Prova de Física II (UFRJ)

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INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II-A - manhã 
1° período de 2009 
1a Prova – 29/04/2009 
1a Questão (2,5 pontos) 
Um cubo de aresta a flutua dentro de um recipiente contendo mercúrio (densidade ρm), 
tendo um quarto de seu volume submerso. 
(a) (1,0) Se o cubo for homogêneo, qual seria sua densidade em termos da densidade 
do mercúrio? 
(b) (0,5) Acrescentamos água no recipiente (densidade ρa) até o cubo inteiro estar 
submerso com sua face superior abaixo do nível da água. Qual é o empuxo sofrido 
pelo cubo em termos da variáveis a, ρa, ρm e a aceleração da gravidade g? 
(c) (1,0) Após o acréscimo da água, qual fração do volume do cubo que estará imersa 
(dentro) no mercúrio? 
Resposta: 
(a) (1,0) ρmgV/4 = ρcubogV , donde 
 ρcubo = ρm/4 
(b) (0,5) Como o cubo inteiro está submerso, o empuxo sofrido 
pelo cubo é igual a seu peso : 
 E = ρcubogV = ρmga3/4 
(c) (1,0) Seja α a fração dentro do mercúrio, temos αρm + (1 − α)ρa = ρm/4, donde 
 α = 
2a Questão (2,5 pontos) 
Uma mola de comprimento relaxado de L = 10,0 cm tem 
constante elástica k = 240N/m. Ela é cortada em dois 
pedaços: o primeiro de comprimento L1 = 6,0cm e o 
segundo de L2 = 4,0cm. As duas molas assim obtidas são 
amarradas sem deformação entre duas paredes e nos 
lados opostos de um bloco de massa M que pode deslizar, sem atrito, em cima de 
uma mesa horizontal ao longo do eixo Ox. Veja a figura ao lado. 
(a) (1,0) As constantes elásticas, de cada uma das molas obtidas, são k1 = 5/3 k e k2 = 
5/2 k. Justifique estes valores. 
(b) (1,0) Para uma massa M = 100 g qual é a frequência angular de oscilação do 
bloco? 
(c) (0,5) Uma força externa periódica é aplicada na direção do eixo Ox com a 
frequência fext = 50,0Hz. Qual deve ser o valor da massa M para que o bloco oscile 
com amplitude máxima? 
Resposta: 
(a) (1,0) Usando o fato da constante elástica efetiva de duas molas em série ser 
dada por: 
 
verificamos que k1 = k×5/3 = 400,0 N/m e k2=k×5/2 = 600,0 N/m satisfazem esta 
relação. 
 Um argumento mais completo consiste na consideração seguinte: 
Ao dividir a mola em N = 5 partes iguais, cada parte terá uma constante N k = 5 k. 
Juntando n pedaços em série, obtemos uma mola com constante elástica N k/n. No 
caso, N = 5 e n = 2, 3. 
(b) (1,0) A constante da mola efetiva é: 
 Kef = k1 + k2 = 1000 N/m 
A frequência angular de oscilação do bloco é 
 ω = = 100rad/s 
(c) (0,5) A condição de ressonância fornece ωext = 2πfext = 100πrad/s 
 M = Kef/ωext2 = 1000N/m/(100π rad/s)2 = 10,1 g 
3a Questão (2,5 ponto) 
Uma das extremidades de uma corda de 20 cm é presa a uma 
parede. A outra extremidade está ligada a um anel sem massa 
que pode deslizar livremente ao longo de uma haste vertical 
sem atrito, conforme a figura apresentada ao lado. 
(a) (1,5) Quais são os três maiores comprimentos de ondas estacionárias possíveis 
nesta corda? 
(b) (1,0) Esboce as ondas estacionárias correspondentes? 
Resposta: 
(a) (1,5) λ1 = 4L = 80,0 cm 
 λ2 = 4L/3 = 26, 6 cm 
 λ3 = 4L/5 = 16, 0 cm 
(b) (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a Questão (2,5 ponto) 
Uma fonte sonora de freqüência de 100 Hz se desloca a uma velocidade de 
v = 36 km/h em uma via retilínea. 
(a) (1,0) Qual é a freqüência que um observador, parado na via, percebe enquanto a 
fonte sonora se afasta? 
(b) (1,0) A via termina em um grande muro perpendicular a ela. O som da fonte é 
refletido neste muro e retorna ao observador. Qual é a frequência do som refletido no 
muro que retorna ao observador? 
 
 
(c) (0,5) O observador percebe, então, na superposição do som vindo diretamente da 
fonte com o refletido pelo muro um batimento. Qual é a frequência do batimento? 
Resposta: 
Conforme a figura, a fonte se afasta do observador parado na direção do muro. 
Sendo vsom = 340m/s a velocidade do som no ar parado. 
A velocidade da fonte é vfonte = 36,0 km/h = 10,0m/s 
(a) (1,0) fo = 
 = = 97Hz 
(b) (1,0) A frequência do som refletido pelo muro é : 
 fmuro = 
 = = 103Hz 
(c) (0,5) fbat = (103 − 97)Hz = 6 Hz 
__________________________________ 
Formulário 
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, sen(a) + sen(b) = 2.sen [(a+b)/2].cos[(a-b)/2] 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, v = [B/ρ0]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δpm = v.ρ.ω.sm, I = ½ρvω2sm2, Pméd= 
A(Δpm)2/(2ρv), Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], NIS = 10 log(I/Io), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II-A - tarde 
1° período de 2009 
1a Prova – 29/04/2009 
 
1a Questão (2,0 pontos) 
Uma casca esférica oca, feita de ferro, flutua quase completamente submersa na 
água, conforme mostrado na figura ao lado. O diâmetro externo da esfera é de 
60,0 cm e a massa específica do ferro é de 7,9 g/cm3. Determine o volume da parte 
oca da esfera. 
Resposta: 
Em termos do diâmetro D da esfera, o seu volume é dado por: 
 V = 
3
2
D
3
4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛π
=
3D
6
π
 
O empuxo, i.e. o peso do volume de água deslocado, que é o volume da esfera, é igual 
ao peso da esfera; 
 ρag(π/6)D3 = ρFeg(π/6) (D3 − d3) 
onde d é o diâmetro da parte oca da esfera. Logo: 
 Voca = (π/6) d3 = 
3
Fe
aFe D
6
π×ρ
ρ−ρ
≈ 99x103cm3 
 
2a Questão (3,0 pontos) 
A figura mostra um bloco de massa M, em cima de uma mesa horizontal 
sem atrito, preso a uma mola cuja outra extremidade é fixada a uma 
parede. Ao ser puxado e posteriormente, no instante t = 0 s, ser solto o 
bloco oscila harmonicamente entre as posições x1 = 0,8m e x2 = 1,2m. 
Algum tempo depois, um segundo bloco de massa m = 1,5 kg é colocado 
sobre o primeiro, quando da passagem deste por um de seus pontos de 
retorno. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é μ= 0,40, 
que o sistema com apenas um bloco oscila 50 vezes em 1,0 min e o sistema composto 
pelos dois blocos oscila 40 vezes neste mesmo intervalo de tempo, determine: 
m 
k 
M
x
x1 x2
a) (0,5+0,5) a massa M do primeiro bloco, e a constante elástica k da mola; 
 
b) (0,2+0,2+0,2+0,2) a função x(t), com os valores todas as constante determinadas 
(posição de equilíbrio xeq, amplitude A, frequência angular ω e fase φ), que dá a 
posição do primeiro bloco com o passar do tempo, antes da colocação do segundo 
bloco; 
c) (0,4+0,4) as velocidades máximas de oscilação v(1)max e v(2)max do sistema com o 
primeiro bloco e com os dois blocos; 
d) (0,4) a amplitude máxima Amax que poderia ter o movimento harmônico descrito pelo 
sistema com os dois blocos sem que o bloco de cima viesse a escorregar. 
Resposta: 
(a) (0,5+0,5) Temos duas relações 2πf = [k/M]1/2 e 2πf' = [k/(m +M)]1/2, 
onde f = 5/6 s−1 , f' = 4/6 s−1 , m = 1,5 kg. 
Achamos k = Mω2 = (M+m)ω'2 → M(ω2-ω'2) = mω'2 ↔ M(f2-f'2) = mf'2 
∴ M =
m
'f
'ff
2
22 −
=
kg5,1
9
16 ×
= 8/3 kg ≈ 2,7 kg 
 k = Mω2 = M.4π2f2 = 8/3kgx4π2x(5/6Hz)2 = 73,1 N/m 
(b) (0,2+0,2+0,2+0,2) 
 x(t) = xeq + A cos(ωt) = xeq + A sin(ωt + π/2) 
 xeq = (x1 + x2)/2 = 1,0 m; A = (x2 − x1)/2 = 0,2 m 
 ω = 2πf = 5,2 s−1; ϕ = π/2 
(c) (0,4+0,4) 
 v1(max) = Aω = 1,0 m/s; v2(max) = Aω' = v1(1)×4/5 = 0,8 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) (0,4) As equações de Newton para os dois blocos são : 
 ma = −Fat, M d2x/dt2 = −k(x − xeq) + Fat 
Os dois blocos se movem juntos se d2x/dt2 = a. 
Eliminando Fat, temos 
 (M + m) d2x/dt2 = −k(x − xeq), 
com solução x(t) = xeq + A cos(ω't). 
A força de atrito é : 
 Fat = 
( )t'coskA
Mm
m ω+ 
A condição |Fat| ≤ μmg resulta em: 
 (0,6) A ≤ k
Mmg +μ
 = 2'
g
ω
μ
 ≈ 0, 22 m 
 
3a Questão (2,5 pontos) 
Uma corda de violino de 30,0 cm de comprimento com densidade linear de massa de 
0,650 g/cm é colocada próxima de um auto-falante queestá conectado a um oscilador 
de áudio de frequência variável. Descobre-se que a corda oscila somente nas 
frequências de 880 Hz e 1320 Hz, quando a frequência do oscilador varia entre 500 Hz 
e 1500 Hz. Determine: 
(a) (1,0) a velocidade das ondas na corda; 
(b) (0,5) a frequência do fundamental 
(c) (1,0) a tensão na corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Os comprimentos de onda da corda são dados por λn = 2L/n, com n = 1, 2, 3,... 
e as frequências por: 
 fn = v/λn = 
n
L2
v
 
onde v é a velocidade de propagação da onda. 
A corda está em ressonância com as frequências sequenciais de: 
880Hz = nv/(2L) e 
1320Hz = (n+1)v/(2L) 
Logo: 
 v/(2L) = 440Hz e 
(a) (1,0) v = 264m/s 
(b) (0,5) A frequência do modo fundamental corresponde a n = 1: 
 f1 = v/(2L) = 440 Hz 
(c) (1,0) Finalmente, a tensão é obtida como: 
 T = μv2 = 65×10−3kg/m × (264m/s)2 = 4530N 
 
4a Questão (2,5 pontos) 
Dois alto-falantes estão localizados a 20,0m e a 22,0m, respectivamente, de um 
ouvinte em um auditório. Um gerador de áudio coloca os dois alto-falantes em fase 
com as mesmas freqüências e com as amplitudes iguais na posição do ouvinte. As 
freqüências podem ser ajustadas dentro do intervalo audível de 20 Hz a 20 kHz. 
(a) (1,5) Quais são as três mais baixas freqüências para as quais o ouvinte irá ouvir 
um sinal de mínimo, devido à interferência destrutiva? 
(b) (1,0) Quais são as três mais baixas freqüências para as quais o ouvite ouvirá um 
sinal máximo? 
Resposta: 
 y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) 
 = A sin(kx1 − ωt) + A sin(kx2 − ωt) 
 = 2A sin(k(x1 + x2)/2 − ωt) × cos(kΔx/2) 
com Δx = x2 − x1 = 2,0 m. 
(a) (1,5) 
Teremos um sinal mínimo se kΔx/2 = (n+1/2)π, ou 
 fn =
( )21n
x
vsom +Δ 
∴ f0 = 85 Hz, f1 = 255 Hz, f2 = 425 Hz 
(b) (1,0) 
Teremos um sinal máximo se kΔx/2 = nπ, ou 
 f'n = 
n
x
vsom
Δ 
 f'1 = 170Hz, f'2 = 340Hz, f'3 = 510Hz 
 
Formulário 
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, sen(a) + sen(b) = 2.sen [(a+b)/2].cos[(a-b)/2] 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, v = [B/ρ0]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δpm = v.ρ.ω.sm, I = ½ρvω2sm2, Pméd= 
A(Δpm)2/(2ρv), Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], NIS = 10 log(I/Io), 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II – Turmas do horário de 10 h às 12 h 
1° período de 2009 
2a Prova 
1a Questão (2,5 pontos) 
Numa máquina térmica, o agente externo é um gás  ideal diatômico 
que executa o ciclo da figura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA 
é uma  isoterma. Assuma que durante todo o ciclo, apenas graus de 
liberdade de translação e de rotação são excitados no gás. 
(a) (0,6) Exprima os volumes, temperaturas e pressões nos pontos B 
e C  em  termos dos  respectivos  valores V0,  T0,  P0 no ponto A  e da 
razão de compressão r. 
(b) (1,4) Determine em cada etapa do ciclo (A → B), (B → C) e (C → 
A) a variação da energia interna, o calor absorvido e o trabalho feito 
pelo sistema. Faça uma tabela de seus resultados. 
(c) (0,5) Calcule a eficiência da máquina. Mostre que ela só depende d
Resposta: 
a razão de compressão r. 
s é diatômico: γ = CP/CV = 7/5 = 1,4 
A 0 A = T0, VA = V0 
C A TC = T0 (isoterma) 
C C A A 0 0
C 0 C 0 0/rV0 ∴ pC = p0/r 
B A VB = V0 
B B C C 0 r.(rV0)γ 
B 0 B 0 
B A BVB A A → B = r(γ-1).T0 ∴ TB = r2/5.T0 
ra Pressão 
Como o gá
(a) Ponto A: 
 p = p , T
 Ponto C: 
 T = T ∴ 
 p V = p V = p V 
 V = rV →p = p V
 Ponto B: 
 V = V ∴
 p V γ = p V γ = p /
 p =p rγ-1 → p = r2/5.p
e T /T = p /p V T
Ponto Volume Temperatu
A V 0 0 0T p 
Volume
V0 
Pressão 
rV0
A 
B 
0 p
C 
B V0 r2/5.T0 r2/5.p0 
C rV0 T0 p0/r 
(b) A→B (volume constante) 
 WAB = 0 
 ΔEintAB = nCVΔT = p0V0/RT0.5/2R.(r2/5.T0 - T0) = 5/2.p0V0.(r2/5-1) 
 QAB = WAB + ΔEintAB = 5/2.p0V0.(r2/5-1) 
 B→C (adiabática) 
 QBC = 0 
 ΔEintBC=nCVΔT=n.5/2.R.(TC-TB)=p0V0/T0.5/2.(T0–r2/5T0) =5/2.p0V0.(1- r2/5) [Obs : ΔEintBC= 
-ΔEintAB] 
 WBC = QBC - ΔEintBC = 0 → WBC = - ΔEintBC = 5/2 p0V0.(r2/5-1) 
 C→A (isoterma) 
∴ ΔEintCA = 0 
 WCA = ∫CA p.dV = ∫CA nRT0.dV/V = p0V0 ∫CAdV/V = p0V0.ln(VA/VC) ∴ WCA = -p0V0.lnr 
 QCA = WCA + ΔEintCA ∴ QCA = -p0V0.lnr 
Etapa Q Wsist ΔEint 
A → B 5/2.p0V0.(r2/5-1) 0 5/2.p0V0.(r2/5-1) 
B → C 0 5/2 p0V0.(r2/5-1) 5/2.p0V0.(1-r2/5) 
C → A -p0V0.lnr -p0V0.lnr 0 
(c) ε = W/QQ = [0 + 5/2.p0V0.(r2/5-1) - p0V0.lnr]/[5/2.p0V0.(r2/5-1)] = 
 = [5/2.(r2/5-1) - lnr]/[5/2.(r2/5-1)] = 1 - [lnr / (5/2.(r2/5-1))] 
2a Questão (2,5 pontos) 
Um corpo de capacidade calorífica C = 50J/K na temperatura T1 = 450 K está posto em contato 
com  um  reservatório  de  temperatura  a  T2  =  300  K.  Juntos  eles  formam  um  universo 
termodinâmico. Ao atingir o equilíbrio; 
(a) (0,5) calcule Q1, o calor absorvido pelo corpo, e Q2, o calor absorvido pelo reservatório. 
(b) (1,0) calcule a variação da entropia ΔS1 do corpo e ΔS2 do reservatório. 
(c) (1,0)  qual  é  a  variação  da  energia  interna  ΔEint,  e  da  entropia  ΔS,  desse  universo 
termodinâmico? 
Resposta: 
(a) Q1 = C.(T2 – T1) = 50J/K.(300K-450K) = -7,5 kJ 
 Q2 = -Q1 = +7,5 kJ 
(b) ΔS1 = ∫T1T2dQ/T = ∫T1T2C.dT/T = C.ln(T2/T1) = C.ln(300/450) = C.ln(2/3) = C.[ln2-ln3] = 
 ≈ 50J/K.[0,69 - 1,1] = -20,5 J/K 
 ΔS2 = ΔQ/T2 = Q2/T2 = 7,5kJ/300K = 25 J/K 
(c) Como não há trabalho, ΔEint = Q, logo ΔEintUNIV = Q1 + Q2 = 0 
 ΔSUNIV = ΔS1 + ΔS2 ≈ -20,5 J/K + 25 J/K = 4,5 J/K 
3a Questão (2,5 pontos) 
Um recipiente A contém um gás  ideal a uma pressão de 5,0×105Pa e a uma  temperatura de 
300K.  Ele  está  conectado  através de um  tubo  fino  ao  recipiente B que  tem quatro  vezes o 
volume de A. B contém o mesmo gás ideal a uma pressão de 1,0×105Pa e a uma temperatura 
de 400K. A válvula de conexão, feita de um material de condutividade térmica desprezível, é 
aberta  e  o  equilíbrio  é  atingido  a  uma  pressão  comum  enquanto  a  temperatura  de  cada 
reservatório é mantida constante no seu valor inicial. 
(a) (1,0) Calcule a razão entre os números de moles nos recipientes A e B antes (nA/nB) e depois 
(nA'/nB') da abertura da válvula. 
(b) (1,5) Determine a pressão final do sistema. 
Resposta: 
(a) pA = 5,0x105Pa, pA’ = pF, TA = TA’ = 300K, VA =VA’ = V0 
 pB = 1,0x105Pa, pB’ = pF, TB = TB’ = 400K, VB =VB’ = 4V0 
 nA = pAVA/RTA e nB = pBVB/RTB → nA/ nB = pAVATB/(pBVBTA) = 5x 1/4 x 4/3 = 
5/3 
 nA’ = pA’VA’/RTA’ e nB’ = pB’VB’/RTB’ → nA’/nB’ = pFVATB/(pFVBTA) = 1/4 x 4/3 = 1/3 
(b) nA - nA’ = pAVA/RTA - pA’VA’/RTA’ = (pA – pF) x V0/RTA 
 nB - nB’ = pBVB/RTB - pB’VB’/RTB’ = (pB – pF) x 4V0/RTB 
 Como ΔnA + ΔnB = 0 → (pA – pF) x V0/RTA + (pB – pF) x 4V0/RTB = 0 
→ (pA/TA + 4pB/TB).V0/R = pF.(1/TA + 4/TB).V0/R 
∴ pF = (pA/TA + 4pB/TB)/(1/TA + 4/TB) = (5/300 + 4x1/400)x105Pa/K / (1/300K + 
4x1/400K) = 
 = 2,0x105Pa 
 
 
4a Questão (2,5 pontos) 
Uma máquina  térmica M opera entre  reservatórios de  temperaturas TA = 400K e TB = 300K, 
com um rendimento r de 20%. Por ciclo é utilizada uma quantidade de calor QA = 100J da fonte 
quente. 
(a) (0,6) Calcule W, o trabalho feito pela máquina por ciclo, e QB, o calor cedido ao reservatório 
frio por ciclo. 
(b)  (0,6)  Para  uma máquina  de  Carnot  M(Carnot),  operando  com  os mesmos  reservatórios,  e 
usando a mesma quantidade de calor por ciclo QA = 100J da fonte quente, calcule W(Carnot), o 
trabalho feito por ciclo, e QB(Carnot), o calor cedido, por ciclo, ao reservatório frio. 
(c)  (0,8) Calcule a  variação de entropia, por  ciclo, ΔS, da máquina M e  também ΔS(Carnot) da 
máquina M(Carnot) de Carnot. 
(d) (0,5) Calcule a razão R entre o trabalho perdido (W(Carnot) −W) e a variação de entropia, por 
ciclo, ΔS, e ou seja, R = (W(Carnot) −W)/ΔS. 
Resposta: 
(a) Máquina M: 
 r = W/QA → W = r.QA = 0,20x100J = 20J 
 QB = QA – W = 80J 
(b) Máquina M(Carnot): 
 rCarnot = 1 – TB/TA = 1 – ¾ = 25% 
→ WCarnot = rCarnot.QA = 0,25x100J = 25J 
 QB = QA – W = 75J 
(c) Máquina M: 
 ΔS = -QA/TA + QB/TB = = -100J/400K + 80J/300K = 0,0167J/K 
 ΔSCarnot = -QA/TA + QB/TB = -100J/400K +75J/300K = 0 (reversível) 
(d) R = (25J-20J)/0,0167J/K = 300K = TB 
 
Formulário 
ln2 = 0,69, ln3 = 1,1, ln5 = 1,6, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K 
pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, r = W/QQ, K = QF/W 
 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II - Turmas no horário de 15h às 17h 
1° período de 2009 
2a Prova 
1a Questão (2,5 pontos) 
Numa máquina térmica, o agente externo é um gás  ideal diatômico 
que executa o ciclo da figura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA 
é uma  isoterma. Assuma que durante todo o ciclo, apenas graus de 
liberdade de translação e de rotação são excitados no gás. 
(a) (0,6) Exprima os volumes, temperaturas e pressões nos pontos B 
e C  em  termos dos  respectivos  valores V0,  T0,  P0 no ponto A  e da 
razão de compressão r. 
(b) (1,4) Determine em cada etapa do ciclo (A → B), (B → C) e (C → A) a variação da energia 
interna, o calor absorvido e o trabalho feito pelo sistema. Faça uma tabela de seus resultados. 
(c) (0,5) Calcule a eficiência da máquina. Mostre que ela só depende da razão de compressão r. 
Resposta: 
Como o gás é diatômico: γ = CP/CV = 7/5 = 1,4 
(a) Ponto A: 
 pA = p0, TA = T0, VA = V0 
 Ponto C: 
 TC = TA ∴ TC = T0 (isoterma) 
 pCVC = pAVA = p0V0 
 VC = rV0 →pC = p0V0/rV0 ∴ pC = p0/r 
 Ponto B: 
 pB = pA ∴ pB = p0 
 pBVBγ = pCVCγ = p0/r.(rV0)γ 
 VBγ = rγ-1.V0γ = r(γ-1)/γ.V0 → VB = r2/7.V0 
e TB/TA = pBVB/pAVA → TB = r(γ-1)/γ.T0 ∴ TB = r2/7.T0 
Ponto Volume Temperatura Pressão 
A V0 T0 p0 
Volume
V0 
Pressão 
A 0 p B 
C 
rV0
B r2/7.V0 r2/7.T0 p0 
C rV0 T0 p0/r 
(b) A→B (pressão constante) 
 QAB = nCPΔT = p0V0/RT0.7/2R.(r(γ-1)/γ.T0 - T0) = 7/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1) ∴ QAB = 7/2.p0V0.(r2/7-
1) 
 WAB = pA.ΔV = p0.(r(γ-1)/γ.V0 - V0) = p0V0.(r(γ-1)/γ-1) ∴ WAB = p0V0.(r2/7-1) 
 ΔEintAB = QAB – WAB = 7/2.p0V0.(r2/7-1) - p0V0.(r2/7-1) ∴ ΔEintAB = 5/2.p0V0.(r2/7-1) 
 B→C (adiabática) 
 QBC = 0 
 ΔEintBC = nCVΔT = n.5/2.R.(TC-TB) = p0V0/T0.5/2.(T0- r(γ-1)/γ.T0) = 5/2.p0V0.(1- r(γ-1)/γ) 
∴ ΔEintBC = 5/2 p0V0.(1 -r2/7) [Obs : ΔEintBC = - ΔEintAB] 
 QBC = WBC + ΔEintBC = 0 → WBC = - ΔEintBC ∴ WBC = 5/2 p0V0.(r2/7-1) 
 C→A (isoterma) 
∴ ΔEintCA = 0 
 WCA = ∫CA p.dV = ∫CA nRT0.dV/V = p0V0 ∫CAdV/V = p0V0.ln(VA/VC) ∴ WCA = -p0V0.lnr 
 QCA = WCA + ΔEintCA ∴ QCA = -p0V0.lnr 
Etapa Q Wsist ΔEint 
A → B 7/2.p0V0.(r2/7-1) p0V0.(r2/7-1) 5/2.p0V0.(r2/7-1) 
B → C 0 5/2 p0V0.(r2/7-1) 5/2 p0V0.(1-r2/7) 
C → A -p0V0.lnr -p0V0.lnr 0 
(c) ε = W/QQ = [p0V0.(r2/7-1) + 5/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1) - p0V0.lnr]/[7/2.p0V0.(r(γ-1)/γ-1)] = 
 = [7/2.(r2/7-1) - lnr]/[ 7/2.(r2/7-1)] = 1 - [lnr / (7/2.(r2/7-1))] 
2a Questão (2,5 pontos) 
Um corpo de capacidade calorífica C = 50J/K na temperatura T1 = 300 K está posto em contato 
com  um  reservatório  de  temperatura  a  T2  =  450  K.  Juntos  eles  formam  um  universo 
termodinâmico. Ao atingir o equilíbrio; 
(a) (0,5) calcule Q1, o calor absorvido pelo corpo, e Q2, o calor absorvido pelo reservatório. 
(b) (1,0) calcule a variação da entropia ΔS1 do corpo e ΔS2 do reservatório. 
(c)  (1,0)  qual  é  a  variação  da  energia  interna  ΔEint,  e  da  entropia  ΔS,  desse  universo 
termodinâmico? 
Resposta: 
(a) Q1 = C.(T2 – T1) = 50J/K.(450K-300K) = +7,5 kJ 
 Q2 = -Q1 = -7,5 kJ 
(b) ΔS1 = ∫T1T2dQ/T = ∫T1T2C.dT/T = C.ln(T2/T1) = C.ln(450/300) = C.ln(3/2) = C.[ln3-ln2] = 
 ≈ 50J/K.[1,1 - 0,69] = +20,5 J/K 
 ΔS2 = ΔQ/T2 = Q2/T2 = -7,5kJ/450K = -16,7 J/K 
(c) Como não há trabalho, ΔEint = Q, logo ΔEintUNIV = Q1 + Q2 = 0 
 ΔSUNIV = ΔS1 + ΔS2 ≈ +20,5 J/K – 16,7 J/K = 3,8 J/K 
3a Questão (2,5 pontos) 
Um recipiente de volume igual a 30l contém um gás perfeito à temperatura de 0,0OC. Deixa‐se 
uma parte do gás escapar para o exterior do recipiente, mantendo‐se a temperatura constante 
enquanto  que  a  pressão  no  recipiente  diminui  de  Δp  =  0,78  atm. A  densidade  do  gás  sob 
condições normais de temperatura e pressão, isto é, T = 0,0oC e p = 1,0 atm, é igual a ρ = 1,3 
g/l. 
(a) (1,0) Calcule a variação do número de moles do gás dentro do recipiente. 
(b) (1,5) Determine a massa do gás que escapou para o exterior. 
Resposta: 
(a) Vi = V0 = 30l = 3,0x10-2m3, Ti = T0 = 273K, pi = p0, ni = n0 
 Vf = V0, Tf = T0, pf = p0 - Δp, nf = ni-Δn (Δp = 0,78atm = 7,8x104Pa) 
 n0 = p0V0/RT0 nf = (p0-Δp)V0/RT0 
 Δn = nf - n0 = -Δp.V0/RT0 = -7,8x104Pa x 3,0x10-2m3/8,3J/mol.K/273K = -1,03 mol 
(b) Na CNTP, o volume ΔV ocupado pelo gás que escapou é determinado por: 
 ΔV = Δn.R.T0/patm = (Δp.V0/RT0)x(R.T0/patm) = Δp/patm.V0 = 0,78atm/1atm x 30l = 23,4l 
 Logo: Δm = ρ.ΔV = 1,3 g/l x 23,4l = 30,4 g 
4a Questão (2,5 pontos) 
Um refrigerador R opera entre reservatórios de temperaturas TA = 400K e TB = 300K, com um 
coeficiente de performance ou rendimento K = 2. Queremos, em cada ciclo, tirar QB = 600 J do 
reservatório frio. 
(a) (0,6) Calcule o trabalho que, por ciclo, tem que ser feito pelo refrigerador, assim como QA, 
o calor cedido por ciclo ao reservatório quente. 
(b)  (0,6) Para um  refrigerador de Carnot R(Carnot), operando com os mesmos  reservatórios, e 
tirando a mesma quantidade de calor QB por ciclo, calcule W(Carnot) e QA(Carnot). 
(c) (0,8) Calcule a variação de entropia, por ciclo, ΔS, do refrigerador R e também ΔS(Carnot) do 
refrigerador R(Carnot) de Carnot. 
(d) (0,5) Calcule a razão R entre o trabalho extra (W‐W(Carnot), que temos que fornecer por não 
dispor daquele refrigerador de Carnot, e a variação de entropia, por ciclo, ΔS, ou seja, R = (W‐
W(Carnot))/ΔS. 
Resposta: 
(a) Refrigerador R: 
 K = QB/W → W = QB/K = 600J/2 = 300J 
 QA = QB + W = 600J + 300J = 900J 
(b) Refrigerador R(Carnot): 
 KCarnot = TB/(TA-TB) = 300 – 100 = 3 
→ WCarnot = QB/KCarnot = 600J/3 = 200J 
 QA = QB + W = 600J + 200J = 800J 
(d) Refrigerador R: 
 ΔS = QA/TA - QB/TB = = 900J/400K - 600J/300K = 0,25J/K 
 ΔSCarnot = QA/TA - QB/TB = 800J/400K - 600J/300K = 0 (reversível) 
(d) R = (300J-200J)/0,25J/K = 400K = TA 
 
Formulário 
ln2 = 0,69, ln3 = 1,1, ln5 = 1,6, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K 
pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, r = W/QQ, K = QF/W 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II – Turmas do horário de 10 h às 12 h 1° período de 2009 
 Prova Final 
1a Questão (2,5 pontos): A  água escoa por um  cano horizontal para  a  atmosfera  a uma 
velocidade  v1  =  15m/s  como mostra  a  figura  ao  lado. Os  diâmetros  das  seções  esquerda  e 
direita do tubo são 5,0cm e 3,0cm, respectivamente. 
(a) (0,5) Que volume de água escoa para a atmosfera durante um período de 10 minutos? 
(b) (1,0) Qual é a velocidade de escoamento da água no lado esquerdo do tubo? 
(c) (1,0) Qual é a pressão manométrica (em atmosferas) no lado esquerdo do tubo? 
 
Resposta: 
(a) ΔV = tt
V ΔΔ
Δ
 = 
t
t
x.A ΔΔ
Δ1
=
t
t
xd ΔΔ
Δ×π 421
=
t
t
xd ΔΔ
Δπ
4
2
1
= 
tvd Δπ 1
2
1
4 =
( ) s.s/mm, 60015
4
1003
22−×π
= 
 = 6,36m3 
(b) t
V
Δ
Δ
= A1v1 = A2v2 → v2 = 25
9152
2
2
1
1
2
1
1 .s/md
dv
A
Av ==
= 5,4 m/s 
(c) P1 = 1 atm 
 P1+½.ρv12+ρgy1 = P2+½.ρv22+ρgy2, onde y1=y2 
Logo 
 P2 = P1 + ½.ρ[v12-v22] = 1 atm + ½.1,0x103kg/m3.[(15m/s)2-(5,4m/s)2] 
 = 1 atm + 97920 Pa = (1+0,98) atm 
∴ P2(manométrico) = 0,98 atm 
 
2a Questão (2,5 pontos): Uma corda de violino de 30,0 cm de comprimento com densidade 
linear de massa de 0,650 g/cm é colocada próxima de um autofalante que está conectado a 
um oscilador de  áudio de  frequência  variável. Descobre‐se que  a  corda oscila  somente nas 
v1 =15m/s 
v2 d1 d2 
frequências  de  880 Hz  e  1320 Hz,  quando  a  frequência  do  oscilador  varia  entre  500 Hz  e 
1500 Hz. Determine: 
(a) (1,0) a velocidade das ondas na corda; 
(b) (1,0) a frequência do fundamental; 
(c) (0,5) a tensão na corda. 
Resposta: 
(a) λ = 2L/n onde n = 1,2,3... 
 f = v/λ = L
v
2 n → Δf = L
v
2 
 → v = 2L.Δf = 2x0,30mx(1320-880)Hz = 264 m/s 
(b) f1 = L
v
2 .1 = Δf = 440Hz 
(c) v = μ
F
 → F = μ.v2 = 0,650x10-3kg/(10-2m)x(264m/s)2= 4,53 kN/m 
3a Questão (2,5 pontos): Um  cilindro,  com  posição  do  eixo  horizontal,  tem  paredes 
adiabáticas e fundo diatérmico (o lado esquerdo permite a passagem de calor). O cilindro está 
fechado por um êmbolo móvel de área A, que também é adiabático. O êmbolo está  ligado a 
uma mola de constante elástica k, presa à parede direita de modo que o estado relaxado da 
mola  corresponde  à  posição  do  êmbolo  no  fundo  do  cilindro  (figura  à  esquerda).  Uma 
quantidade de n moles de um gás ideal, monoatômico, é injetada no cilindro e, no equilíbrio, o 
êmbolo fica a uma distância x do fundo do cilindro (ver figura). 
(a) (0,5) Em função desses dados (A, x, k, n) e de constantes universais, determine a pressão e a 
temperatura do gás. 
Em um segundo processo, certa quantidade de calor Q é fornecida ao gás lentamente de forma 
que o êmbolo fica agora até uma distância 3x/2. Neste processo, determine: 
(b) (0,5) o trabalho realizado pelo gás; 
(c) (0,5) a variação de sua energia interna ΔEint; 
(d) (0,5) o calor absorvido Q; 
(e) (0,5) a variação de entropia no processo. 
vácuo 
gás
vácuo 
 . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . .
Q
x
Resposta: 
(a) A força que o gás exerce sobre o êmbolo é igual a que a mola faz do outro 
lado. Logo: 
 p.A = kx → p = A
kx
 
 V = A.x → T(x) = nR
pV
= nRA
Axkx
⋅
⋅
= nR
kx2
 
(b) Wgás = = 
∫ ⋅f
i
V
V
dVp ∫f
i
x
x
Adx.
A
kx
= ½.kx2
f
i
x
x = ½k.[(3x/2)2-x2] = 
2
8
5 kx
 
(c) ΔEint = nCVΔT = 
( ) (( )xTxTRn −23
2
3 )
 = 
( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
nR
kx
nR
xkRn
2223
2
3
= 
2
8
15 kx
 
(d) Q = Wgás + ΔEint = 
2
8
5 kx
+
2
8
15 kx
=
2
2
5 kx
 
(e) ΔS = ∫
f
i T
dQ
= 
∫
f
i T
dW
 + 
∫
f
i T
dEint
 = 
∫
f
i T
pdV
+
∫
f
i
V
T
dTnC
= 
∫
f
i T
dV
V
nRT
+
∫
f
i T
dTRn
2
3
= 
 = 
∫f
i
V
V V
dVnR
+
∫f
i
T
T T
dTnR
2
3
= 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
i
f
i
f
T
T
V
VnR ln
2
3ln
= 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
nR
kx
nR
xk
xA
xA
nR 2
22/3
2
3
ln
2
3ln
 = 
 = 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+ 2
1
4
9ln3
2
3lnnR
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
2
3ln3
2
3lnnR
= 2
3ln4nR
 
 
 
 
 
 
 
4a Questão (2,5 pontos): Um gás ideal, diatômico, ocupa um volume V1 = 2,5l, a pressão p1 
=  1,0bar  =  1,0x105Pa  e  à  temperatura  T1  =  300K.  Ele  é  submetido  aos  seguintes  processos 
reversíveis: (1 ⇒ 2) um aquecimento isovolumétrico até a sua pressão quintuplicar, depois (2 
⇒  3)  uma  expansão  isotérmica  até  a  pressão  original  e,  finalmente,  (3  ⇒  1)  uma 
transformação isobárica voltando ao estado inicial. 
(a)  (0,5) Desenhe o  ciclo  do  gás no  diagrama de Boyle‐Clapeyron  (p  versus V),  indicando  a 
escala das unidades. 
(b)  (1,5) Calcule, em  joules, o  calor Q que ele absorve, o  trabalho W  feito pelo gás e a  sua 
variação de energia interna ΔEint em cada etapa do ciclo. Construa uma tabela com os valores 
de Q, W e ΔEint para os três processos. 
(c) (0,5) O rendimento da máquina operando segundo este ciclo. 
Resposta: 
(a) p 
VV1 
p1 
5p1 
1 
2 
3 
 
 
 
 
(b) 
1 ⇒ 2: 
 W12 = 0, 
 2
11
2
22
1
11 5
T
Vp
T
Vp
T
Vp ==
 ∴ T2 = 5T1 
→ ΔEint,12 = n.CV.ΔT = 11
11 4
2
5 TR
RT
Vp ⋅⋅
= 10.p1V1 = 10x1,0x105Pax2,5x10-3m3 = 2,5 
kJ 
 Q12 = W12 + ΔEint,12 = 2,5 kJ 
2 ⇒ 3: 
 T3 = T2 = 5T1 
→ ΔEint,23 = 0 
 W23 = = 
∫f
i
V
V
dV.p ∫f
i
V
V
dV.
V
nRT
= nRT . i
f
V
Vln
. 
Como T = T2 = const. piVi = pfVf → Vf = pi/pf.Vi = 5p1/p1.V1 → Vf = 5.V1 e Vi = V1 
∴ W23 = 1
1
2
1
11 5
V
VlnRT
RT
Vp ⋅⋅
= 5511 lnVp ⋅ = = 2,0 kJ 5510521001 335 lnm,Pa, −×××
 Q23 = W23 + ΔEint,23 = 2,0 kJ 
3 ⇒ 1: 
 W31 = p.ΔV = p1.(V1-V3) = p1.(V1-5V1) = - 4.p1V1 = -
= -1,0 kJ 335 105210014 m,Pa, −××××
 Q31 = n.CP.ΔT = 
( )1
1
11 4
2
7 TR
RT
Vp −⋅⋅
= - 14.p1V1 = = 
-3,5 kJ 
335 1052100114 m,Pa, −××××−
 ΔEint,31 = n.CV.ΔT = 
( )1
1
11 4
2
5 TR
RT
Vp −⋅⋅
= -10.p1V1 = -10x1,0x105Pax2,5x10-3m3 = 
-2,5 kJ 
ou ΔEint,31 = Q31 - W31 = -3,5 kJ + 1,0 kJ 
ou Q31 = W31 + ΔEint,31 = -1,0 kJ - 2,5 kJ = - 3,5 kJ 
 Q (kJ) W (kJ) ΔEint (kJ) 
1 ⇒ 2 2,5 0 2,5 
2 ⇒ 3 2,0 2,0 0 
3 ⇒ 1 -3,5 -1,0 -2,5 
(c) ε = QQ
W
= 2312
312312
QQ
WWW
+
++
kJ,kJ,
kJ,kJ,
0252
01020
+
−+
= = 22% 
 
Formulário 
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], 
NIS = 10 log(I/Io),pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, ε = W/QQ, K = QF/W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II - Turmas no horário de 15h às 17h 
1° período de 2009 
Prova Final 
1a Questão (2,5 pontos) 
Dois  tubos  cilíndricos  A  e  B,  de  seção  reta  transversal  de  área 
igual a 40,0 cm2 estão conectados por meio de um terceiro tubo 
cilindrico C, de seção reta de área igual a 10,0 cm2. Os três tubos 
têm  o mesmo  eixo  de  simetria,  estão  na  horizontal  e  água  flui 
através deles a uma vazão volumétrica de 6,00x103 cm3/s. 
A 
C
B
(a) Determine a velocidade de escoamento na parte mais larga e na constrição. 
(b) Determine as diferenças de pressão entre os tubos A, B e C. 
Resposta: 
(a) 
t
V
Δ
Δ = v.A → v = 
t
V
A Δ
Δ1 
∴ vA = 
t
V
AA Δ
Δ1 = 
2
33
040
10006
cm,
s/cm, × = 150 cm/s 
 vAAA = vBAB = vCAC → vB = vA = 150 cm/s 
→ vC = vA.
B
A
A
A = 150 cm/s.
2
2
10
40
cm
cm = 600 cm/s 
(b) PA +½ρvA2+ρgyA = PB +½ρvB2+ρgyB = PC +½ρvC2+ρgyC 
Como y = constante: 
 PA +½ρvA2 = PB +½ρvB2 = PC +½ρvC2 
De (a) temos que vA = vB → PA = PB ou seja, 
 ΔPAB =0 
e PA - PC = ½ρvC2 - ½ρvA2 = ½ρ (vC2-vA2) = ½.1,0x103kg/m3x[(6,00m/s)2-
(1,50m/s)2] 
∴ ΔPAC = 1,69 x104Pa 
2a Questão (2,5 pontos) L
Uma  das  extremidades  de  uma  corda  de  comprimento  L  é  presa  a  uma  parede.  A 
outra extremidade está  ligada a um anel sem massa que pode deslizar  livremente ao 
longo de uma haste vertical sem atrito, conforme a figura apresentada ao lado. 
(a) (1,0)  Esboce  as ondas  estacionárias  correspondentes  aos  três maiores  comprimentos  de 
ondas? 
(b) (1,5) Quais  são  estes  três maiores  comprimentos de ondas  estacionárias possíveis nesta 
corda?  
Resposta: 
(a) 
L  L L
 
 
 
 
 
 
(b) λ1 = 4L 
 λ2 = L
3
4 
 λ3 = L
5
4 
3a Questão (2,5 pontos) 
Um mol de um gás  ideal, monoatômico, à temperatura T1 = 300K é submetido aos seguintes 
processos reversíveis: (1 ⇒ 2) um aquecimento  isovolumétrico até a sua temperatura dobrar 
T2 = 600K, depois (2 ⇒ 3) uma expansão adiabática até o estado 3, onde a pressão é  igual à 
pressão inicial: p3 = p1 e, finalmente, uma transformação isobárica (3 ⇒ 1). 
(a) (0,5) Represente o ciclo em um diagrama {p, V}. 
(b) (1,5) Calcule a temperatura T3 e, em joules, o trabalho feito W pelo gás, o calor trocado Q e 
a sua variação de energia  interna ΔEint em cada etapa do ciclo. Construa uma  tabela com os 
valores de Q, W e ΔEint nos três processos. 
(c) (1,0) Se p1 = 1,0x105Pa, calcule {V1, V3}. 
Numerologia : 20,4 = 1,32 ; 20,5 = 1,41 ; 20,6 = 1,52 ; 20,7 = 1,62. 
Resposta: 
(a) 
p 
V V1 
p1 
1 
2 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 1 ⇒ 2: 
 
1
2
2
2
1
1
2 T
p
T
p
T
p
×== → p2 = 2p1 
 W12 = 0 (volume constante) 
 ΔEint,12 = n.CV.ΔT = ( )122
31 TTR −××
 = 
( )KKKmolJ 300600)./(3,8
2
3 −×
 = 
3,735 kJ 
 Q12 = ΔEint,12 + W12 = 3,735 kJ 
 2 ⇒ 3: 
 p2V2γ = p3V3γ onde γ = 5/3, V2 = V1, p2 = 2p1 e p3 = p1 → V3γ = 
1
112
p
Vp γ → V3 = 
23/5V1 
 T3 = 160116033 22 TnR
Vp
nR
Vp ,, == = 455K 
∴ ΔEint,23 = nCVΔT23 = 1x3/2x8,3J/(mol.K)x(455K-600K) = -1,805 kJ 
e Q23 = 0 = ΔEint,23 + W23 
→ W23 = -ΔEint,23 = +1,805 kJ 
 3 ⇒ 1: 
 Q31 = nCP (T1-T3) = 1x5/2x8,3J/(mol.K)x(300K-455K) = -3,216 kJ 
 ΔEint,31 = nCV.(T1-T3) = 1x3/2x8,3J/(mol.K)x(300K-455K) = -1,930 kJ 
 W31 = Q31 -ΔEint,31 = -3,216 kJ + 1,930 kJ = - 1,286 kJ 
 Q (kJ) W (kJ) ΔEint(kJ) 
1 ⇒ 2 3,7 0 3,7 
2 ⇒ 3 0 1,8 -1,8 
3 ⇒ 1 -3,2 -1,3 -1,9 
(c) 
Pa,
K)K.mol/(J,
p
nRT
V
5
1
1
1
1001
300381
×
××== = 0,0249m3 ≈ 25 l 
 
3
33
1
11
nRT
VpnRT
Vp = → 1
1
3
3 VT
T
V = = l25
300
455
K
K ≈ 38 l 
4a Questão (2,5 pontos) 
Um motor térmico funciona entre dois reservatórios térmicos, um na temperatura de 600 K e 
o outro a 350 K. A cada ciclo o motor retira 900 J de energia da fonte quente e produz um 
trabalho útil de 150 J. 
(a) (1,0) Qual a variação de entropia do universo num ciclo de funcionamento desse motor? 
(b) (0,5) Qual o coeficiente de rendimento de um refrigerador de Carnot que opere entre esses 
mesmos reservatórios térmicos? 
(c) (1,0) Qual seria o trabalho realizado a cada ciclo por um motor ideal de Carnot, que 
funcionasse entre esses mesmos reservatórios térmicos e retirasse a mesma energia (900 J) da 
fonte quente a cada ciclo? 
Resposta: 
TQ 
TF 
QQ 
QF 
(a)TQ = 600K, ⏐QQ⏐= 900J 
TF = 350K, ⏐QF⏐= ⏐QQ⏐- W = 900J – 150J = 750J 
ΔSU = ΔSQ + ΔSM + ΔSF 
ΔSM = 0 (Motor opera em ciclo fechado) 
ΔSQ = -⏐QQ⏐/TQ = -900J/600K = -1,50 J/K 
(negativo pois o calor sai do reservatório quente) 
 ΔSF = +⏐QF⏐/TF = 750J/350K = 2,14 J/K 
 (positivo pois o calor entra no reservatório frio) 
ΔSU = -1,50 J/K + 0 + 2,14 J/K = 0,64 J/K 1,0 pto 
(b) Rendimento de Carnot: KCar=
FQ
F
TT
T
− = KK
K
350600
350
− = 1,4 
(c) Eficiência de Carnot: εCar=
Q
FQ
T
TT − = 
Q
FQ
Q
QQ − = 
QQ
W 
∴ W = 
Q
FQ
Q T
TT
Q
− = 
J
J.J
600
250900 = 375J 
 
 
Formulário 
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, 1atm = 1,0x105Pa, 1l = 10-3m3, R = 8,3 J/mol.K 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], 
NIS = 10 log(I/Io),pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, ε = W/QQ, K = QF/W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II – Turmas do horário de 10 h às 12 h 1° período de 2009 
 
 Prova de 2a Chamada 
 
1a Questão (2,5 pontos): 
Uma mola de massa desprezível e constante elástica k = 400 N/m está suspensa verticalmente 
e um prato de massa m = 0,200 kg está suspenso em repouso na sua extremidade  inferior. O 
açougeiro deixa cair sobre o prato de uma altura de h = 0,40 m uma posta de carne de M = 
2,2 kg. A posta de  carne produz uma  colisão  completamente  inelástica  com o prato e  faz o 
sistema executar um MHS. Calcule: 
(a) (1,0) a velocidade do prato e da carne logo após a colisão; 
(b) (1,0) a amplitude da oscilação subsequente; 
(c) (0,5) o período da oscilação. 
 
Resposta: 
(a) (1,0) No momento do impacto a velocidade da carne é v = gh2 e a conservação do 
momento implica na velocidade do conjunto, logo após a colisão: 
 V0 = gh
mM
M 2+ = 2,59 m/s. 
 
(b) (1,0) A posição do prato antes do choque, a partir da posição relaxada da mola, é 
dada por 
 x0 = 
k
mg = 0,5cm. 
 
A equação de Newton : 
 ( )
2
2
dt
xdmM + = -kx+(M+m) g = −k (x−x1), 
 
com x1 = (M+m) 
k
g = 5,5 cm, resulta em 
 x − x1 = a senωt + b cosωt, com ω = 
mM
k
+ = 12,9 s
−1. 
 
As condições iniciais fornecem 
 b = x0 − x1 = −5,0 cm e a = ω
0V = 20, 1 cm. 
 
A amplitude é: 
 A = 22 ba + = 20,7 cm. 
O mesmo resultado pode ser obtido usando a conservação da energia após o choque 
inelástico. 
 
(c) (0,5) T = ω
π2 = 0,49 s. 
 
2a Questão (2,5 pontos):  
0 20 40 60 80 100
-3
-2
-1
0
1
2
3
 x(cm)
 
 
y(
cm
)
Uma  onda  transversal  harmônica  simples 
propaga‐se ao longo de uma corda no sentido do 
eixo x negativo  (‐x). A  figura ao  lado mostra um 
gráfico do deslocamento como função da posição 
em um  instante t = 0. A  intensidade da  força de 
tração na corda é de 3,6 N e a massa específica 
linear é de 25 g/m. Determine: 
(a) (0,5) a amplitude, 
(b) (0,5) o comprimento de onda, 
(c) (0,5) a velocidade da onda, 
(d) (0,5) a frequência, 
(e) (0,5) e uma equação y(x,t) que descreva a propagação da onda. 
 
Resposta: 
 
(a) (0,5) A = 3,0 cm 
 
(b) (0,5) λ = 50 cm 
 
(c) (0,5) v = μ
F =
m/kg
N,
31025
63
−×
= 12 m/s 
 
(d) (0,5) f = λ
v = 
m,
s/m
50
12 = 24 Hz 
 
(e) (0,5) y(x,t) = A.sen(kx+ωt+δ) (onda se propagando no sentido -x), onde: 
 k = λ
π2 = 4π rad/m 
 
 ω = 2π.f = 48π rad/s 
 
e, para t = 0, y(0,0) = A.sen(δ) ≈ 2,5 cm, sendo que: 
v(0,0) =
0=∂
∂
t,xt
)t,x(y = ωA.cos(kx+ωt+δ)⎪x,t=0 = ωA.cos(δ) e, pelo gráfico v(0,0) <0 
→ 3π/2 >δ > π/2 
Logo: 
 δ = 
o
o
,
,
,
,arcsen
5123
556
03
52 ≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ → δ = 123,5o ≈ 0,686π rad 
 
 
3a Questão (2,5 pontos): 
Dentro  de  um  calorímetro,  isolado  adiabaticamente,  de  capacidade  calorífica  desprezível, 
coloca‐se Mgelo = 0,5 kg de gelo a temperatura de Tgelo= ‐10,0oC e Mágua= 1,0 kg de água a Tágua= 
30,0oC. 
(a) (0,5) Qual é a temperatura de equilíbrio? (Verifique se é possível derreter todo o gelo.) 
(b) (1,0) Qual é a quantidade de água líquida no estado de equilíbrio? 
(c)  (1,0) Calcule neste processo a variação da entropia do universo  termodinâmico  formado 
pelo calorímetro e seu conteúdo. 
 
Resposta: 
 
(a) (0,5) ΔQgelo + ΔQágua=0: 
 
Para levar o gelo até 0oC são necessários: 
 
 ΔQgelo(Tg→0oC) = Mgelo.c(gelo). (0oC-Tgelo) = 0,5kg x 2220J x 10oC = 1,110x104J 
 
Já para conseguir derreter todo o gelo: 
 
 ΔQgelo→água = ΔQgelo(Tg→0oC) + Mgelo.Lfusão(gelo) = 1,110x104J + 0,5kg x 333x103J 
= 1,776x105J 
 
Se toda água esfriasse até 0oC o calor liberado seria de: 
 
 ΔQágua = Mágua.c(água).(Tf - Tágua) = 1,0kg x 4190J/(kg.oC) x 30,0oC = 1,257x105J 
 
Ou seja, 
 
 ΔQgelo(Tg→0oC) < ΔQágua < ΔQgelo→água ⇔ não dá para derreter todo o gelo mas 
ele chega até 00C! 
 
∴ Tf = 0oC = 273 K 
 
(b)(1,0) O calor cedido pela água será utilizado para aquecer o gelo até 0oC e derreter 
parte dele. Portanto, o calor a ser utilizado para o derretimento do gelo será de: 
 
 ΔQderretimento = mgelo.Lf,gelo = ΔQágua - ΔQgelo(Tg→0oC) = 1,257x105J - 1,110x104J = 
1,146x105J 
 
 
Logo a massa de gelo derretida é de: 
 
 mgelo = 
( )
f
o
gga
L
CTQQ 0→Δ−Δ = 
J
J,
3
5
10333
1011461
×
× = 0,344kg 
 
∴ Mágua(final)= Mágua + mgelo = 1,344 kg, com Tf = 273K. 
 
(c)(1,0) ΔSgelo = ∫f
g
T
T
gelo
T
dQ = 
f
fg
T
T
gg
T
Lm
T
dTcMf
g
+∫ =
f
fg
g
f
fg T
Lm
T
TlncM + = 
 
 = ( )
K
kg/Jxkg,
K
KlnK.kg/Jkg,
273
103333440
263
273222050
3×+×× = 461 J/K 
 
 ΔSágua = ∫f
a
T
T
água
T
dQ
= ∫f
a
T
T
aa
T
dTcM =
a
f
aa T
TlncM = ( )
K
KlnK.kg/Jkg,
303
273419001 ×× = -
437 J/K 
 
∴ ΔSuniverso = 24 J/K. 
∴ 
4a Questão (2,5 pontos): 
Nesse problema dispomos de três reservatórios térmicos RA, RB, RC com temperaturas TA > TB > 
TC.  
(a)  (0,5)  Numa  primeira  operação  transferimos,  por  condução  através  de  um  condutor  de 
calor,  certa  quantidade  de  calor Q  do  reservatório  RA  até  o  reservatório  RB.  Calcule,  nessa 
operação,  a  variação  de  entropia  ΔSa  do  sistema  constituido  pelos  dois  reservatórios  e  o 
condutor e calor. 
(b)  (1,0) Acoplamos o  sistema acima a uma máquina de Carnot CBC operando entre RB e RC. 
Calcule o trabalho produzido W1 usando a quantidade de calor Q disponível no reservatório RB. 
(c) (1,0) Seja agora uma maquina de Carnot CAC operando diretamente entre RA e RC. Calcule o 
trabalho W2 produzido por essa máquina de Carnot usando a mesma quantidade de calor Q 
extraída do RA. 
 
Resposta: 
(a) (0,5) ΔSa = ΔSA + ΔSB = 
BA T
Q
T
Q +− = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅
AB TT
Q 11 
 
(b) (1,0) εCarnot = 
B
C
T
T−1 = 
Q
W1 
 
 ∴ W1 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
B
C
T
T
Q 1 
 
(c) (1,0) εCarnot = 
A
C
T
T−1 = 
Q
W2 
 
 ∴ W2 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
A
C
T
T
Q 1 
 
 
Formulário 
vsom=340 m/s, g=10m/s2, ρágua=1,0x103kg/m3, R=8,3J/mol.K, c(gelo)=2220J/(kg.oC), c(água)=4190J/(kg.oC), 
Lfusao(gelo)=333kJ/kg, 1l=10-3m3, 1atm=1,0x105Pa. 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], 
NIS = 10 log(I/Io),pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, ε = W/QQ, K = QF/W 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO DE FÍSICA 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Física II – Turmas do horário de15 h às 17 h 1° período de 2009 
 Prova de 2a Chamada 
1a Questão (2,5 pontos): 
O volante de um relógio mecânico oscila com amplitude angular máxima de π rad e com 
período T = 0,50 s. Determine: 
(a) (0,5) sua velocidade angular máxima; 
(b) (1,0) a velocidade angular quando o deslocamento angular for de π/2 rad. 
(c) (1,0) a aceleração angular, quando seu deslocamento for de π/4 rad. 
Resposta: 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ+π⋅π=θ t
T
cost 2 , ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ+π⋅ππ−=θ t
T
sen
Tdt
td 22 , 
( ) ( )t
T
t
T
cos
Tdt
td θ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ+π⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ−=θ
22
2
2 222 
 
(a) (0,5) ( )
Tdt
td
máx
22π=θ = 79 rad/s 
 
(b) (1,0) Quando θ = π/2, o cosseno de ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ+π
T
t2 vale 0,5 e o seno ±
2
3 , logo: 
 
 ( ) s/rad
dt
td 34 2π=θ m ≈ m 34,2 rad/s 
 
(c) (1,0) ( )
4
2 2
2
2 π⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−=θ
Tdt
td = - 2π3 rad/s2 ≈ -124 rad/s2 
 
2a Questão (2,5 pontos): L1  L2
Um fio de alumínio de comprimento L1 = 60,0cm e área de seção transversal A = 1,00x10‐2cm2 
é conectado a um fio de aço com mesma área de seção transversal. O fio composto, carregado 
com um bloco m de massa 10,0 kg, é disposto conforme  indicado na  figura ao  lado a  fim de 
que a distância  L2 da  junção até a polia de  suporte  seja de 86,6 cm. Ondas  transversais  são 
induzidas no fio usando‐se uma fonte externa de frequência variável.  
(a) (1,0) Quais são as velocidades de propagação de uma onda nas duas cordas em função das 
variáveis m, ρ1, ρ2, A e da aceleração gravitacional g? 
(b)  (1,0) Qual é a menor  frequência de excitação em que ocorrem ondas estacionárias e em 
que a junção dos dois fios é um nó da onda? 
(c) 0,5) Qual é o número  total de nós observado nessa  frequência, excluindo‐se os nós nas 
duas extremidades do fio? 
Obs: A massa específica ρ1 do alumínio é 2,60 g/cm3 e a do aço ρ2 é de 7,80 g/cm3. 
Resposta: 
(a) (1,0) v1 = μ
F =
1
1
L
m
mg =
1
11
L
V
mg
⋅ρ = 
1
111
L
LA
mg
⋅⋅ρ = A
mg
1ρ
 e v2 = 
A
mg
2ρ
 
 
(b) (1,0) λ1 = 
1
12
n
L → f = 
1
1
λ
v = 1
1
1
2
n
L
v = 2
2
2
2
n
L
v 
 
 ∴ 
21
12
1
2
vL
vL
n
n = =
1
2
1
2
ρ
ρ
L
L =
3
3
602
807
060
686
cm/g,
cm/g,
cm,
cm, = 2,5 
 
A menor frequência implica em menor valor de n, logo 
 
 n2 = 5 e n1 = 2 
 
 → f = 1
1
1
2
n
L
v =
11 2
2
LA
mg
ρ = 
m,m,m/kgx,
s/mkg,
600
1
1000110602
10010
2633
2
−××
× = 323 Hz 
 
(c) (0,5) No fio 1 temos 2 nós (excluída a extremidade esquerda) e no fio 2 
temos 5 nós (excluída a extremidade direita), sendo um nó comum aos dois fios 
(junção). Logo o número total de nós é de: 
 n = n1 + n2 - 1 = 6 nós 
 
3a Questão (2,5 pontos): 
Dentro  de  um  calorímetro,  isolado  adiabaticamente,  de  capacidade  calorífica  desprezível, 
coloca‐se Mgelo= 2,0 kg de gelo a temperatura de Tgelo =  ‐20,0oC e Magua = 0,500 kg de água a 
Tagua = 30,0oC. 
(a) (0,5) Qual é a temperatura de equilíbrio? (Verifique se o gelo chega a derreter.) 
(b) (1,0) Qual é a quantidade de água líquida neste estado de equilíbrio? 
(c)  (1,0) Calcule neste processo a variação da entropia do universo  termodinâmico  formado 
pelo calorímetro e seu conteúdo. 
 
Resposta: 
 
(a) (0,5) ΔQgelo + ΔQágua=0 
 
Para levar o gelo até 0oC são necessários: 
 
 ΔQgelo(Tg→0oC) = Mgelo.c(gelo). (0oC-Tgelo) = 2,0kg x 2220J/(kg.oC)x20oC = 
8,880x104J 
 
Se toda água esfriasse até 0oC o calor liberado seria de: 
 
 - ΔQágua = - Mágua.c(água).(Tf - Tágua) = 0,500kg x 4190J/(kg.oC) x 30,0oC = 
6,285x104J 
 
O que é insuficiente para levar o gelo até 0oC. Logo, parte da água vai congelar e o calor 
liberado será utilizado para aquecer o restante do gelo. 
 
 ΔQágua→gelo + ΔQágua + ΔQgelo(Tg→0oC) = 0 
→ -ΔQágua→gelo = máguaLfusão = ΔQgelo(Tg→0oC)+ΔQágua = 8,880x104J - 6,285x104J = 
2,595x104J 
 
Ou seja, a massa de água que irá congelar será: 
 
∴ magua= [ΔQgelo(Tg→0oC) - ΔQágua]/Lfusão = 2,595x104J/(333x103J/kg) = 0,078 kg < 
0,500kg 
 
Portanto, nem toda água congela e a temperatura final fica em 
 
 Tf = 0oC 
 
 
(b)(1,0) A água líquida que sobra é 
 
 ΔMágua = Mágua - magua = 0,500 kg - 0,078 kg = 0,422 kg 
 
 
(c)(1,0) ΔSgelo = ∫f
g
T
T
gelo
T
dQ = ∫f
g
T
T
gg
T
dTcM =
g
f
fg T
T
lncM = 
 
 = 
K
Kln
Kkg
Jkg,
253
273222002 ×⋅× = 338 J/K 
 
 ΔSágua = ∫f
a
T
T
água
T
dQ
=
f
f
T
T
aa
T
Q
T
dTcMf
a
Δ+∫ =
a
f
aa T
TlncM +
f
fa
T
Lm− = 
 
 = ( )
K
KlnK.kg/Jkg,
303
27341905000 ×× - 
K
kg/Jkg,
273
103330780 3×× = -314 
J/K 
 
∴ ΔSuniverso = +24 J/K. 
 
4a Questão (2,5 pontos): 
Um corpo de capacidade térmica C e temperatura Ti é colocado dentro do compartimento frio 
de um refrigerador de Carnot, operando com reservatórios térmicos de temperaturas TA e TB 
respectivamente. Supõe‐se que TA > Ti > TB. No processo de resfriamento até a temperatura TB, 
o  corpo  cede  certa quantidade de  calor QB  à  fonte  fria, que por  sua  vez  cede  essa mesma 
quantidade de calor ao sistema  refrigerante que opera em ciclo, gastando uma energia W e 
transferindo o calor QA à fonte quente. Em função dos dados do corpo {Ti,C} e do refrigerador 
de Carnot {TA, TB}, determine: 
(a) (0,5) o calor QB, a energia W gasta no processo e a quantidade de calor QA cedida à fonte 
quente; 
(b) (1,5) a variação de entropia ΔSC do corpo, ΔSS do sistema refrigerante operando em ciclo e, 
finalmente, ΔSA e ΔSB dos reservatórios térmicos. 
(c) (0,5) Calcule ΔSUNIVERSO e explique, fisicamente, por que não pode se anular? 
 
Resposta: 
 
(a) (0,5) QB = ( )Bi TTC −
 
 RCarnot = 
W
QB =
BA
B
TT
T
− 
 
→ W = 
B
BA
B T
TTQ − = ( )
B
BA
Bi T
TT
TTC
−− 
 QA = W + QB = 
( )
B
BA
Bi T
TT
TTC
−− + =( )Bi TTC − ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−− 1
B
BA
Bi T
TT
TTC = ( )
B
A
Bi T
T
TTC − 
 
(b) (1,5) ΔSC = ∫B
i
T
T C
C
T
dQ = ∫B
i
T
T C
C
T
dT
C =
i
B
T
T
lnC =
B
i
T
T
lnC− 
 
 ΔSS = SS(f) - SS(i) = 0 (estado final igual ao estado inicial no ciclo) 
 
 ΔSA = 
A
A
T
QΔ = ( )
B
A
A
Bi
T
T
T
TTC − = ( )
B
Bi
T
TTC − 
 
 ΔSB = 
B
B
T
QΔ . Como a fonte fria recebe QB do corpo e cede a mesma 
quantidade de calor QB para a fonte quente, ΔQB = 0, logo: 
 
 
 ΔSB = 0 
 
(c) (0,5) ΔSUNIVERSO = ΔSC + ΔSS + ΔSA +ΔSB = 
B
i
T
T
lnC− + 0 + ( )
B
Bi
T
TTC − + 0 = 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
B
i
B
Bi
T
T
ln
T
TT
C 
 
 
Para ΔSU se anular o processo tem de ser reversível. Como parte do processo é 
irreversível (a do corpo C entrar em equilíbrio térmico com o reservatório B), então ΔSU > 
0. 
 
Matematicamente: 
Se fizermos x = 
B
i
T
T >1, então ΔSU = ( )[ ]xlnxC −− 1 . Mas ( )[ ]xlnx −− 1 > 0 para x > 1, → 
ΔSU > 0 
 
 
Formulário 
vsom=340 m/s, g=10m/s2, ρágua=1,0x103kg/m3, R=8,3J/mol.K, c(gelo)=2220J/(kg.oC), c(água)=4190J/(kg.oC), 
Lfusao(gelo)=333kJ/kg, 1l=10-3m3, 1atm=1,0x105Pa. 
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/μ]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, Δp(t) = [2Δpmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], 
NIS = 10 log(I/Io),pV = nRT, pVγ = const, CV = ½.f R, CP = CV + R, ε = W/QQ, K = QF/W 
 
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