Física1 03 exercícios resolvidos

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 3 
Questão  1  
 
Não  confunda  velocidade  média  com  a  média  de  um  conjunto  de  velocidades  (média  das 
velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: 
a) A  atleta  anda  150 m  com  velocidade  de  11,5m s−⋅   e  depois  corre  100 m  com  velocidade  de 
14m s−⋅  ao longo de uma pista retilínea; 
b) A atleta  anda 2 minutos  com velocidade de  11,5m s⋅   e  a  seguir  corre durante 3 minutos  com 
velocidade de  14,5m s−⋅  ao longo de um caminho em linha reta. 
Resolução: 
a) Vamos encontrar previamente, o  tempo  total do percurso, que é  igual  ao  tempo do primeiro 
percurso adicionado ao tempo do segundo percurso: 
 
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
; , .
150 100
1,5 4
100 25 125 .
x xt t t t t
v v
x xt t
v v
t s
∆ ∆∆ =∆ +∆ ∆ = ∆ =
∆ ∆∆ = + ⇒∆ = +
∆ = + =
 
 
Agora que temos o tempo total, estamos em condições de determinar a velocidade média: 
 
1250 2 .
125m
xv m s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
b) A  diferença  agora  reside  na  ausência  do  percurso  total.  Assim,  temos  que,  previamente, 
determinar o comprimento do percurso total: 
 
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
; ,
1,5 120 4,5 180
180 810 990 .
x x x x v t x v t
x v t v t
x m
∆ =∆ +∆ ∆ = ⋅∆ ∆ = ⋅∆
∆ = ⋅∆ + ⋅∆ = ⋅ + ⋅
∆ = + =
 
 
O tempo total do percurso é igual a 300s. Assim, a velocidade média é dada por: 
 
1990 3,3 .
300m
v m s−= = ⋅  
 
Questão  2  
 
Dois  trens,  cada  qual  com  velocidade  escalar  de  160km h−⋅ ,  seguem  em  linha  reta  se 
aproximando  entre  si  sobre  os  mesmos  trilhos.  Os  maquinistas  dos  dois  trens  percebem 
simultaneamente o perigo no momento em que a distância entre os trens é de 150 m. Suponha que os 
dois maquinistas percam,  simultaneamente,  o mesmo  intervalo de  tempo de 0,2  s  desde o  instante 
mencionado acima até o momento em que os freios dos trens são acionados. A ação dos freios é igual 
 
 
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2 
nos dois  trens e  faz cada  trem parar depois de percorrer 50 m. Verifique se haveria ou não colisão. 
Qual seria a distância crítica para a colisão? 
 
Resolução: 
Vamos, previamente, determinar qual a distância total percorrida pelos dois trens: 
 
50 16,7 0,2 53,3 .x m∆ = + ⋅ ≅  
 
Cada  trem  percorre  a  distância  de  53,3 m.  Assim,  os  dois  trens  juntos,  percorrem  106,6 m, 
restando 43,4 m de distância entre eles. Portanto não ocorre a  colisão. Para que a colisão ocorresse, 
seria necessária que a distância entre eles fosse menor que 106,6 m. 
 
Questão  3  
 
Um trem se desloca com velocidade constante, de Oeste para Leste, sendo o módulo do vetor 
velocidade igual a  160km h−⋅  durante 50 minutos. A seguir, toma uma direção Nordeste, com a mesma 
velocidade escalar, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo a velocidade escalar, segue para Oeste, 
durante 10 minutos. Calcule a velocidade média do  trem durante  este percurso (isto é, determine o 
módulo, a direção e o sentido da velocidade média). 
 
Resolução: 
Primeiro percurso:  1 1
560 50
6
r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = ; 
Segundo percurso:  2 2
160 30
2
r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = ; 
Terceiro percurso:  3 3
160 10
6
r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim,  1 2 3r r r r∆ =∆ +∆ +∆? ? ? ? . Vamos determinar os componentes: 
 
1 2 3
30 250 10
2
61,2
30 2 21,2 .
2
x x
x
x
y
r r r r
r
r km
r km
∆ =∆ +∆ −∆
∆ = + −
∆ =
∆ = =
 
 
Assim,  61,2 21,2r i j∆ = +? . A velocidade média será então: 
1r∆?
2r∆?
3r∆?
r∆?
450
 
 
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3 
( )1 61,2 21,2
1,5
40,8 14,1
rv i j
t
v i j
∆= = +∆
= +
??
?  
 
O módulo da velocidade média é dado por:  
 
2 2 140,8 14,1 43,2 .v km h−= + = ⋅  
 
O vetor velocidade média tem direção tal que forma com a direção Oeste – Leste um ângulo dado por: 
 
014,1 0,35 19 .
40,8
arctg arctgθ θ= ⇒ = ≅  
 
Questão  4  
 
  Um elétron parte do repouso e sofre uma aceleração que cresce linearmente com o tempo, isto 
é,  a kt= , sendo  32k m s−= ⋅ . A partir do gráfico de “a X t” obtenha o gráfico “v X t”. Depois obtenha “x X 
t”,  supondo  o movimento  retilíneo.  Utilizando  estes  gráficos  ou  então  através  do método  analítico 
responda às seguintes questões: 
a) Qual é a expressão de v em função de t? 
b) Qual é a expressão de x em função de t? 
c) Calcule o valor de v para t = 2 s. 
d) Calcule o valor de x para t = 3 s. 
 
Resolução: 
Vamos obter os gráficos. 
 
a X t: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para  encontrar  o  gráfico  de  v  X  t,  devemos  determinar  a  área  abaixo  da  curva,  no  gráfico  da 
aceleração. Assim, para o primeiro intervalo de tempo, temos: 
 
( ) 10 1 1 21 12v m s
−
→
⋅∆ = = ⋅ . 
 
 
1
2 
2
4 
3 
6 
0 
a(m⋅s‐2) 
t(s) 
 
 
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4 
Para o segundo intervalo de tempo: 
 
( ) ( ) 11 2 2 4 12 32v m s
−
→
+ ⋅∆ = = ⋅ . 
 
Para o terceiro intervalo de tempo: 
 
( ) ( ) 12 3 4 6 13 52v m s
−
→
+ ⋅∆ = = ⋅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos construir o gráfico da velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento para construir o gráfico do espaço é semelhante. Porém, vamos aproximar as áreas 
das figuras para áreas dos triângulo retângulo e trapézio. Assim, para o primeiro intervalo de tempo: 
 
( ) 0 1 1 1 11 2 2x m→
⋅∆ ≅ = . 
 
Para o segundo intervalo de tempo: 
1 
2 
2 
4 
3
6 
0 
a(m⋅s‐2) 
t(s)
(1)
(2) 
(3) 
1  2  3 
1 
4 
9 
t(s) 
v(m⋅s‐1)
0 
 
 
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5 
( ) ( )1 2 1 4 12 2,52x m→
+ ⋅∆ ≅ = . 
 
Para o terceiro intervalo de tempo: 
 
( ) ( )2 3 4 9 13 6,52x m→
+∆ ≅ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora podemos construir o gráfico do espaço: 
 
 
 
 
 
 
         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
Agora vamos encontrar a expressão de v(t). Sabemos que:  
 
dva
dt
= . 
1  2  3 
1 
4 
9 
t(s) 
v(m⋅s‐1)
0  (1)  (2)  (3) 
1  2 3 
0,5 
3 
9,5 
0 
x(m) 
t(s) 
 
 
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6 
Assim,  
 
2
3
0 0
0
2
; 2 .
2
.
t
t t ktv a dt v kt dt v k m s
v t
−= ⇒ = ⇒ = = ⋅
=
∫ ∫  
 
Agora a expressão de x(t): 
 
2
0 0
3 3
0
.
3 3
t t
t
dxv x vdt x t dt
dt
t tx x
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
∫ ∫
 
 
Para t = 2s:  2 12 4 .v m s−= = ⋅  
 
Para t = 3s: 
33 9 .
3
x m= =  
De acordo com o gráfico, o valor de x(3)=9,5m. Isso ocorreu devido à aproximação feita. Se, em vez de 
utilizarmos as áreas de triângulo e trapézios utilizássemos áreas bem menores, a aproximação seria 
melhor. E, de fato, teríamos uma somatória que se aproximaria da integração feita acima. 
 
Questão  5  
 
  A posição de uma partícula que se desloca ao  longo do eixo Ox varia com o tempo de acordo 
com a relação: 
 
( )0 1 ktx x e−= − . 
 
Onde x0 e k  são  constantes. Esboce um gráfico de  “x”  em  função do  tempo, outro gráfico de  “v”  em 
função do tempo e um outro gráfico de “a” em função do tempo. Determine: (a) o valor de x para t = 0, 
(b) o valor de x para t →∞, (c) a distância total percorrida desde t = 0 até t→∞, (d) a expressão da 
velocidade  v  em  função do  tempo  t.  (e) A  aceleração deste movimento  é  constante  ou  variável?  (f) 
Obtenha a expressão da aceleração em função do tempo t. (g) Obtenha a expressão de a em função de 
v.  (h) Calcule os valores de v e de a para  t→∞.  (i) Calcule os valores de x, de v e de a para  t = 1s. 
Considere x em metrose t em segundos; suponha k = 1 s‐1, x0 = 2m. 
 
Resolução: 
 
a) Para t = 0: 
( ) ( )00 01 1 1
0.
kx x e x x
x
− ⋅= − ⇒ = −
∴ =
 
b) Para t→∞: 
( )0 0lim 1
2 .
kt
t
x x e x
x m
−
→∞
= − =
∴ =
 
 
 
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7 
 
c) ∆x=? 
0 00 2 .x x x m∆ = − = =  
 
d) v(t)=? 
( ) ( )
( )( )
0 0
0 0
1 1
.
kt kt
kt kt
dx d dv v x e v x e
dt dt dt
v x k e v x ke
− −
− −
= ⇒ = − ⇒ = −
= − − ∴ =
 
 
e) A expressão da velocidade é dada por: 
0
2
0 .
kt
kt
dv da a x ke
dt dt
a x k e
−
−
= ⇒ =
∴ =−
 
Portanto, a aceleração é variável. 
 
f) Vide o item e. 
 
g) a(v)=? 
Tomando as expressões dos itens “d” e “e”, teremos: 
 
0 0;
.
kt kta kx ke v x ke
a kv
− −=− =
∴ =−  
 
h) Para t→∞: 
0
2
0
lim 0
lim 0.
kt
t
kt
t
v x ke
a x k e
−
→∞
−
→∞
= =
=− =  
 
i) Para t = 1s: 
( )10
1 1
0
2
1 1,26 ;
0,74 ;
0,74 .
x x e m
v x ke m s
a kv m s
−
− −
−
= − ≅
= ≅ ⋅
=− ≅− ⋅
 
 
 
Os gráficos:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão  6  
 
Um méson é disparado com uma velocidade de  6 14 10 m s−⋅ ⋅  para uma região onde um campo 
elétrico o acelera num sentido oposto ao da velocidade inicial, porém, na mesma direção. Suponha que 
o módulo desta desaceleração seja constante e igual a  14 22 10 m s−⋅ ⋅ .  
a) Calcule a distância percorrida pelo méson desde o  instante da aplicação do campo elétrico até o 
instante em que ele pára (momentaneamente) 
b) Qual o tempo que ele leva para percorrer a distância mencionada no item anterior? 
 
Resolução: 
 
a) 
 
( )
2 2
0
26 14
12 14
2
2
0 4 10 2 2 10
16 10 4 10
4 10 4 .
v v a x
x
x
x m x cm−
= + ∆
= ⋅ − ⋅ ⋅ ∆
⋅ = ⋅ ∆
∴∆ = ⋅ ⇒∆ =
 
 
 
 
 
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9 
b) 
6 14
0
8
0 4 10 2 10
2 10 .
v v at t
t s−
= + ⇒ = ⋅ − ⋅
∴ = ⋅
 
 
 
Questão  7  
 
Um  manual  de  instruções  para  motorista  estabelece  que  um  automóvel  com  bons  freios  e 
viajando  a  180km h−⋅   pode parar  a 56 m de distância do ponto onde o  automóvel  se  encontrava no 
momento da aplicação dos freios. A distância correspondente a uma velocidade de  148km h−⋅ é de 24 
m. No cálculo destes espaços se leva em conta também o tempo de reação do motorista, durante este 
intervalo  de  tempo  a  aceleração  é  nula  e  o  carro  continua  com velocidade  constante.  Suponha  que 
tanto o tempo de reação quanto a desaceleração sejam iguais nos dois casos. Calcule: 
a) O tempo médio de reação do motorista; 
b) A desaceleração. 
 
Resolução: 
Vamos visualizar com gráficos as duas situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a primeira situação, teremos: 
 
1 1 156; 22,2 .x x x t′∆ +∆ = ∆ = ⋅    (7.1) 
 
Mas,  
t(s)
v(m⋅s‐1) 
0  t  t’ 
22,2 
t(s)
v(m⋅s‐1) 
0  t  t’’ 
13,3 
∆x1 
∆x2 
∆x2’’ 
∆x1’’ 
 
 
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10 
2
2 2
0 1 1
22,22 .
2
v v a x x
a
′ ′= − ∆ ⇒∆ =    (7.2) 
 
Assim, utilizando (7.1) e (7.2), teremos: 
 
49322,2 56.
2
t
a
+ =    (7.3) 
 
Procedendo de forma análoga para a segunda situação: 
 
17713,3 24.
2
t
a
+ =    (7.4) 
 
 
O tempo “t” (tempo de reação do motorista) e a aceleração “a” possuem o mesmo valor para as duas 
situações. Assim, utilizando as eqs. (7.3) e (7.4), teremos um sistema. Vamos multiplicar a eq. (7.3) por 
177 e a eq. (7.4) por – 493 e somá‐las. Assim, teremos: 
 
3929,4 6556,9 9912 11832
2627,5 1920
0,73
t t
t
t s
− = −
=
∴ ≅
 
 
Agora utilizando a eq.(7.4), por exemplo, teremos: 
 
2
17713,3 0,73 24
2
1779,71 24
2
177 14,29
2
6,2 .
a
a
a
a m s−
⋅ + =
+ =
=
∴ ≅ ⋅
 
 
Questão  8  
 
Um  foguete  é  lançado  verticalmente  e  sobe  com  aceleração  vertical  constante  de  221m s−⋅  
durante 30s. Seu combustível é inteiramente consumido e ele continua viajando somente sob a ação 
da gravidade.  
a) Qual é a altitude máxima alcançada? 
b) Qual é o tempo total decorrido desde o lançamento até que o foguete volte à Terra? 
 
Resolução: 
a) A altitude máxima alcançada: 
Vamos considerar que a velocidade inicial do foguete seja nula. Desta forma: 
 
2 221 30 9450 .
2 2
ya ty y y m⋅∆ = ⇒∆ = ⇒∆ =  
 
 
 
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11 
Durante  a  queima  do  combustível.  Além  disso,  o  foguete  ainda  sobe  porque  possui  velocidade 
ascendente, dada por: 
 
121 21 30 630 .y yv t v m s
−= ⇒ = ⋅ = ⋅  
 
Sabendo a velocidade podemos agora determinar o quanto o foguete ainda sobe: 
 
2 2
0
2
2 ; 0
0 630 2 9,8
20250
y y yv v g y v
y
y m
′= − ∆ =
′= − ⋅ ⋅∆
′∴∆ =
 
 
Logo, a altura máxima atingida pelo foguete será de: 
 
29700 .mH y y m′=∆ +∆ =  
 
b) Depois  de  queimar  totalmente  o  combustível,  o  foguete  ainda  sobe  20250m  executando  um 
movimento retardado. Então além dos 30s, o tempo de subida até a altura máxima será de: 
 
0 0 630 9,8
64,3 .
y yv v gt t
t s
= − ⇒ = −
≅  
 
Então, durante a subida o tempo total é de 94,3s. Para a descida teremos: 
 
2 29,8
29700
2 2
77,9 .
q q
m
q
gt t
H
t s
= ⇒ =
∴ =
 
 
O tempo total será de 172,2s. 
 
Questão  9  
 
Um elevador aberto está subindo com uma velocidade constante  110v m s−= ⋅ . Um menino no 
elevador,  quando  este  está  a  uma  altura  20h m= acima do  solo,  joga  direto  para  cima  uma bola.  A 
velocidade inicial da bola em relação ao elevador é  10 20v m s
−= ⋅ .  
a) Obtenha uma expressão literal para a altura máxima “Hm” atingida pela bola; 
b) Calcule a altura “Hm” pelos dados anteriores; 
c) Quanto tempo passa para que a bola retorne ao elevador? 
 
Resolução: 
a) O  elevador  sobe  com velocidade  constante.  Logo,  a  velocidade  da  bola,  com  relação  ao  poço  do 
elevador será: 
 
0 0.rpv v v= +  
Assim,  
 
 
 
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12 
( ) ( )
( ) ( )
22 2
0 0
2 2
0 0
2 0 2
.
2 2
rp rp m
m m
v v g y v v g H h
v v v v
H h H h
g g
= − ∆ ⇒ = + − −
+ +− = ∴ = +
 
 
b) 
23020 66 .
2 9,8m m
H H m= + ∴ ≅⋅  
 
c) 
A equação horária da posição do elevador: 
 
20 10 .ey t= + (9.1) 
 
A equação horária da posição da bola: 
 
29,820 30
2b
ty t= + − (9.2) 
 
Igualando as eqs. (9.1) e (9.2), teremos: 
 
2
2
9,820 10 20 30
2
9,820 4 .
2
tt t
tt t s
/
+ = + −
/= ∴ ≅
 
 
Questão  10  
 
Uma bola de tênis cai do telhado de um edifício, sem velocidade inicial. Um observador, parado 
na frente de uma janela de 1,20m de altura, nota que a bola leva 1/8 do segundo para cair desde o alto 
da janela até sua base. A bola de tênis continua a cair, choca‐se elasticamente com a calçada horizontal 
e reaparece na parte inferior da janela 3s depois de ter passado naquele ponto de descida. No choque 
elástico há conservação de energia cinética. Qual é a altura do prédio? 
Resolução: 
Considere a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De 2→3: 
H1
H2
1,20m
① 
② 
③ 
④ 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
13 
2
2 3 2
2
2
1
2
2
1 11,20 4,9
8 64
76,8 4,9
8
9 .
gty v t
v
v
v m s
→
−
∆ = ⋅ +
= ⋅ + ⋅
−=
≅ ⋅
 
 
Agora, poderemos determinar a distância do telhado até a borda superior da janela: 
 
2 2
2 0 1
2
1
1
2
9 2 9,8
4,1 .
v v gH
H
H m
= +
= ⋅
∴ ≅
 
 
Podemos tambémdeterminar a velocidade da bola na posição 3: 
 
3 2
3
1
3
19 9,8
8
10,2 .
v v gt
v
v m s−
= +
= + ⋅
= ⋅
 
 
A bola desce até o solo e choca‐se elasticamente. Isto significa que a bola não perde energia, ou seja, 
ela sobe novamente e atinge a borda inferior da  janela (posição 3) com a mesma velocidade v3.  Isto 
significa também que o tempo de queda será o mesmo tempo de subida (1,5s para descer e 1,5s para 
subir) até a posição 3. Assim, 
 
2
2
2
2
2
10,2 4,9
10,2 1,5 4,9 1,5
26,3 .
H t t
H
H m
= +
= ⋅ + ⋅
∴ =
 
 
Com isso, concluímos que a altura total do prédio vale: 4,1+1,20+26,3=31,6m. 
 
Questão  11  
 
Um elevador sobe com uma aceleração, para cima, de  22m s−⋅ . No instante em que sua velocidade é de 
14m s−⋅ , um parafuso solto cai do teto do elevador, que está a 2,5 m do seu piso. Calcule: 
a) O tempo que o parafuso gasta para atingir o piso. 
b) O seu deslocamento em relação ao poço do elevador. 
Resolução: 
a) Vamos escrever a expressão das posições do piso do elevador e do parafuso: 
 
 
 
 
 
2,5m 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
14 
2
2
4
2,5 4 4,9
e
pa
y t t
y t t
= +
= + −  
 
Assim, quando o parafuso atingir o piso do elevador, teremos: 
 
2 2
2
4 2 2,5 4 4,9
5,9 2,5
0,65 .
e pay y
t t t t
t
t s
=
+ = + −
=
∴ ≅
 
 
b) Com relação ao poço: 
24 4,9
2,6 2,07
0,53 .
pa
pa
pa
y t t
y
y m
∆ = −
∆ = −
∴∆ =
 
 
Questão  12  
 
Um meteorito  entre  verticalmente  na  atmosfera  terrestre  e  passa  a  “cair”  em direção  ao  centro  da 
Terra com uma aceleração variável dada por: 
 
1
2a kgt=  
 
Onde  g  é  a  gravidade  na  superfície  terrestre,  t  é  o  tempo  em  segundos  e 
1
21k s−= .  Considere  a 
velocidade inicial do meteorito igual a  140m s−⋅ . Determine: 
a) A aceleração do meteorito para t = 100s; 
b) A velocidade do meteorito para t = 100s. 
Resolução: 
a) 
2
1 9,8 100
98 .
a
a m s−
= ⋅ ⋅
= ⋅
 
 
b) 
3
1
3
2 .
3
(0) 40
2( ) 40
3
v adt v kg tdt
kg tv const
v m s
kg tv t
−
= ⇒ =
= +
= ⋅
∴ = +
∫ ∫
 
Assim, 
( )32 12 9,8 10 40 6,6 .
3
v v km s−
⋅= + ∴ ≅ ⋅  
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
15 
Questão  13  
 
Considere  a  queda  do  meteorito  mencionado  na  questão  anterior.  Seja  r0  o  valor  da  distância  do 
meteorito ao centro da Terra para t = 0s. Obtenha uma expressão para a determinação da distância r 
do meteorito ao centro da Terra em função do tempo. 
Resolução: 
Do exercício anterior, tomaremos a expressão da velocidade para determinar a expressão da distância 
“r” do meteorito ao centro da Terra. Assim, 
 
3
3
5
0
5
0
2( ) 40 ( )
3
2 40
3
4 40 .
15
(0)
440 .
15
kg t drv t e v movimento retrógrado
dt
kg tr vdt r dt
kg tr t const
r r
kg tr r t
= + =−
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜=− ⇒ =− + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=− − +
=
∴ = − −
∫ ∫