funções vetoriais

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FUNC¸O˜ES VETORIAIS
Teoria
• Geometria do Espac¸o Rn:
O espac¸o Rn e´ um espac¸o vetorial sobre R com as operac¸o˜es de soma e
multiplicac¸a˜o por escalar definidas coordenada a coordenada.
O nu´mero
(x1, ..., xn) · (y1, ..., yn) = x1y1 + ...+ xnyn
denomina-se produto escalar dos vetores (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn). Dize-
mos que os vetores (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) sa˜o ortogonais se (x1, ..., xn)·
(y1, ..., yn) = 0. O nu´mero
‖(x1, ..., xn)‖ =
√
(x1, ..., xn) · (x1, ..., xn)
denomina-se norma do vetor (x1, ..., xn).
(Desigualdade de Schwarz) Quaisquer que sejam os vetores ~u e ~v de Rn,
tem-se
|~u · ~v| ≤ ‖~u‖ · ‖~v‖.
Quaisquer que sejam os vetores ~u e ~v de Rn e qualquer que seja o escalar
λ tem-se:
1. ‖~u‖ ≥ 0;‖~u‖ = 0⇔ ~u = ~0.
2. ‖λ~u‖ = |λ|‖~u‖.
3. (Desigualdade Triangular)‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.
• Topologia do Espac¸o Rn:
Sejam (x0, y0) um ponto do R
2 e r > 0 um real. O conjunto {(x, y) ∈
R2, ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r} denomina-se bola aberta de centro (x0, y0) e
raio r.
Seja A um subconjunto na˜o-vazio de R2. Dizemos que (x0, y0) ∈ A e´
um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x0, y0)
1
contida em A. Seja A um subconjunto na˜o-vazio de R2. Dizemos que
A e´ um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior. Por
definic¸a˜o, o conjunto vazio e´ um conjunto aberto.
Seja A um subconjunto do R2 e seja (a, b) ∈ R2. Dizemos que (a, b) e´
ponto de acumulac¸a˜o de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver
pelo menos um ponto (x, y) ∈ A, com (x, y) 6= (a, b).
Observac¸a˜o. Todas as definic¸o˜es apresentadas aqui podem ser facil-
mente generalizadas para o Rn.
• Func¸o˜es Vetoriais:
Uma func¸a˜o vetorial e´ uma func¸a˜o F : A→ Rn, onde A e´ um subcon-
junto de R. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A, um u´nico vetor
F (t) ∈ Rn.
O conjunto ImF = {F (t) ∈ Rn|t ∈ A} e´ a imagem de F e corresponde
ao lugar geome´trico, em Rn, descrito por F (t) quando t varia em A.
• Limite e Continuidade:
Seja F : A ⊂ R → Rn e seja t0 um ponto do domı´nio de F ou extre-
midade de um dos intervalos que compo˜em o domı´nio de F . Dizemos
que o limite de F (t) e´ L ∈ Rn, quando t tende a t0, e escrevemos
limt→t0 F (t) = L, se para todo � > 0 dado, existir δ > 0 tal que, para
todo t ∈ A,
0 < |t− t0| < δ ⇒ ‖F (t)− L‖ < �.
Sejam F = (F1, ..., Fn) uma func¸a˜o vetorial e L = (L1, ..., Ln). Enta˜o
limt→t0 F (t) = L⇔ limt→t0 Fi(t) = Li, i = 1, 2, ..., n.
Sejam F : A→ Rn e t0 ∈ A. Definimos
F cont´ınua em t0 ⇔ limt→t0 F (t) = F (t0).
• Derivada:
Sejam F : A→ Rn e t0 ∈ A. Definimos a derivada de F em t0 por
2
dF
dt
(t0) = limt→t0
F (t)− F (t0)
t− t0
desde que o limite exista. Sejam F = (F1, ..., Fn) e t0 pertencente ao
domı´nio de F . Enta˜o, F ′(t0) = (F ′1(t0), ..., F
′
n(t0)).
Seja F : A → Rn diferencia´vel em t0, com dF
dt
(t0) 6= ~0. A reta X =
F (t0) + λ
dF
dt
(t0), λ ∈ R denomina-se reta tangente a` imagem de F no
ponto F (t0).
• Integral:
A integral de Riemann de uma func¸a˜o F : [a, b]→ Rn e´, por definic¸a˜o,∫ b
a
F (t)dt = limmax∆ti→0
∑m
i=1 F (ci)∆ti.
Seja F = (F1, ..., Fn) definida em [a, b]. Enta˜o,∫ b
a
F (t)dt = (
∫ b
a
F1(t)dt, ...,
∫ b
a
Fn(t)dt).
Ale´m disso, se G for uma primitiva de F em [a, b], teremos∫ b
a
F (t)dt = G(b)−G(a).
Seja γ : [a, b] → Rn uma curva com derivada cont´ınua em [a, b]. Defi-
nimos o comprimento L(γ) da curva γ por
L(γ) =
∫ b
a
‖γ′(t)‖dt.
3
Exerc´ıcios
• Fixac¸a˜o:
1. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que e´
perpendicular a` direc¸a˜o do vetor ~n = (−1, 3).
2. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja
paralela a` direc¸a˜o do vetor ~v = (−1, 1).
3. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1,−1) e que
e´ perpendicular a` reta 2x+ y = 1.
4. Determine um vetor cuja direc¸a˜o seja paralela a` reta 3x+ 2y = 2.
5. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e que
seja perpendicular a` direc¸a˜o do vetor ~n = (2, 1, 3).
6. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (2, 1,−1) e
que seja perpendicular a` direc¸a˜o do vetor ~n = (−2, 1, 2).
7. Seja proj~a~b a projec¸a˜o vetorial de ~b sobre ~a, definida como a
projec¸a˜o escalar
~a ·~b
‖~a‖ vezes o versor na direc¸a˜o de ~a. Mostre que
o vetor ort~a~b = ~b− proj~a~b e´ ortogonal a ~a. (Este vetor e´ chamado
projec¸a˜o ortogonal de ~b sobre ~a).
8. A Lei do Paralelogramo afirma que
‖~a+~b‖2 + ‖~a−~b‖2 = 2‖~a‖2 + 2‖~b‖2.
(a) Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica da Lei do Paralelogramo.
(b) Demonstre a Lei do Paralelogramo.
9. Verifique quais dos conjuntos a seguir sa˜o abertos em R2.
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}
(b) {(x, y) ∈ R2|x+ y ≥ 1}
(c) {(x, y) ∈ R2|x = 1, 1 < y < 3}
(d) {(x, y) ∈ R2|x2 + 2xy + y2 < 0}
(e) {(x, y) ∈ R2|xy > 0}
10. Determine o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o do conjunto dado.
4
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}
(b) {(x, y) ∈ R2|x e y inteiros}
(c) {( 1
n
, 1)|n 6= 0natural}
(d) {(x, y) ∈ R2|x = 1, 1 < y < 2}
11. Defina bola aberta de centro (x0, y0, z0) e raio r > 0 no R
3. Inter-
prete geometricamente.
12. Seja F um subconjunto do R2. Dizemos que F e´ um conjunto
fechado se o conjunto de todos os (x, y) na˜o pertencentes a F for
aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir sa˜o fechados.
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1}
(b) {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y > 0}
(c) {(x, y) ∈ R2|x e y inteiros}
(d) {(x, y) ∈ R2|x e y racionais}
(e) ∅
(f) R2
13. Determine o domı´nio das func¸o˜es vetoriais.
(a) r(t) = (
√
4− t2, e−3t, ln(t+ 1))
(b) r(t) =
t− 2
t+ 2
~i+ sin t~j + ln(9− t2)~k
14. Desenhe a imagem da func¸a˜o F .
(a) F (t) = (t, 2t)
(b) F (t) = (t, t2)
(c) F (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi]
(d) F (t) = (2 cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi]
15. Desenhe a imagem da func¸a˜o F .
(a) F (t) = (t, t, t), t ≥ 0
(b) F (t) = (cos t, sin t, 1)
(c) F (t) = (cos t, sin t, 5t), t ≥ 0
16. Encontre uma func¸a˜o vetorial cuja imagem e´ o segmento de reta
que liga P a Q.
(a) P (0, 0, 0), Q(1, 2, 3)
5
(b) P (0,−1, 1), Q
(
1
2
,
1
3
,
1
4
)
17. Sejam as func¸o˜es F eG dadas por F (t) = (t, t2, 2) eG(t) = (3, t, t).
Calcule:
(a) 2F (t) + 3G(t)
(b) tF (t)
(c) F (t) ·G(t)
18. Seja F (t) =
sin t
t
~i+ (t2 + 3)~j. Calcule limt→0 F (t).
19. Calcule.
(a) limt→1 F (t), onde F (t) = (
√
t− 1
t− 1 , t
2,
t− 1
t
)
(b) limt→2 r(t), onde r(t) =
t3 − 8
t2 − 4
~i+
cos pi
t
t− 2
~j + 2t~k
(c) limt→0 F (t), onde F (t) = (
tan 3t
t
,
e2t − 1
t
, t3)
20. Determine o conjunto dos pontos de continuidade.
(a) F (t) = t~i+
√
t~j + 3~k
(b) F (t) =
√
t− 1~i+√t+ 1~j + et~k
21. Calcule
dF
dt
.
(a) F (t) = (sin 3t, et
2
, t)
(b) F (t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1))
(c) F (t) =
3
√
t2~i+ cos t2~j + 3t~k
(d) F (t) = sin 5t~i+ cos 4t~j − e−2t~k
22. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` imagem da func¸a˜o dada,
no ponto dado.
(a) F (t) = (cos t, sin t, t) e F (
pi
3
)
(b) F (t) = (t2, t) e F (1)
(c) F (t) = (
1
t
,
1
t
, t2) e F (2)
(d) F (t) = (t, t2, t, t2) e F (1)
23. Calcule.
6
(a)
∫ 1
0
[t~i+ 4~j + t2~k]dt
(b)
∫ 1
0
[t~i+ et~j]dt
(c)
∫ 1
−1[sin 3t~i+ t
2~j + ~k]dt
(d)
∫ 2
1
(3~i+ 2~j + ~k)dt
24. Calcule o comprimento da curva dada.
(a) γ(t) = (R cos t, R sin t), (R > 0), t ∈ [0, 2pi]
(b) γ(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2]
(c) γ(t) = (e−t cos t, e−t sin t, e−t), t ∈ [0, 1]
(d) γ(t) = (t,
et + e−t
2
), t ∈ [−1, 0]
• Aplicac¸a˜o:
1. Um quarterback lanc¸a uma bola de futebol com aˆngulo de elevac¸a˜o
de 40◦ e velocidade de 18 m/s. Encontre as componentes horizon-
tal e vertical do vetor velocidade.
2. Uma mulher caminha para oeste no conve´s de um navio, a 5km/h.
O navio esta´ se movendo parao norte a uma velocidade de 35km/h.
Encontre a velocidade e direc¸a˜o da mulher em relac¸a˜o a` superf´ıcie
da a´gua.
3. Um varal de roupas e´ estendido entre dois postes, 8m distantes
um do outro. O fio do varal esta´ bastante esticado, de forma
a ser considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com
massa de 0,8kg e´ pendurada no meio do varal, esse ponto central
e´ deslocado para baixo 8cm. Determine a tensa˜o em cada metade
do varal.
4. Encontre o trabalho feito por uma forc¸a ~F = 8~i−6~j+9~k que move
um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao longo de
uma reta. A distaˆncia e´ medida em metros e a forc¸a em newtons.
5. Uma mole´cula de metano, CH4, e´ estruturada com os quatro
a´tomos de hidrogeˆnio nos ve´rtices de um tetraedro regular e o
carbono no centro. O aˆngulo de v´ınculo e´ o aˆngulo formado pela
ligac¸a˜o H-C-H; e´ o aˆngulo entre as retas que ligam o carbono a
dois a´tomos de hidrogeˆnio. Mostre que esse aˆngulo de v´ınculo e´
de aproximadamente 109,5◦. Dica: Tome os ve´rtices do tetraedro
7
nos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) e (1, 1, 1). Use o fato de que
o centro e´
(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
.
6. Se dois objetos viajam pelo espac¸o ao longo de duas curvas dife-
rentes, e´ sempre importante saber se eles va˜o colidir. (Sera´ que
um mı´ssil atingiu seu alvo em movimento? Va˜o se colidir duas
aeronaves?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos sa-
ber se os objetos estara˜o na mesma posic¸a˜o no mesmo instante.
Suponha que as trajeto´rias de duas part´ıculas sejam dadas pelas
seguintes func¸o˜es vetoriais
r1(t) = (t
2, 7t− 12, t2) e r2(t) = (4t− 3, t2, 5t− 6)
para t ≥ 0. As part´ıculas colidem?
7. Duas part´ıculas se movem ao longo das curvas espaciais
r1(t) = (t, t
2, t3) e r2(t) = (1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t).
(a) As part´ıculas colidem?
(b) Suas trajeto´rias se interceptam?
8. A mole´cula de DNA tem o formato de uma he´lice dupla. O raio
de cada he´lice e´ cerca de 10 angstroms (1 angstrom = 10−8 cm).
Cada he´lice se eleva cerca de 34 angstroms durante cada volta
completa, e existem aproximadamente 2, 9×108 voltas completas.
Estime o comprimento de cada he´lice da mole´cula de DNA.
8
Respostas
• Fixac¸a˜o:
1. (x, y) = (1, 2) + λ(3, 1)
2. (x, y) = (1, 2) + λ(−1, 1)
3. (x, y) = (1,−1) + λ(2, 1)
4. ~v = a(1,−3
2
)
5. 2x+ y + 3z = 6
6. −2x+ y + 2z = −5
7.
8. (a) A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e´
igual a` soma dos quadrados de seus lados.
(b)
9. (a) Sim
(b) Na˜o
(c) Na˜o
(d) Sim
(e) Sim
10. (a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1}
(b) ∅
(c) {(0, 1)}
(d) {(x, y) ∈ R2|x = 1, 1 ≤ y ≤ 2}
11. Br(x0, y0, z0) = {(x, y, z) ∈ R3/‖(x, y, z) − (x0, y0, z0)‖ < r}; cor-
responde a uma esfera de centro (x0, y0, z0) e raio r.
12. (a) Sim
(b) Na˜o
(c) Sim
(d) Na˜o
(e) Sim
(f) Sim
9
13. (a) −1 < t ≤ 2
(b) (−3,−2) ∪ (−2, 3)
14. (a) Reta
(b) Para´bola
(c) Circunfereˆncia
(d) Elipse
15. (a) Semi-reta
(b) Circunfereˆncia
(c) He´lice
16. (a) r(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1
(b) r(t) = (
t
2
,
4t− 3
3
,
4− 3t
4
), 0 ≤ t ≤ 1
17. (a) (2t+ 9, 2t2 + 3t, 4 + 3t)
(b) (t2, t3, 2t)
(c) (3t, t3, 2t)
18. limt→0 F (t) =~i+ 3~j
19. (a) (
1
2
, 1, 0)
(b) (3,
pi
4
, 4)
(c) (3, 2, 0)
20. (a) t ≥ 0
(b) t ≥ 1
21. (a) F ′(t) = (3 cos 3t, 2tet
2
, 1)
(b) F ′(t) = (6t,−e−t, 2t
t2 + 1
)
(c) F ′(t) =
2
3 3
√
t
~i− 2t sin t2~j + 3~k
(d) F ′(t) = 5 cos 5t~i− 4 sin 4t~j + 2e−2t~k
22. (a) (x, y, z) = (
1
2
,
√
3
2
,
pi
3
) + t(−
√
3
2
,
1
2
, 1)
(b) (x, y) = (1, 1) + t(2, 1)
(c) (x, y, z) = (
1
2
,
1
2
, 4) + t(−1
4
,−1
4
, 4)
10
(d) (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) + t(1, 2, 1, 2)
23. (a)
1
2
~i+ 4~j +
1
3
~k
(b)
1
2
~i+ (e− 1)~j
(c)
2
3
~j + 2~k
(d) 3~i+ 2~j + ~k
24. (a) L = 2piR
(b) L =
√
5
(c) L =
√
3(1− e−1)
(d) L =
e− e−1
2
• Aplicac¸a˜o:
1. vhorizontal ≈ 13, 8 m/s; vvertical ≈ 11, 6 m/s
2. A mulher se desloca em relac¸a˜o a` a´gua com velocidade aproximada
de 35,4 m/s na direc¸a˜o noroeste, fazendo um aˆngulo de aproxima-
damente 8◦ com o norte.
3. ~T1 = −196~i+ 3, 92~j; ~T2 = 196~i+ 3, 92~j
4. 144 joules.
5.
6. Elas colidem em t = 3.
7. (a) Na˜o
(b) Sim
8. O comprimento de cada he´lice da mole´cula de DNA e´ cerca de
2, 07× 1010 angstroms (mais de 2 metros!).
11