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Matemática+Financeira+-+Aula+01+parte+02

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MATEMÁTICA FINANCEIRA P/ O BDMG (TEORIA E EXERCÍCIOS) 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
 
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Aula 1 – Parte 2 
1 Juros Compostos ............................................................................................................. 2 
1.1 Período de Capitalização ...................................................................................... 2 
1.2 Fórmula do Montante Composto ....................................................................... 3 
2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ............................ 3 
3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ....................................................... 5 
4 Taxas Equivalentes ...................................................................................................... 20 
5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ................................................................................... 21 
6 Taxa Real e Taxa Aparente ....................................................................................... 23 
7 Descontos Compostos ................................................................................................. 34 
7.1 Desconto Racional (por dentro) Composto ................................................ 35 
7.2 Desconto Comercial (por fora) Composto ................................................... 37 
7.3 Demonstração da fórmula dos valores tabelados .................................... 53 
8 Relação das questões comentadas ........................................................................ 54 
9 Gabaritos.......................................................................................................................... 65 
 
 
 
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1 Juros Compostos 
 
No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada 
período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros 
para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre 
juros”. 
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros 
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os 
juros gerados em cada período e o montante após o período de 
cada aplicação. 
Os juros gerados no primeiro ano são ����� · 10.000 � 2.000 e o 
montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Os juros gerados no segundo ano são ����� · 12.000 � 2.400 e o 
montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. 
Os juros gerados no terceiro ano são ����� · 14.400 � 2.880 e o 
montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. 
Os juros gerados no quarto ano são ����� · 17.280 � 3.456 e o 
montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. 
Os juros gerados no quinto ano são ����� · 20.736 � 4.147,20 e o 
montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 
1.1 Período de Capitalização 
 
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao 
capital é chamado de período de capitalização. 
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, 
então os juros são calculados todo mês e imediatamente 
incorporados ao capital. 
Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao 
capital uma vez por trimestre. 
E assim por diante. 
Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem 
na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” 
 
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para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. 
Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). 
1.2 Fórmula do Montante Composto 
 
Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos 
a seguinte fórmula básica: 
� � � · �1 � ��� 
M → montante (capital + juros). 
C → Capital inicial aplicado. 
i → taxa de juros 
n → número de períodos. 
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita 
durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. 
Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros 
compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o 
juro composto, utilizaremos a relação: 
� � � � � � � � � � � 
2 Comparação entre as Capitalizações Simples e 
Composta 
 
Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 
1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples 
e compostos para os seguintes períodos de capitalização: 
a) 1 mês 
b) 15 dias (meio mês) 
c) 2 meses 
Resolução 
a) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 1� � 1.100 
 
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Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1�� � 1.100 
Observe que, para � � 1, o montante simples é igual ao montante 
composto. 
b) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 0,5� � 1.050 
Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1��,� � 1.048,81 
Observe que, para � � 0,5, o montante simples é maior do que o 
montante composto. 
c) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 2� � 1.200 
Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1�� � 1.210 
Observe que, para � � 2, o montante simples é menor do que o 
montante composto. 
Em resumo, temos as seguintes relações 
� � 1 O montante simples é igual ao montante 
composto. 0 � � � 1 O montante simples é maior do que o 
montante composto. � 1 O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
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3 Convenção Linear e Convenção Exponencial 
 
Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais 
vantajoso para o credor cobrar juros simples. 
Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização 
composta, o número de períodos for fracionário. 
Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos 
durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é 
igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante 
no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais 
dinheiro obviamente). 
Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é 
fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: 
- Convenção Exponencial 
- Convenção Linear 
Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa 
de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o 
montante gerado. 
- Convenção Exponencial 
A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será 
utilizado no expoente da expressão do montante. 
Assim, (1 )
nM C i= ⋅ + 
3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 
3,510.000 1,10M = ⋅ 
O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 
10.000 1,395964M = ⋅ 
13.959,64M = 
- Convenção Linear 
 
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A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do 
período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no 
período fracionário. 
Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte 
fracionária do período. 
310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 
13.975,50M = 
Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do