GABARITO DA LISTA 04

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
ECONOMIA E FINANÇAS PARA OS CURSOS
 DE ENGENHARIA, QUÍMICA INDUSTRIAL E
 BACHARELADOS INSTERINSTITUCIONAIS
LISTA DE EXERCÍCIOS No 04
MERCADOS
GABARITO
RESOLVER OS SEGUINTES PROBLEMAS SOBRE A FORMAÇÃO DE PREÇOS:
CONCORRÊNCIA PERFEITA
Em uma feira livre, a oferta de determinada verdura altamente perecível é de 1.000 kg, sendo de 100 unidades monetárias (u. m.) o seu preço de equilíbrio. Sabe-se que, se o preço unitário dessa mercadoria for majorado em 50%, a sua demanda será reduzida em igual proporção. Estabelecer a equação de demanda pela referida verdura nessa feira livre, admitindo-a uma curva de primeiro grau. (FCEUCSal - Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada -Análise Microeconômica II – Curso de Férias – Jan 1990 – Prova no 1).
Resp.: p=200-0,10q.
SOLUÇÃO
S=D(q=1000 e pE=100; Para p’=1,5pE, tem-se D(q’=0,5q, isto é, para p’=150, tem-se q’=500. A equação da demanda será uma reta passando pelos pontos E(1000;100) e E’(500;150), conforme ilustra o gráfico da Figura 01. 
Figura 01 – Equilíbrio no prazo de mercado
Portanto D(p=A-Bq satisfará às coordenadas desses pontos, ou seja: 100=A–1000B e150=A–500B, donde A=200 e B=0,10, daí D(p=200–0,10q.
Em um mercado de concorrência perfeita no curtíssimo prazo, o preço de equilíbrio pelo qual é vendido o produto é igual a 84, correspondendo à venda de 32 unidades físicas do estoque. Sabe-se que o mínimo preço pelo qual as firmas aceitam vender o seu produto, que não é perecível, é igual a 20. Pede-se estabelecer a função de oferta nesse mercado admitindo-a linear e sabendo-se que a demanda é dada por p=100-0,5q. (FCEUCSal - Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada -Análise Microeconômica II – Curso de Férias – Jul 1991 – Prova no 1).
Resp.: p=20+2q
SOLUÇÃO
A reta da função de oferta passa pelo ponto de equilíbrio (32;84) e pelo ponto (0;20). Portanto a função p=A+Bq satisfaz a essas coordenadas. Daí: 84=A+(32B) e 20=A+(Bq). Donde A=20 e B=2, ou seja: S( p=20+2q, mostrada no gráfico da Figura 02.
Figura 02 – Função de oferta p=20+2q
Considerando que determinado produto que é negociado no mercado de concorrência perfeita de curtíssimo prazo (período de mercado), tenha sua procura e oferta regidas, respectivamente, pelas seguintes funções q=14-3p e q=8, pede-se achar seu preço e quantidade de equilíbrio. Caso o preço de mercado se reduza à metade do preço de equilíbrio, como passam a se comportar oferta e demanda?
Resp.: Haverá uma escassez na oferta de 3 u.f.
SOLUÇÃO
D=S, donde 8=14-3p, donde pE=2, sendo q*=8. Se pE’=0,5pE, isto é, pE’=1, daí q*’=14-(3x1) isto é, q*’=11, e como a quantidade ofertada é q*=8, então haverá uma escassez na oferta igual a 3. O gráfico da Figura 03 mostra esses elementos.
Figura 03 – Função de oferta p=20+2q e escassez de oferta
Em uma feira livre, a oferta de tomate de determinado dia é de 800 kg, e o preço unitário de equilíbrio de 80 u. m. Caso o preço unitário desse produto fosse acrescido em 50%, a demanda seria reduzida em igual proporção. Estabelecer a equação da demanda por tomate nessa feira.
Resp.: p=160-0,10q.
SOLUÇÃO
S=D (q*=800 e pE=80; Para pE’=1,5pE, tem-se D( q’=0,5q, isto é, para pE’=120, tem-se q*’=400. A equação de demanda será uma reta passando pelos pontos (800;80) e (400;120). Portanto D(p=A–Bq satisfará às coordenadas desses pontos, ou seja: 80=A–800B e 120=A–400B, donde A=160 e B=0,10, daí D(p=160-0,10q.
Figura 04 – Função de demanda p=160+0,10q
A oferta de laranja em uma feira livre é de 2.500 dúzias, e o preço de equilíbrio é de 60 u. m. Caso o preço unitário seja reduzido para 50 u. m. à dúzia, então a demanda crescerá em 30%. Inferir a equação da procura, admitindo-a linear. Caso a oferta fosse de 1.750 dúzias, qual o preço máximo que as pessoas estariam dispostas a pagar pela dúzia de laranja?
Resp.: p=7000-75q; pmáx=70 u.m.
SOLUÇÃO
S=D( q=2500 e pE=60; Para p’=50, tem-se D( q’=1,3q=1,3x2500=3250. A equação de demanda será do tipo p=A–Bq, que deve satisfazer às coordenadas (2500;60) e (3250;50), ou seja: 60=A–2500B e 50=A–3250B, donde A=7000/75 e B=1/75, daí D (p=(7000/75)–(q/75), o que é o mesmo que q=7000–75p. O preço máximo que as pessoas estarão dispostas a pagar será obtido de 1750=7000–75p, donde p=70. Esses elementos constam do gráfico da Figura 05.
Figura 05 – Equação da procura e preço máximo
Considerando-se um produto perecível cuja oferta no prazo de mercado seja igual a 1.000 unidades, calcular o preço de equilíbrio para as seguintes curvas de procura: (i) q=2.000-10p; (ii) q=3.000-10p; e (iii) q=4.000-10p. Para a curva referente ao item (iii), se o preço fosse 100 u. m., haveria escassez ou excedente de oferta? De quanto? Mostre esquematicamente, em diagrama cartesiano de preços contra quantidades.
Resp.: Escassez de oferta de 2000 u.f.
SOLUÇÃO
(i) 1000=2000-10p, donde pE=100; (ii) 1000=3000–10p, donde pE=200; (iii) 1000=4000–10p, donde pE=300. Se pE fosse igual a 100 no caso “iii”, então a demanda seria q*=4000-(10x100)=3000 e, como a oferta é q=1000, então haveria uma escassez de 2000 na oferta. O gráfico da Figura 06 ilustra essa situação.
Figura 06 – Pontos de Equilíbrio E1, E2 e E3.. Escassez
No exercício anterior, considerando o caso (ii), que preço de mercado seria capaz de provocar: (i) um excedente de oferta igual a 200?; (ii) uma escassez na oferta igual a 500?
Resp.: (i) p=220 u.m.; e (ii) 150 u.m.
SOLUÇÃO
(i) Para provocar um excedente de 200 unidades físicas (u.f.) na oferta, a demanda terá que ser igual a 1000–200=800, e o preço capaz de levar a essa situação é obtido a partir de 800=3000–10p, isto é, p=220; (ii) Para provocar uma escassez na oferta igual a 500, a demanda terá que ser igual a 1000+500=1500, e o preço capaz de levar a essa situação é obtido em 1500=3000–10p, isto é, p=150.
Figura 07 – Excesso e escassez de oferta
A função de custo total de curto prazo de uma firma que produz um só produto é CT=0,04q3-0,9q2+10q+5. Pede-se determinar: (i) a função de seu custo variável; (ii) a função de seu custo variável médio; (iii) o seu custo fixo; (iv) a função de seu custo fixo médio; (v) a expressão de seu custo marginal; e (vi) a expressão de seu custo médio; (vii) qual o preço e qual a quantidade de equilíbrio de curto prazo para os quais a firma fica indiferente a continuar ou encerrar atividades? (viii) sendo o preço de “q” igual a 4 u.m., deve a firma ampliar a sua produção ou parar de produzir?
Resp.: (i) Cv=0,04q3-0,9q2+10q+5-5=0,04q3-0,9q2+10q; (ii) CVME=0,04q2-0,9q+10; (iii) CF=5; (iv) CFME=5/q; (v) CMG=0,12q2–1,8q+10; (vi) CME=0,04q2–0,9q+10+5/q; (vii) q*=11,25, e pE=4,9375; (viii) Para o preço p=4, a firma deverá encerrar atividades.
SOLUÇÃO
(i) CV=CT–CF=0,04q3-0,9q2+10q+5-5=0,04q3-0,9q2+10q; (ii) CVME=(1/q)CV=0,04q2-0,9q+10; (iii) CF=5; (iv) CFME=(1/q)CF=5/q; (v) CMG=(d/dq)CT=0,12q2–1,8q+10; (vi) CTME=(1/q)CT=0,04q2–0,9q+10+5/q; (vii) A firma ficará indiferentes a permanecer no mercado ou a abandonar este quando p=CVME, daí: (d/dq)CVME=0, donde 0,08q-0,9=0, donde q*=11,25, e p= CVMEmín=(0,04x11,252)-(0,9x11,25)+10, donde pE=4,9375; (viii) Para o preço p=4, que é menor do que p= CVMEmín=4,9375, a firma deverá encerrar atividades, pois com este preço p=4, nem mesmo os custos variáveis estarão sendo cobertos. O gráfico da Figura 08 ilustra o conjunto de curvas (somente as curvas médias) cujas expressões foram determinadas bem como o nível de preço dado (p=4), indicando que está abaixo do ponto de indiferença da firma entre continuar operando ou encerrar atividades. O ponto de indiferença está indicado no eixo dos preços pela abreviatura pr-lim (preço limite).
Figura 08 – Excesso e escassez de oferta
Determinar o nível de produção em que uma firma maximizará seu lucro, considerando o mercado de concorrência perfeita para o preço de 10 u. m. e a seguinte função de custo de curto prazo: CT=q3-6q2+10q+40. Pede-se ainda determinar:(i) o custo fixo médio da firma na produção de equilíbrio; (ii) a receita total; e (iii) se a firma realiza lucro puro, normal ou sub-normal, e de quanto?
Resp.: A firma maximiza lucro para q*=4; (i) CFME=10; (ii) RT=40; (iii) (=-8, isto é, a firma realiza lucro sub-normal (ou prejuízo relativo).
SOLUÇÃO
Para maximizar lucro: CMG=RMG=p, daí 3q2–12q+10=10, donde q*=4; (i) CFME=(1/q)CF=(1/4)x40=10; (ii) RT=pq=10x4=40; (iii) (=pq–CT=(10x4)-[43-(6x42)+(10x4)+40]=-8, e a firma realiza lucro sub-normal (ou prejuízo relativo). Não chega a ser prejuízo total pois isto ocorreria logo abaixo de CVMEmín, que se dá para o nível de produção “q” que corresponda a p=[3(d/dq) CVME]=0), ou seja, para (d/dq)(q2-6q+10)=0, donde 2q-6=0, donde q=3. Esse nível de produção guarda correspondência com p=1, valor que se obtém entrando-se com q=3 na equação do custo marginal. Como (p=1)<(p=10), o preço praticado está acima do preço da indiferença entre continuar em atividade ou abandonar esta. Por outro lado, como (<0, está havendo prejuízo relativo. O gráfico da Figura 09 ilustra essa situação.
Figura 09 – Lucro sub-normal ou prejuízo relativo ((=-8)
Estabeleça a função de oferta de curto prazo de uma empresa cuja função de custo de curto prazo seja CT=0,06q3-0,8q2+10q+4.
Resp.: A curva de oferta da firma que é uma curva quebrada, correspondendo a q=0 para todo p<7,33 e 0,18q2–1,6q+10=p para todo p>7,33.
SOLUÇÃO
A função de oferta é a função de custo marginal em seu ramo ascendente e para ordenadas acima do CVMEmín. Daí, CMG=(d/dq)CT=0,18q2–1,6q+10. O ponto em que CVME é mínimo é obtido de (d/dq)CVME=0, donde [(d/dq)(0,06q2-0,8q+10)]=0,12q-0,8=0, donde q=6,67, que corresponde a p=7,33. Então, para preços superiores a 7,33, o CMG é maior do que CVMEmín, interessando portanto à empresa ofertar nessa porção. Para preços inferiores a 7,33, a oferta é zero. O gráfico da Figura 10 mostra a curva de oferta da firma que é uma curva quebrada, correspondendo a q=0 para todo p<7,33 e 0,18q2–1,6q+10=p para todo p>7,33. Na igualdade p=7,33, a firma é indiferente entre ofertar e não ofertar seu produto ou serviço.
Figura 10 – Função de oferta da firma
Determinar o nível de produção em que uma firma maximizará seu lucro, considerando que: (i) o preço do produto é igual a 5 u. m.; (ii) a função de custo de curto prazo é CT=q3-10q2+17q+66.
Resp,: q*=6 u.f.
SOKUÇÃO
A maximização de lucro ocorre quando CMG=RMG sendo que, em se tratando de concorrência perfeita RMG=p. Daí (d/dq)CT=3q2-20q+17=5, donde 3q2-20q+12=0, donde q’=6 e q”=2/3 e, desprezando-se a menor raiz, q*=6. O descarte da raiz menor se dá em razão de esta situar-se no ramo descendente da curva de custo marginal. O gráfico da Figura 10 mostra essa situação.
Figura 11 – Maximização do lucro da firma
Uma firma em produção simples se encontra em equilíbrio de curto prazo, sendo a sua receita marginal igual a 15. Sabendo-se que seu custo variável médio se comporta de acordo com a função CVME=q2-10q+40, e que seu custo fixo é igual a 6, pede-se: (i) estabelecer a sua função de custo total; (ii) determinar a produção de equilíbrio; (iii) nessas circunstâncias, a firma desfruta de lucros extraordinários, normais ou sub-normais?; (iv) determinar o custo fixo médio na produção de equilíbrio; e (v) que decisão deverá tomar essa firma se o preço for 12.
Resp.: (i) CT=q3-10q2+40q+6; (ii) q*=5; (iii) q=5, que coincide com a própria produção de equilíbrio, portanto a firma está indiferente entre permanecer no mercado e abandoná-lo. (iv) CFME=6/5; (v) Abandonar o mercado (p=12 é inferior a CVMEmín).
SOLUÇÃO
(i) CT=CV+CF=(CVMExq)+CF=[q2–10q+40)q]+6, donde CT=q3-10q2+40q+6; (ii) A produção de equilíbrio é aquela para qual a firma maximiza lucro, isto é CMG=RMG, sendo RMG=p em concorrência perfeita, daí: (d/dq)CT=3q2-20q+40=15, donde 3q2-20q+25=0, donde q’=5 e q”=5/3, e descartando-se a menor raiz, q*=5 (vide comentário no exercício 11); (iii) O limite inferior dos lucros sub-normais é correspondente a CVMEmín, que se obtém para (d/dq)CVME=0, donde 2q–10=0 ( q=5, que coincide com a própria produção de equilíbrio, portanto a firma está indiferente entre permanecer no mercado e abandoná-lo. Ela realiza lucros sub-normais, em seu limite inferior; (iv) CFME=(1/q)CF=1/5x6=6/5; (v) Abandonar o mercado, ou seja, encerrar atividades, uma vez que p=12 é inferior a CVMEmín. O gráfico da Figura 12 ilustra a situação estudada.
Figura 12 – Maximização do lucro da firma
A função de custo de curto prazo de uma firma em um mercado de concorrência perfeita é CT=0,1q3-2q2+15q+10. Determine a função de oferta dessa firma e a função de oferta agregada da indústria, supondo-a constituída de 300 firmas. Qual o comportamento da firma quando o preço estabelecido pelo mercado for p=5 u.m.? Qual a oferta agregada para o preço p=20 u.m.? (FCEUCSal - Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada - Análise Microeconômica II – 2o Semestre – 1991 – Prova no 1).
Resp.: A firma é indiferente entre continuar operando ou encerrar atividades; Qo=4.345,21.
SOLUÇÃO
A função de oferta da firma é dada por seu custo marginal para níveis de preços acima do CVMEmín. Daí, CMG=(d/dq)CT=0,3q2-4q+15 e o custo variável médio mínimo é obtido mediante a condição de primeira ordem seguinte (d/dq)CVME=0, donde, tomando a expressão do CVME=(1/q)(CT-CF)=0,1q2-2q+15, donde (d/dq)CVME=0,2q-2=0, donde q=10, o que corresponde a CVMEmín=(0,1x102)-(2x10)+15, donde CVMEmín=5. A função de oferta será 0,3q2-4q+15=p para p≥5 e q=0 para p<5. Quando o preço for p=5, a firma é indiferente entre continuar operando ou encerrar atividades. Na função de oferta acima apresentada, a firma opera para p=5, ainda que para ela seja indiferente atuar ou sair do mercado. A oferta agregada é dada por Q=300q, sendo q={4+[42-4x0,3(15-p)]1/2}/2x0,3 (expressão resolutiva em “q” da equação do segundo grau descartando-se a raiz menor). Entrando-se com p=20 nessa expressão, ter-se-á a oferta agregada para este nível de preço, isto é Qo=300{4+[42-4x0,3(15-20)]1/2}/2x0,3, donde Qo=4.345,21. Os diagramas da Figura 13 mostram os elementos ora calculados.
Figura 13 – Oferta da firma típica e oferta agregada
Um produto homogêneo é vendido em mercado de concorrência perfeita cujas funções de oferta e procura são, respectivamente, q=A+4p e q=1.208-p. A firma típica desse mercado tem a seguinte função de custo de curto prazo: CT=0,02q3-0,4q2+10q+20. Considerando que a referida firma esteja indiferente entre permanecer atuando no mercado e abandonar este, determine: (i) preço e produção de equilíbrio da firma; (ii) lucro da firma; e (iii) o número de firmas atuando no mercado. (FCEUCSal - Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada -Análise Microeconômica II – Curso de Férias – Jan 1992 – Prova no 1).
Resp.: (i) pE=8 u.m. e q*=10 u.f.; (ii) (=-20 u.m.; (iii) n=120 firmas.
SOLUÇÃO
(i) A firma fica indiferente entre permanecer no mercado ou deixar este quando p= CVMEmin. Ora, CVME=(1/q)CV=(1/q)(CT-CF), donde CVME=0,02q2-0,4q+10. A condição de primeira ordem para um mínimo é (d/dq)(CVME)=0, donde 0,04q-0,4=0 donde q*=10 e pE=CVMEmin=(0,02x102)–(0,4x10)+10 ( pE=8; (ii) O lucro (=pq–CT=(8x10)–[(0,02x103)–(0,4x102)+(10x10)+20] ( (=-20; c) Nº de firmas: n=Q/q; Q=1208-8 ( Q=1200 ( n=1200/10 ( n=120 firmas. Os dois diagramas da Figura 14 ilustram esses elementos.
Figura 14 – Nível de preço de indiferença e funções de oferta, da firma e agregada
Estabelecer a expressão da dimensão ideal de uma firma cuja função de custo de longo prazo é dada por CT=0,05q3-0,8q2+(10-K)q+6K2. Para o preço unitário de seu único produto de p=289/30, qual o nível de produção que a firma adotará. Em que nível de preço o mercado estabilizar-se-á no longo prazo e qual a produção da firma para este preço estabilizado.
Resp.: Dimensão ideal: K=q/12; q*=11 u.f. (tamanho da firma K=11/12); no equilíbrio de longo prazo: q*=8,42 u.f. (tamanho da firma: K=8,42/12) e pE=CMEmín=6,455.
SOLUÇÃO
Na perspectiva de longoprazo, a firma adotará um valor para K tal que (d/dK)CT=0 ( -q+12K=0 ( K=q/12. Substituindo-se K por esse valor na expressão do custo total, tem-se: CT=0,05q3–0,842q2+10q. E a produção que corresponderá ao preço p=289/30 será obtida por CMG=p, donde 0,15q2–1,684q+10=289/30, donde 4,5q2-50,52q+11=0, donde q=11 e o tamanho da firma será representado por K=11/12. Entretanto, o preço p=289/30 tende a reduzir-se com a entrada de novos concorrentes e/ou a expansão da produção das firmas já atuantes no mercado. Essa redução tenderá para um nível mínimo que é o ponto de custo mínimo da curva de longo prazo (curva envelope). Esse ponto de mínimo corresponde ao CMEmín, cuja conduta de cálculo parte de (d/dq)CME=0 como condição de primeira ordem. Dessa maneira, tem-se, de CT=0,05q3–0,842q2+10q, determina-se CME=(1/q)CT=0,05q2-0,842q+10, donde (d/dq)CME=0,10q-0,842=0, donde q*=8,42, correspondendo a CME=(0,05x8,422)-(0,842x8,42)+10, donde CME=6,455 e K=8,42/12. O gráfico da Figura 15 mostra a curva envelope e as curvas de custo médio de longo prazo para os tamanhos K=11/12 e K=8,42/12. Com os dados do problema, não é possível calcular o número de firmas tampouco a produção transacionada no mercado (“Q1,2”) correspondentes a po=289/30 e a p1=6,455). Os diagramas da Figura 15 ilustram os elementos do problema.
Figura 15 – Equilíbrio no longo prazo
MONOPÓLIO
Dada a função de receita total Rt=60q-0,2q2 de um monopolista, e considerando que este disponha de um estoque de 200 unidades de seu produto para vendê-lo no prazo de mercado, pede-se: (i) as funções de receita marginal e receita média; e (ii) a quantidade que ele deve vender de seu produto e a que preço a fim de maximizar a receita total.
Resp.: (i) RMG=60-0,4q; (ii) q*=150; (iii) pE=30.
SOLUÇÃO
Rmg = d/dq RT = 60 – 0,4q; Rme = RT/q = 60 - 0,2q; o ponto em que Rmg = 0 é notável, portanto: 60 – 0,4q = 0, donde q = 150. Como o estoque é 200, então o monopolista só venderá 150 e o preço será obtido entrando-se com esta quantidade na equação de Rme. Daí p = Rme = 60 - (0,2 x 150), donde p=30.
Dada a função de receita total de uma firma monopolista Rt=-0,05q2+30q, pede-se estabelecer: (i) que produção poderá ser vendida ao preço po=20, no período de mercado? e (ii) a que preço poderá firma vender no período de curtíssimo prazo o seu estoque de 350 unidades?
Resp.: (i) q*=200; e (ii) pE=15.
SOLUÇÃO
Rme=-0,05q + 30. Agora, para Rmg = 0, tem-se q = 300. Para o preço p=20, a equação de Rme leva a 20 = -0,05q + 30, donde q = 200. Como a quantidade a ser vendida ao preço p = 20 é menor do que 300, então o monopolista venderá tal quantidade (q = 200). Caso o monopolista tenha um estoque de 350, ele somente venderá 300 unidades ao preço “p” obtido em p = Rme = (-0,05 x 300) + 30 = 15.
A curva de demanda (função linear) pelo produto de um monopolista intercepta o eixo de preços em p=40. Caso essa firma tivesse imensas quantidades estocadas de seu único produto, ela não deveria vender, no prazo de mercado, mais de 200 unidades. Pede-se estabelecer: (i) a que preço o monopolista deveria vender, no curtíssimo prazo, o seu estoque se este fosse igual, respectivamente, a 100 e 300 unidades? (ii) que quantidade deve o mesmo vender do produto ao preço po=28? e (iii) a função de receita total da firma.
Resp.: (i) pE=30 e pE=20; (ii) 120; e (iii) p=40q-0,10q2.
SOLUÇÃO
Os dados do problema indicam que, para Rmg = 0, tem-se q = 200. Então, para vender 100 unidades, o preço será obtido fazendo-se q = 100 na equação de Rme. A Rme é uma reta que passa pelos pontos de coordenadas (400;0)e (0;40), ou seja, Rme = 40 - 0,10q. Daí o preço para q = 100 será p = Rme = 40 - (0,10 x 100) ( p = 30. Caso o estoque do monopolista seja q = 300, então ele venderá q = 200 ao preço p = Rme = 40 - (0,10 x 200), isto é, p = 20. Para praticar o preço p = 28, a quantidade seria obtida entrando-se na equação de Rme com Rme = p = 28, donde 28 = 40 - 0,10q ( q = 120, que é menor do que 200. A função de receita total da firma será RT = q. Rme ( RT = 40q – 0,10q2.
A função de demanda de um monopolista é p=1000-10q, e este dispõe de 70 unidades de seu único produto. Que receita máxima pode o mesmo realizar com esse estoque? (FCEUCSal-Depto I-Análise Microeconômica II – 2o Sem – 1991 – Prova no1)
Resp.: RTmáx=25.000
SOLUÇÃO
De p = Rme = 1000 – 10q, tem-se RT = p.q = 1000 q – 10q2, donde Rmg = d/dq RT = 1000 – 20q, e para Rmg = 0, tem-se q = 50 que é menor do que 70. O monopolista venderá somente 50, ao preço p = Rme = 1000 - (10 x 50) ( p = 500 e a RT (que será máxima) será RT p.q = 500 x 50 = 25000
Uma firma monopolista tem as seguintes funções de curto prazo: Ct=0,20q2+20q, e Rt=-0,04q2+68q. Calcular a sua produção e o preço que leva a mesma a maximizar o lucro. Determinar ainda o lucro puro total.
Resp.: q*=100; pE=64; e π=2.300.
SOLUÇÃO
Cond. de 1ª ordem: Cmg = Rmg, donde 0,40 q + 20 = -0,08q + 68, donde q* = 100 (Deixa-se de verificar-se a cond. de 2ª ordem). O preço será obtido entrando-se com o valor obtido para q*, na eq. de Rme. Rme = RT/q = -0,04q +68, donde p =(-0,04 x 100) + 68, daí pE =64. O lucro será ( = p.q – CT = (64 x 100) – [(0,20 x 1002)+(20 x 100) + 100], donde ( = 2300.
Sabendo-se que a curva de demanda de uma firma monopolista intercepta os eixos nos pontos p=150 e q=75, e que seu custo total é dado pela função Ct=q2, pede-se determinar o preço máximo que essa firma deve estabelecer para seu único produto, de sorte que possa aumentar a sua produção em 10 unidades. E neste caso, o que ocorreria com seu lucro?
Resp.: pmáx=80; O lucro se reduz de 300.
SOLUÇÃO
A curva de demanda (que é a própria curva de Rme) satisfaz aos pontos (0;150) e (75;0). Sua equação será, portanto: Rme = 150 - 2q, donde RT = 150q - 2q2, donde Rmg = 150 – 4q. A condição de equilíbrio é Cmg = Rmg, donde 2q = 150 - 4q, daí q* = 25 e pE = Rme = 150 – (2 x 25) ( pE = 100. Para aumentar a produção em dez unidades, ele deverá vender q = 35 (para Rmg = 0, tem-se q = 37,5 que é a quantidade máxima que ele pode vender, uma vez que, acima desta quantidade tem-se Rmg<0). Ele venderá 35 u.f. ao preço p = Rme = 150 - (2 x 35) = 80. O lucro para q = 25 é (1= (100 x 25) – 252 = 1875; e o lucro para q = 35 é ( = (80 x 35) – 35 = 1575. Assim, o lucro reduzir-se-á de (1875 - 1575) = 300. 
Um monopolista tem as seguintes funções de custo total e receita total, ambas de longo prazo: Ct=0,01q2+12q e Rt=-0,04q2+22q. Pede-se: (i) determinar suas funções de Cméd, Cmg, Rméd e Rmg; (ii) a produção em que a firma maximixa lucros e o correspondente preço de seu produto; e (iii) em que níveis de produção a firma maximizará o lucro se desejar limitar o preço do produto em po=15 e p1=16, respectivamente.
Resp.: (i) CME=0,01q+12; CMG=0,02q+12; RME=-0,04Q+22; e RMG=-0,08q+22; (ii) q*=100 e pE=18; (iii) q(15)= q(16)=150.
SOLUÇÃO
Cme = CT/q = 0,01q+12; Cmg = d/dq CT = 0,02q + 12; Rméd = 1/q RT = -0,04q + 22 e Rmg = d/dq RT = -0,08q + 22. ( máx ocorre para Cmg = Rmg, donde 0,02 q + 12 = -0,08q + 22, daí q* = 100 (Rmg = 0 ocorre para q = 275 > q* = 100). O preço de equilíbrio será pE = Rme = (-0,04 x 100) + 22, ou seja p=18. Para limitar o preço em p = 15 (nova Rmg = 15), compara-se a abcissa de interseção de Rmg = 15 com Cmg e com Rme: tem-se assim [Rmg = 15] ( Rme, leva a q2 = 175. Como q1 < q2, então Cmg intercepta Rmg = 15 em q1 = 150, que será a produção para o preço p = 15. Para limitar o preço em p = 16 (nova Rmg = 16), repete-se a comparação feita para Rmg = 15. Assim, tem-se [Rmg = 16] ( Cmg, leva a q1’ = 200 e [Rmg =16] ( Rme, conduz a q2’ = 150. Como q1’ > q2’, então curva de Cmg passa pela descontinuidade da curva de [Rmg=16] cuja abcissa correspondente é a própria q2’=150. Obs.: Desenhe o diagrama, observe este fato e procure familiarizar-se com o diagrama. Por fim observa-se que o monopolista venderá q = 150, quer ele limite o preço em p = 15, que ele limite o preço em p = 16.
Um monopolista tem a seguinte função de custo total de curto prazo:Ct=0,8q2+12, e com um mercado cuja função de procura é dada por: p=180-0,2q. Determine preço e produção de equilíbrio, bem como o lucro desse monopolista. Caso ele resolva reduzir o seu preço para Po=161, visando afastar possíveis concorrentes no longo prazo, qual será a sua receita? E o seu lucro? (FCEUCSal-Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada -Análise Microeconômica II – Curso de Férias – Jan 1992 – Prova Final).
Resp.: pE=162; q*=90; π=8.088; RT=16.200,625; e π’=8.088,3125.
SOLUÇÃO
Cmg = Rmg, donde 1,6q = 180 - 0,4q, daí q* = 90 (Para Rmg = 0 tem-se q = 450 > 90). O preço será p =180 – (0,2 x 90) ( p = 162 e ( = pq – CT = (162 x 90) - [(0,8 x 902) +12] = 8088. Quando o monopolista resolve limitar preço, as seguintes verificações devem ser feitas: Sendo a nova Rmg = 161, então [Rmg = 161] ( Cmg, leva a q1 = 100,625 e [Rmg = 161] ( Rme, leva a q2 = 95. Como q1 > q2, então a produção a ser escoada será q1 = 100,625. E neste caso a sua receita será: RT = p.q = 161 x 100,625 = 16.200,625; o lucro ( será igual a RT – CT = 16.200,625 - [(0,8 x 100,6252) +12] = 8.088,3125.
Um monopolista defronta-se com a seguinte procura por seu único produto: p=100-4q. Sabendo-se que ele produz com um custo marginal constante e igual a 20, e que o custo fixo de sua planta é igual a 50, pede-se estudar o equilíbrio no curto prazo, determinando preço, produção e lucro.
Resp.: pE=60; q*=10; e π=350.
SOLUÇÃO
De p = 100 – 4q, tem-se RT = pq = 100 q – 4q2, donde Rmg = d/dq RT = 100 – 8q. O equilíbrio dá-se para Rmg = Cmg. Daí: 100 – 8q = 20, donde q* = 10. O preço de equilíbrio será pE = 100 – (4x10)=60, e o lucro ( será igual a (RT-CT), sendo RT = p.q = 60x10 = 600, e CT = (20=20q+C, sendo a constante de integração igual ao custo fixo, isto é, C= 50. Portanto (( = 600 – [(20x10)+50], ou seja, (=350. 
Um monopolista tem a seguinte função de custo semanal de curto prazo: Ct=0,1q3-6q2+140q+3.000, em que o custo total é dado em unidades monetárias (u. m.) e a produção em toneladas do produto por semana. Para maximizar lucros, ele verificou que deve vender 40 toneladas por semana, produção com a qual auferirá lucro puro igual a 1000 u. m. (i) calcule o preço pelo qual o produto deverá ser vendido; (ii) calcule a elasticidade-preço da curva de demanda no ponto de equilíbrio; (iii) estabeleça a função de demanda, admitindo que esta seja uma linha reta; e (iv) se a firma dispuser de um estoque do produto final igual a 200 unidades e desejar escoá-lo no curtíssimo prazo, qual o preço pelo qual deverá vender esse estoque e qual a sua receita com a venda do mesmo?
Resp.: pE=160; (ii) εd=-8; (iii) p=180-0,5q; e (iv) p=90 e RT=16.200.
SOLUÇÃO
No equilíbrio tem-se Rmg = Cmg, sendo Cmg = 0,3q2-12q+140. Como o equilíbrio ocorre para q = 40, então Cmg = (0,3x402)-(12x40)+140=140=Rmg. Todavia, Rmg = p[1 - 1/ε]. O lucro ( = 1000 (dado) é igual a: RT-CT=(px40)-[(0,1x403)-(6x402)+(140x40)+3000], donde [(40xp)-5400] = 1000 ( p =160. Daí tem-se 140=160(1 - 1/ε), donde ε =-8. A equação da procura será da forma q = A – Bp, que deve satisfazer às coordenadas do ponto (40;160), donde 40 = A – 160B, e mais: como ε = dq / dp . p/q = 8, então, -B x 160 / 40 = -8, donde B = 2 , daí 40 = A – (160 x 2) ( A = 360, donde finalmente q = 360 – 2p, ou p = 180 – 0,5q. Para um estoque de q = 200 (com Rmg = 0, tem-se q = 180, pois Rmg = 180 – q ) o monopolista só venderá q = 180, ao preço p = 180 – (0,5 x 180) = 90. E a receita total será RT = p. q = 90 x 180 = 16.200.
A função de produção e os custos dos fatores de uma firma monopolista são tais que o custo médio de produção é igual a 5 u. m., qualquer que seja o nível de sua produção. O produto dessa firma é vendido em dois distintos mercados nos quais há a possibilidade da discriminação de preços. As curvas de demanda desses dois mercados são dadas pelas equações seguintes: q1=55-p1 e q2=70-2p2. Considerando que o monopolista maximiza o seu lucro puro total, pede-se calcular: (i) a produção total; (ii) a quantidade vendida em cada mercado; (iii) o preço praticado em cada mercado; e (iv) o lucro total do monopolista.
Resp.: (i) q*=55 u.f.; (ii) q1*=25,00 u.f. e q2*=30 u.f.; (iii) pE1=30 u.m./u.f. e pE2=20 u.m./u.f..; e (iv) Lucro discriminando preço: πd=1.075 u.m.
SOLUÇÃO
De Cme = 5, tem-se CT = 5q, donde Cmg = 5. De q1= 55 – p1, tem-se p1=55-q1, donde RT1 = p1q1 = 55q1 – q12, daí Rmg = d/dq RT = 55 – 2q1. Analogamente, de q2 = 70 – 2p2 chegar-se-á a Rmg2 = 35 – q2. Na discriminação de preços tem-se Rmg1 = Rmg2 = Cmg, donde 55 – 2q1 = 5 e 35 – q2 = 5, donde obtém-se q1*=25 e q2* = 30, e a produção total será q* = q1* + q2* = 55. Os preços serão p1 = 55 – 25 = 30 e p2 = 35 – (0,5 x 30) = 20. O lucro total do monopolista será ( = RT1 +RT2 -CT = (30 x 25)+(20 x 30)-(5 x 55), donde ( = 1075.
Um monopolista tem a seguinte função de custo semanal de curto prazo: Ct=0,1q3-5q2+150q+2.800, em que o custo total é dado em unidades monetárias (u. m.) e a produção em toneladas do produto por semanal. O lucro puro auferido mediante a venda dessa produção é de 1.000 u.m. (i) calcule o preço pelo qual o produto deverá ser vendido; (ii) calcule a elasticidade-preço da curva de demanda no ponto de equilíbrio; (iii) estabeleça a equação da demanda, admitindo que esta seja uma linha reta; e (iv) se a firma dispuser de um estoque pronto igual a 300 unidades e desejar escoá-lo no curtíssimo prazo, qual o preço pelo qual deverá vender esse estoque e qual a sua receita com a venda do mesmo? (FCEUCSal-Depto de Teoria Econômica e Economia Aplicada -Análise Microeconômica II – Curso de Férias – Jul 1991 – Prova Final).
Resp.: pE=226; (ii) εd=-1,299; (iii) p=400-3,48q; e (iv) p=200 e RT=11.494.
SOLUÇÃO
No equilíbrio tem-se Rmg = Cmg, sendo Cmg = 0,3q2 – 10q +150. Como o equilíbrio ocorre para q = 50, então Cmg = (0,3 x 502) -(10 x 50) +150 = 400 = Rmg. Todavia Rmg = p[1- 1/ε], sendo ε a elasticidade-preço da demanda pelo produto sob monopólio. Daí 400 = p[1 - 1/ε]. O lucro ( = 1000 (dado) é igual a: RT – CT = (p x 50) - [(0,1 x 503) -(5 x 502) +(150 x 50) +2800], donde 50p -10.300 = 1000( p = 226. Daí tem-se 400 = 226(1- 1/ε), donde ε = 1,29885. A equação da procura será da forma q = A – Bp, que deve satisfazer às coordenadas do ponto (50;226), donde 50 = A - 226B, e mais: como ε = dq/dp . p/q = 1,29885, então: - B x 226 / 50 = - 1,29885, donde B = 0,28736, daí 50= A – (226x 0,28736) ( A = 114,9425, donde finalmente q = 114,9425-0,28736p, ou p=400-3,48q. Para o estoque de q = 300(com Rmg=0, tem-se q = 57,47, dado que Rmg = 400 – 6,96q), o monopolista venderá apenas q = 57,47, ao preço p = 400 – (3,48 x 57,47) = 200. E a receita total será igual a RT = pq = 200 x 57,47 ( RT = 11.494.
Determinada firma que opera em regime de monopólio é capaz de separar os seus consumidores em dois mercados distintos, cujas funções de demanda são, respectivamente,: p1=80-5q1 e p2=180-20q2. Sabendo-se que sua função de custo total de curto prazo é dada por Ct=50+20(q1+q2), calcule: (i) preço e produção de cada mercado; (ii) lucro total do monopólio; (iii) elasticidades preço da demanda em cada um dos dois mercados.
Resp.: q*1=6; q*2=4; pE1=50; pE2=100; π=450; ε1=1,67; ε2=1,25.
OLIGOPÓLIO
As firmas de um duopólio homogêneo praticam o comportamento previsto na solução clássica de Cournot. As funções de custo total de curto prazo são CT1=0,1q12+20q1+100.000 e CT2=0,4q22+32q2+20.000. As duas firmas fabricam um produto homogêneo cuja função de demanda é q=4.000-10p. Considerando que o equilíbrio de Cournot é alcançado, pede-se determinar: (i) a produção de equilíbrio de cada firma; (ii) o preço de equilíbrio; (iii) o lucro puro de cada firma; e (iv) a representação gráfica das equações de reação indicando o ponto de equilíbrio de Cournot.
Resp: (i) q1=880 u.f. e q2=280 u.f; (ii) p=284 u.m.; (iii) π1=54.880 u.m. e π2=19.200 u.m.; e (iv) vide gráfico na folha de soluções.
SOLUÇÃO
A função de demanda pode ser escrita do modo seguinte: q1+q2=4000-10p, donde p=400-0,1(q1+q2).Os lucros dos duopolistas são dados por π1=pq1-CT1 e π2=pq2-CT2, donde π1=[400-0,1(q1+q2)]q1-0,1q12-20q1-100.000 e π2=[400-0,1(q1+q2)]q2-0,4q22-32q2-20.000, donde π1=380q1-0,2q12-0,1q1q2-100.000 e π2=368q2-0,5q22-0,1q1q2-20.000. As condições de primeira ordem para o equilíbrio dos duopolistas implicam: ∂π1/dq1=0 e ∂π2/dq2=0, donde π1=380-0,4q1-0,1q2=0 e 368-q2-0,1q1=0, donde determinam-se as equações de reação dos duopolistas: q1=950-0,25q2 e q2=368-0,1q1. A solução do sistema formado pelas equações de reação conduzem ao ponto de equilíbrio de Cournot e responde à primeira indagação do problema: (i) a solução do sistema formado pelas equações de reação pode ser encontrada, por exemplo, pelo método de substituição, entrando-se com a expressão explícita em relação a “q2” na curva de reação do duopolista I, como se segue: q1=950-0,25(368-0,1q1), donde q1=880 u.f.; levando-se esse resultado á curva de reação do duopolista II, tem-se: q2=368-(0,1x880), donde q2=280 u.f.; (ii) o preço de equilíbrio é encontrado por meio da função de demanda indireta p=400-0,1(q1+q2), substituindo-se os valores de q1 e q2, isto é: p=400-0,1(880+280), donde p=284 u.m.; (iii) os lucros são obtidos entrando-se com as quantidades produzidas em alguma das expressões do lucro de cada duopolista anteriormente estabelecidas, preferencialmente nas expressões que se apresentem mais simplificadas. Desse modo: π1=(380x880)-(0,2x8802)-(0,1x880x280)-100.000 e π2=(368x280)-(0,5x2802)-(0,10x280x880)-20.000, donde π1=54.880 e π2=19.200; o gráfico que ilustra as curvas reativas e o ponto de equilíbrio é apresentado na Figura XXX.
Figura XXX – Curvas de Reação e Equilíbrio de Cournot
Dois duopolistas fabricam um produto homogêneo. Suas respectivas funções de custo de longo prazo são: CT1=4q1 e CT2=0,4q22. A demanda do mercado é dada por p=90-0,4(q1+q2). Desenvolva esse duopólio de acordo com o desfecho de Stackelberg.
Resp.: Ambos pretendem liderar: o duopolista I com π1= 3.360,10 e o duopolista II com π2=920,18.
SOLUÇÃO
(1=[90-0,4(q1+q2)]q1-4q1
(2=[90-0,4(q1+q2)]q1-0,4q22
Donde:
(1=86q1-0,4q12-0,4q1q2				(I)
(2=90q2-0,4q1q2-0,8q22				(II)
As condições de primeira ordem são:
∂(1/∂q1=0 e ∂(2/∂q2=0
Donde:
q1=(86-0,4q2)/0,8 e q2=(90-0,4q1)/1,6 (equações de reação)
Para o desfecho de Stackelberg, simulam-se duas hipóteses:
Hip. I: O duopolista I é líder e o duopolista II é seguidor (ou satélite)
Toma-se a expressão do lucro do duopolista I [equação (I) acima] e substitui-se q2 pela equação de reação do duopolista II uma vez que este é seguidor. Como a expressão do lucro ficará em função apenas de q1, variável sobre a qual o duopolista I tem pleno controle, então desenvolve-se o cálculo relativo à sua conduta de otimização (maximização de seu lucro). Daí, (1=86q1-0,4q12-0,4q1[(90-0,4q1)/1,6], donde ∂(1/∂q1=0, donde q1*=105,83, donde q2*=29,79 (calculado entrando-se com o valor de q1* na equação de reação do duopolista II). O preço será igual a p=90-0,4(105,83+29,79), donde pE=35,75; e o lucro de cada duopolista será (1=(35,75x105,83)-(4x105,83), donde (1=3360,10 e (2=(35,75x29,79)-(0,4x29,792), donde (2=710,01. Passa-se, a seguir, à Hipótese II.
Hip. II: O duopolista II é líder e o duopolista I é seguidor (ou satélite)
Toma-se a expressão do lucro do duopolista II [equação (II) acima] e substitui-se q1 pela equação de reação do duopolista I uma vez que este é seguidor. Como a expressão do lucro ficará em função apenas de q2, variável sobre a qual o duopolista II tem pleno domínio, então desenvolve-se o cálculo relativo à sua conduta de otimização (maximização de seu lucro). Daí, (2=90q2-0,4[(86-0,4q2)/0,8]q2-0,8q22, donde ∂(2/∂q2=0, donde q2*=39,17 donde q1*=87,92 (calculado entrando-se com o valor de q2* na equação de reação do duopolista I). O preço será igual a p=90-0,4(87,92+39,17), donde pE=39,16; e o lucro de cada duopolista será (1=(39,16x87,92)-(4x87,92), donde (1=3091,27 e (2=(39,16x39,17)-(0,4x39,172), donde (2=920,18.
Comparando-se os resultados, percebe-se que ambos os duopolistas pretendem liderar. Disso poderá resultar um acordo entre os dois, ou uma supremacia do maior (o de maior ordem de grande lucro), ou a disputa por meio de uma guerra de preços, ou via a propaganda.
A função de demanda pelo produto de um duopólio homogêneo é p=100-0,5(q1+q2) e as funções de custo dos duopolistas são CT1=5q1 e CT1=0,5q22. Estude o desfecho desse duopólio pela solução d. coalisão.
Resp.: pE=52,50; q1*=90; q2*=5; π=4.525.
CONCORRÊNCIA MONOPOLÍSTICA
Em um mercado de concorrência monopolística cuja estrutura de oferta é constituída de 100 firmas, a função de demanda é p=81-0,0025q. Sabendo-se que a firma típica está praticando, no momento inicial, o preço de 60, pede-se determinar a equação da função de demanda relevante quando a firma reduz o seu preço e é acompanhada, nesta atitude, pelas demais concorrentes. Que produção passará a ser realizada pela firma típica caso esta reduza o seu preço para 40?
Resp.: q=8.480.
SOLUÇÃO
A equação da demanda proporcional é da forma p=A-(0,0025x100)q, e as coordenadas do ponto (8400;60) devem satisfazê-la, daí 60=A-(0,0025x100)x8400, donde A=2160. O novo par de valores (preço e quantidade) também deve satisfazer à equação de demanda proporcional, portanto 40=2160–(0,0025x100)xq, donde q=8480. A equação de demanda proporcional será, pois, p=2160-0,25q, e a produção para p=40 será q=8480.
A função de procura de um mercado de concorrência monopolística é dada pela equação p=100-0,004q. Estabelecer a equação de demanda proporcional, sabendo-se que, inicialmente, a firma típica pratica o preço de 84 e que existem 30 firmas nesse mercado.
Resp.: p=564-0,12q.
SOLUÇÃO
A equação de demanda proporcional será da forma p=A-(0,004x30)q, e deverá ser satisfeita pelas coordenadas (4000;84). Daí 84=A-(0,004x30)x4000, donde A=564, a e a equação de demanda proporcional será p=564-0,12q.
A demanda em um mercado de concorrência monopolística é dada pela função q=6.000-150p, e o preço inicialmente praticado nesse mercado é igual a 20. Determine a equação de demanda proporcional, considerando a existência de 15 firmas ofertantes.
Resp.: p=320-0,10q.
SOLUÇÃO
A equação da demanda de mercado dada, pode ser escrita sob a forma p=40-[(1/150)xq), e a equação da demanda proporcional será da forma p=A-[(15/150)xq]. A produção correspondente ao preço p0=20 é igual a q=6000–(150 x 20)=3000; então as coordenadas(3000;20) devem satisfazer também à equação da demanda proporcional, daí: 20=A-[(15/150)x3000], donde A=320, e a equação da demanda proporcional será p=320-0,10q.
A equação representativa da função de demanda relevante (proporcional) para a firma típica em um mercado de concorrência monopolística é q=800-10p. Estabeleça a equação de demanda desse mercado que é composto de 50 firmas, sabendo-se que o preço praticado inicialmente é de 50. Determine também a produção da firma típica, considerando o preço praticado.
Resp.: p=1.550-5q; e q=300.
SOLUÇÃO
A equação da demanda proporcional pode ser re-escrita da forma seguinte: p=80-0,10q. Com base nessa equação e no número de firmas (n=50), pode-se estabelecer a equação da demanda percebida cuja expressão é p=A-[(0,10x50)q]. Entrando-se com p0=50 na equação da demanda proporcional, obtém-se q=[(80-50)/0,10]=300, e as coordenadas(300;50) devem satisfazer à equação da demanda percebida, donde: 50=A-[(0,10x50) x 300], daí A =1550, e a equação da demanda de mercado será p=1550–5q. A produção para p=50 será q=300. 
A demanda de um mercado de concorrência monopolística é q=12.000-100p, e a demanda proporcional com a qual a firma típica se defronta é dada por p=200-0,05q. Pede-se calcular: (i) o número de firmas desse mercado; (ii) o preço praticado inicialmente nesse mercado; (iii) a produção da firma típica nessa condição inicial.
Resp.: (i) 5 firmas; (ii) po=100; e (iii) qo=2.000.
SOLUÇÃO
A equação de demanda do mercado pode ser escrita sob a forma p=120-0,01q. Sendo aequação da demanda proporcional dada por p=200-0,05q, então o nº de firmas presente no mercado será obtido por (0,05/0,01) = 5 firmas. O preço praticado inicialmente será obtido pela interseção dos dois tipos de demanda, donde 120-0,01q=200-0,05q, resultando q0=2000 e p0=100.
Estudando-se a situação de um mercado de concorrência monopolística, foram observados os seguintes dados: (i) a estrutura de oferta é composta de 8 firmas e a função de demanda é representada por p=40-0,0125q; (ii) no momento em que a avaliação foi feita, o preço praticado era de 39,60; e (iii) a firma típica tem a seguinte função de custo total de curto prazo: CT=0,5q2+1,05q+4. Determine o preço e a produção de equilíbrio da firma típica, bem como o seu lucro.
Resp.: pE=39,50; q*=37,53; e π=717,89.
SOLUÇÃO
O equilíbrio ocorrerá quando a interseção entre a demanda proporcional (D) e a demanda percebida (dn) der-se no mesmo nível de produção (q*) da interseção entre Cmg e Rmgn, sendo Rmgn a receita marginal correspondente s dn. A equação de D é da forma: p= A – (0,0125x8)q e deve ser satisfeita pelas coordenadas do ponto correspondente a p0 = 39,60( q0 é obtida entrando-se com o valor de p0 em d1, daí: 39,60 = 40 – 0,0125q0, donde q0 = 32). Entrando-se agora com o par de coordenadas (32;39,60) em D, obter-se-á: 39,60 = A-(0,0125x8)x32, donde A = 42,80. Daí o sistema de equação formado por D e dn, será:
D ( p = 42,80 – 0,10q
Dn ( p = B – 0,0125q; o sistema de equação formado por Rmgn e Cmg, será: 
Rmgn = B – (2x0,0125)q
Cmg = q2 + 1,05q
Resolvendo-se os dois sistemas com a condição de os valores de q* serem iguais, obtém-se: pE = 39,05; q* = 37,53. E o lucro será dado por: ( = pE . q* - CT = (39,05 x 37,53) - [(0,5 x 37,532) + (1,05 x 37,53) + 4], donde ( = 717,89. 
A firma representativa de um mercado de concorrência monopolística tem a seguinte função de custo total de curto prazo: CT=0,002q3-0,40q2+80q+40. A curva de procura do mercado é dada pela equação p=80-0,40q. Em dado momento pratica-se o preço de 70, mas a firma típica e o mercado não se encontram em equilíbrio neste nível de preço. Calcular o preço, a produção de equilíbrio da firma típica e o lucro desta, sabendo-se que a estrutura da oferta é constituída de 20 firmas.
Resp.: pE=73,76; q*=24,53; e π=18,10.
Seguindo o mesmo roteiro da solução do exercício (06), ter-se-ão: para p0=70, tem-se q0=(80-70)/0,40 = 25, e a equação de D será da forma: p=A – (0,40x20)q, que deve ser satisfeita pelas coordenadas (70;25), donde extrai-se o valor de A:
A = 70 + (0,40x20x25), ou seja, A = 270. Daí têm-se os sistemas:
p = 270 – 8q		e 		Rmgn = B-0,80q
 p = B – 0,40q				Cmg = 0,006 q2 – 0,80q + 80; 
Resolvendo-se os dois sistemas com a condição de os valores de q* serem iguais em ambos os sistemas, tem-se: pE = 73,76; q* = 24,53; e o lucro será (= pE .q* - CT, isto é: ( = (73,76 x 24,53)-[(0,002 x 24,533)-(0,40 x 24,532) + 80 x 24,53) + 40], donde ( = 18,10.
Em um mercado de competição monopolística, o custo total de curto prazo da firma é dado por CT=(1/3)q2+q+6 e a procura do mercado consumidor é regida pela função p=600-(1/6)q. Sabe-se que no instante inicial o preço praticado por esse mercado é 550, e que o equilíbrio será alcançado no nível de produção igual a 327,60. Pede-se determinar o número de firmas integrantes da estrutura de oferta, bem como o preço de equilíbrio final.
Resp.: n=60 firmas; e pE=274.
SOLUÇÃO
Seguindo o roteiro de solução já conhecido, tem-se:
D(p = A - [(n/6).q]		e		Cmg = (2q/3) + 1
dn(p = B - (q/6)				Rmgn = B - (q/3);
 considerando que, para p0 = 550, tem-se q0 = 300, pesquisado na equação de d1(p = 600- q/6). Com esse par de valores (300;550), acha-se o valor de A em Função de n na equação de D: A = 550 + 50n. Da igualdade Cmg = Rmg, obtém-se q = B – 1, donde B = q + 1, e da igualdade D = dn, obtém-se 550 + 50n – nq / 6 = B - q/6, donde 3300 +300n -nq = 6B-q, donde 3300 +300n -327,60n = (6 x 328,60) - 327,60, donde n = 60. Daí A = 550 +(50 x 60) = 3550, donde pE = 3550 - [(60/6) . 327,60] = 274.
A função de custo total de longo prazo de uma firma que opera em um mercado de concorrência monopolística é CT=0,001q3-0,425q2+85q. A função de demanda proporcional é q=300-2,5p. Calcule o preço e a produção de equilíbrio de longo prazo da firma. Calcule também a elasticidade preço da procura do mercado na posição de equilíbrio de longo prazo.
Resp.: pE=40; q*=20; e εd=-8.
SOLUÇÃO
O ponto solução é a interseção de D com Cmelp, isto é, é a solução do sistema seguinte: 
Cme = 0,001q2 – 0,425q + 85
 D( q = 300-2,5p, donde q* = 200 e pE = 40. 
A elasticidade-preço da demanda será obtida a partir de Cmg = Rmg = p(1+1/ εd), sendo Cmg para q* = 200 igual a Cmg = 0,003q2 – 0,85q + 85 = 35. Daí 35 = 40(1 + 1/ εd), donde εd = -8.
A firma representativa de um mercado de competição monopolística tem a seguinte função de custo total de longo prazo: CT=0,0025q3-0,5q2+384q. A demanda do mercado (demanda percebida) é dada pela equação p=A-0,1q. Determine o preço e a produção de equilíbrio de longo prazo da firma. Determine também o valor de “A”.
Resp.: pE=360; q*=80; e A=368.
SOLUÇÃO
O coeficiente angular da equação de demanda de mercado é igual a (-0,10); O coeficiente angular da equação de Cme no ponto de tangência com a equação da demanda terá que ser o mesmo, daí: d/dq Cme = -0,10, ou seja: 
D/dq (0,0025q2 - 0,5q + 384)= -0,10, donde 0,005q – 0,5 = -0,10 ( q* = 80. E o preço será obtido substituindo q*=80 na equação de Cme: p = Cme = [(0,0025x802)-(0,5X80)+384](PE=360.Finalmente o valor de A será igual a: 360 = A – (0,10x80), donde A = 368.
MONOPSÔNIO E DUOPSÔNIO
Um monopsonista que adquire apenas o fator trabalho (L) tem s seguinte função de produção: q=10L2-0,2L3. Determinar que quantidade de trabalho ele compra ao mercado, sabendo-se que a função de oferta de trabalho é dada por w=120+20L, e que o seu produto é vendido em mercado de concorrência perfeita ao preço p=4. Calcular também o lucro da firma, bem como o salário que a mesma paga.
Resp.: L*=12,74; π=63,11; e w=374,80.
SOLUÇÃO
q = 10L2-0,2L3			RT = pq = 4(10L2-0,2L3)
W = 120 + 20,0L			RT = 40L2-0,8L3
P=4
dC/dL = Pmg			C = WL = L (120+20,0)L
					C = 120L + 20L2
120+40L=80L – 2,4L2		dC/dL = 120+40L
2,4L2-40L+120=0			Pmg = 80L – 2,4L2
L’= 12,74
L” = 3,92
d2( / dL2 < 0 ( 80 – 4,8 L < 40	( L > 8,33
q = 10x12,742 – 0,2 x 12,743 	( q = 1209,52
RT = (40 x 12,742)-(0,8x12,743) 	( RT = 4.838,06
W = 120 + (20x12,74)		( W = 374,80
C = (120 x 12,74) + (20x12,742) 	(C = 4774,95
( = p.q – WL = (4x1209,52)-(374,80x12,74)=63,11
43. Em um mercado monopsonista, a função de produção da firma é dada por q=14L2-0,2L3 onde “L” é o fator mão de obra cuja função de oferta é w=140+20L, onde “w” é o salário. Sabendo-se que o monopsonista vende seu único produto em um mercado de competição perfeita, pede-se determinar: (i) o salário que o monopsonista pagará; (ii) a quantidade de trabalho “L” que ele contratará; (iii) o nível de produto e o lucro que a firma auferirá.
Resp.: (i) w*=777,40; (ii) L*=31,87; (iii) q*=7.745,70 e π=13.952,76.
SOLUÇÃO
A expressão do lucro é: π=5(14L2-0,2L3)-L(140+20L), donde π=50L2-L3-140L. A condição de primeira ordem para um máximo é dπ/dL=0, donde L=31,87 (desprezando-se a menor raiz). Daí, q=(14x31,872)-(0,2x31,873), donde q*=7745,70. O salário imposto pelo monopsonista é w=140+(20x31,87), donde wE=777,40. Finalmente, o lucro é π=(5x7745,70)-(777,40x31,87) donde π=13.952,76.
Em um duopsônio, as funções de produção das firmas são q1=10L1-0,1L12 e q2=8L2—0,1L22. Fazendo uso da solução modificada de Cournot, determinar as quantidades de trabalho L1 e L2 a serem adquiridas pelos duopsonistas, sabendo-se que a função de oferta de insumo é W=4+0,2(L1+L2) e que os respectivos produtos das firmas são vendidos em mercados de concorrência perfeita aos preços p1=3 e p2=4. Calcular ainda os níveis de produção q1 e q2, os lucros(1 e (2, e o salário imposto ao mercado de mão de obra pelas duas firmas.
Resp.: L1*=9,55; L2*=21,74; q1*=68,15; q2*=126,66; π1=106,44; π2=283,57; e w=10,26.
SOLUÇÃO
W = 4+0,2(L1+L2)
	q1 = 10L1-0,3L12		p1=3
	q2 = 8L2 – 0,1L22		p2 = 4
	(1 = 3 (10L1-0,3L12)-[4+0,2(L1+L2)]L1
	(2 = 4(8L2 - 0,1L22)-[4+0,2(L1+L2)]L2
	(1 = 30L1 – 0,9L12-4L1 – 0,2L12-0,2L1L2
	(2 = 32L2-0,4L22-4L3-0,2L1L2-0,2L22
	2(1 /2L1 = 30 – 1,8L1-4-0,4L1 –0,2L2 =0	26-2,2L1-0,2L2=0
	2(2 /2L2 = 32 – 0,8L2-4-0,2L1-0,4L2=0	28-1,2L2-0,2L1=0
	L1 = 26/2,2 – 0,2 / 2,2 L2		L1=26/2,2 – 0,2/2,2 [ 28/1,2 – 0,2/1,2 L1
	L2 = 28/1,2 – 0,2 / 1,2 L1		L1=26/2,2 – [ 56/2,64 – 0,04/2,64 L1
	L1 = 26/2,2 – 5,6 / 2,64 L1		(	L1= 9,55
	L2 = 28/1,2 – 0,2 / 1,2 x 9,55	(	L2= 21,74
	W = 4 + 0,2 (9,55+21,74) 	( 	W = 10,26
	q1 = (10x9,55)-(0,3x21,742) 	(	q1 = 68,15
	q2 = (8x21,74)-(0,1x21,742)	(	q2 = 126,66
	(1 = p1q1 – WL1 = (3x68,15) – (10,26x9,55) = (1=106,44
	(2 = p2q2 – WL2 = (4x126,66) – (10,26x21,74) = (2=283,57
Um duopsônio é formado por duas empresas cujas funções de produção são, respectivamente, q1=12L1-0,2L12 e q2=11L2-0,1L22, onde L1 e L2 são as quantidades do fator trabalho compradas pelas empresas. Os produtos finais dessas firmas são vendidos em mercados concorrenciais perfeitos aos preços p1=3 e p2=4. Estude o desfecho do duopsônio pela solução modificada de Cournot, indicando os níveis de produto de cada firma, os respectivos lucros, as respectivas quantidades de mão de obra adquiridas e o salário pago pelas duas firmas.
Resp.: q1=21,29 e q2=270,17; (1=47,71; (2=753,79; L1=1,83 e L2=37,02; e w=8,83.
SOLUÇÃO
Os lucros dos duopsonistas são:
π1=3(12L1-0,2L12)-L1[3+0,15(L1+L2)]
π2=4(11L2-0,1L22)-L2[3+0,15(L1+L2)]
Operando as expressões acima e reduzindo os resultados às suas formas mais simples, têm-se:
π1=33L1-0,75L12-0,15L1L2
π2=41L2-0,55L22-0,15L1L2
As condições de primeira ordem para um máximo de cada um dos dois lucros são:
dπ1/dL1=0 e dπ2/dL2=0, donde:
33-1,5L1-0,15L2=0 e 41-1,1L2-0,15L1=0
A solução do sistema de duas equações imediatamente acima é L*1=1,83 e L*2=37,02. O salário é w=3+0,15(1,8+37,02), donde wE=8,83, e os níveis de produção são q1=(12x1,83)-(0,2x1,832), donde q1*=21,29; q2=(11x37,02)-(0,1x37,022), donde q2*=270,17. Finalmente, os lucros são:
π1=(3x21,29)-(8,83x1,83) donde π1=47,71; e
π2=(4x270,17)-(8,83x37,02) donde π2=753,79.