apostila nº4

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Universidade Estácio de Sá - Estatísitca Descritiva - 1
 
VIII - MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 
 
 
Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para caracteri-
zar uma distribuição ou conjunto de valores. 
 
Ex.: Uma empresa opera em três turnos e no final de cada semana, a produção apresentada 
foi a seguinte: 
 
Dias 
Turnos 
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 
I 150 150 150 150 150 
II 70 130 150 180 220 
III 15 67 117 251 300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: Suponha que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produ-
ção diária de uma peça: 
 A = 70, 71, 69, 70, 70 
 B = 60, 80, 70, 62, 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DDEESSVVIIOO MMÉÉDDIIOO AABBSSOOLLUUTTOO ((DDMMAA)) 
 
Várias medidas de Dispersão têm a média como ponto de referência. O DMA mede o desvio médio 
dos valores em relação à média do grupo, ignorando o sinal do desvio. Para calculá-lo deve-se sub-
trair de cada valor do grupo de dados, a sua média, desprezando-se o sinal, e tomando-se a média: 
 
 
Assim, o Desvio Médio Absoluto de um conjunto de números é a média dos desvios dos valores a 
contar da média, ignorando-se o sinal de diferença. 
Apesar de ser facilmente compreensível, o DMA não é muito usado como medida de dispersão, por-
que existem medidas com propriedades mais interessantes. Existem algumas aplicações no controle 
de inventários. 
 
Ex. 
Determinar o desvio médio para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10 
 
Considerando-se os valores absolutos dessas diferenças: 
 
4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12 
 
Assim, o desvio médio será: 
 
DMA = 12 / 5 = 2,4 
 
 
♦♦ VVAARRIIÂÂNNCCIIAA EE DDEESSVVIIOO PPAADDRRÃÃOO 
 
Calcula-se a variância de uma amostra quase da mesma forma que o desvio médio, com duas pe-
quenas exceções: 
1. Os desvios são elevados ao quadrado antes da soma 
2. Toma-se a média dividindo por n-1 (amostra) em lugar de n, porque dá uma melhor estimativa da 
variância populacional. 
Assim, 
 
 
n
xx
DMA
i∑ −
=
6
5
108642
=
++++
=x
4610
268
066
264
462
=−
=−
=−
−=−
−=−
− xxi
1
)( 22
−
−
=
∑
n
xx
s
i
x
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Se um conjunto de números constitui uma população, ou se a finalidade de somar os dados é apenas 
descrevê-los, e não fazer inferências sobre uma população, então deve-se usar n em lugar de (n-1) 
no denominador. 
 
Então, a Variância de uma amostra é a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da 
média, calculada usando-se n-1 em lugar de n. 
 
 
Ex. 
Determinar a variância para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10 
 
xi x xi - x (xi – x)2 
2 6 -4 16 
4 6 -2 4 
6 6 0 0 
8 6 +2 4 
10 6 +4 16 
 Σ 0 40 
 
 
 
 
Se esses valores representassem toda uma população, a variância seria 40/5 = 8. 
 
Para dados tabelados, agrupados, ou não, é necessário levar-se em conta a freqüência de cada ele-
mento da série. Assim, 
 
 
 
 
O DDeessvviioo PPaaddrrããoo é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
 
 
IINNTTEERRPPRREETTAAÇÇÃÃOO DDOO DDEESSVVIIOO PPAADDRRÃÃOO:: 
 
O desvio padrão é, sem dúvida, a mais importante das medidas de dispersão. 
 
É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padrão com os dados da 
série. 
 
 
10
15
40
1
)( 22
=
−
=
−
−
=
∑
n
xx
s
i
1
.)( 22
−
−
=
∑
n
fixx
s
i
x
2
xx ss =
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Quando uma curva de freqüência representativa da série é perfeitamente simétrica como a curva 
abaixo, podemos afirmar que o intervalo [ x – σ, x + σ] contém aproximadamente 68% dos valores 
da série: 
 
 
 
 
 
 σ σ 
 
 
O intervalo [ x – 2σ, x + 2σ] contém aproximadamente 95% dos valores da série. 
 
O intervalo [ x – 3σ, x + 3σ] contém aproximadamente 99% dos valores da série. 
 
Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpretação poderão mais tarde ser comprova-
dos, com maior precisão. 
 
Assim, quando se afirma que uma série apresenta média x = 100 e desvio padrão s(x) = 5, pode-se 
interpretar estes valores da seguinte forma: 
 
Os valores da série estão concentrados em torno de 100. 
O intervalo [95,105] contém, aproximadamente, 68% dos valores da série. 
O intervalo [90,110] contém, aproximadamente, 95% dos valores da série. 
O intervalo [85,115] contém, aproximadamente, 99% dos valores da série. 
 
As medidas de dispersão estudadas são medidas absolutas e, portanto, avaliam a dispersão absoluta 
da série. Todas elas são diretamente proporcionais à dispersão absoluta. 
 
 
MMEEDDIIDDAASS DDEE DDIISSPPEERRSSÃÃOO RREELLAATTIIVVAASS 
 
O cálculo da dispersão relativa considera a média da série estudada. Assim, permite minimizar possí-
veis erros cometidos na avaliação da dispersão comparativa de duas séries. 
 
Assim, temos: 
 
CCooeeffiicciieennttee ddee VVaarriiaaççããoo:: 
 
VVaarriiâânncciiaa RReellaattiivvaa:: 
 
 
 
 
 
 
 
x
x
xCV )()( σ=
2
2 )()(
x
x
xV σ=
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As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser 
analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mos-
trando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central. 
 
 
1 - Variância 
 
É a média dos quadrados dos desvios. 
 
 
♦ Dados não tabulados: 
 
Fórmula Original 
n
)XX(
2
i2 ∑ −
=σ → para dados populacionais 
 
1n
)XX(
S
2
i2
−
−
=
∑ → para dados amostrais 
 
 
Fórmula Desenvolvida 








−=σ ∑∑
n
)X(
X
n
1 2i2
i
2 → para dados populacionais 
 








−
−
=
∑
∑
n
)X(
X
1n
1
S
2
i2
i
2 → para dados amostrais 
 
 
 
 
♦ Dados tabulados: 
 
Fórmula Original 
n
fi)XX(
2
i2 ∑ −
=σ → para dados populacionais 
 
1n
fi)XX(
S
2
i2
−
−
=
∑ → para dados amostrais 
 
Fórmula Desenvolvida 








−=σ ∑∑
n
)fiX(
fiX
n
1 2i2
i
2 → para dados populacionais 
 








−
−
=
∑
∑
n
)fiX(
fiX
1n
1
S
2
i2
i
2 → para dados amostrais 
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1.1 - Propriedades da Variância 
 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto 
de números, a variância não se altera. 
 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um 
conjunto de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante. 
 
 
 
 
2 - Desvio Padrão 
 
É a raiz quadrada da variância. 
 
2σ=σ → para dados populacionais 
 
2SS = → para dados amostrais 
 
 
2.1 - Propriedades do Desvio Padrão 
 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto 
de números, o desvio padrão não se altera. 
 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um 
conjunto de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante. 
 
 
 
 
3 - Coeficiente de Variação 
 
É acomparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média. 
 
100.
X
CV
σ
= → para dados populacionais 
 
100.X
S
CV = → para dados amostrais 
 
 
 
 
 
 
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