Matemática+Financeira+-+Aula+01+parte+02

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MATEMÁTICA FINANCEIRA P/ O BDMG (TEORIA E EXERCÍCIOS) 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
 
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Aula 1 – Parte 2 
1 Juros Compostos ............................................................................................................. 2 
1.1 Período de Capitalização ...................................................................................... 2 
1.2 Fórmula do Montante Composto ....................................................................... 3 
2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ............................ 3 
3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ....................................................... 5 
4 Taxas Equivalentes ...................................................................................................... 20 
5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ................................................................................... 21 
6 Taxa Real e Taxa Aparente ....................................................................................... 23 
7 Descontos Compostos ................................................................................................. 34 
7.1 Desconto Racional (por dentro) Composto ................................................ 35 
7.2 Desconto Comercial (por fora) Composto ................................................... 37 
7.3 Demonstração da fórmula dos valores tabelados .................................... 53 
8 Relação das questões comentadas ........................................................................ 54 
9 Gabaritos.......................................................................................................................... 65 
 
 
 
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1 Juros Compostos 
 
No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada 
período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros 
para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre 
juros”. 
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros 
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os 
juros gerados em cada período e o montante após o período de 
cada aplicação. 
Os juros gerados no primeiro ano são ����� · 10.000 � 2.000 e o 
montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Os juros gerados no segundo ano são ����� · 12.000 � 2.400 e o 
montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. 
Os juros gerados no terceiro ano são ����� · 14.400 � 2.880 e o 
montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. 
Os juros gerados no quarto ano são ����� · 17.280 � 3.456 e o 
montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. 
Os juros gerados no quinto ano são ����� · 20.736 � 4.147,20 e o 
montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 
1.1 Período de Capitalização 
 
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao 
capital é chamado de período de capitalização. 
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, 
então os juros são calculados todo mês e imediatamente 
incorporados ao capital. 
Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao 
capital uma vez por trimestre. 
E assim por diante. 
Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem 
na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” 
 
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para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. 
Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). 
1.2 Fórmula do Montante Composto 
 
Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos 
a seguinte fórmula básica: 
� � � · �1 � ��� 
M → montante (capital + juros). 
C → Capital inicial aplicado. 
i → taxa de juros 
n → número de períodos. 
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita 
durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. 
Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros 
compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o 
juro composto, utilizaremos a relação: 
� � � � � � � � � � � 
2 Comparação entre as Capitalizações Simples e 
Composta 
 
Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 
1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples 
e compostos para os seguintes períodos de capitalização: 
a) 1 mês 
b) 15 dias (meio mês) 
c) 2 meses 
Resolução 
a) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 1� � 1.100 
 
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Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1�� � 1.100 
Observe que, para � � 1, o montante simples é igual ao montante 
composto. 
b) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 0,5� � 1.050 
Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1��,� � 1.048,81 
Observe que, para � � 0,5, o montante simples é maior do que o 
montante composto. 
c) Capitalização Simples 
�� � � · �1 � � · �� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1 · 2� � 1.200 
Capitalização Composta 
�� � � · �1 � ��� 
�� � 1.000 · �1 � 0,1�� � 1.210 
Observe que, para � � 2, o montante simples é menor do que o 
montante composto. 
Em resumo, temos as seguintes relações 
� � 1 O montante simples é igual ao montante 
composto. 0 � � � 1 O montante simples é maior do que o 
montante composto. � 1 O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
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3 Convenção Linear e Convenção Exponencial 
 
Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais 
vantajoso para o credor cobrar juros simples. 
Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização 
composta, o número de períodos for fracionário. 
Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos 
durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é 
igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante 
no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais 
dinheiro obviamente). 
Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é 
fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: 
- Convenção Exponencial 
- Convenção Linear 
Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa 
de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o 
montante gerado. 
- Convenção Exponencial 
A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será 
utilizado no expoente da expressão do montante. 
Assim, (1 )
nM C i= ⋅ + 
3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 
3,510.000 1,10M = ⋅ 
O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 
10.000 1,395964M = ⋅ 
13.959,64M = 
- Convenção Linear 
 
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A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do 
período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no 
período fracionário. 
Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte 
fracionária do período. 
310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 
13.975,50M = 
Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior doque o montante da convenção exponencial. 
EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um 
investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 
50% ao ano, ao final de dois anos é 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
Resolução 
 � � � · �1 � ��� 
 � � 20.000 · �1 � 0,50�� � 45.000,00 
 
Letra A 
 
EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 
20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma 
taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, 
em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
 
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d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
Resolução 
� � � · �1 � ��� 
 � � 20.000 · 1,04! 
 
O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. 
 1,04 " 1,04 � 1,0816 1,0816 " 1,04 � 1,124864 # 1,1249 
 � � 20.000 · 1,04! � 20.000 · 1,1249 � 22.498,00 
Letra E 
EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação 
de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma 
taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação 
de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 
15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi 
igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
Resolução 
Aplicação a juros compostos: 
� � � · �1 � ��� � � 12.500 · �1 � 0,08�� � � 14.580 
Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital 
aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080. 
Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo 
de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a 
taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. 
 
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� � � · � · � 2.080 � 10.400 · 0,0125 · � 2.080 � 130 · � � � 16 &'('( 
Letra D 
EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros 
compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. 
Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que 
indica a resposta correta. 
a) $ 2.691,43 
b) $ 3.691,43 
c) $ 4.691,43 
d) $ 5.691,43 
e) $ 6.691,43 
Resolução 
Na capitalização composta o montante é dado por 
� � � · �1 � ��� 
10.000 � � · �1 � 0, 10�� 
10.000 � � · 1,61051 
� � 10.0001,61051 � 6.209,21 
Não há gabarito compatível e a questão foi anulada. 
EC 5. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma 
pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa 
de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, 
também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao 
trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. 
O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos 
apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
Resolução 
 
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Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como 
utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, 
então o capital das aplicações será x. 
1ª aplicação (Regime Composto) 
Sabemos que � � � � � � � � � � � 
No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a 
seguinte. 
� � � · �1 � ��� 
A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano 
(2 semestres). 
� � ) · 1,08� 
� � 1,1664 · ) 
Como � � � � �, 
�� � 1,1664 · ) � ) 
�� � 0,1664 · ) 
2ª aplicação (Regime Simples) 
�� � � · � · � 
Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 
trimestres. 
�� � ) · 0,04 · 4 
�� � 0,16 · ) 
A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 
4.080,00. 
�� � �� � 4.080 
0,1664 · ) � 0,16 · ) � 4.080 
0,3264 · ) � 4.080 
) � 12.500 
Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. 
 
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� � 1,1664 · ) 
� � 1,1664 · 12.500 � 14.580,00 
Letra C 
EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro 
simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa 
aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% 
ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
 
Resolução 
Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de 
capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o 
montante na capitalização simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅ 
A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma 
unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado 
informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. 
Dessa forma, 
500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅ 
500 1,12SM = ⋅ 
560SM = 
Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da 
segunda aplicação. 
Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial 
igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois 
meses. 
 
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O montante da capitalização composta é dado por 
(1 )nCM C i= ⋅ + . 
2560 (1 0,05)CM = ⋅ + 
2560 1,05CM = ⋅ 
617,40CM = 
Letra E 
EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses 
enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros 
simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais 
próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam 
um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 
1,425760) 
a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
 
Resolução 
Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) 
será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será 
aplicada a juros simples. 
Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a 
soma do capital com os juros. 
M C J J M C= + ⇒ = − 
Capitalização Composta 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês 
 
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Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 
12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + − 
121,03CJ C C= ⋅ − 
1,425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅ 
0,425760CJ C= ⋅ 
Capitalização Simples 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês 
Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização simples será dado por: 
SJ C i n= ⋅ ⋅ 
0,035 12SJ C= ⋅ ⋅ 
0,42SJ C= ⋅ 
As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02. 
 
21.144,02S CJ J+ = 
0,42 0,425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ = 
0,84576 21.144,02C⋅ = 
21.144,02
0,84576
C = 
 
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25.000C = 
O capital total aplicado é 2 · �. 
Logo, 2 50.000C⋅ = 
Letra E 
EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos 
um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
Resolução 
Podemos, para facilitar o raciocínio,admitir o que o capital inicial é 
igual a R$ 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão 
iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00). Então o montante será igual a 
R$ 180,00. A taxa e o tempo estão na mesma unidade. 
Apliquemos a fórmula dos juros compostos. 
(1 )nM C i= ⋅ + 
15180 100 (1 )i= ⋅ + 
151,80 (1 )i= + 
Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como 
essa. 
 
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De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos 
151,04 1,80≅
. 
 Letra A 
EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da 
Fazenda e da Administração-SC – 2005 – FEPESE) Determine o 
tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro 
composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: 
log 3 # 0,48 e log 1,03 # 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
Resolução 
 
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Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização 
também é mensal. 
Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o 
triplo do capital (M = 3.C) 
Assim, 3M C= ⋅ . 
Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado 
por (1 )
nM C i= ⋅ + . Temos então: 
(1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅ 
(1 0,03) 3n+ = 
1,03 3n = 
log1,03 log3n = 
log1,03 log3n ⋅ = 
log 3
log1,03
n = 
0, 48
0,012
n = 
 
0,480 0480 480
40 meses.
0,012 0012 12
n = = = = 
Letra E 
EC 10. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as 
evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a 
Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em 
unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se 
refere à taxa de juros utilizada. 
 
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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais 
vantajoso emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a 
unidade de tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade 
de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade 
de tempo. 
Resolução 
O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente 
(aquele em que o montante simples foi maior do que o montante 
composto). 
Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o 
juro simples será maior do que o juro composto. 
Letra E 
EC 11. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção 
linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma 
renda b. Pode-se afirmar que: 
a) * � log� . 
b) * � . 
c) * � . 
d) * � √.0 
e) * . 
Resolução 
Vimos que: 
 
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� � 1 O montante simples é igual ao montante 
composto. 0 � � � 1 O montante simples é maior do que o 
montante composto. � 1 O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda 
maior do que a convenção exponencial. 
Letra E 
EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 
20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao 
ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, 
adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
Resolução 
Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será 
investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção 
linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada 
no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 
do ano= 0,25 anos. 
Assim, 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 (1 0,10) (1 0,10 0,25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅ 
24.805,00M = 
Letra C 
 
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EC 13. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 
300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela 
convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
Resolução 
De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será 
aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será 
aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. 
� � � · �1 � ��123 · �1 � � · �4567� 
� � 300 · �1 � 0,10�� · 81 � 0,10 · 139 
� � 300 · 1,21 · 81 � 1309 � 363 · 81 � 1309 
� � 363 � 36330 � 363 � 12,1 � 375,10 
Letra D 
EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros 
compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o 
valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o 
seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo 
pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
Resolução 
Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R$ 100,00. 
Convenção Exponencial 
� � � · �1 � ��� 
 
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� � 100 · �1 � 0,40��,� � 100 · 1,40�,� � 100 · 1,656502 � 165,6502 
Convenção Linear 
� � � · �1 � ��123 · �1 � � · �4567� 
� � 100 · �1 � 0,40�� · �1 � 0,40 · 0,5� 
� � 100 · 1,40 · 1,20 � 168,00 
Cálculo da perda percentual 
:;�;7;6< � 168,00 
:4;�6< � 165,6502 
� � :4;�6< � :;�;7;6<:;�;7;6< � 165,6502 � 168168 � 2,3498168 · 100% � 234,98168 % # 1,398% 
Letra C 
EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para 
aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu 
as seguintes propostas de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostos de 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 
Resolução 
I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. 
� � � · �1 � � · �� � 10.000 · �1 � 0,02 · 6� � 11.200 
II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. 
� � � · �1 � ��� � 10.000 · �1 � 0,01�> � 10.615,20 
Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. 
 
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Letra D 
4 Taxas Equivalentes 
 
Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples 
quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no 
regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais. 
Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. 
Exemplo 
Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 
10% ao mês? 
Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então 
teremos a seguinteequação: 
3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ + 
3(1 0,10) 1 ti+ = + 
1 1,331ti+ = 
0,331ti = 
33,1%ti = 
Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. 
Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos 
fatores �1 � ��� 
Exemplo 
Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% 
ao trimestre? 
 
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Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: 
�1 � �6�?6<�� � �1 � �@5;ABC@56<�D 
1 � �6�?6< � �1 � 0,2�D 
1 � �6�?6< � 2,0736 
�6�?6< � 1,0736 
�6�?6< � 107,36% *E *�E 
 
5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas 
proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. 
Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” 
significa na realidade “2% ao mês”. 
A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é 
chamada de taxa efetiva. 
No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o 
período a que a taxa se refere não coincidir com o período de 
capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com 
capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere 
ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada 
mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e 
imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva 
quando o período a que a taxa se refere coincide como período de 
capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com 
capitalização mensal é uma taxa efetiva. 
São exemplos de taxas nominais: 
- 30% ao mês com capitalização diária. 
- 48% ao ano com capitalização bimestral. 
Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver 
referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, 
uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma 
taxa efetiva. 
 
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Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao 
ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. 
A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos 
contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode 
conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, 
pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!! 
Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a 
mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte 
fórmula: 
 
F*)* 'G'H�I* � F*)* JE&��*KJú&'LE M' N'LíEME( M' O*N�H*K�P*çãE OE�H�ME( �* H*)* �E&��*K 
Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal 
para taxa efetiva. 
Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização 
bimestral. 
1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 
60%
10% a.b.
6
bi = = 
Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o 
conceito de taxas equivalentes. 
Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 
1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 
61 (1 0,10)ai+ = + 
61,10 1ai = − 
0,7715ai = 
77,15%ai = 
 
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Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá 
ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa 
efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for 
bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b.. 
Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa 
nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na 
taxa nominal. 
6 Taxa Real e Taxa Aparente 
 
Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e 
obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos 
houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real 
não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em 
conta a perda causada pela inflação! 
A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. 
A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada 
pela inflação. 
E como calcular a taxa real nessa situação? 
Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes 
notações: 
 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
A I R I R= + + ⋅ 
No nosso exemplo: 
A = 80% = 0,8 
I = 60% = 0,6 
R → taxa real = ? 
 
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A I R I R= + + ⋅ 
0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅ 
0,8 0,6 1,6 R− = ⋅ 
1,6 0, 2R⋅ = 
0,2 2
0,125
1,6 16
R = = =
 
12,5%R = 
Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente 
inflacionário foi de 12,5%. 
A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da 
inflação é a seguinte: 
1
A I
R
I
−
=
+ 
No nosso exemplo, 
0,8 0,6 0, 2
12,5%
1 1 0,6 1,6
A I
R
I
− −
= = = =
+ + . 
EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, 
no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 
40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
d) 64,4% 
e) 60,0% 
Resolução 
Vamos analisar cada parte do enunciado. 
 
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“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada 
bimestralmente”. 
Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 
meses), a taxa efetiva bimestral é dada por 
40%
20% a.b.
2
bi = = 
Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa 
efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas 
equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 
bimestres. 
1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 
31 (1 0,20)si+ = + 
1,728 1 0,728si = − = 
72,8%si = 
Letra B 
EC 17. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual 
equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização 
mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
Resolução 
Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: 
�A � 12%12 � 1% *E &ê( 
Devemos fazer a comparação dos fatores �1 � ��� para o cálculo da 
taxa de juros anual. 
�1 � �6�� � �1 � �A��� 
1 � �6 � �1 � 0,01��� 
 
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Consultando a tabela financeira: 
1 � �6 � 1,126825 
�6 � 0,126825 � 12,6825% 
Letra C 
EC 18. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital 
de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com 
capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses 
de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
Resolução 
Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral 
é: 
�@ � 24%4 � 6% *E HL�&'(HL' 
O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva 
é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 
trimestres. 
� � � · �1 � ��� 
� � 20.000 · �1 � 0,06�> � 28.370,38 
Letra D 
 
EC 19. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o 
Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com 
capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o 
Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa 
semestral equivalente à taxacobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 
unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de 
um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto 
ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se 
que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos 
períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por 
Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: 
 
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a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. 
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. 
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. 
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. 
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 
 
Resolução 
 
Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). 
Logo, a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t. 
 
O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi 
de: 
 �1 � �6�� � �1 � �@�D 
 �6 � �1 � �@�D � 1 
 �6 � �1 � 0,20�D � 1 � 1,0736 � 107,36% 
 
 
Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a 
taxa equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao 
semestre. Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, 
seu custo percentual foi de 44%. 
 
Letra E 
 
EC 20. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de 
juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
a) 114,70% 
b) 107,55% 
c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
Resolução 
 
Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e 
que 1 ano é composto por 3 quadrimestres. 
 �1 � �6�� � �1 � �Q�! 
 1 � �6 � �1 � 0,3�! 
 
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 1 � �6 � 2,197 
 �6 � 1,197 � 119,70% 
Letra E 
 
EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em 
um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o 
empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com 
capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento 
pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) R�1,02��S � 1T 
b) U�18 · √1,36VW � 1X 
c) U�18 · √1,24VY � 1X 
d) U�3 · √1,24 � 1X 
e) U�6 · √1,24Z � 1X 
 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema 
forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. 
Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%. 
 � � � · �1 � ��� 
 � � � � � · �1 � ��� 
 � � � · �1 � ��� � � 
 � � � · R�1 � ��� � 1T 
 � � 25.000 · R�1 � 0,02��S � 1T 
 � � 25.000 · R�1,02��S � 1T 
Letra A 
 
 
EC 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um 
empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. 
Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 
10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
 
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e) 13,20% 
 
Resolução 
 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
[ � \ � ] � \ · ] 
0,2320 � 0,10 � ] � 0,10 · ] 
0,2320 � 0,10 � 1,10 · ] 
1,10 · ] � 0,1320 
] � 0,12 � 12% 
Letra A 
EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o 
capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se 
que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do 
período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, 
respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de 
a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
Resolução 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
 
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É válida a seguinte relação: 
[ � \ � ] � \ · ] 
^ � _, _`a � _, b_ � _, _`a · _, b_ � _, b`ca � b`, ca% 
Então o montante resgatado pelo investidor é dado por 
� � � · �1 � ��� � 24.000 · �1 � 0,1275�� � 27.060,00 
Letra A 
EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em 
um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma 
rentabilidade real de: 
a) 20% 
b) 44% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
Resolução 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
[ � \ � ] � \ · ] 
0,80 � 0,20 � ] � 0,20 · ] 
0,60 � 1,20 · ] 
] � 0,601,20 � 0,50 � 50% 
Letra C 
EC 25. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada 
por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a 
rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida no 
mesmo período? 
a) 100% ao período 
 
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b) 200% ao período 
c) 300% ao período 
d) 400% ao período 
e) 500% ao período 
 
Resolução 
O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 
1. 
Calculemos a taxa de juros aparente no período. 
(1 )nM C A= ⋅ + 
O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o 
período de 2 anos (biênio). 
140.000 5.000 (1 )A= ⋅ + 
8 1 A= + 
7A = 
Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita 
anteriormente. 
A I R I R= + + ⋅ 
7 1 1I I= + + ⋅ 
6 I I= + 
 
3I = 
Para transformar a inflação em termos percentuais devemos 
multiplicar por 100%. 
3 100% 300%I = ⋅ = 
Letra C 
2 6I⋅ =
 
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EC 26. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 
80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de 
dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu 
crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação 
referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. 
Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta 
aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
Resolução 
Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a 
seguinte fórmula: 
d � �b � eb� · �b � e`� · f · �b � eg� � b 
Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: 
\ � �1 � 0,05� · �1 � 0,04� � 1 � 0,092 
Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos � � 1, pois queremos 
calcular a taxa real no período de 2 anos. 
� � � · �1 � ��� 
98.280 � 80.000 · �1 � [�� 
[ � 0,2285 
[ � \ � ] � \ · ] 
0,2285 � 0,092 � ] � 0,092 · ] 
0,1365 � 1,092 · ] 
] � 0,13651,092 � 0,125 � 12,5% 
Letra B 
EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de 
junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de 
abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, 
 
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após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice 
Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 
1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de 
percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 
(trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 
(trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no 
período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei 
se refere foi de: 
a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
ResoluçãoVejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário 
mínimo. 
:;�;7;6< � 350 e :4;�6< � 380 
[ � :4;�6< � :;�;7;6<:;�;7;6< � 380 � 350350 � 8,57% 
A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. 
Calculemos o aumento real: 
[ � \ � ] � \ · ] 
0,0857 � 0,034 � ] � 0,034 · ] 
0,0517 � 1,034 · ] 
] � 0,05171,034 � 0,05 � 5% 
Letra C 
 
 
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7 Descontos Compostos 
 
A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que 
desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando 
ela é negociada antes da data de vencimento. Os principais 
elementos de uma operação de desconto são: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no título. 
É o valor que deve ser pago na 
data do vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor Descontado 
(A) 
O valor líquido é obtido pela 
diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que se faz 
no valor de uma dívida quando ela 
é negociada antes da data de 
vencimento. É a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual. 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: 
o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o 
desconto. 
[ � J � h 
Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos 
elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá 
mudar é a natureza da taxa. 
O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o 
desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O 
desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe 
também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto 
sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado 
financeiro. 
Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime 
de capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos 
(por fora e por dentro). 
 
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Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto 
Comercial Composto. 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber 
qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime 
da operação (simples ou composto). 
7.1 Desconto Racional (por dentro) Composto 
 
A operação de desconto racional composto, por definição, é 
equivalente a uma operação de juros compostos. 
Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é 
projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto 
racional composto teremos como objetivo projetar o Valor Nominal 
para a data atual. 
O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é 
obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou 
seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o 
tempo que falta para o vencimento do título. 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros 
simples, podemos fazer um desenho comparativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� O valor atual do desconto racional composto corresponde ao 
capital inicial da operação de juros compostos. 
Capital Inicial 
JUROS COMPOSTOS 
Juros 
Montante 
Valor Atual 
0 
(Data zero) 
Linha do tempo 
 Desconto 
Valor Nominal 
DESCONTO RACIONAL 
 
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� O valor nominal do desconto racional composto corresponde 
ao montante da operação de juros compostos. 
� O desconto da operação de desconto racional composto 
corresponde ao juro da operação de juros compostos. 
Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Compostos Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional 
simples (por dentro). 
Juros Compostos: 
(1 )nM C i= ⋅ +
 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime 
composto. 
Desconto Racional Simples 
(por dentro) 
Desconto Racional Composto 
(por dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime 
simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o 
expoente. 
(1 )nN A i= ⋅ +
 
 
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O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto 
racional composto equivale a uma operação de juros compostos. 
7.2 Desconto Comercial (por fora) Composto 
 
Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de 
juros compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros 
incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional 
composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor 
atual. 
O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A 
taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal. 
Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e 
composto. 
 
Desconto Racional Simples 
(por dentro) 
Desconto Racional Composto 
(por dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto 
composto o “n” foi para o expoente. O mesmo acontecerá com o 
desconto comercial composto. 
 
Desconto Comercial 
Simples (por fora) 
Desconto Comercial Composto 
(por fora) 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ (1 )nA N i= ⋅ − 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: 
o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o 
desconto. 
[ � J � h 
 
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EC 28. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois 
anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto 
racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, 
apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título 
tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial 
composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
Resolução 
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto 
equivale à operação de juro composto. 
Assim, J � [i · �1 � ��� j J � 20.000 · �1 � 0,10�� � 24.200 
A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de 
desconto comercial composto é a seguinte: [� � J�1 � ��� [� � 24.200 · �1 � 0,1�� � 19.602,00 
 
Letra E 
 
EC 29. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional 
composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao 
mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais 
próximo do valor nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
Resolução 
 
A operação de desconto racional composto equivale a uma 
operação de juros compostos. 
 N � A · �1 � i�n 
 
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 N � A · �1 � 0,05�� 
 N � 1,1025 · A 
 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 J � [ � 10.000 
 1,1025 · A � [ � 10.000 
 0,1025 · A �10.000 
 A � 97.560,98 
 N � 97.560,98 � 10.000 � 107.560,98 # 107.561,00 
 
Letra B 
 
EC 30. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título 
com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, 
no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial 
de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então, 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
Resolução 
No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual 
e o valor nominal do título é dada pela expressão 
[ � J · �1 � ��� 
[ � 50.000 · �1 � 0,2�� � 32.000 
Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 
18.000,00. 
Letra B 
EC 31. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação 
aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros 
simples e compostos, analise as afirmativas a seguir: 
 
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I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é 
dada por: h'(OE�HE � op�; , em que VF é o valor futuro, n é o número de 
períodos e i é a taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de 
desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é 
expressa por 
M � �1 � ��, 
Em que n é o número de períodos. 
 
III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no 
regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto 
comercial, é expressa por: :q � :r s �1 � M��, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
Resolução 
 
I. Falsa. 
A operação de desconto racional simples, por definição, é 
equivalente a uma operação de juros simples. 
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo 
é projetar um valor presente para o futuro, na operação de 
desconto racional simples teremos como objetivo projetar o 
Valor Nominal para a data atual. 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido 
aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, 
corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que 
falta para o vencimento do título. 
� O valor atual do desconto racional simples corresponde ao 
capital inicial da operação de juros simples. 
 
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� O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao 
montante da operação de juros simples. 
� O desconto da operação de desconto racional simples 
corresponde ao juro da operação de juros simples. 
Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor 
atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual 
ao desconto racional simples!! 
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional 
simples (por dentro). 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
 
Desconto Racional Simples: 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de 
desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é 
expressa por 
M � �1 � ��, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos 
ter o mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os 
descontos também são iguais. 
 hi � h� 
 [ s � s � � J s M s � [ s � � J s M 
 
Lembrando que 
 
J � [ s �1 � � s �� j [ � J1 � � s � 
 J1 � � s � s � � J s M 
 
D A i n= ⋅ ⋅
 
 
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11 � � s � s � � M 
 �1 � � s � � M 
 
A proposição II, portanto, é verdadeira. 
 
III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada 
no valor nominal (valor futuro). 
 
Letra D 
 
EC 32. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 
840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto 
obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
Resolução 
A = 840,00. 
Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à 
operação de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao 
montante e o valor descontado equivale ao capital inicial. Temos a 
seguinte expressão: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
4840 (1 0,03)N = ⋅ + 
4840 1,03N = ⋅ 
Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e 
em seguida multiplicaremos 1,032 por 1,032 
1,032 = 1,0609 
 
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1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 
4840 1,03 840 1,1255088 945,43N = ⋅ = ⋅ ≅ . 
Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato 
de que em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à 
diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
D N A= − 
945,43 840 105,43D = − = 
Letra E 
EC 33. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é 
descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento 
a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título 
considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. 
Despreze os centavos. 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 
quer dizer que o valor atual é R$ 10.000,00. 
(1 )nN A i= ⋅ + 
410.000 (1 0,03)N = ⋅ + 
410.000 1,03 10.000 1,1255088N = ⋅ = ⋅ 
11.255,00N = 
Letra A 
 
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EC 34. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto 
racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. 
Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, 
considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 
1,054 = 1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
Resolução 
Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor 
descontado no desconto racional composto. 
(1 )nN A i= ⋅ + 
O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do 
desconto. O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor 
atual. 
Assim, 
6.465,18N A− = 
Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos: 
(1 ) 6.465,18nA i A⋅ + − = 
4(1 0,05) 6.465,18A A⋅ + − = 
Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A). 
41,05 1 6.465,18A A⋅ − ⋅ = 
Podemos então colocar A em evidência: 
4(1,05 1) 6.465,18A ⋅ − = 
 
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4
6.465,18 6.465,18
1,05 1 1,215506 1
A = =
− − 
6.465,18
30.000,00
0,215506
A = =
 
Letra C 
EC 35. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 
24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com 
taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do 
desconto comercial composto e d o valor do desconto racional 
composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
Resolução 
Dados do problema: 
N = 24.200,00 
n = 2 meses 
i = 10% a.m. = 0,10 a.m. 
1º) Desconto comercial composto (D) 
Sabemos que é válida a seguinte expressãono desconto comercial 
composto: 
(1 )nA N i= ⋅ − 
224.200 (1 0,10)A = ⋅ − 
224.200 0,90 24.200 0,81A = ⋅ = ⋅ 
 
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19.602,00A = 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é 
a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que 
D = 24.200 – 19.602 
D = 4.598,00 
2º) Desconto racional composto (d) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional 
composto: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
224.200 (1 0,10)A= ⋅ + 
24.200 1,21A= ⋅ 
24.200
20.000,00
1,21
A = =
 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é 
a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que 
d = 24.200,00 – 20.000,00 
d = 4.200,00. 
Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00 
Letra B 
EC 36. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um 
desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu 
vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto 
comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 
b) R$ 620,15 
 
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c) R$ 624,47 
d) R$ 643,32 
e) R$ 672,00 
Resolução 
Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um 
desconto comercial simples e um desconto racional composto. 
Dois regimes: simples e composto. Duas modalidades: 
comercial e racional. 
1º) Desconto Comercial Simples 
Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do 
desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal ! 
Assim, temos que D N i n= ⋅ ⋅ 
672 0,03 4N= ⋅ ⋅ 
672 0,12N= ⋅ 
672 672,00 67.200
5.600
0,12 0,12 12
N = = = =
 
Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma 
operação de juros compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
(1 )n
N
A
i
=
+ 
 
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4
5.600
(1 0,03)
A =
+ 
Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas. 
i) Efetuar o cálculo na base da mão. 
 
4
5.600 5.600
4.975,53
(1 0,03) 1,1255088
A = = =
+ 
 
ii) Utilizando tabelas financeiras. 
 
Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas 
tabelas. 
Uma que fornece os valores de (1+i)n. 
 
 
Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar 
5.600
1,125508
. 
A outra tabela fornecida é a seguinte. 
 
 
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Essa tabela será utilizada na aula sobre Série de Pagamentos e na 
aula sobre Sistemas de Amortização. 
E no presente momento, para que nos serve? 
Para utilizarmos um artifício. 
O artifício serve para calcular os valores de 
( )
1
1
n
i+
. No nosso caso, 
para calcular 4 4
5.600 1
5.600
(1 0,03) (1 0,03)
A = = ⋅
+ + 
Temos a seguinte relação: 
( ) ( 1)
1
1
n i n in
a a
i
¬ − ¬= −
+
 
Os valores de n ia ¬ constam na tabela acima. 
A demonstração desta relação se encontra no final desta aula. 
( 1)4 4
5.600 1
5.600 5.600
(1 ) (1 )
n i n iA a a
i i
¬ − ¬ = = ⋅ = ⋅ − + + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
 
[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
4.975,53A = . 
 
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Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente 
essa questão uma maneira um pouco mais rápida. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma 
operação de juros compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
( 1)
5.600
5.600
(1 ) (1 )
n i n in n
N
A a a
i i
¬ − ¬ = = = ⋅ − + + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
 
[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
4.975,53A = . 
Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um 
número natural por um número com 6 casa decimais para efetuar 
uma subtração e uma multiplicação. 
O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47 
Letra C 
EC 37. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de 
face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu 
 
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vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional 
composto à taxa de desconto de 3% ao mês. 
a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
Resolução 
Valor de face é o mesmo que valor nominal. 
Vejamos a expressão do desconto racional composto: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
(1 )n
N
A
i
=
+ 
( 1)
1
1.000 1.000
(1 )
n i n in
A a a
i
¬ − ¬ = ⋅ = ⋅ − + 
[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
Vejamos a tabela fornecida na prova. 
 
Assim, 
 
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[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
[ ]1.000 2,828611 1,913469A = ⋅ − 
1.000 0,915142A = ⋅ 
915,14A = 
Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86 
Letra B 
EC 38. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado 
dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva � ao ano. Se 
for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é 
igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial 
composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal 
deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
Resolução 
1º) Desconto Racional Composto 
J � [ · �1 � ��� 
J � 25.000 · �1 � ��� 
2º) Desconto Comercial Composto 
[ � J · �1 � ��� 
J � [�1 � ��� 
J � 23.040�1 � ��� 
 
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Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos 
igualar as duas expressões obtidas: 
25.000 · �1 � ��� � 23.040�1 � ��� 
�1 � ��� · �1 � ��� � 23.04025.000 
t�1 � ��� · �1 � ��� � u2.3042.500 
�1 � �� · �1 � �� � 4850 
1 � �� � 0,96 
�� � 0,04 
� � 0,2 
Sabemos que: J � 25.000 · �1 � ��� 
J � 25.000 · �1 � 0,2�� � 36.000 
Letra B 
7.3 Demonstração da fórmula dos valores tabelados 
Queremos mostrar que ( 1)
1
(1 )
n i n i n
a a
i
¬ − ¬− = +
. 
1
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i i
a a
i i i i
−
¬ − ¬ −
+ − + −
− = −
⋅ + ⋅ +
 
Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular 
o m.m.c. dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada 
denominador e multiplicar pelo numerador. Observe que 
1
(1 )
1
(1 )
n
n
i i
i
i i −
⋅ +
= +
⋅ +
 
11
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 )(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
n nn n
n i n i n n n
i i ii i
a a
i i i i i i
−−
¬ − ¬ −
 + − − + − ⋅ ++ − + −  − = − =
⋅ + ⋅ + ⋅ +
 
 
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( 1)
(1 ) 1 (1) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n n n
n i n i n n
i i i i i i
a a
i i i i
¬ − ¬
+ − − + + + + − + − + +
− = =
⋅ + ⋅ +
 
( 1)
(1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i i i i
a a
i i i i
¬ − ¬
+ − + − + +
− = =
⋅ + ⋅ +
 
( 1)
1
(1 )
n i n i n
a a
i
¬ − ¬− = +
 
8 Relação das questões comentadas 
 
EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um 
investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 
50% ao ano, ao final de dois anos é 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 
20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma 
taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, 
em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação 
de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma 
taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação 
de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 
15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi 
igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
 
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EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros 
compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. 
Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que 
indica a resposta correta. 
a) $ 2.691,43 
b) $ 3.691,43 
c) $ 4.691,43 
d) $ 5.691,43 
e) $ 6.691,43 
 
EC 5. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma 
pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa 
de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, 
também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao 
trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. 
O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos 
apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro 
simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa 
aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% 
ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses 
enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros 
simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais 
próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam 
um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 
1,425760) 
 
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a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos 
um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
 
 
EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da 
Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo 
em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 
3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 # 0,48 e 
log 1,03 # 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
EC 10. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as 
evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a 
Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em 
unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se 
refere à taxa de juros utilizada. 
 
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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais 
vantajoso emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a 
unidade de tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade 
de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade 
de tempo. 
EC 11. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção 
linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma 
renda b. Pode-se afirmar que: 
a) * � log� . 
b) * � . 
c) * � . 
d) * � √.0 
e) * . 
EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 
20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao 
ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, 
adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
 
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EC 13. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 
300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela 
convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros 
compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o 
valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o 
seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo 
pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para 
aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu 
as seguintes propostas de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostos de 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 
EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, 
no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 
40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
 
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d) 64,4% 
e) 60,0% 
EC 17. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual 
equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização 
mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
EC 18. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital 
de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com 
capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses 
de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
EC 19. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o 
Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com 
capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o 
Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa 
semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 
unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de 
um ano. Mário,por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto 
ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se 
que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos 
períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por 
Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: 
 
a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. 
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. 
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. 
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. 
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 
 
 
 
 
 
EC 20. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de 
juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
 
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a) 114,70% 
b) 107,55% 
c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em 
um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o 
empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com 
capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento 
pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) R�1,02��S � 1T 
b) U�18 · √1,36VW � 1X 
c) U�18 · √1,24VY � 1X 
d) U�3 · √1,24 � 1X 
e) U�6 · √1,24Z � 1X 
 
EC 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um 
empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 
23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do 
empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
e) 13,20% 
 
EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o 
capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. 
Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de 
inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, 
respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de 
a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
 
 
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EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em 
um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma 
rentabilidade real de: 
a) 20% 
b) 44% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
EC 25. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada 
por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. 
Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação 
medida no mesmo período? 
a) 100% ao período 
b) 200% ao período 
c) 300% ao período 
d) 400% ao período 
e) 500% ao período 
 
EC 26. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 
80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final 
de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se 
totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que 
a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 
5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de 
juros, no período desta aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de 
junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 
1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de 
abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à 
variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, 
referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março 
de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de 
aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e 
cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos 
e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no 
período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a 
que a lei se refere foi de: 
 
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a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
EC 28. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado 
dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do 
desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 
10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 
20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o 
critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 
10% ao ano, o valor atual seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
 
EC 29. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional 
composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 
5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, 
qual o valor mais próximo do valor nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
EC 30. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título 
com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é 
descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de 
desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto 
composto é, então, 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
 
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EC 31. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação 
aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de 
juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é 
dada por: h'(OE�HE � op�; , em que VF é o valor futuro, n é o número de 
períodos e i é a taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de 
desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é 
expressa por 
M � �1 � ��, 
Em que n é o número de períodos. 
 
III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no 
regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto 
comercial, é expressa por: :q � :r s �1 � M��, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
EC 32. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 
840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o 
desconto obtido considerando um desconto racional composto 
de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
EC 33. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é 
descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu 
vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal 
do título considerando que o desconto usado foi o desconto 
racional composto. Despreze os centavos. 
 
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a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
EC 34. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto 
racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu 
vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado 
do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao 
mês. (dado que 1,054 = 1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
EC 35. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 
24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, 
com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o 
valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto 
racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
 
EC 36. (MDIC – 2002 ESAF) Um