Rogério Largo - Introdução à Sinais e Sistemas

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Escola Superior de Tecnologia - Instituto Politécnico de Setúbal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APONTAMENTOS 
 
 DE 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
Folhas de Apoio às Disciplinas de Versão 1.0a 
 
- Sinais e Sistemas – 2º Ano EEC 
 
- Teoria de Sinais e Sistemas – 2 Ano de EACI 
 
 
 
 
 
 
Elaborados por Rogério Largo 
 
Prof. Responsável pelas Disciplinas 
 
Sinais e Sistemas - 1 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
 
 
1. Introdução 
 
 
 
1.1 Sinais 
 
Numa descrição simples pode-se dizer que um sinal é um fenómeno, que acontecendo 
em qualquer ambiente, pode ser descrito quantitativamente. 
Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes e, tipicamente contêm 
informação acerca do comportamento ou natureza de um fenómeno físico. 
 
Exemplo 1 – Som de voz: Sinal unidimensional – função de uma variável simples, o tempo. 
 
Exemplo 2 – Imagem vídeo a preto e branco : Sinal bidimensional – depende das 
coordenadas (x, y). Representa a intensidade em cada ponto (x, y). 
 
1.2 Sistemas 
 
Os sistemas são entidades que manipulam ou respondem a um ou mais sinais para 
realizar uma função, gerando novos sinais. 
 
Exemplo – Tensões e correntes eléctricas, como funções do tempo, são exemplos de sinais. 
Circuitos eléctricos são exemplos de sistemas. Neste caso respondem às 
tensões e correntes eléctricas. 
 
A abordagem dos sinais e sistemas pode ser feita de várias maneiras, dependendo do 
contexto e dos objectivos. Vejamos algumas situações: 
 
• Análise de sistemas com vista à sua caracterização e conhecimento. 
• Desenhar sistemas para processar sinais em certos meios. Por exemplo, o radar 
recupera o sinal de eco produzido pelos objectos. 
• Processar sinais com vista à sua restauração após terem sido sujeitos a um processo de 
degradação. Por exemplo nas telecomunicações ou na restauração de imagem recebidas 
dos satélites. 
• Actuar sobre os sistemas com vista a alterar as suas características segundo 
especificações desejadas. Por exemplo no controlo de processos. 
 
1.3 Exemplos de sistemas: 
 
Sistemas de Comunicações: São constituídos por três componentes básicos 
– Transmissor (modulador) 
– Canal 
– Receptor (desmodulador). 
Existem dois modos principais de comunicação: “Broadcasting” (radiodifusão) – Um 
emissor e muitos receptores. Ponto-a-Ponto – Um transmissor e um receptor, (geralmente é 
um sistema bidireccional). 
Nos sistemas de comunicação digitais identificam-se três fases: 
Amostragem (Sampling) – converte o sinal analógico numa sequência de números. 
Quantificação – representa cada número (produzido pela amostragem) pelo nível mais 
Sinais e Sistemas - 2 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
próximo de um conjunto finito de níveis discretos de amplitude. (Ex.: palavra de 16 bits => 
216 níveis). 
 Codificação – representa cada amostra quantificada por uma palavra de código de um 
número finito de símbolos. (Ex.: código binário => símbolos 0´s e 1´s). O receptor executa 
as operações acima em ordem inversa ( a quantificação é irreversível). 
 
Sistemas de Controlo: São usados em variadas situações como refinarias, aviões, centrais 
eléctricas, robôs, etc. (O processo a controlar toma usualmente a designação de “plant”). 
- Pretende-se obter uma resposta satisfatória e um comportamento robusto. 
- A resposta é a capacidade de a sua saída acompanhar uma entrada de referência. Toma 
a designação de regulação. 
- A robustez é a exibição de uma boa regulação na presença de perturbações externas. 
Figura 1.1 – Esquema típico de um sistema de controlo. 
 
“Remote Sensing” (Sensores remotos): Processo de aquisição de informação acerca de 
objectos de interesse sem estar em contacto com eles. São medidas as mudanças que o 
objecto provoca no ambiente adjacente. Ex.: electromagnéticas: Radar; acústicas: Sonar, 
etc. 
 
Processamento de sinais biomédicos: O objectivo é extrair informação de sinais biológicos 
para melhor compreensão das funções biológicas, ou para diagnóstico e tratamento de 
doenças. Em muitas situações os sinais biológicos são provocados pela actividade eléctrica 
de um grande número de células musculares ou células nervosas (neurónios). Como 
exemplo temos a actividade cardíaca (ECG) e a actividade cerebral (EEG). 
 Na captação de sinais de ECG ou EEG surgem artefactos (biológicos: parte do sinal 
produzida por acontecimentos estranhos ao fenómeno biológico que nos interessa; ou 
instrumentais: gerados pelo uso de instrumentos), como por exemplo sinais de actividade 
muscular. A detecção e supressão dos artefactos é uma das grandes necessidades no 
processamento destes sinais. 
 
1.4 Processamento digital versus analógico 
 
No processamento analógico ou em tempo contínuo recorre-se ao uso de elementos 
analógicos como resistências, condensadores, indutâncias, transístores amplificadores, etc. 
No processamento digital ou em tempo discreto usam-se três elementos digitais 
básicos: adicionadores, multiplicadores e memórias. 
As grandes vantagens do processamento digital são: 
Flexibilidade – A mesma máquina digital pode ser adaptada, através de programação, a 
diferentes operações no processamento. (No caso analógico seria necessário redesenhar os 
circuitos). 
Repetibilidade – É possível repetir a mesma operação de uma forma exacta. (Os 
sistemas analógicos sofrem de variação dos parâmetros). 
 
~-
Controlador Plant
Saída
 y(t)
e(t) m(t)
Sensores
x(t)
Referência
de entrada -
b(t) - Sinal de
realimentação
Ruído
ν(t)
ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
Sinais e Sistemas - 3 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
 
2. Sinais 
 
 
Consoante o fenómeno que representam, os sinais podem surgir sob diversas formas: 
São representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis 
independentes. 
 
 
Figura 2.1 – Sinal de voz 
obtido com um microfone 
- a pressão acústica é 
convertida num sinal 
eléctrico. 
 
 
No caso da voz teremos a pressão acústica como função do tempo p(t). 
No caso da imagem vídeo a preto e branco tem-se o brilho como função da posição i(x,y). 
No presente trabalho tratar-se-á essencialmente de funções de uma variável, em geral o 
tempo. 
 
2.1 Tipos básicos de sinais. 
 
• Sinais em tempo contínuo e tempo discreto - Falando de sinais temporais, podem 
dividir-se em sinais em tempo contínuo (ou analógicos) em que a variável independente é 
continua (fig. 2.1) e sinais em tempo discreto (ou simplesmente discretos) em que a variável 
independente é discreta – o tempo é representado pelo conjunto dos inteiros (fig. 2.2). 
 
 
Figura 2.2 – Representação de 
um sinal discreto: Evolução de 
um índice da bolsa – cada 
intervalo de tempo representa 
um dia. 
 
 
 
 
• Sinais determinísticos – Sinais com uma representação matemática explicita 
 
Ex.: 0( ) ( )x t sen w t= - Sinusóide. Oscilação harmónica. 
 
• Na natureza, muitos fenómenos que não têm uma descrição exacta, são descritos por 
um modelo matemático aproximado. 
 
Ex. O movimento de um pêndulo é frequentemente modelado por uma oscilação 
harmónica. Porém devido à fricção, efeitos não lineares, etc., existem desvios a esses 
movimentos que podem ser medidos como um erro: e(t). 
 
e(t) = x(t) - y(t) [x(t) - modelo matemático; y(t) - movimento real do pêndulo] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Sinais e Sistemas - 4 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
• Há situações em que, teoricamente, um sinal não pode ser modelado exactamente, nem 
sequer um modelo aproximado pode ser desenvolvido. 
 
Ex.: Sinais aleatórios não podem ser modelado por uma equação. Em vez disso 
podemos escrever os seu atributos através de uma estatística. 
 
• Sinais causais – São sinais que só existem a partir de um certo instante, habitualmente 
a origem dostempos. Ex.: x(t) = {y(t), t≥0 ; 0, t<0}. 
 
• Sinais não causais não têm um início finito. São sinais não realizáveis – só fazem 
sentido matematicamente. 
 
2.2 Sinais em tempo contínuo (sinais analógicos) 
 
Encontram-se em todos os ambientes, como sejam a electrónica, as telecomunicações, 
o controlo de processos, a instrumentação, etc. 
A designação “tempo contínuo” deve-se à variável tempo ser contínua (por oposição a 
tempo discreto). A sua representação matemática é um contínuo de pontos em ambas as 
variáveis, dependente e independente. 
Um sinal diz-se contínuo se for contínuo em todos os pontos. Se isso não se verifica 
diz-se descontínuo. 
Por outro lado se um sinal for descontínuo apenas em ponto isolados diz-se contínuo 
por troços (piecewise continuous). 
 
 
Figura 2.3 – Sinal contínuo Figura 2.4 – Sinal contínuo por troços 
 
Para sinais em tempo contínuo podem definir-se alguns valores estatísticos no tempo: 
 
i) Média: ∫
−∞→
=
T
TT
dttx
T
tx )(
2
1lim)( (não confundir com a média 
estatística) 
 
ii) Média quadrática: ∫
−∞→
=
T
TT
dttx
T
tx 22 )(
2
1lim)( 
 
iii) Variância: 2 2 2( ) ( ) ( )x t x t x tσ = 〈 〉 − 〈 〉 
 
iv) Valor RMS (root mean square): 〉〈 )(2 tx (uso frequente em medidas eléctricas) 
 
v) Energia total: ∫
−∞→
=
T
TTx
dttxE 2)(lim 
 
x(t)
Sinais e Sistemas - 5 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
vi) Potência: ∫
−∞→
=
T
TTx
dttx
T
P 2)(
2
1lim (é a média quadrática) 
 
vii) Potência num intervalo finito: [ ] ∫ += 00 2
0
: )(
1 TC
CCTx
dttx
T
P 
 
viii) Potência RMS: xx PP RMS = 
 
Exemplo de sinal de potência: 
 
 )(.)( 0 θω += tsenAtx 
Média de x(t): ∫
−∞→
+=〉〈 T
TT
dttA
T
tx )sen(.
2
1lim)( 0 θω = 0 (média nula) 
 
Média quadrática: (É a potência) 
 ∫
−∞→
+=〉〈 T
TT
dttA
T
tx )(sen
2
1lim)( 0
222 θω = ∫
−∞→ 


+−
T
TT
dtt
T
A )22cos(1(
2
1
2
lim 0
2
θω =
2
2A 
Variância: 
2
0)()()(
2
2222
)(
Atxtxtxtx =−〉〈=〉〈−〉〈=σ 
Potência num intervalo 
0
0
2
ω
π
=T [um período], começando em t=0 : 
[ ] [ ]0 00
2 2
2 2
0 0:0 0 0
0 0
1 1sen ( ) 1 cos(2 2 )
2 2
T T
x T
A AP A t dt t dt
T T
ω θ ω θ= + = − + =∫ ∫ 
(resultado independente da fase, uma vez que se integra num período) 
 
2.3 Sinais em tempo discreto (sinais discretos) 
 
Os sinais em tempo contínuo surgem naturalmente quando uma forma de onda é 
captada por um sensor. Por outro lado os sinais em tempo discreto apenas são descritos em 
instantes de tempo discretos. Em muitas situações são derivados dos sinais em tempo 
contínuo por amostragem a um ritmo uniforme. 
 
 
 
Fig. 2-5. (a) Sinal em tempo contínuo x(t). (b) Representação em tempo discreto x[n]. 
Sinais e Sistemas - 6 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
Considerando T o intervalo de amostragem e n um inteiro, amostrando x(t) nos instantes 
t = nT resulta uma amostra de valor x(nT). Por conveniência de representação escreve-se: 
x[n] = x(nT), n= 0, ± 1, ± 2, ... 
Então um sinal em tempo discreto é representado por uma sequência de números, ...,x[-2], 
x[-1], x[0], x[1], x[2],.… Esta sequência de números é referida como uma série temporal. 
 
 
2.4 Classificação de sinais 
 
i) Paridade (simetria dos sinais): 
 
Par: x(-t) = x(t), ∀t Impar: x(-t) = -x(t), ∀t (tem de ser x(0)=0) 
 
Decomposição de um sinal nas suas componentes Par e Impar: 
 
{ } [ ])()(
2
1)(Par txtxtx −+= { } [ ])()(
2
1)(Impar txtxtx −−= 
 
ii) Periodicidade (Período T): Um sinal é periódico se 
 
 )()(, Ttxtxt +=∀ (também será periódico para 2T, 3T, etc.: x(t)=x(t+kT) ) 
 
Se um sinal não for periódico diz-se aperiódico. 
Período fundamental T0 – menor valor de T para o qual x(t) é periódico. 
Os sinais periódicos são não causais (têm de existir desde sempre). 
Frequência fundamental (ou natural): 0
0
1f
T
= (Hz), 0
0
2w
T
π
= (Rad./s) 
Ex.- Sinusóide: x(t)=A sen(8t+π /3) 
Freq. Fundamental: W0=8 Rad./s 
Período: T0=2π/8=0.78 s 
Fase inicial: π/3 
 
Frequência instantânea w(t) é a derivada da fase. Ex.: x(t)=A cos(θ(t)); w(t) = dθ(t)/dt 
Por exemplo, no sinal de FM em rádio, a frequência varia continuamente de acordo com o 
sinal sonoro. 
 
Para os sinais discretos define-se periodicidade de forma análoga: 
 
x(n)=x[n+N], ∀n inteiro, com N inteiro positivo. 
A frequência angular fundamental é agora dada por: 2
N
πΩ = (Rad/s). 
 
t
x(t)
t
x(t)
0 0
Sinais e Sistemas - 7 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
2.5 Operações Básicas com Sinais 
 
As operações para manipular sinais podem ser efectuadas quer na variável dependente 
quer na variável independente. 
 
2.5.1 Operações efectuadas na variável dependente 
 
i) Escalamento da amplitude: y(t) = c x(t) ou y[n] = c x[n] sendo c o factor de escala. 
 
ii) Adição: y(t) = x1(t) + x2(t) ou y[n] = x1[n] + x2[n] para discretos. 
 
iii) Multiplicação: y(t) = x1(t) x2(t) ou y[n] = x1[n] x2[n] para discretos. 
iv) Diferenciação: ( ) ( )dy t x t
dt
= 
v) Integração: ( ) ( )
t
y t x dτ τ
−∞
= ∫ 
 
2.5.2 Transformações na variável independente 
 
i) Reflexão em t=0: x(t) → x(-t) (Ex.: sinal gravado passado em sentido inverso) 
 
ii) Alteração da escala de tempo: x(t) → x(at) (Ex.: sinal gravado passado mais 
 rapidamente, se a>1) 
 
Para sinais discretos teremos: y[n] = x[kn], k>0, com k e n inteiros. 
Se k>1 alguns valores do sinal discreto são perdidos como se ilustra no exemplo da 
figura abaixo: 
 
iii) Deslocação no tempo (atraso): x(t) → x(t-t0) (Ex.: sinal de sonar – o eco é recebido 
com atraso) 
t
x(t)
t
x(-t)
0 1 0 1
t
x(t)
t t
x(t/2)x(2t)
0 1 0 1 0 1
t
x(t)
t
t000
x(t-t0)
n
x[n]
 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
y[n]=x[2n]
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Sinais e Sistemas - 8 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
Regras de precedência nas operações de deslocação e escalamento no tempo: 
- Em primeiro lugar efectuam-se as operações de deslocamento no tempo, a seguir a 
reflexão e só depois a compressão (ou expansão), uma vez que esta ultima provoca uma 
alteração da escala de tempo (substitui t por at). 
Exemplo: y(t) = x(at-b). Primeiro faz-se a operação de deslocamento: v(t) = x(t-b) 
Depois faz-se então a compressão de escala: y(t) = v(at) = x(at-b) 
 
Sequência das 
operações para 
 x(2t+3) ⇒ 
 
 
2.6 Sinais básicos em tempo contínuo 
 
Há vários sinais elementares com características tais que assumem um lugar 
proeminente no estudo de sinais e sistemas. Entre estes estão as exponenciais, as funções 
salto, impulso, rampa, etc. 
 
2.6.1 Exponencial complexa e sinais sinusoidais 
 
( ) atx t C e= ; C, a : em geral são complexos 
 
i) Exponencial real: C, a reais: 
 
Na natureza existem 
muitos fenómenos cuja 
evolução segue uma lei 
exponencial (crescimento 
ou decrescimento). São 
fenómenos cumulativos: 
Ex.: reacção atómica, 
amortecimento mecânico , 
etc.. (nota: e0 = 1 , x(0) = C) 
 
 
ii) a imaginário puro: a=jw , . Tomando C=1 fica: ( ) jwtx t e= 
 
Periodicidade: 1jwt jw(t T) jwT jwt jwTe e e e e += = ⇒ = ⇔ 
( )
0
0
1 22
k
wT k T
w
π
π
=
= ⇒ = , Período fundamental 
cos( ) sen( )jwte wt j wt= + , Soma de funções sinusoidais. 
 
iii) Sinal sinusoidal: )cos()( 0 θ+= twAtx 
 
w0 (rad./s) : frequência angular, kw0 : frequências harmónicas. 
θ (rad.) : fase na origem, w0 = 2π f0 , f0 (Hz)frequência. 
0
0
2T
w
π
= : período fundamental. 
x(t) v(t)=x(t+3) y(t)=v(2t)=x(2t
1.0 1.0 1.0
-1 0 1 -4 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0
t t t
Sinais e Sistemas - 9 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
Relações de Euler: cos( ) sen( )jwte wt j wt= + , sendo: 
{ }
{ }
cos( ) Re .
sen( ) Im .
jwt
jwt
wt e
wt e
=
=
 
 
Também: ( ) ( )1 1cos( ) , sen( )2 2jwt jwt jwt jwtwt e e wt e ej− −= + = − 
 
iv) Exponencial complexa em geral: ( ) atx t C e= , C, a complexos 
0,
jC |C | e a r jwθ= = + 
logo [ ]0( ) 0 0( ) cos( ) sen( )j w tat rt rtx t C e C e e C e w t j w tθ θ θ+= = = + + + . 
Trata-se de sinusóides amortecidas (caso r<0). 
 
2.6.2 Salto unitário 
 
Assume valor nulo à esquerda de 
zero e valor unitário à sua direita. 
 
 
2.6.3 Impulso unitário (Dirac) 
Sinal definido através de um integral: ( )( ) ( ) e portanto ( )
t du tu t d t
dt
δ τ τ δ
−∞
= =∫ 
notas: 
i) u(t) é descontínua na origem, logo não é diferenciável para t=0. Pode ser interpretada 
como o limite de uma função contínua .0 com )( →∆∆ tu 
ii) Então a função impulso pode ser interpretado como o limite de uma função 
( ) com 0t∆∂ ∆ → em que: 
 
 
 
 
iii) tem área unitária. É um rectângulo que se torna mais estreito e alto à medida que 
∆→0, mantendo a área unitária. 
 
 
As funções salto unitário e impulso unitário pertencem à família das funções generalizadas. 
 
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codes. 
( ) ( )du tt
dt
δ ∆∆ = 
( ) ( )
0
limt tδ δ ∆∆→=
t
0
1
u(t)
t
0
1
∆
u∆(t) 1
∆
t
0
δ (t)∆
∆
1 
∆
área
unitária
t
0
1 δ(t)
Sinais e Sistemas - 10 
Rogério Largo – Setúbal 1999 
2.6.4 Algumas propriedades de δδδδ(t) 
 
 i) – Área unitária: ( ) 1t dtδ∞
−∞
=∫ 
ii) – Impulso escalado (produto por constante k ⇒ tem área k) 
 
 
 
iii) – Produto de um impulso por uma função ordinária: (note que δ(t) = 0 para t ≠ 0) 
 
x(t) δ(t) = x(0) δ(t) 
 
x(t) δ(t-t0) = x(t0) δ(t-t0) 
 
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
x t t t dt x t t t dt x t t t dt x tδ δ δ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
− = − = − =
=
∫ ∫ ∫	��
��� 
 Isolou-se um ponto da função x(t) em t0. Trata-se da propriedade da amostragem a 
que se voltará mais tarde. 
 
( ) ( ). .t k t dt k u tδ
−∞
=∫
 
t
0
x(t)
x(0) t
0
x(t)
t0
x(t0)
t
0
k δ(t)
t
0
k
u(t)