Curso Probabilidade e Estatistica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias) Período 2004.1
Professores: Alexsandro Cavalcanti, Amanda dos Santos e Rosângela Silveira Data:
Aluno(a): .
1a NOTA DE AULA
1 Introdução à Estatística
1.1 A Ciência Estatística
O conceito de Estatística pode ser considerado de duas maneiras. O primeiro conceito,
logo relaciona a Estatística com tabelas e gráficos nos quais os dados obtidos são represen-
tados, ou melhor, relaciona a números específicos. Ouvimos, assim, falar em estatísticas
do IBGE, estatísticas relacionadas à saúde e educação, índices econômicos, pesquisas de
opinião, etc. Um segundo conceito refere-se ao conjunto de processos ou técnicas em-
pregadas na investigação e análise de fenômenos. Neste caso, a Estatística é a ciência
ou método científico que estuda os fenômenos aleatórios e, procura inferir as leis que os
mesmos obedecem. Assim, um conceito mais abrangente e absoluto deve englobar tanto o
primeiro conceito, o qual é o mais popular, quanto o segundo, o qual normalmente escapa
à noção corrente.
Definição 1.1 (Estatística). A Estatística é uma ciência que se preocupa com a
coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados, a fim de extrair in-
formações a respeito de uma população.
Dentro dessa idéia, podemos considerar a Ciência Estatística como dividida basica-
mente em duas partes:
1. Estatística Descritiva - que se preocupa com a organização e descrição dos dados
experimentais;
2. Estatística Inferencial - que, a partir da observação de alguns dados experimentais,
realiza a análise e interpretação de dados com o objetivo de generalizar e prever
resultados, utilizando-se para isto da Teoria das Probabilidades.
Nesta disciplina, serão abordados tópicos referentes à estatística descritiva, conceitos
fundamentais de probabilidade e os modelos probabilísticos mais importantes para o estudo
da inferência estatística.
1
1.2 Conceitos Fundamentais
Um dos principais conceitos utilizados na estatística é o de população.
1.2.1 População e Amostra
Definição 1.2 (População). A população é um conjunto de todos os elementos (pes-
soas, objetos, etc) que possuem pelo menos uma característica em comum, a(s) qual(is)
os relacionam ao problema que está sendo estudado.
Exemplo 1.1. Se o problema a ser pesquisado está relacionado com a qualidade de um
certo produto produzido numa indústria, a população pode ser composta por todas as
peças produzidas numa determinada hora, turno, dia ou mês, dependendo dos objetivos;
Exemplo 1.2. Se o objetivo de um estudo é pesquisar o nível de renda familiar de uma
certa cidade, a população seria todas as famílias desta população. Mas, se o objetivo
fosse pesquisar apenas a renda mensal do chefe da família, a população a ser pesquisada
seria composta por todos os chefes de família desta cidade.
A População pode ser:
1. Finita - quando o número de unidades de observação pode ser contado e é limitado;
2. Infinita - quando a quantidade de unidades de observação é ilimitada;
Podemos citar como exemplo de população finita o conjunto formado pelos alunos
que cursam a disciplina de estatística num determinado semestre da UFCG. Um exemplo de
população infinita seria o conjunto formado por todos os alunos de estatística do Brasil,
pois este conjunto é composto por um número incontável de elementos.
Definição 1.3 (Amostra). A amostra é apenas uma parte da população, ou seja, é
um subconjunto da população.
Vários motivos levam a necessidade de se observar apenas uma parte da população,
como, por exemplo: a falta de tempo, recursos financeiros e/ou humanos. A amostra deve
ser obtida através de técnicas de amostragem, as quais tem como objetivo principal garantir
a representatividade da população, ou seja, fazer com que a amostra seja um retrato fiel
da população.
Exemplos de amostra podem ser considerados por conjuntos formados por apenas uma
parte dos elementos populacionais descritos nos exemplos 1 e 2.
1.2.2 Parâmetro e Estatística
Dois novos conceitos estreitamente relacionados com os de população e amostra são
os de Parâmetro e Estatística, tendo em vista que:
2
Definição 1.4 (Parâmetro). é uma medida numérica que descreve uma característica
da população.
Definição 1.5 (Estatística). é uma medida numérica que descreve uma característica
da amostra.
Exemplos de algumas medidas numéricas são: proporção, média, moda, índices, etc.
1.2.3 Variáveis (ou Dados) e Tipos de Variáveis
Definição 1.6 (Variável). Uma Variável nada mais é que uma característica (ou
dado) associada a cada elemento da população ou amostra. A variável apresenta difer-
entes valores, quando sujeita a mensurações sucessivas, e, em geral, é denotada pelas
letras maiúsculas: X, Y ou Z.
Antes de realizar qualquer tratamento estatístico de um conjunto de dados, é impor-
tante identificar qual é o tipo de dado (ou variável) que será analisado, pois, é mediante a
este conhecimento que o pesquisador poderá ou não adotar determinadas técnicas estatís-
ticas para a resolução de problemas. Por exemplo, será que é possível calcular o peso médio
de lutadores de boxe, quando os dados são coletados segundo a categoria de peso (Leve,
Médio e Pesado)?
Tipos de Variáveis
Basicamente, as variáveis podem ser classificadas como sendoQualitativas ouQuan-
titativas.
1. Variáveis Qualitativas - quando os valores que elas podem receber são referentes
à qualidade, atributo ou categoria. Exemplos são:
• Raça: podendo assumir os valores Branco ou Negro;
• Resultado de um teste: aprovado ou reprovado;
• Escolaridade: 1◦ grau completo, 2◦ grau completo, superior, pós-graduado;
• Conceito de qualidade: péssima qualidade, regular ou boa qualidade.
As variáveis qualitativas podem, ainda, ser classificadas como: Nominais ou Ordi-
nais.
(a) As variáveis qualitativas nominais - são caracterizadas por dados que se
apresentam apenas sob o aspecto qualitativo (Ex: raça e resultado de um teste).
(b) As variáveis qualitativas ordinais - são caracterizadas por categorias que
aprentam uma ordenação natural. Por exemplo: escolaridade e conceito de
qualidade.
3
2. Variáveis Quantitativas - quando os valores que ela pode assumir são numéricos,
os quais podem ser obtidos através de uma contagem ou mensuração.
As variáveis quantitativas podem ser classificadas de acordo com o processo de
obtenção; podendo ser: Discreta ou Contínua.
(a) As variáveis quantitativas discretas - são variáveis numéricas obtidas a partir
de procedimento de contagem. Por exemplo: Quantidade de pessoas numa
família, quantidade de acidentes numa indústria, etc.
(b) As variáveis quantitativas contínuas - são variáveis numéricas cujos valores
são obtidos por um procedimento de mensuração, podendo assumir quaisquer
valores num intervalo dos números reais, como por exemplo, a temperatura,
altura, salário, etc..
Observação 1. O fato de uma variável ser expressa por números não significa que ela
seja necessariamente quantitativa, por que a classificação da variável depende de como
foi medida, e não do modo como se manifesta. Por exemplo, para a variável peso de
um lutador de boxe, se for anotado o peso marcado na balança, a variável é quantitativa
contínua; por outro lado, se esse peso for classificado segundo as categorias do boxe, a
variável é qualitativa ordinal.
4
1a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Defina e/ou explique com suas próprias palavras, o que você entende por Ciência
Estatística e quais os principais ramos (partes) da Estatística.
2 - Através de um exemplo, defina: População e Amostra.
3 - Considere as seguintes situações:
1) Em uma pesquisa, feita pela EMPETUR com 1015 pousadas escolhidas aleato-
riamente,269 (ou 26,5%) possuíam Home-page na Internet para divulgação e
prestação de serviços ao turista.
2) Outra pesquisa feita entre as 50 Agências de Viagens de uma certa localidade
mostra que 42 (ou 84%) prestam serviços pela Internet.
Identifique em qual das situações nós temos um exemplo de Parâmetro e outro de
Estatística (no sentido de medida). Justifique sua resposta.
4 - O que você entende por variável? Justifique a sua resposta por intermédio de um
exemplo.
5 - Como você diferencia uma variável discreta de uma variável contínua? Utilize um
exemplo para melhor ilustrar.
6 - Defina e/ou explique com suas próprias palavras, o que você entende por amostragem.
7 - Qual é o principal objetivo de qualquer plano de amostragem?
8 - As estatísticas geradas por intermédio de uma amostra devem ser representativas
desta amostra ou da população de origem? Justifique a sua resposta.
9 - Para que uma amostra seja representativa, é necessário apenas que a mesma tenha
um tamanho apropriado? Justifique a sua resposta.
10 - A Revista dos Eventos, N 13, tentando sanar, ao menos parcialmente, a carência
de informações precisas sobre a indústria de eventos, promoveu a 1a PESQUISA -
O Mercado de Congressos no Brasil. Os resultados desta pesquisa se baseiam em
40 questionários respondidos sobre um total de 1000, os quais foram encaminhados
por entrega pessoal a dirigentes de entidades integrantes do cadastro da própria
Revista dos Eventos. Qual é o problema ou a limitação desta pesquisa? Pelo menos
teoricamente, qual seria o melhor procedimento para este tipo de pesquisa, já que a
empresa possui um cadastro das entidades?
11 - Classifique cada uma das informações (variáveis) abaixo, de acordo com os tipos de
variáveis.
a) Nome
b) Nível de satisfação
c) Idade
d) Número de dias hospedado
5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias) Período 2004.2
Professores: Alexsandro Cavalcanti, Amanda dos Santos e Rosângela Silveira Data:
Aluno(a): .
2a NOTA DE AULA
2 Estatística Descritiva
A estatística pode ser considerada como um instrumento ou um conjunto de métodos
matemáticos que devem ser utilizados quando se pretende transformar dados em informação.
Para ilustrar este processo, veja a Figura 1:
12 15 18
15 12 18
18 15 18
17 19 20
Conjunto de dados
⇒
Média
Moda
Mediana
Proporção
Quantis
Conjunto de informações
Figura 1
No primeiro retângulo, tem-se um conjunto de observações da variável idade de um
grupo de 12 pessoas e, no segundo retângulo, as estatísticas (informações) que podem
representar esses números.
2.1 Organização de dados: Tabelas e Gráficos
2.1.1 Distribuição de Frequências
O primeiro passo para se resumir um conjunto de dados é ordená-los em ordem cres-
cente ou decrescente, e proceder a contagem do número de ocorrência (freqüência) de cada
dado. À ordenação dos dados denominamos de Rol. Assim, o rol para o conjunto de dados
da Figura 1 fica:
Rol de dados:
12 12 15 15 15
17 18 18 18 18
19 20
Desta maneira, fica fácil verificar a freqüência com que cada um dos dados foi obser-
vado, por exemplo: o valor 12 ocorreu 2 vezes; o valor 15 ocorreu 3 vezes, e assim por
diante.
6
Uma maneira adequada de apresentar os dados e suas respectivas freqüências é através
de uma Tabela de Freqüências, a qual é constituída por uma coluna referente aos
dados e outra referente às freqüências associadas a cada valor observado (ni). Veja
como fica para o conjunto de dados da Figua 1:
Tabela 1: Tabela de Freqüências da variável
idade, para um grupo de 12 pessoas.
Idade Frequência (ni)
12 2
15 3
17 1
18 4
19 1
20 1
Total de observações (n) 12
Uma medida bastante útil na interpretação de tabelas de freqüências é a freqüência
relativa (fi), a qual é dada pela razão entre a freqüência do i-ésimo valor observado, ni e o
total de dados observados, n. Pode-se, ainda, representar a freqüência relativa em termos
de porcentagem, bastando para isso multiplicar a freqüência relativa fi por 100.
Para alguns tipos de variáveis, tais como a qualitativa ordinal e as quantitativas (disc-
reta ou contínua), pode ser útil também, a informação de quantas observações apresentam
valores menores ou iguais a um certo valor fixado. Este tipo de informação é denominado
de freqüência acumulada, fac, a qual também pode ser expressa em termos relativos ou
por porcentagens.
Vejamos, agora, como fica a tabela de freqüências anterior com estas informações
adicionadas:
Tabela 2: Tabela de Freqüências da variável
idade, para um grupo de 12 pessoas.
Idade ni fi fi × 100 (%) fac (%)
12 2 0,1667 16,67 16,67
15 3 0,2500 25,00 41,67
17 1 0,0833 8,33 50,00
18 4 0,3333 33,33 83,33
19 1 0,0833 8,33 91,67
20 1 0,0833 8,33 100,00
Total (n) 12 1,0000 100,00
Observação: Ao conjunto de todos os pares de valores, referentes a cada dado obser-
vado e sua respectiva freqüência, denominamos de Distribuição de Freqüências. Desta
forma, os pares (12, 2), (15, 3), (17, 1), (18, 4), (19, 1) e (20, 1) representam a distribuição
de freqüências da variável idade para esse grupo de pessoas.
7
Representação Gráfica
Uma representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável tem a van-
tagem de, numa maneira rápida e concisa, informar sobre a variabilidade da mesma.
Gráfico de Colunas - é mais adequado para variáveis discretas mas também pode ser
utilizado para variáveis qualitativas ordinais, ou ainda, para variáveis qualitativas nominais
cujos nomes das categorias são pequenos.
Neste gráfico, cada valor observado é representado por retângulos de mesma base
e alturas proporcionais às freqüências. Para ilustrar, veja como fica este gráfico para a
distribuição de freqüências da variável idade, utilizando a freqüência absoluta e relativa em
termos de porcentagem:
Figura 1:
Figura 2:
2.1.2 Distribuição de Frequências para Dados Agrupados em Classes
Em algumas situações, é necessário o agrupamento de dados em categorias ou classes
para se proceder a construção de uma tabela de freqüências. Por exemplo, em um conjunto
de dados contínuos, um mesmo valor não ocorrerá com grande freqüência, ou até mesmo,
não se repetirá por mais de uma vez. Uma vantagem em agrupar os dados em classes
consiste na organização de grandes conjuntos de dados de forma mais clara e objetiva.
Por outro lado, uma desvantagem, consiste na perda de informações por não se saber
exatamente quais os valores ocorridos dentro de cada classe.
Para ilustrar como proceder a construção de uma tabela de freqüências em classes,
considere o seguinte conjunto de dados:
Tabela: Dados referentes às notas no 1o estágio de 20 estudantes de estatística.
Código do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota 7,5 8,0 9,0 7,3 6,0 5,8 10,0 3,5 4,0 6,0
Código do aluno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nota 7,5 7,0 8,5 6,8 9,5 9,8 10,0 4,8 5,5 7,0
8
Note que, não haverá vantagem alguma se organizarmos estes dados numa tabela de
freqüências, uma vez que os dados pouco se repetem. Assim, torna-se útil o agrupamento
dos dados, que, de um modo geral, pode ser feito de acordo com os seguintes passos:
1. Organizar os dados num Rol.
2. Estabelecer o Número de Intervalos (categorias ou classes) para se dividir o con-
junto de dados.
A escolha do número de classes é arbitrária, a qual pode ser estabelecida de acordo
com o bom senso do pesquisador ou obtido por alguma fórmula matemática
construída para este fim. Uma sugestão prática é a escolha entre 5 e 15 classes com
a mesma amplitude e duas fórmulas matemáticas que podem orientar na escolha do
número de classes, são:
(a) k =
√
n
(b) k = 1 + 3, 3× log(n)
Onde k é o número declasses e n é o número total de observações.
3. Calcular a Amplitude Total:
ATot = xma´x − xmi´n
Onde xma´x e xmi´n é o valor máximo e mínimo observado no conjunto de dados.
4. Determinar a Amplitude de Classe:
h =
ATot
k
5. A partir do menor valor observado no conjunto de dados, ou de algum valor imediata-
mente inferior e adequadamente escolhido, delimitar as classes, ou seja, determinar
os limites inferiores e superiores de cada classe.
Neste momento, os seguintes símbolos são úteis:
(a) li − |Li - para indicar que o valor extremo inferior (li) não pertence à i− sima
classe, enquanto que o valor extremo superior (Li) pertence.
(b) li|−Li - para indicar que o valor extremo inferior (li) pertence à i−sima classe,
enquanto que o valor extremo superior (Li) não pertence.
6. Após todos estes passos, só resta proceder a contagem do número de observações
pertencentes à cada uma das classes e organizar estas informações numa tabela de
freqüências para dados agrupados.
De acordo com estes passos, o conjunto de dados anterior pode ser organizado como:
9
(Construir a tabela de freqüências para dados agrupados)
Representação Gráfica de uma Variável Quantitativa Contínua - Histograma
Para a representação gráfica de variáveis quantitativas contínuas é necessário alguma
adaptação do gráfico de colunas, uma vez que, em geral, é necessário agrupar os dados em
classes e conseqüentemente há perda de informações.
Histograma - é um gráfico indicado para representar dados agrupados em classes.
Este gráfico é uma adaptação do gráfico de colunas, onde as bases correspondem aos
intervalos de classe e as alturas são proporcionais às freqüências de classe. Veja como fica
o histograma para a distribuição das notas:
(Construir o histograma para a distribuição de freqüências em classes)
2.2 Medidas Resumo para Variáveis Quantitativas
Nesta seção veremos algumas medidas que tem como objetivo resumir um conjunto
de dados em um único valor o qual possa fornecer informações sobre o comportamento dos
dados, ou seja, sobre a distribuição de freqüências da variável.
2.2.1 Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são bastante utilizadas e representam o centro ou o
meio de um conjunto de dados. As principais são: a mediana, a moda, e a média aritmética.
A seguir estas medidas são definidas e obtidas para os dois seguintes conjuntos de
dados que representam o número de gols registrados em cada partida de futebol, durante
5 e 6 jogos, respectivamente:
Conjunto de dados 1: Número de gols por partida de futebol, em 5 jogos.
3 2 1 2 5
10
Conjunto de dados 2: Número de gols por partida de futebol, em 6 jogos.
5 3 2 1 2 5
1. Mediana - é o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas partes
iguais, ou seja, 50% das unidades observadas possuem valores menores ou iguais ao
valor mediano e as demais 50% possuem valores acima da mediana.
Para se obter o valor da mediana é necessário os seguintes passos:
1◦) Ordenar o conjunto de dados em ordem crescente (ou descrescente);
2◦) Identificar a posição central do conjunto de dados, ou seja, a posição onde
se encontra o valor da mediana. Esta(s) posição(ões) pode(m) ser verificada(s)
utilizando-se as seguintes fórmulas:
(a) PMd =
n+1
2
, se o total de observações, n, é ímpar. Assim, a mediana será
o valor observado na posição PMd;
(b) P1Md =
n
2
e P2Md =
n
2
+1, se o total de observações, n, é par. Pois, neste
caso, existem duas posições centrais e a mediana será a média aritmética dos
valores observados nestas duas posições.
Notação: Md ou Md(X).
11
Exemplo 1: A partir do conjunto de dados 1, pode-se obter o seguinte rol de dados:
1 2 2︸︷︷︸
mediana
3 5
Note que, o número de observações, n = 5, é ímpar, logo o valor da mediana (valor
central) está na posição PMd =
n+1
2
= 5+1
2
= 3, que é igual a Md = 2.
Exemplo 2: Ordenando em ordem crescente o conjunto de dados 2, teremos o
seguinte rol de dados:
1 2 2 3︸︷︷︸
dois valores centrais
5 5
Agora, neste caso, o número de observações, n = 6, é par, e, portanto, existem dois
valores centrais localizados nas posições P1Md =
n
2
= 6
2
= 3 e P2Md =
n
2
+ 1 =
3 + 1 = 4. Assim, a mediana será a média aritmética dos valores que se encontram
nestas duas posições, dada por:
Md =
xP1Md + xP2Md
2
=
2 + 3
2
= 2, 5.
Observação:
Pode-se, também, obter a posição da mediana através dos seguintes passos:
1◦) Obter o valor que representa a metade do total de observações: PMd = n2 ;
2◦) Utilizar a seguinte regra:
(a) Se PMd for um número não inteiro, então, arredonda-se o valor de PMd para
o maior inteiro mais próximo, e, assim, o valor da mediana estará nesta nova
posição obtida.
(b) Se PMd for um número inteiro, então o valor da mediana será a média aritmética
dos valores que estão nas posições PMd e PMd + 1.
Exemplo 3: Utilizando-se os procedimentos descritos na observação acima, temos
que, para o conjunto de dados 1, PMd =
n
2
= 5
2
= 2, 5 (não inteiro), logo o valor da
mediana estará na posição PMd = 3 (maior inteiro mais próximo), que é dado por
Md = 2.
Exemplo 4: No conjunto de dados 2, temos PMd =
n
2
= 6
2
= 3 (inteiro), assim, de
acordo com o procedimento descrito na observação acima, temos que a mediana é
dada pela média aritmética dos valores observados nas posições PMd = 3 e PMd+1 =
3 + 1 = 4:
Md =
xP1Md + xP2Md
2
=
2 + 3
2
= 2, 5.
12
2. Moda - é o valor (ou os valores) no conjunto de dados que ocorre(m) com maior
freqüência.
Notação: Mo ou Mo(X).
Exemplo 5: O primeiro conjunto de dados, 1 2 2 3 5, é dito ser unimodal,
tendo em vista que um único valor ocorre com maior frequência. Assim, a moda é
Mo = 2.
Exemplo 6: O segundo conjunto de dados, 1 2 2 3 5 5, é dito ser bimodal,
tendo em vista que, neste caso, dois valores ocorrem com maior frequência, assim,
os valores modais são: Mo = 2 e Mo = 5.
3. Média Aritmética (Média) - é obtida a partir da razão entre a soma dos valores
observados e o total de observações:
Média =
soma dos valores
total de observações (n)
Notação: Me, Me(X) ou x.
Exemplo 7: A partir do conjunto de dados 1, a média é obtida por:
Me(X) = x =
soma dos valores
total de observações (n)
=
1 + 2 + 2 + 3 + 5
5
= 2, 6.
Observação:
1) A média aritmética pode ser expressa através do uso do símbolo de somatório∑
(sigma). Por exemplo, se x1, x2, . . . , xk são k valores distintos da variável X,
podemos escrever:
Me(X) = x =
x1 + x2 + . . .+ xk
k
=
1
k
k∑
i=1
xi
Agora, se, de um total de n valores observados (ou observações), x1 ocorreu n1 vezes,
x2 ocorreu n2 vezes,..., xk ocorreu nk vezes, então a média de X pode ser reescrita
como:
Me(X) = x =
x1.n1 + x2.n2 + . . .+ xk.nk
n
=
1
n
k∑
i=1
xi.ni (1)
=
k∑
i=1
xi.
ni
n
(2)
=
k∑
i=1
xi.fi. (3)
Onde:
13
• ni é freqüência absoluta do valor observado xi,
• n =∑ki=1 ni é o total de observações, e,
• fi é freqüência relativa do valor observado xi.
Exemplo 8: A partir do segundo conjunto de dados, 1 2 2 3 5 5, temos:
Me(X) = x =
1
n
k∑
i=1
xi.ni =
1
6
(1× 1 + 2× 2 + 3× 1 + 5× 2) = 18
6
= 3.
Exercício: Dado o seguinte conjunto de dados:
12 12 15 15 15 17 18 18 18 18 19 20
Determine a média, moda e mediana.
Solução:
2.2.2 Medidas de Tendência Central para Dados Agrupados
Sabemos que ao agrupar um conjunto de dados em classes, perde-se informação sobre
cada valor individual e, no caso em que seja impossível recuperar cada valor observado,
pode-se supor que todos os dados dentro de uma classe tenham seus valores iguais ao
ponto médio desta classe. Assim, pode-se, por exemplo, utilizar os pontos médios das
classes e suas respectivas freqüências para calcular a média aritméticade maneira análoga
ao exposto anteriormente. Da mesma forma, pode-se adotar como valor modal, o ponto
médio da classe modal e como mediana, o ponto médio da classe mediana.
Exemplo: Dada a seguinte distribuição de freqüência da variável S=salário (dados
agrupados em classes):
Salário Frequência Absoluta
4, 00| − 8, 00 10
8, 00| − 12, 00 12
12, 00| − 16, 00 8
16, 00| − 20, 00 8
20, 00| − 24, 00 2
Determine o valor (aproximado) da média, moda e mediana.
14
Solução:
2.2.3 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade
Na sumarização de um conjunto de dados, uma única medida representativa da posição
central, esconde toda a informação sobre a variabilidade dos dados. Veja, por exemplo, os
seguintes dados:
Variável X : 3 4 5 6 7
Variável Y : 3 5 5 7
Note que a média Me(X) = Me(Y ) = 5, a qual nada informa sobre a variação dos
valores nos dois grupos. Assim, torna-se importante o conhecimento de uma medida que
forneça este tipo de informação.
Na prática, existem várias medidas que expessam a variabilidade de um conjunto de
dados, sendo que as mais utilizadas baseam-se na idéia que consiste em verificar a distância
de cada valor observado em relação à média. Estas distâncias são denominadas de desvios
em relação à média.
Definição 2.1 (Variância). - é uma medida que representa a variabilidade de um
conjunto de dados e, é obtida pelo cálculo da média dos quadrados dos desvios em
relação à média:
V ar(X) = s2 =
1
n
k∑
i=1
(xi − x)2ni
15
Vejamos, agora, como fica a variância para as variáveis X e Y :
Assim, de acordo com a variância, podemos dizer que a variável X apresenta ...
Observação: Para o cálculo da variância, quando os dados estão agrupados em
classes, basta substituir o valor xi por si, ou seja, utilizar a mesma fórmula da variância,
substituindo os verdadeiros valores observados pelo ponto médio da i-ésima classe.
Definição 2.2 (Desvio Padrão). - é a raiz quadrada da variância.
D.P.(X) = s =
√
s2 =
√√√√ 1
n
k∑
i=1
(xi − x)2 × ni
O uso do desvio padrão como medida de variabilidade é preferível pelo fato de ser
expresso na mesma unidade de medida dos valores observados. Pois, a variância pode
causar problemas de interpretação por ser expressa em termos quadráticos.
Definição 2.3 (Coeficiente de Variação). - O coeficiente de variação (CV) é uma
medida relativa de variabilidade. O seu valor é determinado por intermédio do quo-
ciente entre o desvio padrão e a média aritmética dos dados.
CV (X) =
s
x
× 100 (expresso em porcentagem (%))
A utilidade imediata do coeficiente de variação é a possibilidade de avaliar o grau
de representatividade da média. Esta medida também é bastante útil na comparação
entre conjunto de dados, em relação à variabilidade; ainda que as unidades de medida nos
conjuntos de dados sejam distintas. Por exemplo, comparar a variabilidade das distribuições
da variável peso expressa em quilogramas (Kg) e altura expressa em metros (m).
Um critério de decisão sobre a representatividade ou não da média, pode ser dada pela
seguinte linha de corte:
Se CV ≥ 50%, a média não é representativa.
Se CV < 50%, a média é representativa.
Exemplos:
a) O desvio padrão das variáveis X e Y é DP (X) = DP (Y ) = s =
√
2 = 1, 41.
b) Considere os quilômetros rodados por 3 carros: 30 Km, 40 Km e 50 Km. Calcule
a média, a variância, o desvio padrão e o CV. Interprete essas medidas.
16
2.2.4 Medidas de Posição: Quartis, Decis e Percentis
Assim como a mediana divide os dados em duas partes iguais, os três quartis, denota-
dos por Q1, Q2 e Q3, dividem as observações ordenadas (em ordem crescente) em quatro
partes iguais. A grosso modo:
- Q1 separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos valores ordenados;
- Q2 separa os 50% inferiores dos 50% superiores, ou seja, é a mediana; e
- Q3 separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados;
Analogamente, há nove decis, denotados por D1, D2, . . . , D9, que dividem os dados
em 10 grupos com cerca de 10% deles em cada grupo. Finalmente, há 99 percentis que
dividem os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.
Basicamente, dois passos são necessários para se encontrar as medidas em questão.
Primeiro deve-se identificar a sua posição, e, em seguida, determinar o seu valor.
Veja a seguir, como obter os valores referentes aos percentis, quando se está traba-
lhando com dados brutos ou em distribuição de freqüências para dados não agrupados:
1◦) Identificar a posição do percentil que se deseja encontrar, através da seguinte
expressão:
L =
(
k
100
)
× n
Onde:
- L é o valor que indica a posição do percentil de interesse;
- k é o k − e´simo percentil; e
- n é o total de dados observados.
2◦) Utilizar a seguinte regra (análoga à regra da mediana):
1. Se L for um número não inteiro, então, arredonda-se o valor de L para o maior
inteiro mais próximo, e, assim, o valor do k− e´simo percentil, Pk, é dado pelo valor
que ocupa esta nova posição obtida.
2. Se L for um número inteiro, então o valor do k− e´simo percentil, Pk, será a média
aritmética dos valores que estão nas posições L e L+ 1.
Uma vez dominados os cálculos para os percentis, pode-se seguir o mesmo processo
para calcular os quartis e decis, tendo-se o cuidado de calcular o valor de L, pelas fórmulas
L =
(
k
4
) × n, k = 1, 2, 3 e L = ( k
10
) × n, k = 1, 2, . . . , 9, respectivamente. Pode-se,
ainda, obter os quartis e decis pelas seguintes relações existentes entre estas medidas e os
percentis:
17
Quartis Decis
Q1 = P25 D1 = P10
Q2 = P50 D2 = P20
Q3 = P75
.
.
.
D9 = P90
Além das medidas de tendência central e de variação já introduzidas, costuma-se definir
outras estatísticas utilizando quartis, decis ou percentis, tais como:
Intervalo interquartil = Q3 −Q1
Intervalo semi-interquartil = (Q3 −Q1)/2
Amplitude de percentis 10-90 = P90 − P10
Observação:
O histograma pode ser utilizado para se obter o k− e´simo percentil, Pk, no caso
de dados agupados em classes. Veremos como proceder, através de um exemplo que
será apresentado logo em seguida.
2.3 Outra Estratégia de Análise de Dados
Em algumas situações a média e o desvio padrão podem não ser adequados para
representar um conjunto de dados, pois:
i - São afetadas, de forma exagerada, por valores extremos;
ii - Apenas com estes dois valores não temos a idéia da assimetria dos valores, ou seja,
sobre o quanto os dados se distribum em torno dos valores inferiores, medianos e
superiores.
Para contornar estes problemas, 5 medidas foram sugeridas por Tukey (1977):
1◦) A mediana (Md);
2◦) Os extremos: o menor e o maior valor observado no conjunto de dados (xmi´n e
xma´x, respectivamente);
3◦) O primeiro e o terceiro quartil (ou junta).
2.3.1 Desenho Esquemático - Diagrama em Caixa ("Box-Plot")
As informações obtidas pelas 5 medidas podem ser representadas por um gráfico co-
nhecido por "Box-Plot"ou diagrama em caixa. Este gráfico consiste em uma reta que se
prolonga do menor ao maior valor, e um retângulo com retas traçadas no primeiro quartil
Q1, na mediana Md = Q2 e no terceiro quartil Q3. Veja, como fica este gráfico através
do seguinte exemplo prático.
Exemplo: O seguinte conjunto de dados representa a pulsação de 22 fumantes:
18
52 52 60 60 60 60 63 63 66 67
68 69 71 72 73 75 78 80 82 83
84 90
Usando os dados brutos, determine:
a) A média, a moda e o desvio padrão;
b) O primeiro, segundo e terceiro quartil;
c) Construa uma tabela de frequências para os dados agrupados em 7 classes;
d) Construa o histograma e o diagrama em caixa;
Agora, utilizando a distribuição de frequências obtida acima, obtenha:
a) A média, a moda e o desvio padrão;
b) O primeiro, segundo e terceiro quartil utilizando o histograma;
19
2a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Considereuma distribuição de freqüências qualquer representada por
(x1, n1), (x2, n2), . . . , (xk, nk).
Mostre que a soma dos desvios em relação à média é igual zero, ou seja, que∑k
i=1(xi − x)× ni = 0.
2 - Obtenha a média e a mediana para o seguinte conjunto de dados:
20 30 40
a) Se substituímos o valor 40 por 70, os valores da média e da mediana serão os
mesmos? Justifique?
b) Analisando os resultados acima, ressalte uma característica vantajosa da medi-
ana em relação à média.
3 - Mostre que:
k∑
i=1
(xi − x)2 × ni =
k∑
i=1
x2ini −
(∑k
i=1 xi
)2
n
=
k∑
i=1
x2ini − nx2
E, por isso, a variância também pode ser obtida pela seguinte fórmula:
V ar(X) = s2 =
1
n
k∑
i=1
x2ini − x2
4 - Na turma A do curso normal da Escola X, estão matriculados 50 alunos no cor-
rente ano. O levantamento das fichas biométricas revelou as seguintes estaturas em
centímetros:
165 164 151 160 155 169 153 156 165 160
170 157 162 162 155 154 151 155 162 150
168 160 154 151 168 155 156 158 166 155
154 152 163 156 170 158 171 159 175 154
159 158 153 158 156 162 165 156 161 157
a) Elabore uma distribuição de freqüências, fazendo o limite inferior da primeira classe
igual a 150 (inclusive) e amplitudes dos intervalos de classe igual a 5 cm.
b) Baseado na distribuição de freqüência calcule: a média, a mediana, a moda, os
quartis.
c) Esboce o histograma
5 - As taxas de juros recebidas por 10 ações durante certo período foram (medidas em
porcentagem): 2.59; 2.64; 2.60; 2.62; 2.57; 2.55; 2.61; 2.50; 2.63; 2.64. Calcule a
média e a mediana.
20
6 - Dados os conjuntos de números: A = {1000; 1001; 1002; 1003; 1004; 1005} e B =
{0, 1, 2, 3, 4, 5} podemos afirmar que:
a) o desvio-padrão de A é igual a 100 vezes o desvio-padrão de B.
b) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B.
c) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B multiplicado pelo quadrado de
1000.
d) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B dividido por 1000.
e) o desvio-padrão de A é igual ao quadrado do desvio-padrão de B.
7 - Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos em relação ao peso, que era
a seguinte:
Peso (g) ni
960 - 980 60
980 - 1000 160
1000 - 1020 280
1020 - 1040 260
1040 - 1060 160
1060 - 1080 80
TOTAL 1000
a) Qual a média da distribuição? E qual a variância?
b) Queremos dividir os frangos em quatro categorias com relação ao peso de modo
que: os 20% mais leves sejam da categoria D; os 30% seguintes sejam da categoria C;
os 30% seguintes sejam da categoria B; os 20% seguintes (ou seja os mais pesados)
sejam da categoria A. Quais os limites de peso entre as categorias A,B,C e D?
21
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias) Período 2003.2
Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Data:
Aluno(a): .
3a NOTA DE AULA
3 Introdução à Probabilidade
Objetivo: definir um modelo matemático probabilístico que seja conveniente a descrição e
interpretação de fenômenos aleatórios.
3.1 Introdução
Ao jogarmos uma moeda para o ar, de modo geral, não podemos afirmar se vai dar cara ou
coroa, da mesma forma, quando lançamos um dado não sabemos qual das faces 1, 2, 3, 4,
5, ou 6 ocorrerá. Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do
governo. A previsão da procura de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a
opinião púlblica sobre determinado assunto, a contratação de um novo empregado - tudo
isso contém algum elemento de acaso.
Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades
indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de
um evento futuro. Assim é que em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar
com antecipação o que ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer.
O ponto central em todas essas situações é a possibilidade de quantificar quão provável
é determinado evento.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado
evento.
3.2 Definições
Definição 3.1 (Fenômenos aleatórios ou Experimentos aleatórios). São aqueles
onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e conduz
a resultados incertos.
Exemplos:
E1 : Jogar uma moeda e observar o número de coroas obtido.
E2 : Lançar um dado e observar o número mostrado na face superior.
E3 : Retirar uma carta de um baralho e observar seu �naipe�.
22
Observações:
a) Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas
condições;
b) Não podemos afirmar que resultado particular ocorrerá, porém podemos descrever
o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento, ou seja, as possibilidades de
resultado;
c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regular-
idade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna
possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.
Definição 3.2 (Espaço Amostral). É o conjunto de todos os possíveis resultados de
um experimento aleatório.
Exemplo: Considere os seguintes experimentos:
E1 : Jogar um dado e observar o número da face superior
E2 : Jogar duas moedas e observar o resultado
Definição 3.3 (Evento). Dado um espaço amostral Ω, associado a um experimento
E qualquer, definimos como evento, qualquer subconjunto desse espaço amostral.
Exemplo: Considerando o experimento
E: lançamento de um dado
alguns possíveis eventos associados a esse experimento seriam os seguintes:
A: Sair o número 3;
B: Sair um número menor ou igual a 6;
C: Sair o número 10;
Observação: Como estamos tratando com conjuntos, são válidas todas as operações
indicadas na teoria dos conjuntos:
→ A ∪ B - ocorre se A ocorre, ou B ocorre, ou ambos ocorrem.
→ A ∩ B - ocorre se A e B ocorrem simultaneamente.
→ Ac - ocorre se A não ocorre.
Definição 3.4 (Eventos mutuamente Excludentes). Dois eventos são mutua-
mente exclusivos, se eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, A ∩ B = φ.
23
3.3 Probabilidade
Definição 3.5 (Definição Clássica de Probabilidade - Freqüência Relativa).
Suponha que um experimento é repetido n vezes, e seja A e B dois eventos associados
ao experimento. Sejam nA e nB o número de vezes que o evento A e o evento B
ocorram nas n repetições. A freqüência relativa do evento A, representada por fA, é
defenida como
fA =
nA
n
.
Propriedades:
(i) 0 ≤ fA ≤ 1;
(ii) fA = 1, se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições;
(iii) fA = 0, se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições;
(iv) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se fA∪B for a freqüência
relativa associada ao evento A ∪B, então,
fA∪B = fA + fB.
Definição 3.6 (Definição axiomática de probabilidade). Dado um espaço amostral
Ω, a probabilidade de um evento A ocorrer, representado por P (A) , é uma função
definida em Ω, que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes
axiomas:
(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
(ii) P (Ω) = 1;
(iii) Se A e B forem mutuamente exclusivos (A ∩B = φ), então P (A ∪B) =
P (A) + P (B) .
Observação: A probabilidade de um evento A, denotada por P (A) , indica a chance de
ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P (A), maior é a chance de ocorrência
do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A.
Principais Teoremas:
a) Se φ deniota o conjunto vazio, então P (φ) = 0.
b) Se A
c
é o evento complementar de A, então P (Ac) = 1− P (A) .
c) Se A e B são dois eventos quaisquer, então P (A ∪B) = P (A) + P (B) −
P (A ∩B) .
3.4 Espaço Amostral Finito
Definição 3.7 (Espaços Amostrais Finitos). Dizemosque S é um espaço amostral
finito, se esse espaço possui um número finito de elementos, ou seja, o espaço amostral
S pode ser escrito na forma S = {a1, a2, ..., ak}.
24
A fim de caracterizar a probabilidade de um evento A, P (A), associado a um espaço
amostral finito, devemos inicialmemte considerar o evento simples ou elementar, A = {ai}.
A cada evento dessa natureza associaremos um número pi, denominado probabilidade de
{ai}, que satisfaça às seguintes condições:
a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., k;
b) p1 + p2 + ...+ pk = 1.
Supondo agora, que um evento A seja constituído por r resultados, 1 ≤ r ≤ k, ou
seja
A = {aj1, aj2, ..., ajr},
onde j1, j2, ..., jr, representam um qualquer dos r índices de 1 até k. Então, considerando
que cada {ajr} são mutuamente excludentes, podemos escrever
P (A) = pj1 + pj2 + ...+ pjr.
Exemplo: Suponha-se que somente três resultados sejam possíveis em um experimento,
a saber, a1, a2 e a3. Além disso, suponha-se que a1 seja duas vezes mais provável de ocorrer
que a2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que a3. Encontre as
probabilidades p1, p2 e p3.
3.4.1 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
Quando associamos a cada ponto amostral (cada elemento do espaço amostral) a mesma
probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável. Neste caso, dado um espaço
amostral com k pontos do tipo S = {a1, a2, ..., ak}, as probabilidades P ({ak} serão dadas
por
P ({ak}) = 1
k
.
Exemplo: Se cada carta de um baralho de 52 cartas tem a mesma chance de ser
escolhida, então a probabilidade de se extrair cada uma delas é de
Se S = {a1, a2, ..., ak} é finito e A é um evento com m pontos amostrais (m ≤ k),
então
P (A) =
m
k
.
Exemplo: A probabilidade de se extrair uma dama de um baralho é de
Exemplo: Qual a probabilidade de se obter três ou menos pontos no lançamento de
um dado?
Exemplo: Uma urna contém duas bolas brancas, três pretas e cinco azuis.
a) Qual a probabilidade de se extrair uma bola branca?
b) Qual a probabilidade de se extrair uam bola preta ou uma azul?
25
Em muitos casos existem situações em que o experimento pode ser realizado em duas
etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então
a tarefa completa pode ser executada de p× q maneiras.
Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de sair o par (5,2)?
3.4.2 Cálculo da probabilidade da ocorrência de dois eventos
A probabilidade da ocorrência de dois eventos simultaneamente (P (A ∩B)) , depende da
natureza dos eventos, ou seja se eles são independentes ou não.
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um
não influencia a ocorrência do(s) outro(s).
Se dois eventos são independentes, então a probabilidade de ocerrência de ambos é
igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou seja,
P (A ∩B) = P (A)P (B) .
Exemplo: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem
cara?
Suponhamos agora que queiramos estender este resultado ao caso de três moedas.
Qual a probabilidade de três caras?
Exemplo: Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituido de mulheres, e
40% dos eleitores votaram na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos
sejam independentes, determine a probabilidade de escolher um eleitor da lista geral, que
seja mulher e que tenha votado na última eleição presidencial.
Exemplo: Uma urna contém duas bolas brancas e cinco pretas. Qual a probabilidade
de sair duas bolas pretas supondo que os sorteios são feitos com reposição?
3.4.3 Probabilidade Condicional
Considere o seguinte experimento: lançar um dado. Seja A o evento: sair o número 3.
Então
P (A) =
Considere agora o seguinte evento B: sair um número ímpar. Logo,
P (B) =
Suponha agora que soubéssemos da ocorrência de B e quiséssemos calcular a proba-
bilidade de A. Iremos denotar essa probabilidade como P (A | B). Assim
P (A | B) =
26
Formalmente definimos probabilidade condicional da seguinte maneira:
Dados dois eventos, A e B, denotaremos P (A | B) a probabilidade condicionada do
evento A, quando B tiver ocorrido, por:
P (A | B) = P (A ∩B)
P (B)
com P (B) 6= 0.
Exemplo: Dois dados são lançados. Considere os eventos:
A = {(x1, x2);x1 + x2 = 10} e B = {(x1, x2);x1 > x2}.
Calcule: P (A), P (B), P (A | B) e P (B | A)
3.4.4 Teorema do Produto
A partir da definição de probabilidade condicional, poderemos enunciar o teorema do pro-
duto:
P (A | B) = P (A∩B)
P (B)
⇒ P (A ∩B) = P (B)P (A | B).
Analogamente
P (B | A) = P (A∩B)
P (A)
⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B | A).
Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retoradas uma após
a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais de dois
eventos da seguinte maneira:
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A1)P (A2 | A1)P (A3 | A1 ∩ A2) · · ·P (An | A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1)
Exemplo: Uma urna contém duas bolas brancas, três vermelhas e cinco azuis. Qual
a probabilidade de se retirar sem reposição uma bola azul, uma branca e uma vermelha
exatamente nessa ordem?
3.4.5 Independência Estatística
Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade condi-
cional de A dado B é igual a probabilidade de A, isto é, se
P (A | B) = P (A).
É evidente que se A é independente de B, B é independente de A. Assim
P (B | A) = P (B).
Exemplo: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas
duas peças com reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem boas.
27
Obs: Dizemos que três eventos são mutuamente independentes se
P (A ∩B) = P (A)P (B)
P (A ∩ C) = P (A)P (C)
P (B ∩ C) = P (B)P (C)
P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
Exemplo: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço equiprovável eA = {1, 2};B = {1, 3};C =
{1, 4} três eventos de S. Verificar se os eventos A,B e C são mutuamente independentes.
3.4.6 Teorema da probabilidade total
Definição: Dizemos que os eventos B1, B2, ..., Bk representam uma partição do espaço
amostral S, quando
a) Bi ∩Bj = φ, para todo i 6= j,
b) ∪ki=1Bi = S,
c) P (Bi) > 0, para todo i.
Considere um evento A referente a S, e B1, B2, ..., Bk uma partição de S. Assim,
podemos escrever
A = (A ∩B1) ∪ (A ∩B2) ∪ (A ∩B3) ∪ ... ∪ (A ∩Bk).
Logo,
P (A) = P (A ∩B1) + P (A ∩B2) + P (A ∩B3) + ...+ P (A ∩Bk).
Então, como P (A∩Bj) = P (Bj)P (A | Bj), obteremos o que se denomina o teorema
da probabilidade total:
P (A) = P (B1)P (A | B1) + P (B2)P (A | B2) + ...+ P (Bk)P (A | Bk).
3.4.7 Teorema de Bays
Sob as mesmas hipóteses do teorema da probabilidade total, podemos calcular a probabili-
dade de Bi dada a ocorrência de A da seguinte forma
P (Bi | A) = P (Bi ∩ A)
P (A)
=
P (Bi)P (A | Bi)∑
j P (Bj)P (A | Bj)
.
Este resultado é o que chamamos de teorema de Bays. Esse teorema é útil quando co-
nhecemos as probabilidades dos Bi's e a probabilidade condicional de A dado Bi, mas não
conhecemos diretamente a probabilidade de A.
28
Exemplo: Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras,
enquanto as outras duas são normais e não viciadas. Uma moeda é retirada ao acaso e
jogada. Dado que o resultado foi cara, qual a probabilidade de que essa seja a moeda de
duas caras?
Exemplo: Suponha três urnas com as seguintes configurações: a urna 1 contém 3 bolas
pretas, 1 branca e 5 vermelhas; a urna 2 contém 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas; a
urna 3 contém 2 bolas pretas, três brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma urna ao acaso
e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade
da bola ter vindo da urna 2? da 3?
3a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido.
Essas lâmpadassão verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja en-
contrada. Descreva um espaço amostral para este experimento. Suponha agora, que
as lâmpadas são verificadas até que todas as defeituosas sejam encontrdas. Descreva
um espaço amostral para este experimento.
2 - O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens
com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos, e 3 mulheres menores.
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos:
A: A pessoa é maior de 21 anos
B: A pessoa é menor de 21 anos
C: A pessoa é homem
D: A pessoa é mulher
Calcule:
a) P (B ∪D)
b) P (A ∩ C)
3 - Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1, 2, ..., 50. Qual a probabilidade
de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8?
4 - A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas
brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na
urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual a probabilidade de
que esta bola seja branca?
5 - Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se
a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da
ocorrência de A for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B.
6 - Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual cada questão tem
4 respostas possíveis das quais exatamente uma é correta. O estudante seleciona a
resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele seleciona ao acaso uma
29
resposta entre as 4 possíveis. Suponha que o estudante saiba a resposta de 60% das
questões. Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a
probabilidade de que ele sabia a resposta?
7 - Mostre que, se os eventos A e B são independentes, então também o serão A¯ e B.
8 - Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é propor-
cional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é 3 vezes mais provável de sair do que o
ponto 2). Calcular a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um
número maior que 3.
9 - Mostre que se A, B e C são eventos tais que P (A∩B ∩C) 6= 0 e P (C | A∩B) =
P (C | B), então P (A | B ∩ C) = P (A | B).
10 - Uma caixa tem três moedas: uma não viciada, outra com duas caras e uma terceira
viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de
1
5
. Uma
moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a
moeda viciada tenha sido a selecionada?
11 - Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra urna contém 3 bolas
brancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a
segunda urna, e em seguida, retiram-se três bolas desta última, sem reposição. Qual
a probabilidade de que ocorram três bolas da mesma cor?
12 - A probabilidade de que A resolva um problema é de 2
3
e a probabilidade de que
B resolva é de 3
4
. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do
problema ser resolvido?
13 - Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados usaram o
hospital. Os resultados são apresentados na tabela:
homens mulheres
usaram o hospital 100 150
não usaram o hospital 900 850
Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada não use o hospital?
14 - Os colégios A, B e C têm as seguintes percentagens de rapazes, respectivsmente:
40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e 8 alunos são escolhi-
dos, com reposição. Se obtemos RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça) qual
a probabilidade de ter sido selecionado o colégio B?
30
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias) Período 2003.2
Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Data:
Aluno(a): .
4a NOTA DE AULA
4 Variáveis Aleatórias
Definição: Seja � um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma
função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real, X(s), é denominada variável
aleatória.
Exemplo: Lança-se três moedas honestas. Considere a variável aleatória:
X: número de caras
Definição: Sejam um experimento � e seu espaço amostral S. Seja X uma variável
aleatória definida em S e seja RX seu contradomínio. Seja B um evento definido em
relação a RX , isto é, B ⊂ RX . Então, A será definido assim
A = {s ∈ S;X(s) ∈ B}
Neste caso dizemos que A e B são eventos equivalentes.
Definição: Seja B um evento no contradomínio RX . Nesse caso, definimos P (B) da
seguinte maneira: P (B) = P (A), onde A = {s ∈ S;X(s) ∈ B}.
Exemplo: No exemplo anterior, temos
RX = {0, 1, 2, 3} com as seguintes probabilidades
4.1 Variáveis Aleatórias discretas
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (isto é,
RX) for finito ou infinito enumerável, denominaremos X de variável aleatória discreta.
Exemplo: Considere uma urna com duas bolas brancas e três vermelhas. Consider-
aremos a variável aleatória X: número de bolas vermelhas obtidas em duas extrações sem
reposição.
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto RX , o contradomínio
de X, será formado no máximo por um número infinito enumerável de valores x1, x2, ...
31
A cada possível resultado xi associaremos um número p(xi) = P (X = xi), denominado
probabilidade de xi. Os números p(xi), i = 1, 2, ... devem satisfazer às seguintes condições:
(a) p(xi) ≥ 0, ∀i;
(b) Σ∞i=1p(xi) = 1.
A função p definida acima, é denominada função de probabilidade da variável aleatória
X. A coleção de pares [xi, p(xi)], i = 1, 2, ..., é denominada distribuição de probabilidade.
Exemplo: Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um pro-
duto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes,
e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. Para estudar a variabilidade
do seu empreendimento, o empresário quer ter uma idéia da distribuição dos lucros por peça
montada. Cada componente pode ser classificada como Bom, Longo ou Curto, conforme
suas medidas estejam dentro das especificações. Sabe-se que o custo por peça é de 5 u.m.
Além disso, foram obtidos as probabilidades de produção de cada componente com suas
respectivas características. A Tabela com esses valores se encontra abaixo.
Produto Cilindro Esfera
Bom (B) 0,80 0,70
Longo (L) 0,10 0,20
Curto (C) 0,10 0,10
Se o produto final apresentar algum componente coma característica C, ele será ir-
recuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao preço de 5 u.m. Cada componente
longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 u.m. Se o preço de venda de cada
unidade é de 25 u.m., como seria a distribuição das freqüências da variável aleatória L:
lucro por conjunto montado?
Exemplo: Suponhamos que uma válvula eletrônica seja posta em um soquete e ensa-
iada. Admitamos que a probabilidade de que o teste seja positivo seja
3
4
; daí, a probabilidade
de que seja negativo é igual a
1
4
. Adimitamos também que estejamos ensaiando uma partida
grande dessas válvulas. Os ensaios continuam até que a primeira válvula positiva apareça.
Considere a variável aleatória X: no de testes necessários para concluir o experimento.
Assim
S =
P (X = n) =
4.2 Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função f ,
denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X que satisfaça às seguintes
condições:
a) f(x) ≥ 0 para todo x,
b)
∫ +∞
−∞ f(x)dx = 1,
32
c) para quaisquer a, b, com −∞ < a < b < +∞, teremos P (a ≤ X ≤ b) =∫ b
a
f(x)dx.
Exemplo: Suponhamos que a variável aleatória X seja contínua. Seja a f.d.p. f dada
por
f(x) =
{2x, 0 < x < 1,
0, c.c.
Exemplo: Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de 10 cm,
e seja X a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. a f.d.p. de X é
f(x) =
{
kx, 0 ≤ x ≤ 10
0, c.c
a) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela é um círculo de raio 1 cm?
b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional
a sua área.
4.3 Função de Distribuição Acumulada
Definição: Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-se a função F como
função de distribuição acumulada da variável aleatória X como F (x) = P (X ≤ x).
Teorema 4.1. Se X for uma variável aleatória discreta
F (x) =
∑
j
p(xj),
onde o somatório é estendido a todos os índices j que satisfaçam à condição xj ≤ x.
Teorema 4.2. Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p. f ,
F (x) =
∫ x
−∞
f(s)ds.
Exemplo: Suponhamos que a variável aleatória X tome os três valores 0,1 e 2, com
probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Então, a F.d.a. de X é dada por:
Exemplo: Suponhamos que X seja uma variável contínua com f.d.p.
f(x) =
{
2x, 0 < x < 1,
0, c.c
Então, a F.d.a. de X é dada por:
Teorema 4.3. (a) A função F é não decrescente.
(b) limx→−∞ F (x) = 0 e limx→+∞ F (x) = 1.
33
Teorema 4.4. (a) Seja F a função de distribuição de uma variável aleatória contínua,
com f.d.p. f . Então,
f(x) =
d
dx
F (x),
para todo x no qual F seja derivável.
(b) Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ..., e
suponha-se que esses valores tenham sido indexados de modo que x1 < x2 < ... Seja F
a função de distribuição de X. Então,
p(xj) = P (X = xj) = F (x
+
j )− F (x−j ).
Observações:
a) Se X for uma variável aleatória discreta, com um número finito de valores possíveis,
o gráfico da função de distribuição será constituído por segmentos de reta horizontais. A
função F é contínua, exceto nos valores possíveis de X: x1, ..., xn, ... No valor xj o gráfico
apresenta um salto de magnitude p(xj) = P (X = xj)
b) Se X for uma variável aleatória contínua, F será uma função contínua para todo
x.
c) A função de distribuição F é definida para todos os valores de x.
Exemplo: Suponha que F (x) =
{
0, x < 0,
1− e−x, x > 0.
Esboce o gráfico de F e calcule a f.d.p.
4.4 O Valor Esperado de Uma Variável Aleatória
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, ...
Seja p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, ..., n, ... Então, o valor esperado de X (ou esperança de
X), denotado por E(X) é definido como
E(X) = Σ∞i=1xip(xi),
se a série definida acima convergir absolutamente.
Exemplo: Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90% delas
são não-defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde US$ 1,
enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de Us$ 5. Se X for o lucro líquido por
peça, qual o valor esperado de X?
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p f . O valor esperado de
X é definido como
E(X) =
∫ +∞
−∞
xf(x)dx.
Pode acontecer que esta integral (imprópria) não convirja. conseqüentemente, diremos que
E(X) existirá se, e somente se, ∫ +∞
−∞
|x| f(x)dx
34
for finita.
Exemplo: Seja a variável aleatória X definida como segue. Suponha que X seja
o tempo (em minutos) durante o qual um equipamento elétrico seja utilizado em carga
máxima, em um certo período de tempo especificado. Suponha-se que X seja uma variável
aleatória contínua com a seguinte f.d.p.:
f(x) =

x
15002
, 0 ≤ x ≤ 1500,
−(x−3000)
15002
, 1500 < x ≤ 3000,
0, c.c.
Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua definida num intervalo [a, b] com a
seguinte f.d.p.
f(x) =
{
1
b−a ,− a ≤ x ≤ b,
0, c.c.
Encontre a esperança dessa variável aleatória.
obs: a variável X definida dessa maneira é chamada de variável aleatória uniforme.
4.4.1 Propriedades de Valor Esperado
Propriedade 1: Se X = C, onde C é uma constante, então, E(X) = C.
Propriedade 2: Suponha-se que C seja uma constante e X uma variável aleatória.
Então, E(CX) = CE(X).
Propriedade 3: Sejam a, b constantes e X uma variável aleatória. Então, E(aX+b) =
aE(X) + b.
propriedade 4: Seja X uma variável aleatória e H(X) uma função contínua.
a) Se X for uma variável aleatória discreta assumindo valores x1, x2, ... com função de
probabilidade p(xi), i = 1, 2, ..., então E[H(X)] =
∑∞
i=1H(xi)p(xi);
b) SeX for uma variável aleatória contínua com f.d.p. f , então E[H(X)] =
∫ +∞
−∞ H(x)f(x)dx.
4.5 A Variância de uma Variável Aleatória
Definição: Seja X uma variável aleatória. Definimos a Variância de X, denotada por
V ar(X), da seguinte maneira:
V ar(X) = E[X − E(X)]2.
A raiz quadrada da Variância de X é denominada desvio padrão de X.
O cálculo de V ar(X) pode ser simplificado com o auxílio do seguinte resultado.
Teorema 4.5.
V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2.
35
4.5.1 Proprieades da Variância de uma Variável Aleatória
Propriedade 1: Se C for uma constante,
V ar(C) = 0.
Propriedade 2: Se C for uma constante,
V ar(CX) = C2V ar(X).
Propriedade 3: Sejam a, b constantes e X uma variável aleatória. Então V ar(aX +
b) = a2V ar(X).
Exemplo: O serviço de meteorologia classifica o tipo de céu que é visível, em termos
de �graus de nebulosidade�. Uma escala de 11 categorias é empregada: 0,1,2,...,10, onde
0 representa um céu perfeitamente claro, 10 representa um céu completamente encoberto,
enquanto os outros valores representam as diferentes condições intermediárias. Suponha-
se que tal classificação seja feita em uma determinada estação meteorológica, em um
determinado dia e hora. Seja X a variável aleatória que pode tomar um dos 11 valores
acima. Admita que a distribuição de probabilidade de x seja
X = x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P (X = x) 0,05 0,15 0,15 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,15 0,15 0,05
Portanto
E(X) =
E(X2) =
V ar(X) =
Exemplo: Suponhamos que X seja uma variável aleatória contínua com f.d.p.
f(x) =
{
1 + x, −1 ≤ x ≤ 0,
1− x. 0 ≤ x ≤ 1.
Então
E(X) =
V ar(X) =
36
4a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Num teste de digitação, o tempo em minutos (T ) que os candidatos levam para
digitar um texto é modelado, de forma aproximada, pela seguinte distribuição de
probabilidade:
T 3 4 5 6 7 8 9
pi 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1
O candidato recebe 4 pontos se terminar a digitação em 9 minutos, 5 se terminar em
8 minutos e assim por diante. Determine a média e a variância do número de pontos
obtidos no teste.
2 - Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, siga o seguinte
modelo:
P (X = k) =
a2k
k!
, k = 1, 2, 3, 4.
a) Encontre o valor de a.
b) Calcule a F.d.a de X.
c) Calcule a demanda esperada.
d) Qual é a variabilidade da demanda?
3 - A função de probabilidade da variável aleatória X é P (X = k) = 1/5, k = 1, 2, ..., 5.
Calcule E(X), E(X2), V ar(X), E[(X + 3)2] e V ar(3X − 2).
4 - Suponha que a variável aleatóriaX tenha valores possíveis 1,2,..., e P (X = j) = 1/2j,
j = 1, 2, ...
a) Calcule P (X ser par).
b) Calcule P (X ≥ 5).
c)Calcule P (X ser divisível por 3).
5 - Considere uma variável aleatória X com resultados possíveis: 0,1,2,... Suponha que
P (X = j) = (1− a)aj, j = 0, 1, 2, ...
a) Para que valores de a o modelo acima tem sentido?
b) Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade.
c) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t,
P (X > s+ t | X > s) = P (X ≥ t).
6 - Verifique se as expressões abaixo são funções densidade de probabilidade (assuma
que elas se anulam fora dos intervalos especificados).
a) f(x) = 3x, se 0 ≤ x ≤ 1.
b) f(x) = x
2
2
, se x ≥ 0.
37
c) f(x) = (x−3)
2
, se 3 ≤ x ≤ 5.
d) f(x) = 2, se 0 ≤ x ≤ 2.
e)f(x) =
{
1 + x, se − 1 ≤ x ≤ 0
1− x, se 0< x ≤ 1.
f)f(x) = −pi, se −pi < x < 0.
7 - A variável aleatória contínua tem f.d.p. f(x) = 3x2, −1 ≤ x ≤ 0. Se b for um
número que satisfaça a −1 < b < 0, calcule P (X > b | X < b/2).
8 - Suponham que f e g sejam f.d.p. no mesmo intervalo a ≤ x ≤ b.
a) Verifique que f + g não é uma f.d.p. nesse intervalo.
b) Verifique que, para todo número β, 0 < β < 1, βf(x)+(1−β)g(x) é uma f.d.p.
nesse intervalo.
9 - O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória contínua com
f.d.p. f(x) = 6x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1.
a) Verifique que essa expressão é uma f.d.p. e esboce seu gráfico.
b) Obtenha uma expressão par a F.d.a. da variável X.
c) Determine um número b tal que P (X < b) = 2P (X > b).
d) Calcule P (X ≤ 1/2 | 1/3 < X < 2/3).
10 - Uma variável aleatóriaX pode tomar quatro valores, com probabilidades (1+3x)/4, (1−
x)/4, (1 + 2x)/4 e (1 − 4x)/4. Para que valores de x é essa uma distribuição de
probabilidade?
11 - Uma variável aleatória X tem F.d.a dada por
F (x) =

0, se x ≤ 0
x5, se 0 < x < 1
1, se x ≥ 1.
Calcule E(X) e V ar(X).
12 - Numa certa região, fósseis de pequenos animais são freqüentemente encontrados e
um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade (f.d.p) para o com-
primento, em centímetros, desses fósseis.
f(x) =

x
40
, se 4 ≤ x ≤ 8
−x
20
+ 3
5
, se 8 < x ≤ 10
1
10
, se 10 < x ≤ 11.
a)Calcule a F.d.a.
b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento
ser inferior a 6 cm? E de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 cm.
c)Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.
38
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias) Período 2003.2
Professores: Alexsandro, Alecxandro e Amanda Data:
Aluno(a): .
5a NOTA DE AULA
5 Alguns Modelos de Variáveis Aleatórias
5.1 Variáveis Aleatórias Discretas
5.1.1 Modelo Uniforme Discreto
Definição: Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por
x1, x2, ..., xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma pro-
babilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é, sua função de probabilidade é dada por
P (X = xj) =
1
k
, ∀j = 1, 2, ..., k.
Exemplo: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consec-
utivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11,
29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado?
Propriedades
É fácil verificar que:
E(X) =
∑k
i=1 xi
k
,
V ar(X) =
1
k
[
k∑
i=1
x2i −
(
∑k
i=1 xi)
2
k
]
.
5.1.2 Modelo de Bernoulli
Definição: Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório de forma que
tenhamos sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja p a probabilidade de sucesso, logo 1− p será a probabilidade de fracasso.
Defina a variável aleatória X da seguinte forma: X = 0, se não ocorre sucesso, ou 1,
se ocorre sucesso. Onde
P (X = 0) = 1− p
P (X = 1) = p.
39
Nessas Condições a variável aleatória X segue o modelo de Bernoulli, e sua função de
probabilidade é dada por:
P (X = x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Note que, E(X) = p e V ar(X) = p(1− p).
Exemplo: Lança-se um dado e observa-se ocorrência da face 6.
5.1.3 Modelo Binomial
Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada ten-
tativa adimitindo apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade 1 − p. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada
tentativa.
Seja X: número de sucessos em n tentativas.
A variável aleatória X associada a esse experimento é dita ser uma Variável aleatória
Binomial com parâmetros n e p, que denotaremos por X : b(n, p). Sua função de proba-
bilidade é dada pelo teorema seguinte:
Teorema 5.1. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Então
P (X = k) =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k
Teorema 5.2. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Então
E(X) = np e V ar(X) = np(1− p).
Exemplos: Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80%. Um grupo de três
indivíduos é sorteado dentre a população vacinada, e submetidos a testes para averiguar se
a imunização foi efetiva. Construa a distribuição de probabilidade da variável X = número
de indivíduos imunes na amostra.
5.1.4 Distribuição Geométrica
Considere um experimento cujos resultados podem ser classificados como sucesso ou fra-
casso. Seja p a probabilidade de sucesso, logo 1−p é a probabilidade de fracasso. Considere
a variável aleatória X: número de ensaios até ocorrer o primeiro sucesso. Suponha que os
ensaios são independentes. Dessa forma,
P (X = x) = (1− p)x−1p, x = 1, 2, ...
A variável definida acima é chamada de Distribuição geométrica com parâmetro p.
Notação: X : Geométrica(p).
Teorema 5.3. Se X : Geométrica(p), então
40
(i) E(X) = 1
p
(ii) V ar(X) = 1−p
p2
Exemplo: Se a probablidade de que um certo ensaio dê reação positiva for igual a 0,4,
qual será a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira
positiva?
Teorema 5.4. Se X :Geométrica(p) então, para dois quaisquer inteiros positivos s e
t,
P (X ≥ s+ t | X > s) = P (X > t)
5.1.5 Distribuição Hipergeométrica
Consideremos uma população com N elementos, dos quais r têm uma determinada carac-
terística (sucesso). Retiramos dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho
n.
Seja X: número de sucessos na amostra.
Dessa forma a distribuição de probabilidade da variável aleatória X é dada por
P (X = k) =
(
r
k
)(
N − r
n− k
)
(
N
n
) , 0 ≤ k ≤ n, k ≤ r.
A variável X assim definida tem distribuição Hipergeométrica.
Teorema 5.5. Se X tem distribuição Hipergeométrica com parâmetros N, n e p, onde
p = r/N . Então
E(X) = np
e
V ar(X) = np(1− p)(N − n)
(N − 1) .
Exemplo: Pequenos motores são guardados em caixas com 50 unidades. Um inspetor
de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se
nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os
50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de
que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?
5.1.6 Distribuição de Poisson
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0, se sua função
de probabilidade é dada por
P (X = k) =
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, ...,
41
com o parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. A notação
utilizada será X : Po(λ).
Teorema 5.6. Se X : Po(λ) então:
E(X) = λ
e
V ar(X) = λ.
Exemplo 1: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade
de que uma página contenha pelo menos 3 erros?
Exemplo 2: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a prob-
abilidade de que:
a) num minuto não haja nenhum chamado;
b) em 2 minutos haja 2 chamados;
c) em t minutos não haja chamados.
5.2 Variáveis Aleatórias Contínuas
5.2.1 Modelo Uniforme
Definição: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b],
se sua f.d.p. for dada por:
f(x) =
{
1
b−a , a ≤ x ≤ b,
0, c.c.
Notação: X : U [a, b].
Propriedades: Se X : U [a, b], então
(i) E[X] = a+b
2
;
(ii) V ar[X] = (b−a)
2
12
.
Exemplo: Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de
qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos produzidos
têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do
primeiro vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para
fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado.Queremos
calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.
Seja X a variável aleatória que indica a distância correspondente ao vazamento. Admita
que a probabilidade de ocerrência de vazamento em todos os pontos são iguais.
42
5.2.2 Distribuição Exponencial
Definição: Uma variável aleatória contínua X, assumindo valores não negativos, terá dis-
tribuição exponencial com parâmetro α > 0, se sua f.d.p. é dada por
f (x) =
{
αe−αx, x > 0
0, c.c.
Notação: X : Exp(α).
Propriedades:
a) E (X) = 1
α
e V ar (X) = 1
α2
.
b) (Falta de memória) Para todo s, t > 0, teremos
P (X > s+ t | X > s) = P (X > t) .
Exemplos:
1) O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioa-
tiva é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro α = 0, 2. Vamos
calcular a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos.
2) Considerando a distribuição do exemplo anterior, calculemos agora, a probabilidade
do intervalo ser superior ou igual a 7, sabendo-se que ele é superior ou igual a 5 minutos.
5.2.3 Distribuição Normal
Definição: Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ
e σ2,−∞ < µ <∞ e 0 < σ2 <∞, se sua f.d.p. é dada por
f (x) =
1
σ
√
2pi
e−
1
2(
x−µ
σ )
2
,−∞ < x <∞.
Notação: X : N (µ, σ2) .
Propriedades
(i) Gráfico: tem a forma de sino;
(ii) f(x) assume valor máximo no ponto x = µ;
(iii) A curva normal é simétrica em relação a µ;
(iv) E (X) = µ e V ar (X) = σ2;
43
(v) Seja X : N(µ, σ2), considere a variável Z = X−µ
σ
. Mostra-se que Z também tem
distribuição normal. Z é chamada de variável normal padrão ou reduzida. É fácil ver
que E(Z) = 0 e V ar(Z) = 1. Logo, a f.d.p. de Z é dada por
f(z) =
1√
2pi
e
1
2
z2 ,−∞ < z <∞.
Portanto, se X : N(µ, σ2)⇒ Z : N(0, 1). A distribuição de Z se encontra tabelada;
(vide tabela em anexo)
(vi) A tabela nos dá a probabilidade P (0 ≤ Z ≤ z), para diversos valores de z. Dessa
forma, podemos calcular probabilidades envolvendo qualquer distribuição normal,
através da transformação Z = X−µ
σ
.
Exemplos:
1. Considere X : N(100, 25), calcular:
a) P (100 ≤ X ≤ 106)
b) P (89 ≤ X ≤ 107)
c) P (112 ≤ X ≤ 116)
d) P (X ≥ 108)
2. Sendo X : N(50, 16), determinar xα, tal que:
a) P (X ≤ xα) = 0, 05
b) P (X ≥ xα) = 0, 99
44
5a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Seja X : b(10, 2
5
). Calcular:
a) P (X = 3);
b) P (X ≤ 2);
c) P (X − 2 < 1);
d) P (|X − 2| ≤ 1);
e) P (|X − 3| > 1);
f) E(X) e V ar(X);
2 - Seja X : b(n, p). Sabendo-se que E(X) = 12 e V AR(X) = 4, determinar
n, p, E(Z), V ar(Z), sendo Z = X−6
3
.
3 - Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido
para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido,
observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente
divididas, qual a probabilidade de ter obtido tal resultado?
4 - O número de partículas Gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa,
é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro λ = 3. Se
um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por
segundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo?
5 - Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emrgência segue uma dis-
tribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora. Calcular:
a) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nenhum atendimento num intervalo
de 5 minutos.
b) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num inter-
valo de 10 minutos.
6 - Uma moeda não viciada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que
ocorra a primeira cara. SejaX a variável aleatória que conta o número de lançamentos
anteriores à ocorrência de cara. Determine:
a) P (X ≤ 2);
b) P (X > 1);
c) E(X) e V ar(X)
d) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência
de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade?
7 - Numa urna há 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a
probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações:
a) Sem reposição;
b) Com reposição.
45
8 - Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas.
a) Qual a probabilidade de que a sexta bola retirada com reposição seja a primeira
branca?
b) Qual a probabilidade de que em 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3
brancas?
c) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no
máximo 2 brancas?
9 - Sendo X : U [0, 4] , calcule:
a) P (X > 2) Resp. 1/2
b) P (X ≥ 2) Resp. 1/2
c) P (1 < X < 2) Resp. 1/4
d) P (1 < X < 2 | X < 3) Resp. 1/3
e) P (X < 3 | 1 < X < 2) Resp. 1
10 - Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10
km com a mesma probabilidade.
a) Qual a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos
3 quilômetros centrais da rede? Resp. 1/20 e 3/10
b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da
pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de
R$ 200,00 para distâncias até 3quilômetros, de R$400,00 entre 3 e 8 quilômetros e
de R$ 1000,00 para as distâncias acima de 8 quilômetros. Qual é o custo médio do
conserto? Resp. 460
11 - Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição uniforme é
1 e a variância é igual a 1/12. Encontre a probabilidade da variável assumir valores
menores que 3/4. Resp. 1/4
12 - Sendo X : Exp(1), determine:
a) P (0 < X < 2) Resp. 0,865
b) P (X < 2) Resp. 0,865
c) P (1 < X < 4) Resp. 0,350
d) P (X > 3) Resp. 0,05
e) P (X < 2 | X > 1) Resp. 0,633
13 - Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma
distribuição Exponencial com parâmetro λ = 1/20 s. Calcule a probabilidade condi-
cional P (T > 15 | T > 10) . Resp. 0,779
14 - Seja X : N (4, 1) , determine:
a) P (X ≤ 4) Resp. 0,5
46
b) P (4 < X < 5) Resp. 0,3413
c) P (2 ≤ X < 5) Resp. 0,8187
d) P (5 ≤ X < 7) Resp. 0,1574
e) P (X ≤ 1) Resp. 0,0013
f) P (0 < X < 2) Resp. 0,0228
15 - Seja X : N (90, 100) , determine:
a) P (X ≤ 115) Resp. 0,9938
b) P (X ≥ 80) Resp. 0,8413
c) P (X ≤ 75) Resp. 0,0668
d) P (85 ≤ X ≤ 110) Resp. 0,6687
e) P (|X − 90| ≤ 10) Resp. 0,6826
f) O valor de a tal que P (90− a ≤ X ≤ 90 + a) = 0, 95. Resp. a = 19, 6
16 - Para X : N (−5, 10) , calcule:
a) P (−5 < X ≤ −2) Resp. 0,3289
b) P (X ≤ 0) Resp. 0,9429
c) P (X > −6) Resp. 0,6255
d) P (−7 ≤ X ≤ −6) Resp. 0,1102
e) P (|X + 5| > 2) . Resp. 0,4286
17 - Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma
distribuição normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar
o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de
�magros�, enquanto os 25% de maior peso de �obesos�. Determine os valores que
delimitam cada uma dessas classificações. Resp. Magros: 116,6 kg Obesos: 143,4
kg
18 - Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer
que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o
tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma normal
de média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos.
a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se
65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?
b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido
deve ser o candidato para que obtenha essa posição?
47
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística (6 créditos - Engenharias)