1a Lista Probabilidade I

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PROBABILIDADE I
Lista 01
Data da lista: 28/08/2017
Preceptor: Renan
Cursos atendidos: Estatística
Coordenador: Angela Maria Marcone
1. Dada a função
f(x) =
{
2e−2x , x ≥ 0
0 , x < 0
(a) Mostre que esta é uma função densidade de probabilidade.
(b) Calcule a probabilidade de X > 10.
2. Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua fdp for dada
por
f(x) =

0 , x < 0
cx , 0 ≤ x ≤ 1/2
c(1− x) 1/2 < x ≤ 1
0 , x > 1
(a) Qual valor deve ter a constante c?
(b) Faça o gráfico da f(x).
(c) Determine Pr(X ≤ 1/2), Pr(X > 1/2) e Pr(1/4 ≤ X ≤ 3/4).
3. Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10 cm e sejaX a distância
do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A fdp de X é
f(x) =
{
kx , se 0 ≤ x ≤ 10
0 , para os demais valores
(a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo se esse for um círculo de 1 cm de
raio?
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(b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional
à sua área.
4. Dada a função
f(x) =
{ c
x2
, x ≥ 10
0 , x < 10
(a) Encontre o valor da constante c.
(b) Encontre Pr(X > 15).
5. Seja uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por
f(x) =
{
λxe−x/2 , x > 0
0 , c.c.
(a) Calcule o valor da constante λ.
(b) Calcule a função de distribuição acumulada.
(c) Calcule Pr(X > 2) pela fdp e pela fda.
6. Para alguma constante c a variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade
f(x) =
{
cxn , 0 < x < 1
0 , c.c.
(a) Encontre c.
(b) Calcule Pr(X > x), 0 < x < 1.
7. Uma variável aleatória X tem função de distribuição
F (x) =

1 , x > 1
x3 , 0 ≤ x ≤ 1
0 , x < 0
Qual a densidade de X?
8. A v.a. contínua X tem fdp
f(x) =
{
3x2 , −1 ≤ x ≤ 0
0 , c.c.
Se b for um número que satisfaz −1 < b < 0, calcule Pr(X > b|X < b/2).
9. Suponha que X seja uma variável aleatória com densidade
f(x) =
{
5e−5x , x ≥ 0
0 , c.c.
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(a) Mostre que a função acima é, de fato, uma função densidade de probabilidade para
X.
(b) Determine a função de distribuição acumulada de X e utilize-a para determinar os
quartis de X (Q1, Q2, Q3).
10. Um ponto x é escolhido aleatoriamente em um segmento de linha de comprimento L.
Determine a probabilidade de que a razão entre o menor e o maior segmento, delimitados
por x, seja menor do que 1/4.
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