Atividade cálculo

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Atividade Estruturada 
 
 
Aplicações de Equações 
Diferenciais Ordinárias 
 
 
DISCIPLINA:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
PROFESSOR: ANA LUCIA DE SOUSA 
ALUNO: LUIZ FERNANDO DUARTE NASCIMENTO 
MATRÍCULA: 201408440849 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
16 de novembro de 2017 
2 
 
1. Introdução 
Dentre as muitas aplicações de equações diferenciais na engenharia 
civil é possível citar a determinação da deflexão e rotação de diferentes pontos 
ao longo de um elemento estrutural. Este cálculo é de suma importância para o 
dimensionamento da estrutura, tanto no aspecto da segurança quanto no seu 
desempenho. 
2. Desenvolvimento teórico 
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo 
uma deflexão (ν) e uma rotação (θ). 
 
Conforme ilustra a figura: 
�. �� = �� 
� = 	
1
�
	→ � = 	
��
��
 
Em geral, as rotações em uma viga são ângulos muito pequenos, o que 
permite fazer algumas considerações: 
�� ≈ ��	 → � = 	
��
��
 
� = ������
��
��
�;	���	 ≈ �;	
��
��
= � 
Logo, fazendo: 
��
��
= 	
�²�
��²
 
� = 	
�²�
��²
 
3 
 
Para materiais elásticos, 
� = 	
�
�	. ��
 
Então se pode concluir que: 
�²�
��²
= 	
�
�	. ��
 
3. Aplicação 
Para calcular a deflexão máxima em uma vigabi-apoiada submetida ao 
uma carga distribuída (q) ao longo de todo o seu comprimento (L), é possível 
utilizar a equação diferencial desenvolvida acima. 
 
A equação do momento nesse caso é: 
� = 	
���
2
−
��²
2
 
���	. �
��. �� = 	
���
2
−
���
2
	. �� 
���	. � �
�� . �� = 	� �
���
2
−
���
2
�	. �� 
���	. � �
� = 	� �
���²
4
−
��³
6
+ ��� 
���	. � = 	
���³
12
−
���
24
+ ��. � + �� 
A solução exige a aplicação de algumas condições de contorno. Sabe-
se que nas extremidades, onde estão os apoios rígidos, a deflexão da viga é 
nula, ou seja, em x=0 e x=L, o valor de v = 0. 
Sendo assim, 
� = 0	 → ���	. 0 = 	
��0³
12
−
�0�
24
+ ��. 0 + �� 	→ 	�� = 0 
� = �	 → ���	. 0 = 	
��. �³
12
−
���
24
+ ��. �	 → �� = −
��³
24
 
 
4 
 
Desta forma, fica definida a equação da linha elástica de uma viga bi-
apoiada submetida a uma carga distribuída: 
� = 	
1
���	
�
���³
12
−
���
24
−
��³�
24
� 
A deflexão máxima ocorre no meio do vão (x = L/2) e é igual a: 
��á� = 	
1
���	
�
��(
�
�
)³
12
−
�(
�
�
)�
24
−
��³(
�
�
)
24
� 
��á� = 	
�
���	
�
��
96
−
��
384
−
��)
48
� 
��á� = 	
−5���
384. ���