Física1-06-Forças Atrito e centrípeta

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 6 
Questão  1  
 
Um bloco apoiado sobre um plano inclinado, conforme indicado na 
figura, está na iminência de escorregar. 
a) Sendo  o  ângulo  do  plano  inclinado  igual  a  300  qual  seria  o 
coeficiente de atrito estático deste bloco? 
b) Obtenha uma expressão para a determinação do  coeficiente de 
atrito cinético em função da aceleração do bloco e do ângulo que o plano forma com a horizontal; 
c) Determine o coeficiente de atrito cinético sabendo que  23a m s−= ⋅  e  035θ= . 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
.
330 0,58.
3
ate x
e
e
e
e
f P
N Psen
P Psen
µ θ
µ θ θ
µ θ
µ
=
=
/ /=
∴ =
= = ≅
cos
tan
tan
 
 
b) 
.
R x atc
c
c
F P f
ma mgsen mg
gsen a
g
θ µ θ
θµ θ
= −
= −/ / /
−∴ =
cos
cos
 
 
 
c) 
0
0
9,8 35 3 0,32.
9,8 35c
senµ −= ≅
cos
 
 
Questão  2  
 
Um bombeiro  pesa  750 N.  Quando  ele  desce  de  um mastro  vertical  com  aceleração  de  3,5 m⋅s‐2,  o 
coeficiente de atrito cinético vale 0,4. Determine: 
a) A força de atrito média entre o bombeiro e o mastro; 
P 
Py
Px
fat
θ
N 
 
 
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2 
b) A força média perpendicular ao mastro exercida pelo bombeiro sobre o mastro. 
Resolução: 
a) 
2; , 9,8
76,5 3,5 750
482,3 .
R atc
atc
atc
atc
PF P f P mg m g m s
g
ma P f
f
f N
−= − = ⇒ = = ⋅
= −
⋅ = −
≅
 
 
 b) 
482,3 0,4
1205,8 .
atc cf N
N
N N
µ=
=
∴ ≅
 
 
Questão  3  
 
Um cubo de massa  “m” repousa sobre um plano  inclinado rugoso, o qual  forma um ângulo θ  com a 
horizontal. 
a) Determine  a  força mínima  paralela  ao  plano  inclinado  necessária  para  iniciar  o movimento  do 
cubo para baixo do plano; 
b) Ache a força mínima paralela ao plano inclinado necessária para iniciar o movimento do cubo para 
cima do plano. 
c) Calcule  a  força mínima  paralela  ao  plano  da  base  necessária  para  iniciar  o movimento  do  cubo 
para cima do plano inclinado. 
d) Determine a força mínima paralela ao plano da base necessária para iniciar o movimento do cubo 
para baixo do plano inclinado. 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
( ).
x ate
e
e
f P f
f mg mgsen
f mg sen
µ θ θ
µ θ θ
+ >
> −
∴ > −
min
min
min
cos
cos
 
 
b) 
 
 
 
 
 
fmin 
Px 
fate 
fmin 
Px 
fate 
 
 
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3 
( ).
x ate
e
e
f P f
f mgsen mg
f mg sen
θ µ θ
θ µ θ
> +
> +
∴ > +
min
min
min
cos
cos
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
( )
;
.
x ate
e
e e
e
e
f P f
f mgsen N N mg f sen
f f sen mgsen mg
mg sen
f
sen
θ
θ θ µ θ θ
θ µ θ θ µ θ
θ µ θ
θ µ θ
′> +
′ ′> + = +
− > +
+∴ > −
min
min min
min min
min
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
( )
;
.
ate
e
e e
e
e
f mgsen f
f mgsen N N mg f sen
f f sen mg mgsen
mg sen
f
sen
θ θ
θ θ µ θ θ
θ µ θ µ θ θ
µ θ θ
θ µ θ
′′+ >
′′ ′′+ > = −
+ > −
−∴ > +
min
min min
min min
min
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
 
 
Questão  4  
 
O  cabo  de  um  escovão  de  massa  “m”  forma  um  ângulo  θ  com  a 
direção  vertical.  Seja  µc  o  coeficiente  de  atrito  cinético  entre  o 
escovão e o assoalho e o coeficiente de atrito estático é µe. Despreze 
a massa do cabo. 
a) Ache o módulo da força F, dirigida ao longo do cabo, necessária 
para que o escovão passe a deslizar com velocidade constante 
ao longo do assoalho; 
b) Calcule o ângulo limite θ0 tal que se o ângulo θ for menor do que 
θ0 o escovão não poderá deslizar sobre o assoalho, por maior que seja a força aplicada ao longo do 
cabo. 
fmin 
Px 
fate 
fmin 
Px 
fate 
θ  F 
 
 
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4 
Resolução: 
a) 
( )
.
cos
cos
atc
c
c
c
Fsen f
Fsen mg F
mgF
sen
θ
θ µ θ
µ
θ µ θ
=
= +
∴ = −
 
 
 
 
 
b) 
( )
.
cos
cos
ate
e
e
e
Fsen f
Fsen mg F
mgF
sen
θ
θ µ θ
µ
θ µ θ
=
= +
= −
 
 
Porém, se  0cosesen Fθ µ θ− → ⇒ →∞ . Assim, teremos: 
 
0 0
0
0
0
.
cos
tan
arctan
e
e
e
senθ µ θ
θ µ
θ µ
− =
=
∴ =
 
 
Questão  5  
 
Um  bloco  de  massa  m1  está  ligado  a  um  bloco  de  massa  m2  por  meio  de  uma  corda  de  massa 
desprezível. Os dois blocos estão apoiados sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito cinético 
entre o plano e o bloco de massa m1 vale µ1 e para o bloco m2 o coeficiente vale µ2. Sobre o bloco de m1 
atua uma  força F que  forma um ângulo  θ  com a horizontal. Determine o módulo da  aceleração dos 
blocos. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
1 1
2 2
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2
1 1 1 2 2
1 2
; ,
.
cos
cosθ
cos
cos
R at
R at
at at at at
F F f T
F T f
m m a F f f f m g Fsen f m g
m m a F Fsen m g m g
F Fsen m g m ga
m m
θ
µ θ µ
θ µ θ µ µ
θ µ θ µ µ
= − −
= −
+ = − − = − =
+ = + − −
+ − −∴ = +
 
 
θ  F 
P 
N 
fat 
1  2
F
θ 
P1  P2 
N1  N2
fat1  fat2
T T
 
 
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5 
Questão  6  
 
Uma  prancha  de  40  kg  de  massa 
repousa  sobre  um  assoalho  sem 
atrito.  Sobre  a  prancha  existe  um 
bloco  de  10  kg  de  massa.  O 
coeficiente de atrito estático entre o 
bloco e a prancha vale 0,55 enquanto o coeficiente de atrito cinético vale 0,35. O bloco de 10 kg sofre a 
ação de uma força horizontal de 100 N. Determine o módulo da aceleração: 
a) Do bloco; 
b) Da prancha; 
c) Qual  seria  a  força  máxima  necessária  para  movimentar  os  blocos  de  modo  que  não  existisse 
movimento relativo entre o bloco e a prancha? 
d) Suponha F = 10 N; calcule a aceleração do sistema nesse caso. 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
100R atF f= −  
 
Como  53,9 100atef N N= < , Teremos: 
2100 10 100 34,3 6,57 .R atcF f a a m s
−= − ⇒ = − ∴ = ⋅  
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
240 34,3 0,86 .R atcF f a a m s
−′ = ⇒ = ∴ ≅ ⋅  
 
c)  
53,9 .máx ateF f N= =  
d) 
2150 10 .
5R
F a a m s−= = ∴ = ⋅  
 
Questão  7  
 
Considere  uma  plataforma móvel  de massa M  e  um bloco  de massa m  apoiado  sobre  a  plataforma 
como o da questão anterior. Despreze o atrito entre a plataforma e o plano horizontal. O coeficiente de 
Sem atrito 
100 N 
10 kg 
40 kg 
100 N 
P 
N 
fat 
N  N’ 
P’
fat 
 
 
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6 
atrito entre o bloco e a plataforma vale µ.  Suponha que o coeficiente de atrito estático seja  igual ao 
coeficiente de atrito cinético. Em vez de se aplicar uma força horizontal sobre o bloco, como no caso 
anterior,  a  força horizontal  é  aplicada na plataforma.  Seja L a distância entre o  centro de massa do 
bloco e a extremidade da plataforma. A força F é orientada da direita para a esquerda. 
a) Obtenha uma expressão para a força máxima que pode ser aplicada para que o bloco não deslize 
sobre a plataforma; 
b) Suponha que a plataforma  seja  submetida a uma  força F maior do  que a Fmáx  calculada no  item 
anterior; determine o tempo que o bloco leva para cair da extremidade da plataforma. 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No bloco de massa “m”, a força resultante para que o mesmo seja acelerado sem escorregar vale: 
 
R ateF ma f ma mg a gµ µ= = ⇒ = ∴ = . 
 
Sendo esta a aceleração do sistema. Assim: 
 
( )máxF M m gµ= + . 
 
b) Se F > Fmáx, os corpos terão acelerações diferentes. O bloco de massa “m” terá uma aceleração dada 
por: 
R atcF ma f mg a gµ µ= = = ⇒ = .   (7.b.1)A plataforma terá uma aceleração dada por: 
 
R at
F mgF Ma F f a
M
µ−′ ′ ′= = − ⇒ = .   (7.b.2) 
 
Temos dois corpos sendo acelerados para a esquerda, porém, com acelerações diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m 
N 
P fat 
N’ 
M F 
P’ N 
fat 
a 
a’ 
1 
2 
L 
 
 
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7 
Para 1 teremos: 
2
1 2
atx L= + . 
 
E para 2 teremos: 
2
2 2
a tx
′= . 
 
Quando o ponto 1 coincidir com o ponto 2, o bloco começará a cair. Assim, teremos: 
 
1 2
2 2
2
2 2
2
2 .
x x
at a tL
a at L
Lt
a a
=
′+ =
⎛ ⎞′− ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
= ′−
 
 
Utilizando as expressões de a e a’, dadas por (7.b.1) e (7.b.2), teremos: 
 
( )
2LMt
F g m Mµ= − + . 
 
Questão  8  
 
Um  bloco  pequeno  de  massa  m,  preso  à  extremidade  de  uma  corda,  gira  com  velocidade  angular 
constante num círculo vertical de raio R. Determine a velocidade crítica, abaixo da qual a corda ficaria 
frouxa  no  ponto  mais  alto  da  trajetória.  Desconsidere  os  efeitos  da  resistência  do  ar  e  qualquer 
variação nos efeitos da gravidade local. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto mais alto da trajetória, a resultante centrípeta é a soma do peso com a tensão da corda. 
 
cpF P T= + . 
R
TP
vPonto mais alto da 
trajetória. 
 
 
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8 
No limite, para que nenhuma tensão atue na corda, teremos: 
 
2
0
.
cp
c
c
T F P
mv mg
R
v Rg
→ ⇒ =
/ = /
∴ =
 
 
Questão  9  
 
Um manual  de motorista  estabelece  que  quando  se  viaja  a  50  km⋅h‐1  e  se  deseja  parar  tão  rápido 
quanto possível, percorre‐se 10 m antes que a ação do  freio comece a  se  fazer  sentir. Depois que o 
freio começa a atuar o carro ainda percorre 20 m até parar. 
a) Calcule o coeficiente de atrito para estas condições; 
b) Determine o raio mínimo de uma curva circular que pode ser completada com 50 km⋅h‐1 sem que o 
carro derrape na curva. 
Resolução: 
a) A força resultante no carro, durante uma frenagem é exatamente igual à força de atrito. Assim: 
 
.
R atF f
ma mg a gµ µ
=
= ⇒ =  
 
Com  29,8g m s−= ⋅ . Utilizando a equação de Torricelli, teremos: 
 
2 2 1 1
0 0
2
2 ; 50 13,9
0 13,9 2 9,8 20
0,49.
v v a x v km h m s
µ
µ
− −= − ∆ = ⋅ = ⋅
= − ⋅ ⋅
∴ =
 
 
b) Durante a curva, a resultante centrípeta será igual à força de atrito. Assim, teremos: 
 
2
2
40,3 .
cp atF f
mv mg
R
vR R m
g
µ
µ
=
/ = /
= ∴ =
 
 
Questão  10  
 
Uma bola de 1,5 kg é ligada a uma haste vertical rígida, conforme indicado na 
figura. Cada cordão que  liga a massa à haste possui comprimento de 1,0 m e 
massa desprezível. A distância entre os pontos de conexão dos cordões com a 
haste  é  de  1,0 m.  O  sistema  gira  em  torno  do  eixo  da  haste  com  velocidade 
angular constante e  ficam esticados formando um triângulo eqüilátero com a 
haste. O módulo da tração no cordão superior vale 30 N. 
a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre a bola; 
 
 
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9 
b) Calcule a tração no cordão inferior; 
c) Qual é nesse caso, a força resultante exercida sobre a bola? 
d) Qual é a velocidade da bola? 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura podemos concluir que: 
 
0 0
1 2
2
2
30 30
15 14,7 0,5
0,6 .
T sen P T sen
T
T N
= +
= + ⋅
∴ =
 
 
Esse  resultado  foi  obtido  com  o  valor  de  29,8g m s−= ⋅ .  Porém,  para  efeitos  práticos,  pode‐se 
considerar o valor  2 0T =  ( 210g m s−= ⋅ ). 
c) A resultante é uma força centrípeta que vale: 
 
( )
( )
0
1 2 30
30 0,6 0,87
26,6 .
cp
cp
cp
F T T cos
F
F N
= + ⋅
= + ⋅
∴ =
 
Ou  26,1cpF N=  se considerarmos  2 0T = . 
d)  
2
2
1
3; 0,87
2
1,526,6 4 .
0,87
cp
mv lF R m
R
v v m s−
= = =
= ∴ ≅ ⋅
 
P
T1
T2
P
T1y
T1x
T2y
T2x
300 
 
 
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10 
Questão  11  
 
Uma garota está no interior de um elevador que sobe com aceleração a. Ela gira um balde contendo 
água num círculo vertical de raio R. Calcule o menor módulo da velocidade do balde para que a água 
não caia do balde na parte superior da circunferência. 
Resolução: 
A massa de água, para um referencial dentro do elevador, possui um peso aparente dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ).
R
ap
F N P
ma N mg
P N m a g
= −
= −
∴ = = +
 
 
Assim, repetindo o cálculo efetuado na questão 8, teremos: 
 
( )v R a g= + . 
 
Questão  12  
 
Um cubo muito pequeno, de massa m, é colocado no interior de um 
funil que gira em torno de um eixo vertical com uma frequência f. A 
parede do funil forma um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente 
de atrito estático entre o cubo e o  funil vale µ  e o centro do cubo 
está situado a uma distância r do eixo de rotação. Determine o valor 
máximo  e  o  valor  mínimo  de  f  para  que  o  cubo  permaneça  em 
repouso em relação ao funil. 
Resolução: 
Para o cubo não escorregar para cima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
P 
a 
r 
θ
r 
θ
P 
N
fate 
 
 
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11 
Para equilibrar o peso: 
 
.
Ncos mg Nsen
mgN
cos sen
θ µ θ
θ µ θ
= +
= −
 
 
Para fornecer a resultante centrípeta: 
 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4
4
4
1 .
2
Nsen Ncos m f r
N sen cos m f r
mg sen cos m f r
cos sen
g sen cos
f
r cos sen
θ µ θ π
θ µ θ π
θ µ θ πθ µ θ
θ µ θ
π θ µ θ
+ = ⋅
+ = ⋅
/ ⋅ + = ⋅/−
+∴ = −
 
 
Para o cubo não escorregar para baixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para equilibrar o peso: 
 
.
Ncos Nsen mg
mgN
cos sen
θ µ θ
θ µ θ
+ =
= +
 
 
Para fornecer a resultante centrípeta: 
 
( )
( )
( )
2 2
2 2
4
4
1 .
2
Nsen Ncos m f r
mg sen cos m f r
cos sen
g sen cos
f
r cos sen
θ µ θ π
θ µ θ πθ µ θ
θ µ θ
π θ µ θ
− = ⋅
/ − = ⋅/+
−∴ = +
 
 
 
r 
θ
P 
N 
fate