RM Introdução à Mecanica Momento%2c Sistema Equivalente%2c Equilibrio de um corpo rigido

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MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO ESCALAR 
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo fornece uma medida da tendência dessa 
força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. Como exemplo, considere a força 
horizontal 
xF
 que age perpendicularmente ao cabo da chave inglesa e está localizada a uma distância 
yd
 
do ponto O, na Figura 1. 
 
Pode-se observar que essa força tende a provocar um giro 
do tubo em torno do eixo z. Quanto maior a força ou a 
distância 
yd
, maior o efeito da rotação. Essa tendência de 
rotação provocada pela força 
xF
 algumas vezes é 
chamada de torque, mas normalmente é denominada 
momento de uma força ou simplesmente momento 
( )O zM
. Observe que o eixo do momento (z) é 
perpendicular ao plano sombreado xy, o qual contém 
tanto 
xF
 quanto 
yd
 e que intercepta o plano no ponto O. 
 
Figura 1. 
 
Considere agora a aplicação da força 
Fz
 na chave inglesa da figura 2. 
 
Essa força não provocará rotação no tubo, em torno do 
eixo z. Em vez disso, a tendência de giro do tubo será em 
torno do eixo x. Observe que, embora não seja possível 
realmente girar o tubo dessa maneira, 
Fz
 ainda provoca 
uma tendência de rotação, e assim é produzido o 
momento 
( )O xM
. Da mesma maneira que no caso 
anterior, a força e a distância 
yd
 estão contidas no 
mesmo plano sombreado yz que, por sua vez, é 
perpendicular ao eixo (x) de momento. 
 
Figura 2. 
 
Finalmente, se uma força 
Fy
 é aplicada à chave na Figura 3, nenhum momento é produzido em relação ao 
ponto O. 
 
Nesse caso, haverá ausência total de giro do tubo, uma 
vez que a linha de ação da força passa pelo ponto O e, em 
consequência, nenhuma tendência de rotação será 
possível. 
 
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Vamos agora generalizar a discussão anterior e considerar a força 
F
 e o ponto O, que estão situados no 
plano sombreado (Figura 4a). 
 
O momento 
MO
 em relação ao ponto O, ou ainda em relação a um 
eixo que passa por O perpendicularmente ao plano, é uma 
quantidade vetorial, uma vez que depende de sua intensidade ou 
módulo, direção e sentido para ser determinado. 
 
Intensidade: 
A intensidade de 
MO
 é: 
OM Fd
 
onde d é denominado braço do momento e é a distancia 
perpendicular do ponto O até a linha de ação da força. As unidades 
do momento são dadas pelo produto de força por distancia, por 
exemplo, N.m ou lb.pé. 
 
Direção e sentido: 
Regra da mão direita. 
O vetor momento 
MO
 é representado em três dimensões por uma 
seta envolvida por outra seta de formato circular, para distingui-lo 
do vetor força. Muitos problemas em mecânica, entretanto, 
envolvem sistemas de forças coplanares que podem ser 
representados convenientemente em duas dimensões (Figura 4b). 
Nesse caso, 
MO
 é representado pela seta de formato curvo (no 
sentido anti-horário), que indica a ação da força F. A extremidade 
da seta de formato curvo é usada para mostrar o sentido de rotação 
provocado por F. 
 
 
Momento resultante de um sistema de forças coplanares: 
Se um sistema de forças se situa em um plano xy, então o momento produzido por cada força em relação 
ao ponto O é direcionado ao longo do eixo z, como se vê na Figura 5. 
 
Consequentemente, o momento resultante 
MRo
 do sistema pode ser 
determinado adicionando-se os momentos de todas as forças 
algebricamente, uma vez que os momentos vetores são colineares. 
Podemos escrever essa soma algebricamente como: 
RoM Fd
 
A seta indicada no sentido anti-horário dessa equação significa, 
convencionalmente, que o momento de qualquer força será positivo se 
apontar ao longo do eixo z positivo e negativo se estiver direcionado ao 
longo do eixo z negativo. 
 
 
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Exemplos: 
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada caso ilustrado na figura. 
 
 
 
 
 
2) Determine os momentos da força de 800 N que 
atua sobre a estrutura na figura em relação aos 
pontos A, B, C e D. 
 
 
 
3) Determine o momento resultante das 
quatro forças que atuam na haste 
mostrada na figura em relação ao ponto 
O. 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA EQUIVALENTE 
 
Uma força aplicada sobre um corpo tem a capacidade de provocar tanto sua translação quanto sua 
rotação, com intensidade que depende do ponto de aplicação e de como essa força é aplicada. 
Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças e momentos, com frequência é mais simples 
estudar os efeitos externos sobre ele substituindo o sistema por uma única força resultante equivalente, 
atuando em um ponto especifico O, e um momento resultante. 
 
Em resumo: 
 
UM SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTA UM SISTEMA NO QUAL A FORÇA E O 
MOMENTO RESULTANTE PRODUZAM NA ESTRUTURA O MESMO EFEITO QUE O 
CARREGAMENTO ORIGINAL APLICADO. 
 
Esse procedimento de simplificação de qualquer sistema de forças e momentos de binários em uma força 
resultante atuando no ponto O e um momento resultante pode ser generalizado e representado pela 
aplicação das seguintes equações: 
 
O
R
R O
F F
M M
 
 
 
Se duas forças atuam em um bastão e são substituídas por uma força resultante e um momento 
resultante, no ponto A, ou de forma análoga no ponto B, então, em cada caso, a mão pode fornecer a 
mesma resistência à translação e rotação para manter o bastão na posição horizontal. Em outras 
palavras, os efeitos externos sobre o bastão são os mesmos em cada caso. 
 
 
 
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Exemplos: 
1) Substitua as forças atuantes no suporte mostrado na figura por uma força resultante e um momento 
atuante no ponto A. 
 
 Sistema equivalente 
 
2) Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e um momento equivalentes, no 
ponto A. 
 
 
3) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante. Especifique onde a força atua, 
tomando como referencia o ponto B. 
 
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REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO 
Em algumas situações um corpo pode estar sujeito a um carregamento que está distribuído sobre uma 
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda (outdoor), a 
pressão da água dentro de um tanque ou o peso da areia sobe o piso de uma caixa de armazenamento são 
cargas distribuídas. 
A pressão exercida em cada ponto da superfície indica a intensidade da carga. Ela é medida usando 
pascals Pa (ou N/m
2
) em unidades do SI. 
 
Carregamento uniforme ao longo de um único eixo 
O tipo mais comum de carga distribuída encontrado na prática de engenharia é geralmente uniforme ao 
longo de um único eixo. 
Por exemplo, considere a viga da Figura 1 que possui uma largura constante e está sujeita a um 
carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. 
 
 Figura 1 Figura 2 Figura 3 
 
Esse carregamento pode ser descrito pela função 
2( ) N mp p x
. Ele contém somente uma variável x e, 
por isso, também podemosrepresentá-lo como um carregamento distribuído coplanar. Para isso, 
multiplicamos a função de carregamento pela largura b da viga, tal que 
( ) ( ) N mw x p x b
 (Figura 2). O 
próximo passo é substituir esse sistema de forças paralelas coplanares por uma única força resultante 
equivalente 
RF
 que age em uma posição especifica sobre a viga (Figura 3). 
A intensidade de 
RF
 é equivalente à soma de todas as forças do sistema. Nesse caso, precisamos usar 
integração porque existe um número infinito de forças paralelas 
Fd
 agindo sobre a viga (Figura 2). Como 
Fd
 está agindo sobre um elemento do comprimento 
dx
, e 
( )w x
 é uma força por unidade de 
comprimento, então, 
( )dF w x dx dA
. Em outras palavras, a intensidade de 
Fd
 é determinada pela 
área diferencial em cinza 
dA
 abaixo da curva de carregamento. Para o comprimento inteiro L, 
( )R
L A
F w x dx dA A 
 
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Portanto, a intensidade a força resultante é igual à área total A sob o diagrama de carregamento 
(Figura 3) 
Localização da força resultante 
Aplicando-se a equação 
OR O
M M
, a posição da linha de ação de 
RF
 pode ser determinada 
igualando-se os momentos da força resultante aos da distribuição das forças paralelas em relação ao ponto 
O (eixo y). 
Como 
Fd
 produz um momento de 
( )x dF x w x dx 
 em relação a O (Figura 2), então, para o 
comprimento inteiro 
( )R
L
x F x w x dx 
 
( )
( )
L A
L A
x w x dx x dA
x
w x dx dA
 
 
 
Essa coordenada 
x
, localiza o centro geométrico ou centróide da área sob o carregamento distribuído. Em 
outras palavras, a força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide C (centro geométrico) 
da área sob o diagrama de carregamento. 
Uma vez que 
x
 é determinado, 
RF
, por simetria, passa pelo ponto 
( ,0)x
 na superfície da viga. 
 
Portanto, nesse caso, a força resultante possui uma intensidade igual a área sob a 
curva de carregamento 
( )p p x
 e uma linha de ação que passa pelo centróide dessa 
área. 
 
EQUILIBRIO DE UM CORPO RIGÍDO 
 
Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como: 
0F FR
 e 
( ) 0R O OM M
 
 
Reações de apoio: 
 Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então, uma força é 
desenvolvida no corpo nessa direção; 
 Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo; 
 
 
 
 
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Rolete ou apoio móvel: 
Esse tipo de apoio apenas impede que a viga translade na 
direção vertical, o rolete só exercerá uma força sobre a 
viga nessa direção (possui apenas uma incógnita, a 
reação é uma força que atua perpendicularmente à 
superfície do ponto de contato). 
Articulação ou pino: 
O pino passa por um furo na viga e duas folhas que são 
fixas no solo. Neste caso, o pino pode impedir a 
translação da viga em qualquer direção 

, e portanto o 
pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção 
(possui duas incógnitas, as reações são os dois 
componentes da força resultante e atuam paralela e 
perpendicularmente à superfície do ponto de contato). 
Apoio fixo ou engastamento: 
Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação 
da viga. Para isso, uma força e um momento devem ser 
desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão 
(possui três incógnitas, as reações são os dois 
componentes da força resultante que atuam paralela e 
perpendicularmente à superfície do ponto de contato e 
um momento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determine as reações nos apoios A e B. Despreze o peso da viga. 
 
 
 
 
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2) Determine a intensidade das reações na viga 
 
 
3) Determine a intensidade das reações na viga 
 
 
4) Determine as reações nos apoios A e B da estrutura. 
 
 
 
 
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5) Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a tração desenvolvida no cabo 
BC usado para sustentar a estrutura de aço da figura. 
 
6) Determine as reações nos apoios A e B para o equilíbrio da viga. 
 
7) Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da reação do pino em A. A polia em 
D é sem atrito e o cilindro pesa 80 libras. 
 
Fonte: Hibbeler, R. C. - Estática