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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 8 Questão 1 Uma partícula se move ao longo do eixo Ox da esquerda para a direita. O módulo da força que atua sobre a partícula é dado por: F(x) = 2x – 1. Determine a variação da energia potencial da partícula entre os pontos x = 2 m e x = 4 m. Considere todas as unidades no Sistema Internacional. Resolução: ( ) 0 4 2 4 2 42 2 4 2 2 4 2 1 10 . x x U Fdx U x dx U x x U J → → → ∆ =− ∆ =− − ⎡ ⎤∆ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∴∆ =− ∫ ∫ Questão 2 Se o módulo da força de atração entre uma partícula de massa m1 e uma de massa m2, é dado por 1 2 2 mmF k x = onde k é uma constante e x, a distância entre as partículas, ache (a) a função energia potencial e (b) o trabalho necessário para aumentar a separação entre as massas de x = x1 e x = x1 + d. Resolução: a) 0 0 0 0 1 2 02 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 x x x x x x U Fdx U m mU k dx U x m mU k U x m m mmU U k k x x m m mmU k e U k x x =− + =− + =− + ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− =− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∴ =− =− ∫ ∫ b) 1 1 ?x x dW → + = W U=−∆ Assim, www.profafguimaraes.net 2 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 x x d x x d x x d x x d x x d W U U mm mmW k k x x d W km m x d x m m dW k x x d → + + → + → + → + = − =− + + ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠ ∴ =− + Questão 3 Para uma certa mola, a constante elástica vale 2500 Nڄm‐1. Um bloco de massa 4,0 kg cai sobre esta mola de uma altura h = 0,6 m. Despreze o atrito, ache a deformação da sofrida pela mola. Resolução: Considere a figura abaixo: A deformação da mola “x” será máxima, quando o bloco parar, ou seja, o bloco não terá energia cinética. Assim, pelo princípio da conservação da energia (forças conservativas), teremos: ( ) 0 2 2 0,6 2 23,5 39,2 1250 39,2 119036,6 2500 0,15 0,12 0,15 .máx E E kxmg x x x x x m e x m x x m = + = + = ±= ′ ′′= =− ′∴ = = Questão 4 Uma certa mola peculiar não obedece à lei de Hooke. A força (em newtons) que ela exerce quando distendida a uma distância x (em metros) tem módulo 52,8x + 38,4x2 no sentido oposto à elongação. (a) Calcule o trabalho total necessário para distender a mola de x = 0,50m a x = 1,00 m. (b) 0,6 m x U=kx2/2 Ugrav = 0 U0=mgh www.profafguimaraes.net 3 Com uma das extremidades da mola fixa, uma partícula de massa 2,17 kg é presa à outra extremidade, quando ela está distendida x = 1,00 m. Se a partícula é então, liberada do repouso, calcule sua velocidade no instante em que a mola volta à configuração em que a extensão é x = 0,50 m. (c) A força exercida pela mola é conservativa ou dissipativa? Explique. Resolução: a) O trabalho realizado pela mola é um trabalho negativo dado por: ( ) 0 1 2 0,5 12 3 0,5 52,8 38,4 26,4 12,8 31 . x mola x mola mola mola W Fdx W x x W x x W J =− =− + ⎡ ⎤=− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∴ =− ∫ ∫ Assim podemos concluir que o trabalho realizado por um agente externo ao distender a mola será positivo dada por: 31 .W J= b) 2 1 2,1731 2 5,35 . W K v v m s− =∆ = ∴ ≅ ⋅ c) 0,5 1 1 0,5 0 31 31 0. mola molaW W→ →+ = − + = Como o trabalho total efetuado pela força elástica em um caminho fechado (distendo e depois comprimindo) é igual a zero, podemos concluir que essa força elástica é conservativa. Questão 5 Um objeto está preso a uma mola vertical e é vagarosamente baixado até a posição de equilíbrio, o que distende a mola de um comprimento d. Se o mesmo objeto for preso à mesma mola vertical, mas solto bruscamente, qual o comprimento máximo de distensão que a mola atinge? Resolução: . eF P kd mg mgk d = = ∴ = d Fe P www.profafguimaraes.net 4 Agora que temos a constante elástica da mola, poderemos utilizar a conservação da energia mecânica para encontrar a deformação máxima. Assim, teremos: 0 2 2 2 . g e máx máx máx E E U U kxmgx x d = = = ∴ = Questão 6 Uma partícula move‐se ao longo de uma linha, em uma região em que sua energia potencial varia como na figura abaixo. (a) Esboce, usando a mesma escala para as abscissas, o gráfico da força F(x) que atua na partícula. Indique no gráfico a escala numérica aproximada para F(x). (b) Se a partícula tem energia total constante de 4,0J, esboce o gráfico de sua energia cinética. Indique a escala numérica para o eixo K(x). Resolução: a) A força é dada por: dUF dx =− . Assim, poderemos obter o valor das forças nos intervalos dados no gráfico acima. Assim, teremos: 0 1 1 1 2 2 2 6 3 4tan 4 ; 1 1tan 1 ; 1 1tan . 2 dUF N dx F N F N α α α → → → =− =− = = =− = = =− =− Desta forma poderemos construir o gráfico da força em função de x. Logo, 4 2 3 4 1 2 3 1 5 6 0 x, metros U (x ),j ou le s www.profafguimaraes.net 5 Esse último valor mostra que a força muda de sentido. Se a partícula possui uma energia potencial constante de 4J, significa que a energia cinética dela é nula. Questão 7 O fio indicado na figura tem comprimento l = 1,5 m. Quando se soltar a esfera, ela percorrerá o arco pontilhado. Qual será sua velocidade ao atingir o ponto mais baixo de sua trajetória? Resolução: Poderemos utilizar a conservação da energia mecânica. Assim, teremos: 0 2 1 2 2 5,42 . E E U K mvmgl v gl v m s− = = = ⇒ = ∴ = ⋅ Questão 8 Que força corresponde a uma energia potencial U = ‐ax2 + bxy + z? Resolução: Sabemos que a força é dada por: U U UF U i j k x y z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟=−∇ =− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ?? . Assim, calculando as derivadas parciais teremos: d l x, metros 4 2 3 4 1 2 3 1 5 6 0 F( x) N ‐1 ‐0,5 www.profafguimaraes.net 6 ( ) 2 ; ; 1. 2 . U ax by x U bx y U z F ax by i bxj k ∂ =− +∂ ∂ =∂ ∂ =∂ ∴ = − − −? Questão 9 O chamado potencial de Yukawa, ( ) 00 0 r rrU r U e r −=− fornece uma descrição razoavelmente precisa da interação entre núcleons (isto é, neutrons e prótons, os constituintes do núcleo). A constante r0 vale cerca de 1,5 x 10‐15 m e a constante U0 vale cerca de 50 MeV. (a) Ache a expressão correspondente à força de atração. (b) A fim de mostrar o curto alcance dessa força, calcule a razão entre força em r = 2r0, 4r0 e 10r0 e seu valor em r = r0. Resolução: a) Vamos encontrar a expressão da força de atração: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 02 1 . r r r r r r r r r r dUF dr rdF U e dr r r rF U e U e r r r r UF U e e r r − − − − − =− ⎛ ⎞⎟⎜=− − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∴ =− − b) 1 1 10 0 0 0 0 0 0 2 2 20 0 0 0 1 0 0 0 0 4 4 40 0 0 0 2 0 0 0 0 10 10 100 0 0 0 3 0 0 0 0 1 1 2 ; 32 ; 4 2 4 54 ; 16 4 16 1110 . 100 10 100 Ur r F U e U e e r r r r U Ur r F U e e e r r r r U Ur r F U e e e r r r r U Urr F U e e e r r r − − − − − − − − − − − − = ⇒ =− − =− ⋅ = ⇒ =− − =− = ⇒ =− − =− = ⇒ =− − =− Assim, teremos: www.profafguimaraes.net 7 2 11 1 4 32 1 10 93 1 3 34 ; 2 8 5 510 ; 2 20 11 11100 . 2 200 eF e F e eF e F e eF e F e − − − − − − − − − = = = = = = Questão 10 Uma haste leve e rígida, de comprimento l tem uma massa m ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. Quais são (a) a velocidade v no ponto mais baixo e (b) a tração T, na suspensão, naquele instante? (c) o mesmo pêndulo é, a seguir, colocado em posição horizontal e abandonado. A que ângulo da vertical a tração na suspensão será igual ao peso (em módulo)? Resolução: a) Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: 0 2 2 2 2 . E E mvmg l v gl = /=/ ∴ = b) 2 4 5 . cpF T P mv T mg R m gl T mg l T mg = − = − /⋅ = −/ ∴ = l T P www.profafguimaraes.net 8 c) ( ) 2 '; cos g 1 cos . cpF T P T P mg mv mg mg l v l α α = − = = = − = − Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: ( ) ( ) ( ) 0 2 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 1 1cos arccos 3 3 71º . E E mvmgl mgl glgl gl α α α α α α = /= − +/ / = − + − = ⇒ = ∴ = Questão 11 O prego da figura da questão 7 está colocado à distância d abaixo do ponto de suspensão do pêndulo. Mostre que d deve valer pelo menos 0,6 l para que a esfera descreva um círculo completo tendo o prego como centro. Resolução: No limite T → 0, teremos: ( ) 2 ; . cpF P mv mg R l d R v g l d = / = = −/ = − Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 5 2 33 5 0,6 . 5 mvE E mgl mg l d g l d gl g l d l l d ll d d l /= ⇒ = − +/ / −/= − + ⇒ = −/ / = ⇒ = = T P P’ α l lڄcosα d l P T www.profafguimaraes.net 9 Questão 12 Suponha que o fio da figura da questão 7 (questão 11) seja muito elástico, digamos, de borracha, e que no momento que a bola é largada, tenha o comprimento l, sem distensão. (a) Explique por que você esperaria que a bola atingisse um ponto, abaixo do ponto de suspensão, a uma distância desse superior a l. (b) Mostre, empregando considerações dinâmicas e de energia que se Δl é pequeno, comparado a l, o fio esticará por um valor Δl = 3mg/k, onde k é a constante elástica do fio. Note que quanto maior for k, menor será Δl, e melhor a aproximação Δl << l. (c) Mostre que, sob tais circunstâncias, a velocidade da bola, embaixo, é ( )32 2mgv g l k= − , inferior a que teria um fio sem elasticidade (k →∞). Dê uma explicação física para tal resultado, empregando considerações de energia. Resolução: a) Pela conservação da energia mecânica, a energia mecânica inicial, potencial gravitacional, será integralmente convertida em energia cinética e energia potencial elástica, devido à distensão do fio. Portanto, a bola atingirá o ponto mais baixo da trajetória a uma distância superior a l. b) No ponto mais baixo da trajetória teremos: 2 ; . cp elF F P mv k l mg l l = − = ⋅∆ −+∆ (12.1) E ( ) ( ) 0 22 . 2 2 E E k lmvmg l l = ∆+∆ = + (12.2) Utilizando os resultados (12.1) e (12.2), teremos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 ; ; 1. 3 3 . mg l l k l l l k l mg mg l l k l l l k l l l l l mgl lk l mgl k +∆ − ∆ = +∆ ∆ − +∆ − ∆ = +∆ ∆ +∆ ≅ ∆ = ∆ ∴∆ = ? c) Agora substituindo esse resultado em (12.2), teremos: 2 2 2 2 2 2 3 92 3 92 32 . 2 mg m gmv mg l k k k mg mgv g l k k mgv g l k ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= + −⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜= + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜∴ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ www.profafguimaraes.net 10 Questão 13 Um bloco repouso no alto de um monte hemisférico de gelo (de raio R). Ele recebe um leve empurrão e começa a deslizar sobre o gelo. (a) Mostre que ele é projetado para fora do gelo de um ponto cuja altura é 2R/3, sendo a superfície sem atrito. (b) Se houver atrito entre o gelo e o bloco, ele é projetado para fora de uma altura maior ou menor que a de (a)? Resolução: a)No limite quando a força normal de contato → 0, teremos: 2 2 cos cos cos . cpF P P mv mg R v Rg gh β β β ′= = / = / = = Utilizando a conservação da energia mecânica, (sem atrito) teremos: 0 2 2 2 2 2 3 2 . 3 E E mvmgR mgh gR gh gh R h Rh = /= +/ / = +/ / / = ∴ = b) Menor. Questão 14 Considere a figura ao lado. Uma partícula desliza sobre um trilho que possui extremidades elevadas e uma parte central plana. A parte plana possui comprimento l = 20 m. As partes curvas não apresentam atrito. O coeficiente de atrito cinético da região plana vale 0,30. Larga‐se a partícula do ponto A cuja altura é dada por h = 10 m. Em que ponto a partícula irá parar? Resolução: O trabalho total realizado pela força de atrito será igual ao oposto da variação da energia mecânica. Assim, teremos: 0,30 20 10 1,67. fatW E n mg l mgh n n µ=−∆ ⇒ ⋅ ⋅ =/ // / ⋅ ⋅ = ⇒ ≅ R P P’ h=Rcosβ β β h l www.profafguimaraes.net 11 Onde “n” representa o número total de voltas. Como 1 volta corresponde a 20 m. A fração 0,67 voltas corresponderá a aproximadamente 13,3 m. Assim, a partícula percorrerá 20 m para a direita e voltará pela direita percorrendo mais 13,3 m para a esquerda até parar a uma distância (20 – 13,3) de 6,7 m da extremidade esquerda. Questão 15 Uma haste rígida, bem leve, cujo comprimento é l, tem presa, em uma extremidade, uma bola de massa m. A outra extremidade é articulada em torno de um eixo, sem atrito, de tal modo que a bola percorre um círculo vertical. A bola chega ao ponto D e, em seguida, pára. (a) Deduza uma expressão para v0 em função de l, m e g. (b) Qual a tensão na haste quando a bola está em B? (c) Um pouco de areia é colocado sobre o eixo de articulação, após o que, a bola chega até C, depois de ter partido de A com a mesma velocidade de antes. Qual o trabalho realizado pelo atrito durante esse movimento. (d) Qual o trabalho total realizado pelo atrito antes de a bola parar em B, após oscilar repetidas vezes? Resolução: a) Utilizando a conservação da energia mecânica para os pontos A e D, teremos: 0 2 0 0 2 2 2 . E E mvmgl mg l v gl = /+ =/ / ∴ = b) Quando a bola atingir o ponto B teremos para a força centrípeta: 2 . cpF T P mv T mg l = − = − (15.1) Agora vamos utilizar a conservação da energia mecânica para os pontos A e B. Com isso, determinaremos a velocidade em B. Assim, teremos: 0 2 2 2 2 2 4 . E E m gl mvmgl v gl = //+ =/ / = Substituindo em (15.1), teremos: 5 .T mg= c) Se a partícula sai do ponto A e chega em C com a mesma velocidade de A, não ocorre variação da energia mecânica. Desta forma, o trabalho da força de atrito é nulo. Agora, se a partícula alcança o A B C D l v0 www.profafguimaraes.net 12 ponto C, atinge velocidade zero e depois inverte o sentido do movimento, o trabalho da força de atrito será dadopor: 2 0 . 2 fat C A fat W E E E mvW mgl =−∆ = − =− =− d) Se a partícula sai de A e para no ponto B, o trabalho da força de atrito é dado pela variação da energia mecânica. Desta forma: 0 2 0 2 2 . fat fat fat W E E E mvW mgl W mgl /=∆ = − ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∴ =− Questão 16 A eq. K = (m‐m0)c2 é a equação relativística usual para a energia cinética. (a) Mostre que, ao aplicar a eq. m = m0(1‐β2)‐1/2 pode‐se também exprimir a energia cinética relativística como sendo 2 0 mK mv m m = ⋅+ . (b) Compare o modo pelo qual essas duas expressões reduzem‐se ao resultado clássico quando m→m0 ou v/c→0. (Veja “Parallels between Relativistic and Classical Dynamics for Introductory Courses”, de Donald E. Fahnline. American Journal of Physics, junho de 1975). Resolução: a) Seja 0 2 21 mm v c = − , resolvendo para “c”, teremos: 2 2 0 2 2 22 0 2 2 2 2 22 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 mm v c mv c m m m mv c m m mc v m m m = − − = −= − = ∴ = ⋅ ⋅ − Agora podemos escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 0 . mK m m c m m mv m m mK m m mv m m m m mK mv m m = − = − ⋅ ⋅− = − ⋅ ⋅+ ⋅ − ∴ = ⋅+ www.profafguimaraes.net 13 b) Fazendo m = m0, quando v/c → 0, teremos: 2 20 0 0 0 2 0 2 . 2 mmK mv m v m m m m vK = ⋅ = ⋅+ ∴ =
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