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APOSTILA COMPONENTES SIMÉTRICAS

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_______________________________________________________________________________________________ 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 1 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Unidade 5 
COMPONENTES SIMÉTRICOS 
 
5.1 – DEFINIÇÃO: 
Componentes Simétricos são mecanismos feitos para facilitar algumas resoluções analíticas de 
circuitos elétricos não equilibrados, como as máquinas elétricas polifásicas, e alguns tipos de problemas de 
transformadores polifásicos. 
Semelhante ao teorema de Fourier relativo a ondas complexas, os componentes simétricos, que é o 
teorema de Fortescue, consiste em decompor um sistema trifásico não equilibrado em três sistemas 
equilibrados, ou seja, qualquer sistema de vetores trifásicos não equilibrados pode ser resolvido com a 
adição de três sistemas equilibrados, que são: 
1. Sistema de seqüência positiva: Sistema trifásico equilibrado com a mesma seqüência de fase do 
sistema desequilibrado; 
2. Sistema de seqüência negativa: Sistema trifásico equilibrado com a seqüência de fase inversa àquele 
do sistema desequilibrado; 
3. Sistema de seqüência zero ou unifásico: Sistema de três vetores monofásicos que são iguais em 
módulo e em fase no tempo. 
Portanto, um sistema trifásico não equilibrado de seqüência direta, pode ser representado como: 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
Observe que o subíndice “1” indica que o vetor assim marcado pertence ao sistema de seqüência positiva, 
“2” refere-se ao sistema de seqüência negativa e “0” ao sistema de seqüência zero. Já as letras referem-
se ao vetor original do qual o vetor das seqüências acima é uma parte componente. 
Viu-se que o sistema desequilibrado pode ser representado 
como sendo a adição de três sistemas equilibrados, ou melhor: ��� � ���� � ���� � ����;��� � ���� � ���� � ������� � ���� � ���� � ����. ; 
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 2 
Exemplo - Verificar as expressões acima para um sistema de vetores não equilibrado, abaixo: 
 
Observe que: ���� � ���� � ���� � 17,6�45°� 8,25� � 156,2°� 5,60� � 47,4° � 10,02�29,89° � ��� ; ���� � ���� � ���� � 17,6� � 75°� 8,25� � 36,2°� 5,60� � 47,4° � 30,01� � 60,01° � ��� ; ���� � ���� � ���� � 17,6�165°� 8,25�83,8°� 5,60� � 47,4° � 15,04�144,97° � ��.� 
 
5.2 – OPERADOR �� 
Para facilitar, pode-se escrever qualquer sistema trifásico equilibrado relacionando uns aos outros 
com o emprego do operador �� . Por exemplo, �� é um vetor unitário 120° adiantado em relação ao eixo de 
referência e ��� é um vetor unitário 240° adiantado em relação ao eixo de referência. O operador �� , aplicado 
a qualquer vetor, gira-o por 120° no sentido positivo ou anti-horário. Já o operador ���, aplicado a qualquer 
vetor, gira-o por 240° no sentido positivo, o que é, logicamente, equivalente, a uma rotação de 120° no 
sentido negativo. Se ��� � ���� � ���� � ���� ;��� � ���� � ���� � ���� ;��� � ���� � ���� � ����. 
 
Pode-se, então, escrever as relações acima em função do operador �� : V�� � V��� � V��� � V���; V�� � a�� V��� � a� V��� � V���; V�	 � a� V��� � a�� V� �� � V���. 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 3 
5.3 – Determinação dos vetores de seqüência positiva, negativa e seqüência zero 
Dado: 
• Vetores originais não equilibrados ��� , ��� , ��� na seqüência direta onde ��� é o vetor base, ��� atrasado de ��� e ��� atrasado de ���; 
• Vetores de seqüência Positiva: ���� , ���� , ���� onde ���� � ��� �� �� e ���� � �� �� ��; 
• Vetores de seqüência Negativa: ����, ����, ���� onde ���� � �� ���� e ���� � ��� ����; 
• Vetores de seqüência Zero: ����, ����, ���� onde ���� � ���� � ����. 
Observe que: ���� � ���� � ���� � ���� ;��� � ���� � ���� � ����;��� � ���� � ���� � ����. � ou � ��� � ���� � ���� � ���� ; �1���� � ��� �� �� � �� ���� � ���� ; �2���� � �� ���� � ��� �� �� � ����. �3� � 
a) Cálculo de �� �� 
Para calcular ���� deve-se ter em mente que as componentes relacionadas a ���� e ���� devem ser 
canceladas. Portanto basta multiplicar nas expressões acima: (2) por �� e (3) por ���. 
Multiplicando (2) por �� tem-se: �� �� � � ��
 �� �� � ��� �� �� � �� �� �� . 
Como ��
 � 1, resulta em: �� ��� � ���� � ��� �� �� � �� �� ��. 
Multiplicando (3) por ��� tem-se: ��� ��� � ��
 ���� � ��� �� �� � ��� �� �� . 
Como ��� � �� , resulta em: ��� ��� � ���� � �� �� �� � ��� �� ��. 
Somando as duas equações acima com a equação (1) obtém-se: ��� � �� ��� � ��� ��� � 3 �� �� � ���� �1 � ��� � �� � � ���� �1 � �� � ����. 
Como �1 � ��� � �� � � 0 tem-se: ���� � �
 ���� � �� �� � � ��� ���� � �
 ���� � ����120°� ����240°�. 
A equação acima significa que ���� é um vetor que tem um valor igual a um terço do valor do vetor 
que resulta da adição dos três vetores: ��� , ��� adiantado de 120° e ��� adiantado de 240°. 
Exemplo 5.1 – Calcule �� ��, �� �� e �� �� dado os vetores: ��� � 10 �30°, ��� � 30 � � 60° ! ��� � 15 �145°. ���� � �
 ���� � �� �� � � ��� ���� � �
 �10 �30° � 30 ���60°� 120°� � 15 ��145° � 240°�� � 17,6 �45°; ���� � ����� � 120° � 17,6 ��45° � 120°) = 17,6 � � 75°; ���� � �����120° � 17,6 ��45° � 120°) = 17,6 �165°. 
b) Cálculo de �� �� 
De forma similar ao cálculo de ����, para calcular ���� deve-se eliminar os termos relacionados à ���� e 
a ����. Então, basta multiplicar-se a equação (2) por ���, a equação (3) por �� e somar estes resultados com a 
equação (1), obtendo-se: ��� � ��� ��� � �� ��� � ���� �1 � �� � ���� � ���� �1 � 1 � 1� � ���� �1 � ��� � �� �. Assim, ���� � �
 ���� � ��� �� � � �� ���� � �
 ��� � �� �240°� �� �120°�. 
O que significa que ���� é um vetor que tem um valor igual a um terço da soma de: ��� com ��� (atrasado de 
120°) e com ��� (adiantado de 120°). 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 4 
Exemplo 5.2 – Calcule �� ��, �� �� e �� �� dado os vetores: ��� � 10 �30°, ��� � 30 � � 60° ! ��� � 15 �145°. ���� � �
 ���� � ��� �� � � �� ���� � �
 �10 �30° � 30 ���60°� 240°� � 15 ��145° � 120°�� � 8,25 � � 156,2°; ���� � �����120° � 8,25 ���156,2° � 120°) = 8,25 � � 36,2°; ���� � ����� � 120° � 8,25 ���156,2° � 120°) = 8,25 �83,8°. 
c) Cálculo de �� �� 
Para determinar-se ���� basta somar as equações: (1), (2) e (3). Dessa forma, tem-se: ��� � ��� � ��� � ���� �1 � ��� � �� � � ���� �1 � �� � ���� � 3 �� �� ⇒ ���� � �
 ���� � ��� � ����. 
O componente de seqüência zero é simplesmente um vetor que tem um valor igual a um terço do valor 
obtido pela adição dos vetores ��� , ��� e ��� . 
Exemplo 5.3 – Calcule �� ��, �� �� e �� �� dado os vetores: ��� � 10 �30°, ��� � 30 � � 60° ! ��� � 15 �145°. ���� � �
 ���� � ��� � ���� � �
 �10�30°� 30� � 60°� 15�145°� � 5,60� � 47,42°; ���� � ���� � ���� � 5,60� � 47,42°. 
Exemplo 5.4 – Calcule �� �, �� � e �� � através dos componentes de seqüência positiva, negativa e zero 
encontradas nos exemplos anteriores e confronte com os valores originais: ��� � 10 �30°, ��� � 30 � � 60° ! ��� � 15 �145°. ��� � ���� � ���� � ���� � 17,6�45°� 8,25� � 156,2°� 5,60� � 47,4° � 10,02�29,89°; ��� � ���� � ���� � ���� � 17,6� � 75°� 8,25� � 36,2°� 5,60� � 47,4° � 30,01� � 60,01°; ��� � ���� � ���� � ���� � 17,6�165°� 8,25�83,8°� 5,60� � 47,4° � 15,04�144,97°.Problema 5.1 – Dado as tensões: ��� � 150 �0°, ��� � 86,6 � � 90° ! ��� � 86,6 �90° faça: 
a) Determine os componentes simétricos de aV& e comprove os resultados pela adição de 1aV& , 2aV& e 0aV& ; 
b) Calcule bV& e cV& em função dos componentes simétricos de aV& ; 
c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simétricos e suas composições vetoriais. 
Resp.: a) ���� � 100 �0°, ���� � 0 , ���� � 50 �0°. 
5.4 – AUSÊNCIA DE COMPONENTES DE SEQÜÊNCIA ZERO 
Considerando a equação ���� � �� ���� � ��� � ����, observa-se que os componentes de seqüência zero não 
existem sempre que a soma dos vetores originais do sistema de tensões ou de correntes for nula. Este fato 
pode facilitar os cálculos numéricos em sistemas com estas características, pois, o reduz a dois sistemas 
trifásicos equilibrados de seqüências de fases opostas. Tal ausência tem significado físico importante na 
análise de cálculos de curtos-circuitos em sistemas de força. 
5.5 – APLICAÇÕES ESPECÍFICAS 
5.5.1 - Tensões entre linhas trifásicas 
Pelo fato de que a soma das tensões de linha ser nula, 
( ) ( ) ( ) 0=−+−+−=++ accbbacabcab VVVVVVVVV &&&&&&&&& , 
pode-se concluir que não existe componente de seqüência zero para tensões entre linhas e, dessa forma, elas 
podem ser representadas por um sistema de seqüência positiva e por um sistema de seqüência negativa. Este 
fato independe se o sistema tem ligação ∆ ou Υ pois no caso da ligação ∆ podem-se considerar as tensões 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 5 
aV& , bV& e cV& como sendo aquelas da ligação estrela equivalente. Veja na figura abaixo uma ilustração das 
componentes de seqüência positiva e de seqüência negativa para as tensões e correntes de linha. 
 
Carga resistiva com ligação Υ 
 
Carga resistiva com ligação ∆ 
 
Tensões de seqüência positiva 
 
Correntes de seqüência positiva 
 
Tensões de seqüência negativa 
 
Correntes de seqüência negativa 
Sistemas positivo e negativo de tensões e de correntes para um determinado sistema trifásico. 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 6 
O fato de tensões entre linhas desequilibradas (���� , ���� e ���� na seqüência ab-bc-ca) poderem ser 
resolvidas em dois sistemas equilibrados de seqüências opostas é de considerável importância nas análises 
de máquinas girantes trifásicas como, por exemplo, no caso de motores de indução. Os componentes do 
vetor base de tensões entre linhas desequilibradas podem ser determinadas pelas expressões: ����� � �
 ����� � ���� �120°� ���� �240°�; ����� � �
 ����� � ���� �240°� ���� �120°�. 
Observou-se que o componente de seqüência positiva do vetor base (���� neste caso) é obtido 
avançando-se de 120˚ o vetor que está atrasado do vetor base e retardando de 120˚ o vetor que está adiantado 
do vetor base. Operações inversas são empregadas para se obter os componentes de seqüência negativa. De 
forma geral, podem-se empregar as relações definidas na seção (2.5), abaixo indicadas: ���� � �
 ���� � ��� � ����; ���� � �
 ���� � �� �� � � ��� ���� � �
 ���� � ����120°� ����240°�; ���� � �
 ���� � ��� �� � � �� ���� � �
 ��� � �� �240°� �� �120°�; 
para determinar as componentes de seqüências positiva, negativa e zero de tensões ou de correntes, entre 
linhas ou de fases, seqüências direta ou inversa bastando para isto definir a seqüência de três vetores: o 
primeiro sendo o fasor base, o segundo atrasado do fasor base e o terceiro, adiantado do fasor base. Assim, 
para três vetores (��� , ��� e ��� na seqüência inversa) a seqüência dos três vetores será (��� , ��� e ���) e as 
equações correspondentes: ���� � �
 ���� � ��� � ����; ���� � �
 ���� � �� ��� � ��� �� �� � �
 ���� � ����120°� ����240°�; ���� � �
 ���� � ��� ��� � �� �� �� � �
 ��� � �� �240°� �� �120°�. 
Cuidados especiais devem ser tomados em casos em que as correntes produzidas têm seqüência de 
fases invertida das tensões que a produziram, decorrentes do desequilíbrio das impedâncias. Por exemplo, 
para o circuito abaixo, dado os parâmetros: 
 
Tensões ente linhas: 
VVab °−∠= 150100& ; 
VVbc °∠= 90100& ; 
VVca °−∠= 30100& . 
 
Impedâncias de fase: 
.9010
;9010
;077,5
Ω°−∠=
Ω°∠=
Ω°∠=
co
bo
ao
Z
Z
Z
&
&
&
 
 
Resolvendo-se este circuito para as correntes e tensões de fase, obtém-se: 
 
Correntes de fase: 
;3077,5
;3077,5
;18010
AI
AI
AI
c
b
a
°∠=
°−∠=
°∠=
&
&
&
 
 
Tensões de fase: 
.607,57
;607,57
;1807,57
VIZV
VIZV
VIZV
ccoc
bbob
aaoa
°−∠==
°∠==
°∠==
&&&
&&&
&&&
 
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 7 
A inspeção destes resultados mostra que a tensão entre linhas tem seqüência de fases a-b-c (direta) e esta 
devendo ser o ponto de partida e denominado sistema de seqüência positiva. Por outro lado, mesmo tendo a 
corrente da fase b ter-se adiantado da corrente da fase a (seqüência inversa) nos cálculos dos componentes 
de seqüências positivo e negativo das correntes de fase deve-se considerar a seqüência (���, ��� e ���). Caso isto 
não seja feito o sistema de seqüência positiva das correntes não corresponderia ao sistema de seqüência 
positiva das tensões. 
Problema 5.2 – Um sistema trifásico de tensões de linha abV& , bcV& e caV& têm os componentes simétricos: 
°−∠= 60000.41abV& e °∠= 180000.22abV& volts. Pede-se: 
a) Trace um diagrama vetorial de origem comum ilustrando as tensões de seqüência positiva e de seqüência 
negativa de abV& , bcV& e caV& . 
b) Determine o módulo das três tensões abV& , bcV& e caV& . 
c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simétricos e suas composições vetoriais. 
Resp.: b) ���� � 3.464,1, ���� � 3.464,1 e ���� � 6.000 volts. 
5.5.2 - Tensões de fase de cargas ligadas em Υ 
As tensões de fase aV& , bV& e cV& podem possuir qualquer valor vetorial, desde que o vetor soma das 
tensões entre linhas seja nulo. Em geral, em sistemas não equilibrados, 
.0≠++ cba VVV &&& 
Portanto, geralmente, as tensões individuais por fase têm componentes de seqüência zero mesmo que estas 
componentes estejam ausentes nas tensões entre linhas. Estes componentes de seqüência zero não podem ser 
calculados em função das tensões de linha. 
Exemplo 5.5 – Para as tensões de fase ��� � 10 
0°, ��� � 20 
 � 90° � ��� � 10 
135° numa ligação 
estrela, calcule as componentes de seqüência zero das tensões entre linhas e das tensões de fases. 
���� � ��� � ��� � 10 
0°� 20 
 � 90° � 10 � �20 � 22,36 
63,435°; 
���� � ��� � ��� � 20 
 � 90°� 10 
135° � 7,071 � �27,071 � 27,979 
 � 75,361°; 
���� � ��� � ��� � 10 
135°� 10 
0° � �17,071 � �7,071 � 18,478 
157,5°; 
����� � �� ����� � ���� � ����� � 0; 
���� � �� ���� � ��� � ���� � 0,976 � 
4,310 � 4,419 � � 77,236°. 
5.5.3 - Transformações de tensão � �Y 
Em análise de componentes simétricos é muito vantajoso e freqüente considerar sistemas ligados em 
∆ numa base Υ equivalente. Se a carga ∆ mostrada no item (5.5.1) deve ser analisada numa base Υ 
equivalente deve-se fazer: 
1. Converter as impedâncias da ligação ∆ nas equivalentes da ligação Υ; 
2. Determinar os componentes simétricos de seqüências positiva e negativa para as tensões de linha; 
3. Determinar os componentes simétricos de seqüências positiva e negativa para as tensões de fase apartir 
daqueles calculados para as tensões de linha. Para seqüência direta, observando os diagramas fasoriais no 
item (5.5.1) observa-se que: 
°−∠= 30
3
1
1
ab
a
V
V
&
&
 e °∠= 30
3
2
2
ab
a
V
V
&
&
. 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 8 
O fato de 
0a
V& não poder ser calculado em função das tensões entre linhas não representa séria 
desvantagem, como será mostrado mais adiante, porém impede a possibilidade de se calcular imediatamente 
a tensão de fase, 
021 aaaa
VVVV &&&& ++= . 
As relações especificadas no item (3) acima são importantes na análise de banco de transformadores 
ligados em Υ-∆ e ilustrados no esquema seguinte. 
 
 
Problema 5.3 – Para o banco de transformadores acima, com seqüência direta para as tensões entre linhas 
no primário, têm-se as polaridades e relações de tensões abaixo, pede-se: 
anba VnV && ='' (transformador a); 
bncb VnV && ='' (transformador a); 
cnac VnV && ='' (transformador a). 
°−∠= 60000.41abV& volts; 
°−∠= 90000.12abV& volts; 
.00 =anV& 
a) Determinar os módulos e posições dos vetores abV& , bcV& e ;caV& 
b) Se n=10, determinar os módulos e posições dos vetores 
''baV& e ''cbV& . 
Resp.: °−∠= 867,656,891.4abV& , °∠= 935,1706,173.3bcV& , °∠= 867,6565,891.4caV& volts; 
 °−∠= 133,84242.28
''baV& , °∠= 964,135805.23''cbV& volts. 
Problema 5.4 – Para o banco de transformadores do Problema anterior, com seqüência direta para as tensões 
entre linhas no primário e sabendo-se que 0
2
=abV& e 00 =anV& , pede-se: 
a) Determinar as posições vetoriais relativas de abV& e ''baV& ; 
b) Determinar as posições vetoriais relativas de bcV& e ''cbV& ; 
Resp.: 
''baV& atrasa-se abV& por 30˚; 
 
''cbV& atrasa-se bcV& por 30˚. 
5.5.4 – Correntes trifásicas de linha trifilar e correntes de fase � associadas 
Para as correntes de linha, independentemente da carga trifásica de linha trifilar ser ligada em Υ ou 
∆, não existe componente de seqüência zero já que a soma das correntes é nula, ou melhor, se 
��� � ��� � ��� � 0, então, ���� � �� ���� � ��� � ���	 � 0. 
Logo, não existe componente ����, ���� e ���� (seqüência zero) restando apenas as componentes de seqüências 
positiva e negativa. 
Observando-se diagramas fasoriais para as correntes de linha e de fase de uma carga em ∆, nas 
seqüências direta e inversa, conclui-se facilmente que: 
°∠= 30
3
1
1
a
ab
I
I
&
&
 e °−∠= 30
3
2
2
a
ab
I
I
&
&
. 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 9 
No banco de transformadores Υ-∆ mostrado no item (5.5.3) onde não existe componente de 
seqüência zero nos enrolamentos do primário ligados em Υ provoca, também, a não existência desses 
componentes nos enrolamentos do secundário ligados em ∆, uma vez que sspp ININ = . O fato de um 
banco de transformadores Υ-∆ eliminar correntes de seqüência zero é importante nos estudos de curto-
circuitos em redes de potências. 
Problema 5.5 – Determinar a corrente de linha aI& no sistema ligado em ∆ da seção (5.5.1), seqüência de 
fases direta, se °∠= 010
1abI
&
, °∠= 605
2abI
& e °∠= 5,197
0abI
&
 ampères pelos caminhos alternativos: 
a) Composição vetorial de abI& e caI& ; 
b) Composição vetorial de 
1a
I& , 
2a
I& e 
0a
I& ; 
Resp.: a) °∠= 243,19229,20abI& , °∠= 418,58826,7caI& , °∠= 015aI& ampères; 
b) °−∠= 30321,17
1a
I& , °∠= 90660,8
2a
I& , 0
0
=aI& , °∠= 015aI& ampères. 
5.5.5 - Correntes trifásicas de linha trifásicos a 4 fios (associadas a um neutro de retorno) 
Se um sistema Y-Y funciona com neutros ligados a terra ou 
com um fio de ligação entre neutros, a soma vetorial das correntes de 
linha, em geral, não será igual a zero. Neste caso 
���� � ���� � ���� � �� ���� � ��� � ����. Como ��� � ��� � ��� � ���, tem-se 
que ��� � 3 ���� 
Observe que a corrente de retorno pela terra ou neutro, ou seja, 
���� � ��� � ����, é três vezes o valor dos componentes individuais de 
seqüência zero das correntes de linha. 
 
Os componentes de seqüência zero das correntes de linha às vezes denominados componentes 
unifásicos têm importante significado físico no que se refere às interferências indutivas entre linhas de 
potência trifásicas e linhas telefônicas colocadas em paralelo. São, também, de importância no cálculo das 
correntes de curto-circuito em sistema de potência. 
Exemplo 5.6 – A figura abaixo mostra um curto-circuito entre linha e terra num alternador em Υ ligado à 
terra. Determinar os componentes simétricos (seqüência positiva, negativa 
e zero) para as três correntes de linha onde: ��� � �
�, ��� � 0 e ��� � 0. 
Têm-se: 
���� � �� �
�; ���� � �� �
� � 120°� e ���� � �� �
� � 120°�; ���� � �� �
�; ���� � �� �
� � 120°� e ���� � �� �
� � 120°�; ���� � ���� � ���� � �� �
�. 
 
Na forma de diagramas fasoriais: 
 
 
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Problema 5.6 – Determinar os componentes simétricos (seqüência positiva, negativa e zero) para as três 
correntes de linha de um sistema trifásico tetrafilar onde: 
°−∠= 6020aI& , °−∠= 10012bI& e °∠= 7510cI& . 
Respostas: 
°−∠= 6,3562,11
1a
I& ampères; 
°−∠= 6,15562,11
1bI
&
 ampères; 
°∠= 4,8462,11
1c
I& ampères; 
°−∠= 9,12503,5
2a
I& ampères; 
°−∠= 9,503,5
2bI
&
 ampères; 
°∠= 1,11403,5
2c
I& ampères; 
°−∠= 65,61375,7
0a
I& ampères. 
5.6 – POTÊNCIA POR MEIO DE COMPONENTES SIMÉTRICOS 
Para qualquer sistema trifásico não equilibrado a potência total consumida é a soma das potências 
absorvidas em cada fase. Assim: 
� � �� � �� � �� � �� �� ��	 
���
��� � �� �� ��	 
���
��� � �� �� ��	 
���
���
. 
Se a tensão de uma dada fase, por exemplo, �� for decomposta em seus componentes simétricos 
obtém-se: 
�� � �� �� ��	 
���
��� � �� �� ��	 
���
��� � �	 �� ��	 
���
���
. 
Decompondo-se a corrente ��� em seus componentes simétricos obtém-se: 
�� � ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
����
 + 
 ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
����
 + 
 ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
���� � ��� ��� ��	 
����
����
. 
Desenvolvendo �� e �� de forma similar a ��, somando as potências de fase e efetuando simplificações, 
obtém-se: 
� � 3 �� �� ��	 
��
�� � 3 �� �� ��	 
��
�� � 3 �	 �	 ��	 
��
�� , ����: 
�� - Módulo do componente de seqüência positiva das tensões de fase; 
�� - Módulo do componente de seqüência negativa das tensões de fase; 
�	 - Módulo do componente de seqüência zero das tensões de fase; 
�� - Módulo do componente de seqüência positiva das correntes de linha; 
�� - Módulo do componente de seqüência negativa das correntes de linha; 
�	 - Módulo do componente de seqüência zero das correntes de linha. 
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Essa equação mostra que a potência total consumida por um sistema trifásico não equilibrado é a soma das 
potências representadas por cada um dos sistemas componentes simétricos. Portanto,para se obter a potência 
total, poderia determinar a soma algébrica da potência total das seqüências positiva, negativa e zero. 
Exemplo – Para o sistema trifásico trifilar abaixo, dados: 
 
Tensões ente linhas: 
VVab °∠= 0200& ; 
VVca °−∠= 1354,141& ; 
VVbc °∠= 1354,141& . 
 
Impedâncias de fase: 
.6030
;020
;020
Ω°∠=
Ω°∠=
Ω°∠=
bo
co
ao
Z
Z
Z
&
&
&
 
 
Resolvendo-se este circuito para as correntes e tensões de fase, obtém-se: 
 
Correntes de fase: 
.465,115386,4
;17,109743,4
;595,8482,3
AI
AI
AI
b
c
a
°∠=
°−∠=
°∠=
&
&
&
 
 
Tensões de fase: 
.467,175586,131
;165,109857,94
;588,864,69
VIZV
VIZV
VIZV
bbob
ccoc
aaoa
°∠==
°−∠==
°∠==
&&&
&&&
&&&
 
 
Decompondo-se as tensões e correntes de fase em seus componentes simétricos, obtém-se: ��� � �� ���� � ��� � ���� � �31,152 � �22,933 � 38,863 � � 143,64° volts; ��� � �� ���� � �� ��� � ��� ���� � 78,86 � �45,53 � 91,06 �30° volts; ��� � �� ���� � ��� ��� � �� ���� � 21,234 � �12,202 � 24,404 � � 30° volts; ��� � �� ���� � ��� � ���� � 0 ampères; ��� � �� ���� � �� ��� � �� � ���� � 4,157 � �0,355 � 4,172 �4,878° ampères; ��� � �� ���� � ��� ��� � �� ���� � �0,715 � �0,165 � 0,733 �166,971° ampères. 
Pede-se: 
a) Calcular a potência real na fase a usando as expressões: �� � �� �� ��� ��	�
	� = 69,64 × 3,482 × cos(8,588˚ - 8,595˚) = 242,49 watts; �� � �� �� ��� ��	�
	� � �� �� ��� ��	�
	� � �� �� ��� ��	�
	� = 
 3,482 x [91,06 × cos (30˚-8,595˚) + 24,404 × cos (-30˚-8,595˚) + 38,683 × cos (-143,64˚-8,595˚)] = 
 3,482 × [84,779 + 19,074 – 34,229] = 242,43 watts; �� � ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� + 
 ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� + 
 ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� � ��� ��� ��� ��	��
	�� ⇒ �� � 91,06 × 4,172 × cos (30˚-4,878˚) + 91,06 × 0,733 × cos (30˚-166,971˚) + 0 + 
 24,404 × 4,172 × cos (-30˚-4,878˚) + 24,404 × 0,733 × cos (-30˚-166,971˚) + 0 + 
 38,683 × 4,172 × cos (-143,64˚-4,878˚) + 38,683 × 0,733 × cos (-143,64˚-166,971˚) + 0 = 
 343,97 – 48,79 + 0 + 83,52 – 17,11 + 0 – 137,63 + 18,46 + 0 = 242,42 watts. 
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b) Calcular a potência real total da carga trifásica usando as expressões: ���� � �� � �� � �� � �� �� ��� ��	�
	� � �� �� ��� ��	�
	� � �� �� ��� ��	�
	� = 
 69,64 × 3,482 × cos (8,588˚ - 8,595˚) + 131,586 × 4,386 × cos (175,467˚ - 115,465˚) + 
 94,857 × 4,743 × cos (-109,165˚ + 109,17˚) = 242,49 + 288,55 + 449,91 = 980,95 watts; ���� � 3 �� �� ��� ���
� � 3 �� �� ��� ���
� � 3 �� �� ��� ���
� = 
 3 × [91,06 × 4,172 × cos (30˚ - 4,878˚) + 24,404 × 0,733 × cos (-30˚ - 166,971˚) + 0] = 3 × �343,97 � 17,11 � 0� � 980,58 watts. 
5.6.1 - Perdas por efeito Joule em função de componentes simétricos 
As perdas por efeito Joule, para qualquer sistema trifásico não equilibrado é dada por: � � � ��� � � ��� � � ���. 
Para o exemplo da seção anterior, tem-se: � � 20 × 3,482� � 15 × 4,386� � 20 × 4,743� � 242,49 + 288,55 + 449,92 = 980,96 watts. 
No caso particular em que � � � � � � , substituindo ���, ��� e ��� por seus componentes 
simétricos, desenvolvendo e simplificando (veja Corcoran), obtém-se: � � 3 ���� � ��� � ����. 
A equação mostra que a perda total por efeito Joule devida às correntes resultantes é a mesma que a 
soma das perdas por efeito Joule, devidas às componentes de seqüência, calculadas separadamente. Por outro 
lado, com � � � � � e se as resistências das correntes de seqüência positiva, negativa e zero são 
diferentes, � pode ser determinada por: � � 3 � ��� � 3 � ��� � 3 � ���, 
onde: � – Resistência para a componente de corrente de seqüência positiva; � – Resistência para a componente de corrente de seqüência negativa; � – Resistência para a componente de corrente de seqüência zero. 
5.6.2 - Componentes de seqüências (+), (-) e (zero) de impedância 
As auto-impedâncias podem ser resolvidas em seus componentes similarmente às tensões e às 
correntes. Logo, os componentes simétricos de três auto-impedâncias, !����, !���� e !����, são: !���� � �� �!��� � �� !��� � ��� !���� " impedância de seqüência positiva; !���� � �� �!��� � �� � !��� � �� !���� " impedância de seqüência negativa; !���� � �� �!��� � !��� � !���� " impedância de seqüência zero. 
Observações: 
• Se as tensões ou correntes que devem ser associadas a estas impedâncias componentes são resolvidas na 
ordem a-b-c, então as impedâncias devem ser resolvidas na mesma ordem; 
• O termo auto-impedância implica em que não existe acoplamento mútuo entre as impedâncias 
individuais. A fim de distinguir os componentes de auto-impedância dos componentes de impedância 
mútua, são empregados duplos subíndices; 
• As partes resistivas das impedâncias componentes podem possuir sinais negativos mesmo que as partes 
reais de !���, !��� e !��� sejam todas positivas; 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 13 
• Os componentes simétricos acima de um conjunto de impedância não equilibradas não devem ser 
confundidos com impedâncias para correntes de seqüências positivas, negativas e zero que são 
definidas como: 
Impedância para seqüência positiva, !��� � 
	���	��; 
Impedância para seqüência negativa, !��� � 
	���	�� ; 
Impedância para seqüência zero, !��� � 
	���	�� . 
Exemplo 5.7 – Considerando as impedâncias ligadas em Y da figura 
ao lado e sabendo-se que: $!��� � 6 � �0 � 6 �0° %; !��� � 5,2 � �3 � 6 � � 29,98° %;!��� � 0 � �12 � 12 �90° %. ' 
Determinar os componentes de seqüência !����, !���� e !���� da 
impedância !���. !���� � �� (6 �0°� 6 � � 29,98°� 12 �90°) � 3,732 � �3,001 � 4,789 �38,804°; !���� � �� (6 �0°� 6 �90,02°� 12 � � 30°) � �� (16,39) � 5,463 �0°; !���� � �� (6 �0°� 6 � � 149,98°� 12 �210°) � �3,196 � �3,001 � 4,384 � � 136,80°. 
Determinar os componentes de seqüência zero, positiva e negativa da impedância !���. !���� � !���� � 4,789 �38,804°; !���� � !���� � � 120° � 5,463 � � 120°; !���� � !���� �120° � 4,384 � � 16,80°. 
Determinar os componentes de seqüências zero, positiva e negativa da impedância !���. !���� � !���� � 4,789 �38,804°; !���� � !���� �120° � 5,463 �120°; !���� � !���� � � 120° � 4,384 � � 256,80° � 4,384 �103,20°. 
Problema 5.7 – Por composição de seus componentes simétricos calcule !��� e !��� do exemplo anterior. 
Problema 5.8 – Dado três impedâncias ligadas em Υ: !��� � 15 � �0; !��� � 6� �3,464 e !��� � 6 � �3,464 ohms, pede-se: 
a) Determinar os componentes simétricos de !���; 
b) Determinar os componentes simétricos de !��� em função daqueles de !��� e comprovar que 
(!���� + !���� +!����) = 6 � �3,464. 
Respostas: !���� � 5 �0°; !���� � 1 �0°; !���� � 9 �0°. 
 
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5.6.3 – Regra de seqüências aplicada às tensões componentes 
Escrevendo-se as quedas de tensões em função dos componentes simétricos, por exemplo, para a fase 
a, obtém-se: ��� � ��� !��=(���� + ���� + ����) × (!���� + !���� + !����) = ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !����.Estes nove componentes de tensão podem ser agrupados de modo a formar componentes de seqüências 
zero, positiva e negativa de ��� de acordo com a regra: 
“A ordem do sistema de tensão à qual um queda IZ pertence é igual à soma das ordens dos 
sistemas aos quais pertencem, individualmente, I e Z”. 
Na aplicação da regra as ordens consideradas são: 1 – seqüência positiva; 2 – seqüência negativa; 0 
ou 3 – seqüência zero. As somas (1 + 0) como (2 + 2) são consideradas de ordem 1. Aplicando esta regra aos 
componentes de ��� obtém-se: ���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !����; ���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !����; ���� � ���� !���� � ���� !���� � ���� !����. 
Expressões similares são válidas para as tensões de fase b e c, ��� e ��� . 
5.6.4 – Aplicação da regra de seqüências a cargas trifilares não equilibradas 
Para carga trifilar com ligação Υ é sabido que as componentes de seqüência zero das correntes de 
fase são nulas. Assim, os componentes de ��� tornam-se: ����� � ���� !���� � ���� !����; ����� � ���� !���� � ���� !����; ����� � ���� !���� � ���� !����. 
Observe que mesmo com ����=0, em geral ����� tem um valor não nulo dado por ����� � ���� !���� � ���� !����. 
Além disso, conhecendo-se as tensões entre linhas, ���� , ���� e ���� determinam-se os valores de ����� e de �����, e, a seguir, obtém-se ����� e ����� que permitem determinar os valores de ���� e de ���� resolvendo-se o 
sistema de equações complexas: 



=







2
1
2
1
01
20
an
an
a
a
anan
anan
V
V
I
I
ZZ
ZZ
&
&
&
&
&&
&&
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 15 
Exemplo 5.8 – Para a carga trifilar com ligação Υ mostrada abaixo e sabendo-se que: 
Tensões entre linhas: 
200=abV& volts; 
4,141=bcV& volts; 
4,141=caV& volts; 
Seqüência de tensões ab-bc-ca; 
abV& na referência. 
 
Impedâncias de fase: Z� 
� � 6 � j0 Ω; Z� �� � 5,2 � j3 Ω; !��� � 0 � �12 Ω. 
 
Pede-se determinar ��� e ���� pelo método dos componentes simétricos. 
Valores fasoriais das tensões entre linhas: 
°∠= 0200abV& ; °−∠= 1354,141bcV& ; °∠= 1354,141caV& volts. 
Componentes simétricos da tensão de linha abV& : 
°∠= 08,1571abV& , °∠= 02,432abV& e 00 =abV& volts. 
Componentes simétricos da tensão de fase anV& : 
°−∠= 30911anV& e °∠= 304,242anV& volts. 
Componentes simétricos da impedância de fase ����: 
����� � 5,47 	0°; ����� � 4,38 	 
 136,8° e ����� � 4,78 	38,8° ohms. 
Componentes simétricos da corrente de fase ��� - resolvendo-se o sistema de equações complexas: 



=







2
1
2
1
01
20
an
an
a
a
anan
anan
V
V
I
I
ZZ
ZZ
&
&
&
&
&&
&&
 ⇒ 


°∠
°−∠=






∠∠
∠∠
304,24
3091
8,8°3 4,780° 5,47
136,8°- 4,388,8°3 4,78
2
1
a
a
I
I
&
&
 obtém-se: 
°−∠= 8,3995,10
1a
I& e °∠= 45,778,11
2a
I&
 
 ampères. 
Corrente de fase ���: 
°∠=++= 2,2283,11
021 aaaa
IIII &&&& ampères. 
Componentes simétricos �����: 
����� � ���� ����� � ���� ����� = 69,14 ∠119,46˚ volts. 
Tensão de fase ����: 
°∠=++= 17,2227,71021 anananan VVVV &&&& volts. 
Problema 5.10 – Para o exemplo anterior calcule ���, ���, ���� e ���� pelo método dos componentes simétricos 
e compare °∠= 0200abV& com (���� - ����). 
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 16 
PROBLEMAS (Capítulo 14 - Corcoran) 
XIV -11. As tensões entre linha e neutro de um sistema trifásico tetrafilar são representadas pelas seguintes 
expressões vetoriais: °∠= 0200aV& , °−∠= 75100bV& e °−∠= 150150cV& . Determinar os componentes de 
seqüências positiva, negativa e zero das tensões acima, e comprovar os resultados obtidos pelas adições 
gráficas dos componentes simétricos. 
XIV -12. As três correntes de linha de uma carga em Y 
tetrafilar (como a mostrada na Fig. XIV-7) orientadas para a 
junção comum são: 
2015 jI an −=& ampères; 
158 jIbn +−=& ampères; 
258 jI cn −=& ampères. 
Determinar 
1an
I& , 
2an
I& e 
0an
I& . 
 
Fig. XIV-7 
XIV.13. As três impedâncias ligadas em Y pelas quais fluem as correntes do problema XIV-12 são, 
respectivamente, 
2020 jZan −=& ohms; 
1030 jZbn +=& ohms; 
2010 jZ cn −=& ohms. 
Determinar 
1an
Z& , 
2an
Z& e 
0an
Z& . Empregar a seqüência an, cn e bn. 
XIV -14. Empregando os componentes simétricos 
1an
I& , 
2an
I& , 
0an
I& , 
1an
Z& , 
2an
Z& e 
0an
Z& determinadas nos 
problemas XIV-12 e XIV-13, calcular ananan ZIV &&& = em função dos mesmos e comprovar o resultado em 
comparação com o valor conhecido de anan ZI && . 
XIV-I5. Supor que as tensões de linha trifásicas mostradas na Fig. 
XIV-14 sejam 
°∠= 0200bcV& , °∠= 120100caV& e °∠= 2102,173abV& . 
a) Determinar 
1bcV& , 2bcV& e 0bcV& ; 
b) Determinar 
1nc
V& , 
2nc
V& e 
0nc
V& . Empregar a seqüência de fases bc, 
ab e ca. 
FIG. XIV-14 - Ver o problema XIV-15. 
XIV-16. As três tensões entre linhas mostradas na Fig. XIV-14, na seqüência ab-bc-ca, são: 
100=abV , 150=bcV e 175=caV volts. 
a) Determinar 
1abV& , 2abV& e 0abV& . 
b) Determinar 
1an
V& e 
2an
V& , tensões em Υ equivalentes da carga em ∆ mostrada na Fig. XIV-14. 
c) Explanar como as correntes de linha podem ser determinadas por meio de 
1an
V& , 
2an
V& e pelas impedâncias 
da carga em ∆. 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 17 
XIV -17. As tensões entre linhas de um sistema trifásico trifilar são 200=abV volts, 4,141=bcV volts e 
4,141=caV volts. A seqüência das tensões é ab-ca-bc. Um conjunto de impedâncias estáticas ligadas em Y 
( °∠= 020anZ& ohms, °∠= 6030bnZ& ohms e °∠= 020cnZ& ohms) está ligado às três linhas a, b e c na ordem 
indicada pelos subíndices. Determinar as correntes de linha anI& , bnI& e cnI& pelo método de componentes 
simétricos. 
XIV-18. Resolver para aI& , na Fig. XIV-13, pelo método de 
componentes simétricos se 200=abV , 2,173=bcV e 100=caV 
volts. A seqüência das tensões entre linhas é ab-bc-ca. 
 
 
 
 
 
Respostas dos PROBLEMAS (Capítulo 14 - Corcoran) 
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 18 
 
 
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos 
 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 19 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo 
Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating 
Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 14, p. 537-569. 
2. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e 
ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 3. p. 193-301.

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