicas e bem definidas. 
 Os eixos podem ser estacionários ou rotativos, com ou sem transmissão 
de potência. 
ÁRVORES  eixos que transmitem potência. Sofrem esforço de torção. 
EIXOS  NÃO transmitem potência 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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2. PROJETO DE EIXOS 
Consiste na determinação do material e geometria mais adequados. 
2.1. MATERIAIS 
 Normalmente são utilizados aços, com ou sem elementos de liga, 
devido a: 
- menor sensibilidade à concentração de tensões; 
- alta rigidez, representada pelo seu módulo de elasticidade, que é 
 essencialmente constante para todos os aços e 
- baixo custo. 
 
Devem ser considerados os seguintes fatores: 
 
- Condições de serviço (durabilidade, confiabilidade, resistência, etc.); 
- Fabricação: usinabilidade, tolerâncias, etc.; 
- Custo. 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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2. PROJETO DE EIXOS (cont.) 
2.2. DIMENSÕES 
 
As principais dimensões são o comprimento e o diâmetro. 
O comprimento é determinado a partir dos elementos de máquina acoplados 
ao eixo, tais como: engrenagens, polias, embreagens, freios, mancais e etc. e 
em função do espaço disponível. 
O diâmetro é a variável de maior importância a ser determinada. Seu valor 
depende de critérios orientadores, especificados pelo projetista, de acordo com as 
condições de serviço. Esses critérios podem ser baseados em tensão, deflexão, 
durabilidade, frequência de trabalho, confiabilidade, segurança e/ou custo. 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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2. PROJETO DE EIXOS (cont.) 
2.3. RECOMENDAÇÕES 
• Os elementos de máquina acoplados devem ser dispostos, sempre que possível, 
 próximos aos apoios (mancais), para redução da flexão. 
 
• Evitar, sempre que possível, variações de seção. 
 
• Aplicação de tratamentos superficiais e/ou térmicos adequados podem melhorar 
 a performance do eixo. 
 
• Arredondamentos (“adoçamentos”) devem ser utilizados para diminuir o efeito 
 de concentração de tensões em inevitáveis variações de seção, rasgos de chaveta, 
 entalhes e etc.. 
 
• Procurar manter as regiões de concentração de tensões longe das regiões de 
 grandes momentos fletores e/ou torçores. 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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2. PROJETO DE EIXOS (cont.) 
2.3. RECOMENDAÇÕES (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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• O comprimento do eixo e os trechos em balanço devem ser o menores 
 possíveis, para minimizar as tensões e deflexões. 
 
• Para eixos de mesmo comprimento, deve-se, sempre que possível, optar por 
 eixos com configuração de vigas bi-apoiadas ao invés de vigas em balanço, 
 devido a menor deflexão. 
 
• Eixos vazados (tubulares, ocos) possuem uma melhor relação rigidez/massa 
 (rigidez específica) e frequências naturais mais altas do que um eixo maciço, 
 porém será mais caro e terá um maior diâmetro. 
 
• Normalmente as dimensões finais aparecem após o dimensionamento dos 
 elementos de máquina acoplados. 
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3. EXEMPLOS 
Eixo de Transmissão
Eixo Escalonado
Árvore de Máquina Operatriz
Eixo de Turbina
Biela de Motor de Combustão Interna
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
Eixo com 3 apoios - estriado com engrenagens dispostas em blocos DUPLO e TRIPLO. 
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3. EXEMPLOS 
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Árvore coaxial - Eixo de entrada e saída de redutor coaxial. 
3. EXEMPLOS (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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Eixo de entrada de uma CAIXA NORTON 
3. EXEMPLOS (cont.) 
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Mecanismo de variação de velocidade 
CAIXA NORTON 
3. EXEMPLOS (cont.) 
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Mecanismo de variação de velocidade 
CAIXA NORTON 
3. EXEMPLOS (cont.) 
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Eixo de entrada de uma CAIXA NORTON 
3. EXEMPLOS (cont.) 
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3. EXEMPLOS (cont.) - Redutores de velocidade 
Prof. Fláviode Marco DEM/UFRJ 
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3. EXEMPLOS (cont.) - Transmissão com variação de velocidade 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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3. EXEMPLOS (cont.) - Variador escalonado 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
- Variadores 
 Contínuos 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
- Variadores 
 Contínuos 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
- Variadores 
 Contínuos – 
 TOROIDAL 
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- Variadores 
 Contínuos 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
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Eixo Cardan 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
Eixo Cardan 
 1. Eixo cardan universal como 
compensação 
 2. Junta Universal 
 3. Tipo de conexão 
 4. Flange articulado 
 5. Garfo 
 6. Conjunto da Cruzeta 
 7. Anel de Trava 
 8. Cruzeta 
 9. Câmara de Lubrificação 
 10. Junta de articulação universal 
 11. Retentor 
 12. Rolamento agulha 
 13. Ponteira deslizante 
 14. Luva entalalhada 
 15. Capa de proteção com retentor 
 16. Rolamanto de agulha 
 17. Válvula de alívio 
 18. Bujões de Lubrificação 
EletroMec OnLine 2011-10 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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- Engrenagens; 
- Eixos; 
- Anéis espaçadores. 
Componentes principais de caixa de transmissão. 
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3. EXEMPLOS (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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Eixos Flexíveis 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.1. Procedimento 
1º) Determinação das cargas e tensões atuantes. 
 (determinação da seção crítica – diagramas) 
2º) Especificação do material de fabricação.(tensão admissível) 
3º) Escolha do(s) critério(s) mais adequados de 
 dimensionamento (diâmetro) 
4º) Cálculos e padronizações. 
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 4º) Cálculos e 
 padronizações. 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.1. Procedimento 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
41 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
A) Carregamento Estático, submetido à torção e flexão: 
3
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M
I
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






3
16
d
T
J
cT







.....(1) 
.....(2) 
1º) Critério das Máximas Tensões cisalhantes – M.T.C. 
SySs
ymáx
 5.0
.....(3) 
  
  5.022
3
..
2
2
2
)1(
16
22
TM
dCS
Sy
SegCoef
xy
x
C
máx










 


 
31
212232









 TM
Sy
CS
d

Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
42 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
E
le
m
e
n
to
s
 d
e
 M
á
q
u
in
a
s
 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
A) Carregamento Estático, submetido à torção e flexão: 
2º) Critério da Máxima Energia de Distorção – M.E.D. 
31
21
22
4
332

















 TM
Sy
CS
d

  









5.0
22
3
..
2
2
)1(
2
4
332
3 TM
dCS
Sy
SegCoef
xyxmáx 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
43 
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E
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to
s
 d
e
 M
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q
u
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a
s
 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
 B) Critérios de Deformação: em muitos casos o critério orientador de 
projeto é a rigidez do eixo, sendo, então, seu diâmetro determinado a partir das 
deformações lineares (flechas) e/ou angulares. 
3º) Deformações Lineares 
 A tabela A-9, página 907 a 914, fornece os momentos, deflexões e valores 
para as flechas em diversas configurações e carregamentos. Exemplo: 
dmin
L
L = 40 mm
F = 1000 NF
y
F L
3EI
3
máx
=




IE
LF
y
máx
3
3
41
3
min
3
64











máx
yE
LF
d

Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
44 
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s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
4º) Deformações Angulares 






32
4d
JG
LT



41
32













rad
adm
G
LT
d


41
61.583












graus
adm
LT
G
d

Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
45 
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Tabela 1: 
Recomendações para 
deformações de eixos e 
árvores. 
E
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m
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n
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s
 d
e
 M
á
q
u
in
a
s
 I
 –
 E
ix
o
s
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 Á
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o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
46 
Tipos 
de 
Eixos/Árvores 
 
DISTORÇÕES 
 
DEFORMAÇÕES 
adm yadm 
Árvores 
de 
transmissão 
1º  20.D mm 
 
0.25º  m 
1.2 mm  m 
Árvores 
de 
máquinas 
1º  3 m 0.2 mm  m 
Árvores 
de 
fresadoras 
1º 0.1 mm 
Árvores 
com 
engrenagens 
< 0.03
o
 
0.1 mm 
ou 
][
24.3
mm
F
 
onde F = Largura da engrenagem [mm] 
Eixos sem 
 mancais auto 
alinhantes 
< 0.04
o
 
 
 
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o
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 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
C) Carregamento Dinâmico 
5º) Flexão Reversível (m = 0) e Torque Uniforme - caso comum 
3
32
d
M
a





3
16
d
T
m





 a tensão cisalhante não modifica o valor de Se 

a
CS
Se

Assim, 31
32









Se
CSM
d

onde: Se = ka x kb x kc x kd x ke x Se’ 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
47 
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s
 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
Valores de kf* para rasgos de chaveta: 
 
RECOZIDO 
 
 
ENDURECIDO (H&T) 
AÇO 
 
Tipo 
de Rasgo Flexão Torção Flexão Torção 
 
Canto Vivo 
 
1.6 1.3 2.0 1.6 
 
Deslizante 
 
1.3 1.3 1.6 1.6 
 
Canto vivo Deslizante 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
48 
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 d
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 M
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q
u
in
a
s
 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
C) Carregamento Dinâmico 
6º) Equação de Soderberg: 




































31
21
22
16
SySe
S
T
S
MCS
d

31
21
22
32































Sy
T
Se
MCS
d

0.5 x Se 0.5 x Sy 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
49 
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s
 I
 –
 E
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o
s
 e
 Á
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o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
C) Carregamento Dinâmico 
7º) Caso Geral: Flexão e Torque Variáveis 







































31
21
22
16
Sy
m
Se
a
Sy
m
Se
a
S
T
S
T
S
M
S
MCS
d 
31
21
22
32































Sy
T
Se
T
Sy
M
Se
MCS
d mama
Utilizando o critério M.T.C.  Ssy = 0.5 x Sy e Sse = 0.5 x Se 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
50 
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 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
D) Esforço axial: Compressão e Flambagem 
D.1. Carga crítica e carga crítica unitária – Euler: 
 Carga crítica 
 Carga crítica unitária 
OBS.: Pcr/A  NÃO deve ser interpretada como TENSÃO !!! 
 Pcr/A = f (E, L/k)Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
51 
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 –
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 e
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o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento (cont.) 
onde: L/k  índice de esbeltez 
Seção circular: k = [(.d4/64)/(.d2/4)]0.5  
C  constante para o tipo de extremidade 
k  raio de giração  I = A.k2  
E  módulo de elasticidade 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
52 
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 d
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s
 I
 –
 E
ix
o
s
 e
 Á
rv
o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
Flambagem 
(Coluna) 
Compressão 
 (viga) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
53 
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s
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o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
D.2. Carga crítica e carga crítica unitária – Johnson: 
2







k
L
ba
A
Pcr
a = Sy 
 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
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re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
D) Esforço axial: Compressão e Flambagem 
D.3. Projeto de vigas/colunas - Procedimento: 
1º) Cálculo da carga crítica: 
2º) Cálculo do diâmetro da coluna – Euler - dE 
CS
P
Pcr
atuante

2 ≥ CS ≥ 8 
41
3
264









EC
LPcr
d
Euler 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
55 
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o
re
s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.2. Critérios de Dimensionamento 
D) Esforço axial: Compressão e Flambagem 
D.3. Projeto de vigas/colunas - Procedimento: 
4º) Avaliação: L/k = (4.L/d) 
3º) Cálculo do índice de esbeltez crítico – (L/k)cr 
21
22





 

Sy
EC
k
L
cr

E
crE
dd
k
L
d
L

4
21
2
2
2
4












EC
LSy
Sy
Pcr
dd
k
L
d
L
J
crE

Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
56 
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s
 
4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
57 
Todos os sistemas que contêm elementos de armazenamento de energia 
possuirão um conjunto de frequências naturais nas quais o sistema vibrará com 
amplitudes potencialmente grandes. 
 
Quando um sistema dinâmico vibra, uma transferência de energia ocorrerá 
repetidamente dentro do sistema, de potencial a cinética e vice-versa. 
 
Se um eixo estiver sujeito a uma carga que varia no tempo ele vibrará. 
A frequência natural é dada por: 
m
k
f n 
m
k
f n  2
1
[rad/s] 
[Hz] 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
58 
Existem três tipos de vibrações de eixo preocupantes: 
1. Vibração lateral; 
2. Vibração de giro (rodopio do eixo) e 
3. vibração torcional. 
Os dois primeiros se devem á deflexões por flexão e o terceiro à deflexões 
torcionais. 
 
Uma análise completa das frequências naturais de um eixo é um problema 
complicado e é mais facilmente resolvido com ajuda de programas de FEM 
(Análise de Elementos Finitos). 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
59 
Tipos de vibrações de eixo: 
1. Vibração lateral: O método de Rayleigh dá uma idéia aproximada de pelo 
menos uma frequência natural e se baseia na igualdade da 
energia potencial e cinética do sistema. 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
60 
Tipos de vibrações de eixo: 
2. Vibração de giro (rodopio do eixo): 
- é uma vibração auto-excitada a qual todos os 
 eixos estão potencialmente sujeitos. 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
61 
Tipos de vibrações de eixo: 
3. Vibração torcional: 
Um eixo pode vibrar torcionalmente, além de 
lateralmente. Ele terá uma ou mais 
frequências torcionais naturais. 
 
Para um único disco montado em um eixo: 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
62 
Tipos de vibrações de eixo: 
3. Vibração torcional (cont.): 
Para 2 discos montado em um mesmo eixo: 
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4. DIMENSIONAMENTO 
4.3. Frequência crítica (cont.) 
Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
63 
Tipos de vibrações de eixo: 
3. Vibração torcional (cont.): 
Para discos múltiplos montado em um mesmo eixo: 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
EXERCÍCIO 1 
 
O eixo mostrado abaixo é fabricação por processo de usinagem em aço com as 
seguintes características: 
 
 Sut [MPa] = 700 ℓ % = 17 
 Sy [MPa] = 550 HB = 220 
 
Para os dados abaixo, determine o diâmetro adequado. 
 
Dados: - potência transmitida [kW] = 4 
 - rotação [rpm] = 955 
 - confiabilidade [%] = 99 
 - temperatura de trabalho = 80º C 
 - coeficiente de segurança - CS = 1.5 
 - engrenagem cilíndrica de dentes retos: 
 dp [mm] = 85  = 20º 
 largura [mm] = 12 módulo = 2.5 
 - relações geométricas: 
 D1/D = 1.1 r1 = D/10 
 D/d = 1.05 r2 = d/10 
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Prof. Flávio de Marco DEM/UFRJ 
64 
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180
DDd
1
120
122
46
r1r2
T
EXERCÍCIO 1 
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