Física 4 11 exercícios resolvidos

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 11 
 Questão 1
Um elétron descreve uma trajetória circular de 
raio igual a ʹ ή ͳͲିଶ�݉ de modo tal que sua 
velocidade é ሺͲǡͷ ൅ ͲǡͲͳݐሻܿ. Calcule o ângulo entre 
a força e a aceleração para ݐ ൌ ͳͲ�ݏ. 
Resolução: 
As acelerações tangencial e centrípeta são dadas, 
respectivamente por: ܽ௧ ൌ ͲǡͲͳܿ ؆ ͵ ή ͳͲ଺�݉ ή ݏିଶ 
(1.1) 
E ܽ௖௣ ൌ ݒ ଶܴ ൌ Ͳǡ͵͸ܿଶʹ ή ͳͲିଶ ؆ ͳǡ͸ʹ ή ͳͲଵ଼�݉ ή ݏିଶ 
(1.2) 
Em que ݒ ൌ Ͳǡ͸ܿ é a velocidade no instante ͳͲ�ݏ. 
Para essa velocidade o fator de Lorentz assume o 
valor de: ߛ ൌ ͳǡʹͷ. Para as forças, veja, por 
exemplo, Física 4-10, eqs.: (8.2) e (8.3). Assim, 
teremos para as forças tangencial e centrípeta, 
respectivamente, os valores: ܨ௧ ൌ ߛଷ݉௘ܽ௧ ؆ ͷǡ͵Ͷ ή ͳͲିଶସ�ܰ 
(1.3) 
E ܨ௖௣ ൌ ߛ݉௘ܽ௖௣ ؆ ͳǡͺͶͷ ή ͳͲିଵଶ�ܰ 
(1.4) 
Em que ݉௘ ൌ ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ݇݃. Agora, vamos 
representar as acelerações e as forças em um 
plano cartesiano (figura 1.1). 
 
Figura 1.1 
Para o ângulo ߙଵ, temos: 
 ݐ݃ߙଵ ൌ ܽ௧ܽ௖௣ ֜ ߙଵ ؆ ሺͳǡͲ͸ ή ͳͲିଵ଴ሻι 
(1.5) 
 
E para o ângulo ߙଶ, teremos: 
 ݐ݃ߙଶ ൌ ܨ௧ܨ௖௣ ֜ ߙଶ ؆ ሺͳǡ͸ͷ ή ͳͲିଵ଴ሻι 
(1.6) 
 
Assim, o ângulo entre a aceleração e a força será: 
 ߙଶ െ ߙଵ ؆ ሺͲǡͷͻ ή ͳͲିଵ଴ሻι 
(1.7) 
 
 Questão 2
 
Prove que a equação da trajetória de uma 
partícula sob a ação de uma força constante na 
dinâmica relativística para o lançamento 
horizontal é dada por: 
 ݕ ൌ ாబி ܿ݋ݏ݄ ቀிή௫௖ή௣బቁ െ ாబி . 
 
Em que ܧ଴�‡�݌଴ são, respectivamente, a energia 
total e o momento linear iniciais da partícula. 
Resolução: 
Considere o lançamento da partícula representado 
pela figura 2.1 abaixo. 
 
Figura 2.1 
 
Para o movimento da partícula, temos: 
 
ࡲࢉ࢖ ࢻ૚ ࢇ࢚ 
ࢉ࢖ ࢇࢉ࢖ 
ࡲ࢚ 
ࢇ ࡲ 
 ࢻ૛ 
ࢻ૛ െ ࢻ૚ 
݌଴ ݌Ͳ ܨ ܨ ή ݐ ܣ ݌ 
ݔ 
ݕ 
Ͳ 
 
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2 
݀݌௫݀ݐ ൌ Ͳ��‡�� ݀݌௬݀ݐ ൌ ܨ 
(2.1) 
Logo, resolvendo (2.1), teremos: ݌௫ ൌ ݌଴�‡�݌௬ ൌ ܨݐ 
(2.2) 
A energia total da partícula no instante inicial é 
dada por: ܧ଴ ൌ ܿට݉଴ଶܿଶ ൅ ݌଴ଶ 
(2.3) 
A energia total no instante ݐ será: ܧ ൌ ܿට݉଴ଶܿଶ ൅ ݌଴ଶ ൅ ሺܨݐሻଶ ׵ ܧ ൌ ටܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ 
(2.4) 
Utilizando a relação ݒԦ ൌ ܿଶ݌Ԧ ܧΤ (veja, por 
exemplo, Física 4-10, questão 13), teremos: ݒ௫ ൌ ܿଶ݌௫ܧ ൌ ܿଶ݌଴ඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ 
(2.5) 
E 
ݒ௬ ൌ ܿଶ݌௬ܧ ൌ ܿଶܨݐඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ 
(2.6) 
Agora, poderemos integrar as equações (2.5) e 
(2.6). Assim: ݒ௫ ൌ ݀ݔ݀ݐ ൌ ܿଶ݌଴ඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ ݔ ൌ ܿଶ݌଴න ݀ݐඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ்଴ ׵ ݔ ൌ ܿ݌଴ܨ ܽݎܿݏ݄݁݊ ܿܨܶܧ଴ 
(2.7) 
E para ݕ: 
 ݒ௬ ൌ ݀ݕ݀ݐ ൌ ܿଶܨݐඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ ݕ ൌ ܿଶܨන ݐ�݀ݐඥܧ଴ଶ ൅ ሺܿܨݐሻଶ்଴ ׵ ݕ ൌ ܧ଴ܨ ቎ඨͳ ൅ ൬ܿܨܶܧ଴ ൰ଶ െ ͳ቏ 
(2.8) 
 
Para as integrais temos: 
 න ݀ݔξݔଶ ൅ ܽଶ ൌ൞݈݊ ቀݔ ൅ ඥݔଶ ൅ ܽଶቁ‘—ܽݎܿݏ݄݁݊ ܽݔ 
(2.9) 
 
E 
 න ݔ�݀ݔξݔଶ ൅ ܽଶ ൌ ඥݔଶ ൅ ܽଶ 
(2.10) 
 
Veja por exemplo: M. R. Spiegel, Manual de 
Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Ed. McGraw-Hill 
do Brasil, São Paulo, 1973. Agora, do resultado 
(2.7), temos: 
 ݏ݄݁݊ ܨݔܿ݌଴ ൌ ܿܨܶܧ଴ 
(2.11) 
 
Substituindo (2.11) em (2.8) e lembrando que ܿ݋ݏ݄ ܽ ൌ ξͳ ൅ ݏ݄݁݊ଶܽ, teremos: 
 ݕ ൌ ܧ଴ܨ ൤ܿ݋ݏ݄ ൬ܨݔܿ݌଴൰ െ ͳ൨ 
(2.12) 
 
Obs.: Para um lançamento não relativístico, temos: 
 ݕ ൌ ܨͶܭ଴ ή ݔଶ 
(2.13) 
 
 
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3 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
v/c 
E/mc2 
Em que ܭ଴ é a energia cinética inicial. A expressão 
dada por (2.13) representa um arco de parábola. 
Então, no limite clássico, ou seja, quando ܿ ՜ λ, a 
expressão (2.12) deve resultar em (2.13). Para 
tanto, devemos expandir a função cosseno 
hiperbólica, cuja expressão é dada por: ܿ݋ݏ݄ݔ ؆ ͳ ൅ ݔଶʹǨ 
(2.14) 
Veja por exemplo: M. R. Spiegel, Manual de 
Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Ed. McGraw-Hill 
do Brasil, São Paulo, 1973. Ao passo que: ܧ଴ܿଶ݌଴ଶ ௖՜ஶሱۛ ሮ ͳʹܭ଴� 
(2.15) 
Feito isso a expressão dada em (2.12) resulta em 
(2.13). 
 Questão 3
Demonstre que ݒ ܿΤ ൌ ሾͳ െ ሺ݉ܿଶ ܧΤ ሻଶሿଵ ଶΤ . A 
partir dessa relação calcule a velocidade de uma 
partícula, quando ܧ é (a) igual à sua energia e 
repouso, (b) duas vezes a sua energia de repouso, 
(c) 10 vezes a sua energia de repouso e (d) mil 
vezes a sua energia de repouso. Faça um gráfico 
de ݒ ܿΤ contra ܧ ݉ܿଶΤ . 
Resolução: 
Observando o triângulo da questão 13 de Física 4-
10, podemos escrever: ܿݒ ൌ ݌ܿܧ 
(3.1) 
Também, desse mesmo triângulo, temos: ܧ ൌ ඥ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌ܿሻଶ 
(3.2) 
Assim, utilizando (3.1) em (3.2), teremos: 
ܧଶ ൌ ݉ଶܿସ ൅ ൬ݒܿܧ൰ଶ 
ܧଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൌ ݉ଶܿସ ׵ ܿݒ ൌ ൥ͳ െ ቆ݉ܿଶܧ ቇଶ൩ଵଶ 
(3.3) 
 
a) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ݉ܿଶ: 
 ݒ ൌ Ͳ 
(3.4) 
 
b) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ʹ݉ܿଶ: 
 ݒ ؆ Ͳǡͺ͹ܿ 
(3.5) 
 
c) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ͳͲ݉ܿଶ: 
 ݒ ؆ Ͳǡͻͻͷܿ 
(3.6) 
 
d) Utilizando (3.3), teremos, para ܧ ൌ ͳͲͲͲ݉ܿଶ: 
 ݒ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͻͻͷܿ 
(3.7) 
 
O gráfico solicitado se encontra na figura 3.1 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 Questão 4
 
A energia cinética de uma certa partícula pode 
ser escrita como ݌ܿ por um erro na energia total 
não maior que 1%. Qual é a sua velocidade 
mínima? Qual seria a energia cinética, em eV, de 
 
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4 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2
p/mc 
K/mc2 
um elétron e de um próton que se movessem com 
essa velocidade? 
Resolução: 
Sabemos que a energia total de uma partícula é 
igual a sua energia cinética mais a energia de 
repouso. Então: ܧ ൌ ܭ ൅݉ܿଶ 
(4.1) 
E, utilizando (3.2), podemos escrever: ܭ ൅݉ܿଶ ൌ ඥ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌ܿሻଶ 
(4.2) 
Então, se ܭ ൌ ݌ܿ, podemos desprezar a energia de 
repouso em (4.1) e escrever: ܧᇱ ؆ ܭ 
(4.3) 
Agora, comparando (4.3), com (4.1), teremos: ܧ െ ܧᇱ ൌ ͲǡͲͳܧ ܭ ൅ ݉ܿଶ െ ܭ ൌ ͲǡͲͳܧ ׵ ݉ܿଶ ൌ ͲǡͲͳܧ 
(4.4) 
O resultado de (4.4) mostra que a energia de 
repouso, para esse caso, representa só 1% da 
energia total. O restante da energia total é dado 
pela energia cinética. Se fóssemos representar o 
triângulo retângulo dessa relação, dado na 
questão 13 de Física 4-10, o cateto que representa 
a energia de repouso, seria muito pequeno em 
comparação com a hipotenusa (energia total) e o 
cateto do momento linear (݌ܿ). Agora, utilizando a 
relação (3.3) juntamente com o resultado de (4.4), 
teremos: ݒ ൌ ܿሾͳ െ ͲǡͲͳଶሿభమ ׵ ݒ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͷܿ 
(4.5) 
Lembrando que o momento é dado por: ݌ ൌ ݉ݒටͳ െ ݒଶܿଶ 
(4.6) 
Então, poderemos calcular a energia cinética, de 
acordo com o enunciado. 
Para o elétron: 
 ܭ௘ ൌ ݌௘ܿ ֜ ܭ௘ ൌ ݉௘ݒܿටͳ െ ݒଶܿଶ ܭ௘ ؆ ͳͲͲ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή Ͳǡͻͻͻͻͷ ή ͻ ή ͳͲଵ଺ ׵ ܭ௘ ؆ ͺǡʹ ή ͳͲିଵଶܬ ؆ ͷͳǡ͵ܯܸ݁ 
(4.7) 
 
Para o próton: 
 ܭ௣ ൌ ݌௣ܿ ֜ ܭ௣ ൌ ݉௣ݒܿටͳ െ ݒଶܿଶ ܭ௣ ؆ ͳͲͲ ή ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻ ή Ͳǡͻͻͻͻͷ ή ͻ ή ͳͲଵ଺ ׵ ܭ௣ ؆ ͳǡͷ ή ͳͲି଼ܬ ؆ ͻ͵ǡͺ�ܩܸ݁ 
(4.8) 
 
 Questão 5
 
Prove que a quantidade de movimento de uma 
partícula pode ser escrita como: 
 ݌ ൌ ൫௄మାଶ௄௠௖మ൯భమ௖ . 
 
Faça um gráfico de 
௣௠௖ como função de ௄௠௖మ. 
Resolução: 
Utilizando (4.2), teremos: 
 ሺܭ ൅݉ܿଶሻଶ ൌ ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌ܿሻଶ ݌ܿ ൌ ሺܭଶ ൅ ʹܭ݉ܿଶሻଵଶ ׵ ݌ ൌ ሺܭଶ ൅ ʹܭ݉ܿଶሻଵଶܿ 
(5.1) 
 
O gráfico está representado na figura 5.1 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
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5 
 Questão 6
Elétrons são acelerados até que tenham uma 
energia cinética de ͳͲଽ�ܸ݁. Calcule (a) a razão de 
suas massas para a massa de repouso, (b) a razão 
de suas velocidades para a velocidade da luz, (c) a 
razão de suas energias totais para a energia da 
massa de repouso. Repita o mesmo problema para 
prótons de mesma energia. 
Resolução: 
a) A relação entre a massa de repouso com a 
massa relativística é dada por: ݉݉଴ ൌ ߛ ൌ ͳටͳ െ ݒଶܿଶ 
(6.1) 
No entanto se faz necessário encontrar o fator de 
Lorentz. A energia cinética por sua vez é dada por: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉଴ܿଶ 
(6.2) 
A energia de repouso do elétron vale ݉଴ܿଶ ൌ ͷǡͳ ήͳͲହ�ܸ݁, assim, substituindo em (6.2),teremos: 
ߛ ൌ ͳͲଽ ൅ ͷǡͳ ή ͳͲହͷǡͳ ή ͳͲହ ؆ ͳǡͻ͸ ή ͳͲଷ 
(6.3) 
Agora, com o resultado fornecido por (6.3), 
poderemos substituir em (6.1), assim, teremos: ݉݉଴ ൌ ͳǡͻ͸ ή ͳͲଷ 
(6.4) 
b) A partir do resultado (6.3), poderemos 
determinar a razão solicitada que será dada por: ܿݒ ൌ ඨͳ െ ͳߛଶ ؆ Ͳǡͻͻͻͻͻͻͺ͹ 
(6.5) 
c) A partir do resultado (6.3), também poderemos 
determinar a razão entre as energias: 
ܧ݉଴ܿଶ ൌ ߛ ؆ ͳǡͻ͸ ή ͳͲଷ 
(6.6) 
 
Para o próton, a energia de repouso vale: 
 ݉଴ܿଶ ൌ ͻǡͶ ή ͳͲ଼�ܸ݁ 
(6.7) 
 
Logo, para o próton, com a energia cinética de ͳͲଽ�ܸ݁, teremos: 
 ߛ ൌ ݉݉଴ ؆ ʹ 
(6.8) 
 
Para a razão entre as velocidades: 
 ܿݒ ؆ Ͳǡͺ͹ 
(6.9) 
 
A razão entre as energias: 
 ܧ݉଴ܿଶ ؆ ʹ 
(6.10) 
 
 Questão 7
 
Como energia/velocidade têm a dimensão de 
quantidade de movimento, foi introduzida a 
unidade ܯܸ݁Ȁܿ como uma unidade conveniente 
para a quantidade de movimento de partículas 
elementares. Dê o valor dessa unidade em ݉ ή ݇݃ ή ݏିଵ. Calcule, em termos dessa unidade, a 
quantidade de movimento de um elétron com uma 
energia de ͷǡͲ�ܯܸ݁. Repita o cálculo para um 
próton com uma energia total de ʹ ή ͳͲଷ�ܯܸ݁. 
Resolução: 
Substituindo os valores teremos: 
 ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଷ ή ሺ͵ ή ͳͲ଼ሻିଵ ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ ൌ ͷǡ͵͵ ή ͳͲିଶଶ�݇݃ ή ݉ ή ݏିଵ 
(7.1) 
 
Para o elétron (a energia de repouso é dada na 
questão 6) o fator de Lorentz terá o seguinte 
valor: 
 
 
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6 
ܧ݉଴ܿଶ ൌ ߛ ൌ ͷ ή ͳͲ଺ͷǡͳ ή ͳͲହ ൌ ͻǡͺ 
(7.2) 
Para a sua energia cinética, teremos: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉଴ܿଶ ׵ ܭ ൌ ͶǡͶͻ ή ͳͲ଺�ܸ݁ 
(7.3) 
Agora, utilizando a relação (5.1), juntamente com 
o resultado de (7.3), teremos: 
݌ ൌ ሺܭଶ ൅ ʹ݉଴ܿଶܭሻభమܿ ؆ Ͷǡͻ͹�ܯܸ݁ ή ܿିଵ 
(7.4) 
Para o próton, utilizando a energia de repouso 
dada em (6.7), e utilizando o mesmo 
procedimento, teremos: ܧ݉଴ܿଶ ൌ ߛ ൌ ʹ ή ͳͲଽͻǡͶ ή ͳͲ଼ ؆ ʹǡͳ͵ 
(7.5) 
A energia cinética: ܭ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉଴ܿଶ ׵ ܭ ൌ ͳͲଽ�ܸ݁ 
(7.6) 
E para o momento linear relativístico: 
݌ ൌ ሺܭଶ ൅ ʹ݉଴ܿଶܭሻభమܿ ؆ ͳǡ͹ ή ͳͲଷ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ 
(7.7) 
 Questão 8
Determine a energia total e a velocidade de um 
elétron com uma quantidade de movimento de Ͳǡ͸Ͳ�ܯܸ݁ ή ܿିଵ. Repita para o próton. 
Resolução: 
A energia total pode ser encontrada utilizando 
(3.2). Assim, teremos: ܧ ൌ ඥ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌ܿሻଶ 
(8.1) 
Utilizando a energia de repouso do elétron e o 
valor do momento linear, teremos: 
 ܧ ൌ ඥሺͷǡͳ ή ͳͲହሻଶ ൅ ሺͲǡ͸ ή ͳͲ଺ሻଶ ׵ ܧ ؆ ͹ǡͻ ή ͳͲହ�ܸ݁ 
(8.2) 
 
A relação entre a energia total e a energia de 
respouso é exatamente o fator de Lorentz, como 
em (7.2). Assim, teremos: 
 ܧ݉଴ܿଶ ൌ ߛ ൌ ͹ǡͻ ή ͳͲହͷǡͳ ή ͳͲହ ؆ ͳǡͷͷ 
(8.3) 
 
Utilizando o fator de Lorentz, teremos: 
 ቆͳ െ ݒଶܿଶቇିభమ ൌ ͳǡͷͷ ׵ ܿݒ ؆ Ͳǡ͹͸ 
(8.4) 
 
E para o próton: 
 ܧ ൌ ඥሺͻǡͶ ή ͳͲ଼ሻଶ ൅ ሺͲǡ͸ ή ͳͲ଺ሻଶ ׵ ܧ ؆ ͻͶͲǤͲͲͲǤͳͻͳǡͷ�ܸ݁ 
(8.5) 
 
O fator de Lorentz será então: 
 ܧ݉଴ܿଶ ൌ ߛ ൌ ͻͶͲǤͲͲͲǤͳͻͳǡͷͻǡͶ ή ͳͲ଼ ؆ ͳǡͲͲͲͲͲͲʹͲͶ 
(8.6) 
 
Logo, a velocidade será: 
 ቆͳ െ ݒଶܿଶቇିభమ ൌ ͳǡͲͲͲͲͲͲʹͲͶ ׵ ܿݒ ؆ ͲǡͲͲͲ͸Ͷ 
(8.7) 
 
 Questão 9
 
Deduza a lei relativística, para a transformação 
da quantidade de movimento e da energia, 
escrevendo: 
 
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7 
݌ԢሬሬሬԦ ൌ ௠బ௏ᇱሬሬሬሬԦටଵିೇᇲమ೎మ e ܧᇱ ൌ ௠బ௖మටଵିೇᇲమ೎మ . 
 
E exprimindo ܸԢ em termos da velocidade ܸ 
medida por O e a velocidade relativa ݒ, usando 
para isso as equações dadas em (20.1), questão 20 
em Física 4-10. [Sugestão: utilize as relações dadas 
no enunciado da questão 20 em Física 4-10]. 
Resolução: 
Para o momento linear temos: ݌ԢሬሬሬԦ ൌ ݌Ԣ௫ᇱݔԢ෡ ൅ ݌Ԣ௬ᇱݕԢ෡ ൅ ݌Ԣ௭ᇱݖԢ෡ 
(9.1) 
Poderemos escrever, para o componente x’ do 
momento linear: ݌Ԣ௫ᇱ ൌ ݉଴ܸԢ௫ᇱටͳ െ ܸԢଶܿଶ 
(9.2) 
Utilizando as relações da transformação da 
velocidade e também a sugestão fornecida 
teremos: 
݌ᇱ௫ᇲ ൌ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ή ݉଴ ή ܸᇱ௫ᇲ ݌Ԣ௫ᇱ ൌ ሺ ௫ܸ െ ݒሻ݉଴ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ 
(9.3) 
Agora, lembrando que: ݌௫ ൌ ݉଴ ௫ܸටͳ െ ܸଶܿଶ ���݁���ܧ ൌ ݉଴ܿ
ଶටͳ െ ܸଶܿଶ 
(9.4) 
Podemos substituir (9.4) em (9.3). Logo: 
݌Ԣ௫ᇱ ൌ ݌௫ െ ݒܧܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ 
(9.5) 
Para o componente y, teremos: 
 ݌ᇱ௬ᇲ ൌ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ή ݉଴ ή ܸᇱ௬ᇲ ݌ᇱ௬ᇲ ൌ ݉଴ ή ௬ܸ ή ටͳ െ ݒଶܿଶට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ׵ ݌Ԣ௬ᇱ ൌ ݉଴ ௬ܸටͳ െ ܸଶܿଶ ൌ ݌௬ 
(9.6) 
 
O mesmo ocorre para o componente z. E para a 
energia, teremos: 
 ܧᇱ ൌ ݉଴ܿଶ ቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ׵ ܧᇱ ൌ ܧ െ ݌௫ݒටͳ െ ݒଶܿଶ 
(9.7) 
 
 Questão 10
 
Prove que a lei geral para a transformação de 
força quando a partícula não está em repouso em 
relação a O’ é: 
 ܨԢ௫ᇱ ൌ ܨ௫ െ ቆ ೡೇ೤೎మଵିೡೇೣ೎మ ቇܨ௬ െ ቆ ೡೇ೥೎మଵିೡೇೣ೎మ ቇܨ௭, ܨԢ௬ᇱ ൌ ටଵିೡమ೎మଵିೡೇೣ೎మ ܨ௬, ܨԢ௭ᇱ ൌ ටଵିೡమ೎మଵିೡೇೣ೎మ ܨ௭. 
 
Onde ܸ é a velocidade da partícula em relação a O. 
Resolução: 
Vamos determinar a componente da força no eixo 
x. O referencial O’ terá para o momento linear, a 
transformação dada em (9.5). E para o tempo, a 
transformação dada será: 
 
 
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8 
ݐᇱ ൌ ݐ െ ݒݔܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ 
(10.1) 
O que conduz a: 
݀ݐᇱ ൌ ۉۇͳ െ
ݒ ௫ܸܿଶටͳ െ ݒଶܿଶیۊ݀ݐ 
(10.2) 
Levando em consideração que a partícula não está 
em repouso em relação a O e nem em repouso em 
relação a O’. Tanto que ௫ܸ ൌ ௗ௫ௗ௧ é a velocidade da 
partícula com relação ao referencial O. A 
velocidade do referencial O’ com relação ao 
referencial O é ݒ. Agora, devemos procurar a taxa 
de variação instantânea do momento linear e para 
tanto, vamos procurar a derivada da expressão 
(9.5). Assim, teremos: ܨԢ௫ᇱ ൌ ݀݌Ԣ௫ᇱ݀ݐԢ ൌ ͳටͳ െ ݒଶܿଶ ή ݀݀ݐԢ ൬݌௫ െ ݒܧܿଶ ൰ 
(10.3) 
As grandezas ݌௫ e ܧ (o momento linear em ݔ e a 
energia total) são medidos no referencial O, logo, 
devemos derivar em ݐ e não em ݐǯ. Com o auxílio 
de (10.2), teremos: ܨԢ௫ᇱ ൌ ͳቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ൤݀݌௫݀ݐ െ ܿݒଶ ή ݀݀ܧݐ ൨ 
(10.4) 
A energia total da partícula com relação ao 
referencial O é dada por: ܧ ൌ ܭ ൅݉଴ܿଶ 
(10.5) 
Em que ܭ é a energia cinética e ݉଴ é a massa de 
repouso. Assim, temos: ݀݀ܧݐ ൌ ݀݀ܭݐ 
݀݀ܧݐ ൌ ݀݀ݐ ൫ܨԦ ή ݀ݎԦ൯ ൌ ܨ௫ ௫ܸ ൅ ܨ௬ ௬ܸ ൅ ܨ௭ ௭ܸ 
(10.6) 
 
Em (10.6), a variação da energia cinética resulta 
do trabalho realizado pela força aplicada na 
partícula medida no referencial O. Sendo essa 
força constante (em O). Substituindo o resultado 
(10.6) em (10.4) e lembrando que ܨ௫ ൌ ௗ௣ೣௗ௧ , 
teremos: 
 ܨᇱ௫ᇲ ൌ ͳቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ቂܨ௫ െ ܿݒଶ ൫ܨ௫ ௫ܸ ൅ ܨ௬ ௬ܸ ൅ ܨ௭ ௭ܸ൯ቃ ׵ ܨԢ௫ᇱ ൌ ܨ௫ െ ൦ ݒ ௬ܸܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ൪ ܨ௬ െ ቎
ݒ ௭ܸܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ቏ ܨ௭ 
(10.7) 
 
Para o componente ݕ, temos, de (9.6): 
 ܨᇱ௬ᇲ ൌ ݀݌ᇱ௬ᇲ݀ݐᇱ ൌ ݀݌௬݀ݐԢ ׵ ܨԢ௬ᇱ ൌ ටͳ െ ݒଶܿଶቀͳ െ ݒ ௫ܸܿଶ ቁ ή ܨ௬�Ǣ �ܨ௬ ൌ ݀݌௬݀ݐ 
(10.8) 
 
Idem para o componente ݖ. 
 
 Questão 11
 
Prove que a transformação para a quantidade 
de movimento e energia pode ser escrita na forma 
vetorial: 
 
 ݌ԢሬሬሬԦ ൌ ݌Ԧ െ ሺ௣Ԧή௩ሬԦሻ௩ሬԦ௩మ ൅ ߛ ቂሺ௣Ԧή௩ሬԦሻ௩ሬԦ௩మ െ ா௩ሬԦ௖మቃ, 
 ܧᇱ ൌ ߛሺܧ െ ݌Ԧ ή ݒԦሻ. 
 
 
Resolução: 
Previamente, vamos demonstrar a seguinte 
relação: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
9 
ඨͳ െ ܸԢଶܿଶ ൌ ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ 
(11.1) 
Seja a transformação de velocidade, na forma 
vetorial, dada na questão 22 de Física 4-10: 
ܸԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ 
(11.2) 
Tomando ܸԢሬሬሬԦ ή ܸԢሬሬሬԦ, teremos: 
ܸᇱሬሬሬሬԦ ή ܸᇱሬሬሬሬԦ ൌ ܸᇱଶ 
 ܸԢଶ ൌ ͳߛଶ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒԦݒଶ െ ߛݒԦ቉ή ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒԦݒଶ െ ߛݒԦ቉ 
 
 ܸԢଶ ൌ ͳߛଶ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈܸଶ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ൅ ߛଶ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ െ ʹߛଶ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ ൅ ߛଶݒଶ቉ 
 
 ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈ ܸଶߛଶܿଶ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ߛଶܿଶݒଶ ൅ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ െ ʹ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ൅ ݒଶܿଶ቉ 
 
 ͳ െ ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ଶ ቈ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ െ ܸଶܿଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶݒଶ൅ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൅ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿସ ቉ 
 
 ׵ ඨͳ െ ܸԢଶܿଶ ൌ ට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ 
(11.3) 
Na questão 20 de Física 4-10, demonstramos 
uma expressão parecida com (11.1). No entanto, a 
expressão demonstradanesta parte é mais geral, 
ou seja, a velocidade relativa (ݒ) entre os 
referenciais O e O’ não é paralela ao eixo ݔ (ݔǯ). 
Agora, vamos encontrar as transformações 
solicitadas na questão. Para o momento linear, 
temos: 
݌ԢሬሬሬԦ ൌ ݉଴ܸԢሬሬሬԦටͳ െ ܸԢଶܿଶ 
(11.4) 
 
Vamos substituir em (11.4), as expressões dadas 
em (11.1) e (11.2). Logo, teremos: 
 ݌ᇱሬሬሬԦ ൌ ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯݉଴ߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ή ͳට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ 
 
 ݌ᇱሬሬሬԦ ൌ ݉଴ ሬܸԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ ൅ ሺߛ െ ͳሻݒଶ ۉۇ ݉଴ ሬܸԦ ή ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰یۊݒԦ െ ߛ݉଴ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ ൰ 
 
 ׵ ݌ԢሬሬሬԦ ൌ ݌Ԧ െ ሺ݌Ԧ ή ݒԦሻݒԦݒଶ ൅ ߛ ቈሺ݌Ԧ ή ݒԦሻݒԦݒଶ െܧݒԦܿଶ ቉ 
(11.5) 
 
Em que ߛ ൌ ଵටଵିೡమ೎మ e ܧ ൌ ௠బ௖మටଵିೇమ೎మ . Agora, para a 
energia, temos: 
 ܧᇱ ൌ ݉଴ܿଶටͳ െ ܸԢଶܿଶ 
(11.6) 
 
Utilizando (11.1) em (11.6), teremos: 
 ܧᇱ ൌ ݉଴ܿଶට൬ͳ െ ݒଶܿଶ൰ ൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ 
 ܧᇱ ൌ ߛۉۇ ݉଴ܿଶට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰ െ ݉଴ ሬܸԦ ή ݒԦට൬ͳ െ ܸଶܿଶ൰یۊ 
 ׵ ܧᇱ ൌ ߛሺܧ െ ݌Ԧ ή ݒԦሻ 
(11.7)