Física1-07

Prévia do material em texto

www.profafguimaraes.net 
 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 7 
Questão  1  
 
Uma  corda  é  usada  para  baixar  verticalmente  um bloco  de massa m  até  uma  distância d  com uma 
aceleração constante e igual a g/5. Calcule o trabalho realizado pela tensão da corda sobre o bloco. 
Resolução: 
 
 
5
4 .
5
R P F F F
F
gW W W m a d m g d W m d m g d W
W m g d
= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
∴ =− ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
Questão  2  
 
Batman, cuja massa é de 80 kg, está dependurado na extremidade livre de uma corda de 12,0 m, com a 
outra extremidade fixa em um galho de árvore acima dele. Ele coloca a corda em movimento da forma 
que só o Batman  consegue,  fazendo  finalmente que ela oscile o suficiente para  que ele alcance uma 
saliência  quando  a  corda  faz  um ângulo  de  60,00  com a  vertical. Quanto  trabalho  é  feito  pela  força 
gravitacional nessa manobra? 
Resolução: 
 
 
012 12 60 6 .
80 9,8 6
4704 .
g g
g
y Lcos L y cos y m
W mgy W
W J
θ+ = ⇒ = − ⇒ =
=− ⇒ =− ⋅ ⋅
∴ =−
 
 
 
 
 
Questão  3  
 
A força (em newtons) agindo sobre uma partícula é  ( )8,00 16,0xF x= − , em que x está em metros. 
a) Faça um gráfico dessa força contra x, de x = 0 até x = 3,00 m. 
b) A partir de seu gráfico, encontre o trabalho resultante feito por essa força sobre a partícula quando 
ela se desloca de x = 0 até x = 3,00 m. 
Resolução: 
a) 
 
 
 
F 
F d 
60,00 
y 
Lcosθ 
L = 12,0m 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Vamos determinar o trabalho a partir das áreas representadas no gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
0 3 1 2 0 3
0 3
2 16 1 8
2 2
12 .
W A A W
W J
→ →
→
⋅ ⋅= + ⇒ =− +
∴ =−
 
 
 
 
 
 
Questão  4  
 
Quando a força F for variável, o trabalho realizado por esta força deve ser determinado pela integral 
de  dW F dr= ⋅? ? ,  sendo  a  integração  realizada  sobre  a  trajetória  curvilínea  descrita  pela  partícula. 
Deduza uma expressão geral (válida em qualquer número de dimensões) para relacionar o trabalho 
realizado com a velocidade inicial v0 e com a velocidade final v da partícula (nos extremos da trajetória 
usada  para  a  determinação  do  trabalho).  Mostre  que  o  trabalho  é  dado  pela  variação  da  energia 
cinética nos extremos da trajetória considerada. 
Resolução: 
Seja 
1 21 2 nx x x n
F dr F dx F dx F dx⋅ = + + +? ? ? . Assim, 
 
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
;
;
nf f f
n
ni i i
nf f f
n
ni i i
x x x
x x x n
x x x
x x x
x x x n
x x x
W F dx F dx F dx F ma
dvW m a dx a dx a dx a
dt
= + + + =
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
? ??
???
 
A2
A1 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
3 
21
1 2
1 2
21
1 1 2 2
21
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2
;
2 2 2 2 2
nf ff
n
ni i i
x x xnf ff
n n
x xx ni ii
nf f f i i
x x x
xx x
n
x x x
v v v
x x x x x x
v v v
x x x x x
dvdv dv dv dv dx dvW m dx dx dx v
dt dt dt dt dx dt dx
W m v dv v dv v dv
v v v v v v
W m
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + + + = ⋅ =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
?
?
? ? 2
1 2
2
2 2 2 2
2 2 2
;
2
; , .
2 2 2
i
n
x
x x x
f i
f i
v v v v
mv mv mvW W K K K
⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟ = + + +⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∴ = − = − =
?
 
 
Questão  5  
 
Um pequeno corpo de massa m é puxado até o  topo de um 
semicilindro sem atrito (de raio R) por uma corda que passa 
pelo topo do cilindro, como ilustrado na figura. 
a) Se o  corpo  se desloca  com velocidade escalar  constante, 
mostre  que  F m g cosθ= ⋅ ⋅ .  (Dica:  Se  o  corpo  se  desloca 
com  velocidade  constante,  a  componente  de  sua 
aceleração tangente ao cilindro tem de ser nula em todos 
os instantes.); 
b) Integrando  diretamente  W F dr= ⋅∫ ? ? ,  encontre  o  trabalho  feito  ao  se  mover  o  corpo  com 
velocidade escalar constante da base até o topo do semicilindro. 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Como a aceleração tangencial deve ser nula, teremos: 
 
.F Pcos F m g cosθ θ= ⇒ = ⋅ ⋅  
 
b) 
FW F dr F dr= ⋅ = ⋅∫ ∫? ?  
 
 
 
 
 
 
 
R 
θ 
F
m
R
θ
m
F
P⋅cosθ
θ
P
R
dθ
F 
dr≅ Rdθ
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
4 
Assim, teremos: 
 
2 2
2
0
0 0
cos
.
F
F
W m g cos R d m g R d m g R sen
W m g R
π π πθ θ θ θ θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
∴ = ⋅ ⋅
∫ ∫  
 
Questão  6  
 
Um pequeno bloco com massa de 0,120 kg está  ligado a 
um  fio  que  passa  através  de  um  buraco  em  uma 
superfície horizontal sem atrito. O bloco inicialmente gira 
a uma distância de 0,40 m do buraco com uma velocidade 
de 0,70 m⋅s‐1. A seguir o fio é puxado por baixo, fazendo o 
raio  do  círculo  se  encurtar  para  0,10  m.  Nessa  nova 
distância verifica‐se que  sua velocidade passa para 2,80 
m⋅s‐1. 
a) Qual era a tensão do fio quando o bloco possuía velocidade vi = 0,70 m⋅s‐1? 
b) Qual é a tensão do fio quando o bloco possui velocidade vf = 2,80 m⋅s‐1? 
c) Qual foi o trabalho realizado pela pessoa que puxou o fio? 
Resolução: 
a) 
2
0,147 .
i
i
i cp i
i
i
mvT F T
R
T N
= ⇒ =
∴ =
 
 
b) 
2
9, 41 .
f
f
f cp f
f
f
mv
T F T
R
T N
= ⇒ =
∴ =
 
 
c) 
( ) ( )2 2 2 20,120 2,80 0,70
2 2
0,441 441 .
i f f i f i i f
i f
mW K K K v v W
W J mJ
→ →
→
=∆ = − = − ⇒ = −
∴ = =
 
 
Questão  7  
 
BOMBARDEIO COM PRÓTON. Um próton com massa  igual  a 1,67⋅10‐27 kg é  impulsionado com uma 
velocidade inicial de 3,00⋅105 m⋅s‐1 diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância 
de 5,00 m. O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força com módulo  2xF xα −= ⋅ , onde x é 
a distância entre as duas partículas e α = 2,12⋅10‐26 N⋅m2. Suponha que o núcleo de urânio permaneça 
em repouso.  
F 
v
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
5 
a) Qual  é  a  velocidade  do  próton  quando  ele  está  a  uma  distância  de  8,00⋅10‐10  m  do  núcleo  de 
urânio? 
b) À medida que o próton se aproxima do núcleo de urânio, a  força de repulsão  faz sua velocidade 
diminuir  até  ele  ficar  momentaneamente  em  repouso,  depois  do  que  ele  passa  a  se  afastar  do 
núcleo de urânio. Qual é a distância mínima entre o próton e o núcleo de urânio? 
c) Qual é a velocidade do próton quando ele está novamente a uma distância de 5,00 m do núcleo de 
urânio? 
Resolução: 
a) 
( ) ( )
1010 810810
2 10 2 10
2
5 5
2 10
10
5 1
9 10 9 10
2 2
2 1 1 9 10
8 10 5
2,4 10 .
f
i f
i
f f
f
f
W F dr K
m mdx v v
x x
v
m
v m s
α α
α
−−
→
⋅⋅
−
−
= ⋅ =∆
⋅ = − ⋅ ⇒− = − ⋅
⎛ ⎞⎟⎜− − = − ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⋅
∴ = ⋅ ⋅
∫
∫
? ?
 
 
b) 
( )10 102
5 5
10
10
0 9 10 9 10
2 2
2 1 1 9 10
5
2,8 10 .
mínmín
f
i f
i
xx
mín
mín
W F dr K
m mdx
x x
m x
x m
α α
α
→
−
= ⋅ =∆
⋅ = − ⋅ ⇒− =− ⋅ ⋅
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ = ⋅
∫
∫
? ?
 
 
c)Como  a  força  que  retarda  é  a  mesma  que  acelera  o  próton,  o  módulo  da  velocidade  do  próton 
quando atingir a distância de 5,00 m será o mesmo, isto é, 3,00⋅105 m⋅s‐1 .  
 
Questão  8  
 
Um  elevador  de  650  kg  parte  do  repouso.  Ele  sobe  durante  3,00  s  com  aceleração  constante  até 
alcançar sua velocidade escalar de operação de 1,75 m⋅s‐1. 
a) Qual é a potência média do motor do elevador durante esse período? 
b) Como se compara essa potência com a potência do motor quando o elevador está em movimento à 
velocidade de operação? 
Resolução: 
a)Previamente, determinaremos a aceleração do elevador: 
 
21,75 0,583 .
3
va m s
t
−∆== = ⋅∆  
 
De posse da aceleração poderemos determinar a distância percorrida pelo elevador durante a ação da 
força do motor. Assim, 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
6 
2 2 22 1,75 0 2 0,583 2,627 .f iv v ay y y m= + ⇒ = + ⋅ ⇒ =  
 
Utilizando  novamente  o  valor  da  aceleração  do  elevador,  poderemos  determinar  o  valor  da  força 
efetuada pelo motor, com auxílio da força resultante. Assim, 
 
650 0,583 650 9,8 6748,95 .RF F m g F F N= − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ =  
 
Agora que  temos a  força efetuada pelo motor e  também a distância, poderemos calcular o  trabalho 
realizado pelo motor e a potência média. Logo, 
 
1
6748,95 2,627 17729,5
17729,5 5909,8 .
3
F
F
F
W F y J
WP J s
t
−
= ⋅ = ⋅ =
= = = ⋅∆
 
 
b) 
1650 9,8 1,75 11147,5 .P F v P P J s−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ∴ = ⋅  
 
No primeiro caso (a), a  força que o motor exercia no elevador necessariamente era maior do que o 
peso. No segundo caso (b), a força exercida pelo elevador é igual a peso. 
 
Questão  9  
 
Trabalho e energia cinética em referenciais móveis. Considere um observador em repouso em relação 
ao solo e um sistema de coordenadas fixo no solo. Considere outro observador no interior de um trem 
que se move com velocidade constante u em relação ao sistema fixo no solo. Uma partícula de massa 
m,  inicialmente em repouso em relação ao sistema fixo no solo sofre a ação de uma força constante, 
paralela e com o mesmo sentido da velocidade u. 
a) Qual é a velocidade da partícula em relação ao sistema fixo? 
b) Qual é a velocidade da partícula em relação ao sistema solidário com o trem? 
c) A aceleração é a mesma nos dois sistemas? 
d) A  energia  cinética  medida  pelo  observador  fixo  no  solo  é  igual  à  energia  cinética  medida  pelo 
observador no interior do trem? 
e) O teorema que afirma que o “trabalho realizado é dado pela variação da energia cinética” continua 
válido nos dois sistemas? 
f) Calcule o trabalho no sistema fixo no solo. 
g) Calcule o trabalho em relação ao sistema do trem. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Com relação ao ponto fixo, a velocidade da partícula é dada por: 
x 
x’ 
u⋅t
y 
z 
y’ 
z’ 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
7 
dx Fv t
dt m
= = . 
 
b)Com relação ao trem, temos: 
.
dx dxx x ut u
dt dt
dx Fv t u
dt m
′′= + ⇒ = +
′′∴ = = −
 
 
c)A aceleração é a mesma nos dois sistemas: 
2 2
2 2
d x d x
dt dt
′= . 
 
d)Não. 
e)Sim. 
f) 
22
2 2
mv m FW t
m
⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ . 
 
g) 
2 22
2 2
2
2 2 2 2 2
.
2
mv m F m F m mW t u t Fut u u
m m
m FW t Fut
m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎟ ⎟⎜ ⎜′ = = − = − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜′∴ = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
 
 
Questão  10  
 
Uma  cachoeira  despeja  um  volume  de  1,2  x  104 m3  de  água  em  cada  intervalo  de  2  s.  A  altura  da 
cachoeira vale 100m. 
a) Obtenha uma expressão para o cálculo da potência teórica disponível. 
b) Supondo que quatro quintos desta potência possam ser transformados em eletricidade por  meio 
de um sistema gerador hidroelétrico, calcule a potência elétrica gerada. A densidade da água vale 
1g⋅cm‐3. 
Resolução: 
a) 
;
.
g
g
W mghW mgh P m V
t t
ghVP
t
ρ
ρ
= ⇒ = = =∆ ∆
∴ = ∆
 
 
b) 
3 3 3
3 2 4
4 4 ; 1 10
5 5
4 10 9,8 10 1,2 10 4,7 .
5 2
u u
u
ghVP P P g cm kg m
t
P GW
ρ ρ − −= ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅∆
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
8 
Questão  11  
 
Uma força resultante de 3,0 N atua sobre uma partícula que inicialmente está em repouso. Calcule: 
a) O trabalho realizado pela força no primeiro, no segundo e no terceiro segundo; 
b) A potência instantânea no terceiro segundo. 
Resolução: 
a) 
1º segundo: 
1
2
1
1 1 0
3 30 1
9 .
2 2
v
m m
mvW K K
m
= + ⋅ =
= − = =
 
2º segundo: 
2
2 2 1
3 62
36 9 27 .
2 2 2
v
m m
W K K
m m m
= ⋅ =
= − = − =
 
3º segundo: 
3
3 3 2
3 93
81 36 45 .
2 2 2
v
m m
W K K
m m m
= ⋅ =
= − = − =
 
 
b) 
3
9 273 .P F v P
m m
= ⋅ ⇒ = ⋅ =  
 
Questão  12  
 
Uma carreta sobe uma estrada cuja inclinação em relação à horizontal é de 300, a uma velocidade de 
30 km⋅h‐1. A força resistiva é igual a 0,75 do peso da carreta. Que velocidade teria a mesma carreta se 
descesse a estrada com a mesma potência? 
Resolução: 
Durante a subida, o moto da carreta deve efetuar uma força igual ao componente do peso ao longo da 
estrada mais a força resistiva. Assim, 
 
030 0,75 1,25 .
1,25 30 37,5 .
F mgsen mg mg
P F v mg mg
= + =
= ⋅ = ⋅ =  
 
Durante a descida, a  força efetuada pelo motor  será  igual à  força  resistiva menos a  componente do 
peso ao longo da estrada. Logo teremos, 
 
0
1
0,75 30 0,25
0,25 37,5
150 .
F mg mgsen mg
P mg v mg
v km h−
= − =
′= ⋅ =
′∴ = ⋅
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
9 
Questão  13  
 
Uma força atua sobre uma partícula de 2.5 kg de tal forma que a posição da  partícula varia em função 
do tempo de acordo com a expressão:  4 3 23 2x t t t= − − , onde x é expresso em metros e t em segundos. 
Calcule: 
a) O trabalho realizado pela força nos 3 segundos iniciais; 
b) A potência instantânea para t = 2,0s. 
Resolução: 
a) W3 = ? 
3 2
3 2 1
0 3
3 3 0
2
3
3
12 6 2 ;
0, 12 3 6 3 2 3 264
2,5 264 87120
2
87,12 .
dxv t t t
dt
v v m s
W K W K K
W J
W kJ
−
= = − −
= = ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅
=∆ ⇒ = −
⋅= =
∴ =
 
b)  
( )
( )
3 2 1
2
2 2
2
2
1
2
12 2 6 2 2 2 68
36 12 2 36 12 2
2,5 36 4 12 2 2 295
295 68
20060 .
inst
v m s
dva t t F m t t
dt
F N
P F v P
P J s
−
−
= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅
= = − − ⇒ = ⋅ − −
= ⋅ ⋅ − ⋅ − =
= ⋅ ⇒ = ⋅
∴ = ⋅
 
Questão  14  
 
Uma locomotiva possui uma potência máxima de  6 11,5 10 J s−⋅ ⋅ . Esta locomotiva acelera um trem com 
11m s−⋅  de velocidade até  12,5m s−⋅ , com potência máxima, num tempo de 30 s.  
a) Desprezando a força de atrito, calcule a massa do trem; 
b) Ache a velocidade do trem em função do tempo durante o intervalo. 
Resolução: 
a) m = ? 
( )2 2 2 2
6
7
2
;
2
2
2 1,5 10 30 1,7 10 .
2,5 1
f i
f i
W K W P t K P t
m P tv v P t m
v v
m m kg
=∆ = ⋅∆ ⇒∆ = ⋅∆
⋅ ⋅∆− = ⋅∆ ⇒ = −
⋅ ⋅ ⋅= ∴ ≅ ⋅−
 
b)  
( )
2 2
2 2
1
2
2 ; 0
2
1 0,176 .
f i
f i
f
P tv v t t
m
P tv v
m
v t
⋅∆− = ∆ = −
⋅∆= +
∴ = +
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
10 
Questão  15  
 
Uma  partícula  é  ligada  entre  duas molas  idênticas  sobre  uma mesa  horizontal  sem  atrito.  As  duas 
molas têm constantes elásticas k e não estão esticadas nem comprimidas inicialmente.  
a) Se a partícula é puxada a uma distância x ao longo de uma direção perpendicular à configuração 
inicial das molas, como na figura, mostre que a força exercida sobre a partícula pelas molas é 
 
2 2
2 1 LF kx i
x L
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜=− − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+
?
. 
 
b) Determine a quantidade de trabalho feita por essa força ao mover a partícula de x =A até x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) F = ? 
( )12 2 2y x L= + . 
 
A força restauradora é dada pela expressão: 
( ) ( )12 2 2F k y L F k x L L⎡ ⎤=− − ⇒ =− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x A
L
L
k
k
y
F
x A
L 
L 
α
y
Fx
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
11 
As componentes da força restauradora na direção do vertical se anulam mutuamente. Desta forma, a 
força restauradora resultante estará na direção horizontal, dada por: 
 
( ) ( )
( )
1
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
2 2 ; .
2 1 .
r x r
r
xF F F k x L L cos cos
x L
LF kx i
x L
α α⎡ ⎤= ⋅ ⇒ =− + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ =− −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
?
 
 
b)W = ? 
( )
( )
( )
0
0 1
2 2 2
01
2 2 2 2
0
1
2 2 2 2 2
0
2 1
2
2 2 .
f
i
r
i f
r
A
A
A
A
A
W F dr
LW kx dx
x L
W kx kL x L
W kA kL kL A L
→
→
→
→
= ⋅
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=− −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ = + − +
∫
∫
?
?
? ?
 
 
Questão  16  
 
Em um dia de inverno em uma cidade que neva muito, o trabalhador de um armazém está empilhando 
caixas  sobre  uma  rampa  rugosa  inclinada  de  um  ângulo  α  acima  da  horizontal.  A  rampa  está 
parcialmente  coberta  de  gelo  e  na  sua  base  existe  mais  gelo  do  que  no  seu  topo,  de  modo  que  o 
coeficiente de  atrito  aumenta  com a distância x ao  longo da  rampa: µ=Ax,  onde A  é uma  constante 
positiva e a base da rampa corresponde a x=0. (Para essa rampa, o coeficiente de atrito cinético é igual 
ao coeficiente de atrito estático: µc=µe=µ). Uma caixa é empurrada para cima da rampa, de modo que 
ela  sobe  a  partir  da  base  com  uma  velocidade  inicial  v0.  Mostre  que  quando  a  caixa  atingir 
momentaneamente o repouso ela continuará em repouso se: 
 
2
2
0
3gsenv
Acos
α
α≥ . 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v0
αPx 
fat 
P
N
x
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
12 
Seja fat a força de atrito. Assim, teremos: 
 
at atf N f Ax mg cosµ α= ⇒ = ⋅ ⋅ . 
 
A força resultante na caixa é dada por: 
 
RF Ax mg cos mgsenα α= ⋅ ⋅ +  
 
O trabalho da força resultante é expresso por: 
 
( )
0
2
.
2
x
R
R
W Ax mgcos mgsen dx
xW Amgcos x mgsen
α α
α α
=− ⋅ +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∫
 
 
O  trabalho  da  força  resultante  é  resistente.  Por  sua  vez,  o  trabalho  da  força  resultante  é  igual  a 
variação da energia cinética. Assim, 
 
2 2
2 2
2 2
2 .
i
i
mv x Amgcos x mgsen
v x Agcos xgsen
α α
α α
⎛ ⎞/ ⎟⎜ ⎟− =− ⋅ + ⋅/ /⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ = ⋅ +
      (16.1) 
 
Ao se lançar a caixa ao longo da rampa com essa velocidade inicial, a caixa deverá parar na posição “x”. 
Para  que  a  caixa  permaneça  em  repouso  nesta  posição,  a  força  de  atrito  deverá  equilibrar  com  a 
componente Px. Assim, teremos: 
 
senmgsen Axmgcos x
Acos
αα α α= ⇒ =/ // / .   (16.2) 
 
Substituindo o resultado de (16.2) no resultado de (16.1), teremos: 
 
2 2
2
2 2
2
2
2
3 .
i
i
sen gsenv Agcos
AcosA cos
gsenv
Acos
α αα αα
α
α
/ //= ⋅ +
=
  (16.3) 
       
 
Essa é a menor velocidade que atende às condições do problema. Portanto, qualquer velocidade inicial 
que seja igual ou maior do que o resultado (16.3), atende às condições do nosso problema. Assim,  
 
2
2 2
0
3
i
gsenv v
Acos
α
α∴ ≥ = . 
 
 
 
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
13 
Questão  17  
 
Mola  com Massa.  Geralmente  desprezamos  a  energia  cinética  das  espiras  da  mola,  porém  vamos 
agora tentar obter uma aproximação razoável sem desprezar este  fator. Seja M a massa da mola, L0 
seu  comprimento  normal  antes  da  deformação,  e k  a  constante  da mola.  O  trabalho  realizado  para 
esticar ou comprimir a mola a uma distância L é dado por  21
2
kX , onde  0X L L= − . 
a) Considere a mola descrita acima e suponha que uma de suas extremidades esteja fixa e a outra se 
mova  com  velocidade  V.  Suponha  que  a  velocidade  ao  longo  da mola  varie  linearmente  com  a 
distância l da extremidade fixa. Suponha também que a massa M seja uniformemente distribuída 
ao  longo da mola. Calcule a energia cinética da mola em função de M e de V.  (Sugestão: divida a 
mola em segmentos de comprimentos dl, calcule a velocidade de cada segmento em função de l, de 
V e de L; ache a massa de cada segmento em função de dl, de M e de L; a seguir integre de 0 a L. O 
resultado  não  será  igual  a  21
2
MV ,  porque  as  partes  da  mola  não  se  movem  com  a  mesma 
velocidade). 
Em uma espingarda de mola, a mola possui massa 0,243 kg e a constante da mola é igual a 3200 N⋅m‐1; 
ela é comprimida 2,50 cm a partir do seu comprimento sem deformação. Quando o gatilho é puxado, a 
mola exerce uma força horizontal sobre uma bala de massa 0,053 kg. Despreze o trabalho realizado 
pelo atrito. Calcule a velocidade da bala quando a mola atinge seu comprimento sem deformação. 
 
b) Desprezando a massa da mola; 
c) Incluindo a massa da mola usando o resultado da parte (a). 
d) Na parte (c), quais são a energia cinética da bala e a energia cinética da mola? 
Resolução: 
a)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a velocidade varia linearmente com o comprimento da mola, poderemos construir um gráfico v 
x l. Assim, teremos: 
 
 
V Vtan v l
L L
α= ⇒ = ⋅  .  (17.1) 
 
 
 
L0
L
0  Ll
dl V
0  L  l 
V 
v 
α
 
 
www.profafguimaraes.net 
 
14 
Como a massa da mola está uniformemente distribuída, podemos definir uma densidade linear para a 
mola da seguinte forma: 
M
L
δ= . 
 
Assim, o elemento de comprimento dl possui massa dada por: 
 
Mdm dl dm dl
L
δ= ⋅ ⇒ = . 
 
Agora poderemos expressar a energia cinética deste elemento de massa, utilizando a equação (17.1) e 
a expressão da massa dada imediatamente acima: 
 
2 2 2
3
1
2 2
dm v MV ldK dK dl
L
⋅= ⇒ = . 
 
Agora poderemos integrar a expressão da energia cinética e obter a energia cinética da mola. Assim, 
 
2
2
3
0
2
3
3
0
2
1
2
1
6
1
6
L
L
MVK l dl
L
MVK l
L
K MV
= ⋅
= ⋅ ⋅
∴ = ⋅
∫
(17.2) 
 
b) Desprezando  a massa da mola,  o  trabalho  exercido pela  força  elástica  restauradora  será  igual  a 
variação da energia cinética da bala.  
 
( )
2 2
22 2
1
2 2
3200 2,5 10 0,053
6,2 .
Fel B
kx mvW K
v
v m s
−
−
=∆ ⇒ =
⋅ =
∴ ≅ ⋅
 
 
c) Para levar em consideração a massa da mola, faz‐se necessário utilizar o resultado (17.2). Assim, 
teremos: 
2
1
0, 2432 0,053
3
3,9 .
Fel mola BW K K v
v m s−
⎛ ⎞⎟⎜= + ⇒ = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ ≅ ⋅
 
 
d) Com velocidade obtida no item (c), poderemos determinar as energias cinéticas. 
 
2 2
2 2
0, 243 3,9 0,6 .
6 6
0,053 3,9 0,4 .
2 2
mola mola
B B
MvK K J
mvK K J
⋅= ⇒ = ≅
⋅= ⇒ = ≅