Física 4 12 exercícios resolvidos

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 12 
 Questão 1
A constante solar fornece a intensidade média 
dos raios solares no topo da atmosfera terrestre. 
Calcule: (a) a potência total da radiação emitida 
pelo Sol, (b) a radiância total na superfície do Sol. 
Resolução: 
a) Seja a constante solar dada por: ܿ௦ ൌ ͳ͵ͶͲ�ܹ ή ݉ିଶ 
(1.1) 
Para a constante solar, veja, por exemplo, Halliday 
& Renick, Física 4, 4ª edição, editora LTC, Rio de 
Janeiro, 1978, com reimpressões de 1984 à 1990. ܫ ൌ ܲܣ ൌ ܲͶߨݎଶ 
(1.2) 
Em que ܫǡ ܲ�‡�ݎ são, respectivamente, a 
intensidade, a potência e a distância (levando em 
consideração que a energia emitida pelo Sol é 
transmitida em todas as direções, 
uniformemente). Assim, tomando a distância 
entre o Sol e a Terra e a intensidade dada por 
(1.2), teremos: ܲ ൌ ܫ ή Ͷߨݎଶ ؆ ͳ͵ͶͲ ή ͶߨሺͳͶͻǡ͸ ή ͳͲଽሻଶ ׵ ܲ ؆ ͵ǡ͹͹ ή ͳͲଶ଺�ܹ 
(1.3) 
b) Para a radiância total, teremos: ࣬ ൌ ܲܣ௦ 
(1.4) 
Em que ܣ௦ é a área da superfície do Sol. Logo: ࣬ ൌ ͵ǡ͹͹ ή ͳͲଶ଺Ͷߨሺ͸ǡͻ͸ ή ͳͲ଼ሻଶ ׵ ࣬ ؆ ͸ǡͳͺ ή ͳͲ଻�ܹ ή ݉ିଶ 
(1.5) 
 Questão 2
 
Suponha que o Sol seja um irradiador ideal. Use 
o resultado do item (b) da questão 1 para 
determinar a temperatura da superfície do Sol. 
Resolução: 
A radiância de um irradiador ideal (irradiador de 
cavidade ideal, ou corpo negro), é dada por: 
 ࣬ ൌ ߪܶସ 
(2.1) 
 
Em que ߪ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo 
valor é de ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼�ܹ ή ݉ିଶ ή ܭିସ. Utilizando o 
resultado (1.5), teremos: 
 ܶ ൌ ඨ ͸ǡͳͺ ή ͳͲ଻ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼૝ ׵ ܶ ؆ ͷ͹Ͷͷǡͺ�ܭ 
(2.2) 
 
 Questão 3
 
Suponha que a temperatura da Terra (nas 
vizinhanças da sua superfície) seja constante e 
igual a 300 K. Considerando uma emissividade da 
ordem de 0,25 encontre a radiância da Terra. 
Resolução: 
Para a radiância teremos: 
 ࣬ ൌ ݁ߪܶସ 
(3.1) 
 
Em que, ݁ é a emissividade. Assim, teremos: 
 ࣬ ൌ Ͳǡʹͷ ή ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼ ή ͵ͲͲ ׵ ࣬ ൌ ͳͳͶǡͺʹ�ܹ ή ݉ିଶ 
(3.2) 
 
 Questão 4
 
A potência total de uma lâmpada de 
incandescência é igual a ʹͲͲ�ܹ. A lâmpada possui 
um filamento de tungstênio de comprimento igual 
a ʹͲ�ܿ݉ e diâmetro igual a ͲǡͺͲ�݉݉. Considere a 
emissividade do tungstênio igual a 0,258. 
 
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Determine: (a) a radiância total do filamento, (b) a 
temperatura na superficie do filamento. 
Resolução: 
a) Para a determinação da radiância, vamos 
previamento determinar a área lateral do 
filamento, por onde ocorre a emissão. Assim: ܣ௟ ൌ ߨ݈݀ ܣ௟ ൌ ߨ ή ͲǡͺͲ ή ͳͲିଷ ή ʹͲ ή ͳͲିଶ ׵ ܣ௟ ؆ ͷǡͲ͵ ή ͳͲିସ�݉ଶ 
(4.1) 
Agora, o resultado de (4.1), teremos: ࣬ ൌ ܲܣ௟ ൌ ʹͲͲͷǡͲ͵ ή ͳͲିସ ׵ ࣬ ؆ ͵ǡͻͺ ή ͳͲହ�ܹ ή ݉ିଶ 
(4.2) 
b) Agora, utilizando a expressão (3.1), juntamente 
com o resultado de (4.2), teremos para a 
temperatura: 
ܶ ൌ ඨ ࣬݁ߪ૝ ൌ ඨ ͵ǡͻͺ ή ͳͲହͲǡʹͷͺ ή ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼૝ ׵ ܶ ؆ ʹʹͺ͵ǡͻ�ܭ 
(4.3) 
 Questão 5
Considere um fio de nicrômio com ͳǡͲ�݉ de 
comprimento e Ͳǡͳͷ�ܿ݉ de diâmetro. A 
temperatura na superfície é igual a ͳʹͲͲ�ܭ. 
Supondo que a emissividade deste material seja 
igual a 0,92, estime a potência total irradiada por 
este fio. 
Resolução: 
A potência total irradiada é dada por: 
்ܲ ൌ ݁ ή ߪ ή ܶସ ή ܣ 
 (5.1) 
Em que ݁ é a emissividade, e A é a área da 
superfície do fio. Assim, teremos: 
்ܲ ൌ Ͳǡͻʹ ή ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼ ή ͳʹͲͲସߨ ή ͳͲିସ ቆͳͷ ή ͳ ൅ Ͳǡͳͷଶʹ ቇ ׵ ்ܲ ؆ ͷͳͲǡͳͳ�ܹ 
(5.2) 
 Questão 6
 
Num aposento à temperatura ௔ܶ ൌ ʹ͹Ԩ 
encontra-se um forno, cuja temperatura interna é ܶ ൌ ʹʹ͹Ԩ, e que possui, num dos seus lados, uma 
pequena abertura de área igual a ͷ�ܿ݉ଶ. Qual é a 
potência líquida transferida do forno para o 
aposento? (Considerar o forno e o aposento como 
cavidades.) 
Resolução: 
A radiância do aposento é dada por: 
 ࣬௔ ൌ ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼ ή ͵ͲͲସ ൌ Ͷͷͻǡʹ͹�ܹ ή ݉ିଶ 
(6.1) 
 
Em que a temperatura do aposento vale ͵ͲͲ�ܭ. 
Considerando o aposento como um irradiador 
ideal, a potência irradiada por ele será: 
 ௔ܲ ൌ Ͷͷͻǡʹ͹ ή ͷ ή ͳͲିସ ൌ Ͳǡʹʹͻ͸�ܹ 
(6.2) 
 
A radiância do forno será: 
 ࣬ ൌ ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼ ή ͷͲͲସ ൌ ͵ͷͶ͵ǡ͹ͷ�ܹ ή ݉ିଶ 
(6.3) 
 
Considerando o forno como um irradiador ideal, 
sua potência será: 
 ܲ ൌ ͵ͷͶ͵ǡ͹ͷ ή ͷ ή ͳͲିସ ൌ ͳǡ͹͹ͳͻ�ܹ 
(6.4) 
 
Assim, a potência líquida será: 
 ௟ܲ ൌ ܲ െ ௔ܲ ൌ ͳǡͷͶʹ͵�ܹ 
(6.5) 
 
 Questão 7
 
O comprimento de onda ߣ௠ž௫ para o qual a 
radiância espectral atinge o seu valor máximo por 
unidade de comprimento, a uma dada 
temperatura ܶ, é dado pela Lei do Deslocamento 
de Wien, ߣ௠ž௫ ή ܶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁. Deduza esta 
relação a partir da Lei de Planck. 
Resolução: 
A Lei de Planck da radiância espectral estabelece a 
seguinte relação: 
 
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࣬ఒ ൌ ܥଵߣହ ή ͳ݁஼మఒ் െ ͳ 
 (7.1) 
Em que ܥଵ ൌ ʹߨܿଶ݄�‡�ܥଶ ൌ ௛௖௞ಳ. Aqui, ܿ é a 
velocidade da luz no vácuo, ݄ é a constante de 
Planck e ݇஻ é a constante de Boltzmann. Na 
determinação do ponto de máximo para a 
radiância espectral, vamos tomar a derivada da 
expressão (7.1). ݀࣬ఒ݀ߣ ൌ െͷܥଵߣ଺ ൬݁஼మఒ் െ ͳ൰ ൅ ܥଵܥଶ݁஼మఒ்ߣ଻ܶ ൬݁஼మఒ் െ ͳ൰ଶ 
(7.2) 
Agora, vamos encontrar os pontos de máximo, 
tornando nula a expressão em (7.2): ݀࣬ఒ݀ߣ ฬఒ೘žೣ ൌ Ͳ ͷܥଵߣ଺ ൬݁஼మఒ் െ ͳ൰ ൌ ܥଵܥଶ݁஼మఒ்ߣ଻ܶ ൬݁஼మఒ் െ ͳ൰ଶ ݁ି஼మఒ் ൌ ͷߣܶͷߣܶ െ ܥଶ ͷ݁ି஼మఒ் ൌ ͷ െ ܥଶߣܶ 
(7.3) 
Para resolver o resultado em (7.3), vamos utilizar 
o método gráfico. Construindo o gráfico das 
expressões dos dois lados da igualdade. 
Figura 7.1 - Gráfico das expressões em (7.3) 
A figura 7.1, representa o gráfico das duas 
expressões, dos dois lados da igualdade, do 
resultado (7.3). Sendo que, em azul, temos o 
gráfico de ͷ െ ஼మఒ் e em vermelho, o gráfico de ͷ݁಴మഊ೅. 
O valor mais próximo para o resultado de (7.3) se 
encontra entre 4,96 e 4,97. Podemos tomar o valor 
4,965 (melhorando a precisão do gráfico). Assim, 
teremos: 
 ܥଶߣ௠ž௫ܶ ൌ Ͷǡͻ͸ͷ ׵ ߣ௠ž௫ܶ ൌ ܥଶͶǡͻ͸ͷ 
(7.4) 
 
Utilizando a expressão de ܥଶ, em (7.4), com os 
respectivos valores, teremos: 
 ߣ௠ž௫ܶ ؆ ʹǡͻ ή ͳͲିଷ�݉ ή ܭ 
(7.5) 
 
Em (7.5), temos o valor aproximado da constante 
de Wien. 
 
 Questão 8
 
Considere um irradiador de cavidade ideal. 
Utilizando (7.5), determine o comprimento de 
onda para o qual a emissão assume seu valor 
máximo para as seguintes temperaturas: (a) ͸ͲͲͲ�ܭ, (b) ʹͲͲͲ�ܭ, (c) ͳͲͲͲ�ܭ e (d) ͵ʹͲ�ܭ. 
Resolução: 
a) Utilizando (7.5), teremos: 
 ߣ௠ž௫ ൌ ʹǡͻ ή ͳͲିଷ͸ͲͲͲ ؆ Ͷǡͺ͵ ή ͳͲି଻�݉ 
(8.1) 
 
Mesmo procedimento para os demais, teremos: �ߣ௠ž௫ ൌ ʹǡͻ ή ͳͲିଷʹͲͲͲ ؆ ͳǡͶͷ ή ͳͲି଺�݉ 
 (8.2) 
 ߣ௠ž௫ ൌ ʹǡͻ ή ͳͲିଷͳͲͲͲ ؆ ʹǡͻ ή ͳͲି଺�݉ 
(8.3) 
 ߣ௠ž௫ ൌ ʹǡͻ ή ͳͲିଷ͵ʹͲ ؆ ͻǡͳ ή ͳͲିଷ�݉ 
(8.4) 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
4,85 4,9 4,95 5 5,05
 
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 Questão 9
Verifique que a Fórmula de Wien é um caso 
particular da fórmula de Planck (7.1), quando a 
temperatura for suficientemente baixa e/ou 
quando o comprimento de onda for 
suficientemente pequeno. 
Resolução: 
Utilizando (7.1), teremos: ࣬ఒ ൌ ܥଵߣହ ή ͳ݁஼మఒ் ൬ͳ െ ݁ି஼మఒ் ൰ 
(9.1) 
Para ܶ�‡Ȁ‘—�ߣ pequenos, temos: ݁ି஼మఒ் ்ǡఒ՜଴ሱۛ ሮۛ Ͳ 
(9.2) 
Com o resultado (9.2), em (9.1), teremos: ࣬ఒ ؆ ܥଵߣହ ή ͳ݁஼మఒ் 
 (9.3) 
 Questão 10
Demonstrar a Lei de Stefan-Boltzmann 
mostrando diretamente da Fórmula de Planck 
que: න ࣬ఒ݀ߣஶ଴ ൌ ܣܶସ 
 
Utilize: 
න ݔଷ݁ఈ௫ െ ͳ݀ݔ ൌ ͳʹͶͲ ൬ʹߨߙ ൰ସஶ଴ 
Resolução: 
Utilizando (7.1), teremos: න ࣬ఒ݀ߣஶ଴ ൌ ܥଵන ݀ߣߣହ ቀ݁ି಴మഊ೅ െ ͳቁஶ଴ 
(10.1) 
Utilizando uma mudança de variável, teremos: 
 ܥଶߣܶ ൌ ݔ ֜ ݀ߣ ൌ െܥଶݔଶܶ ݀ݔ 
(10.2) 
 
Substituindo em (10.1), teremos: 
 න ࣬ఒ݀ߣஶ଴ ൌ ܥଵܶସܥଶସ න ݔଷ݁௫ െ ͳ݀ݔஶ଴ 
(10.3) 
 
Utilizando a integral definida do enunciado, 
teremos: 
 න ࣬ఒ݀ߣஶ଴ ൌ ܥଵܶସܥଶସ ή ͳ͸ߨସʹͶͲ 
(10.4) 
 
Com isso, sendo ܣ ൌ ஼భ஼మర ή ଵ଺గరଶସ଴ , demonstramos a Lei 
de Stefan-Boltzmann. Podemos observar que ܣ ൌ ߪ (constante de Stefan-Boltzmann). Basta 
substituir os valores de ܥଵ�‡�ܥଶ: 
 ܣ ൌ ʹߨହ݇஻ସͳͷ݄ଷܿଶ ؆ ͷǡ͸ͷ ή ͳͲି଼�ܹ ή ݉ିଶ ή ܭିସ 
(10.5) 
 
Assim, (10.4) se resume a expressão dada por 
(2.1). 
 
 Questão 11
 
Obtenhaa Fórmula de Rayleigh-Jeans a partir de 
(7.1). A Fórmula de Rayleigh-Jeans é a 
aproximação clássica da Lei de Planck; para 
deduzi-la basta fazer o limite ݄ߥ ا ݇஻ܶ. 
Resolução: 
Utilizando (7.1), com as respectivas expressões de ܥଵ�‡�ܥଶ, teremos: 
 ࣬ఒ ൌ ʹߨ݄ܿଶߣହ ή ͳ݁௛௖ ఒ௞ಳ்ൗ െ ͳ 
(11.1) 
 
Lembrando que ߣ ή ߥ ൌ ܿ, teremos para o termo da 
exponencial: 
 
 
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݁௛௖ ఒ௞ಳ்ൗ ൌ ݁௛ఔ ௞ಳ்ൗ 
(11.2) 
Agora, tomando ݄ߥ ا ݇஻ܶ, teremos: ݁௛ఔ ௞ಳ்ൗ ؆ ͳ ൅ ݄ߥ݇஻ܶ 
 (11.3) 
Utilizando o resultado (11.3) em (11.1), 
teremos: ࣬ఒ ؆ ʹߨܿ݇஻ܶߣସ 
(11.4) 
O resultado (11.4) é a Fórmula de Rayleigh-Jeans. 
 Questão 12
Suponha que ο࣬ ࣬Τ ൌ ͳͲି଼. Estime o valor de οߣ. Considere ܶ ൌ ͳͲଷ�ܭ. Admita que o 
comprimento de onda médio do intervalo 
considerado seja igual a ͷͷͲͲ�Հ. 
Resolução: 
A potência emitida por unidade de área numa 
faixa estreita de comprimento de onda é dada por: ݀࣬ ൌ ࣬ఒ݀ߣ 
(12.1) 
Em que ࣬ఒ é dado por (7.1). Agora, faremos a 
seguinte aproximação: ȟ࣬࣬ ؆ ݀࣬࣬ 
(12.2) 
Em que ࣬ é dado por (2.1). Assim, teremos: ȟ࣬࣬ ؆ ࣬ఒߪܶସ ή ȟߣ 
(12.3) 
Utilizaremos os seguintes valores em (7.1): ݄ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ�ܬ ή ݏǢ ܿ ؆ ͵ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ�‡ ݇஻ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲିଶଷ�ܬ ή ܭିଵ 
(12.4) 
Com isso, a radiância para o referido comprimento 
de onda será: 
 ࣬ఒ ൌ ͵ͳͺͶͷǡͺ�ܹ ή ݉ିଷ 
(12.5) 
 
Agora, utilizando ߪ ൌ ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଼�ܹ ή ݉ିଶ ή ܭିସ, 
em (12.3), juntamente com o resultado (12.5), 
teremos: 
 ͳͲି଼ ؆ ͵ͳͺͶͷǡͺͷǡ͸͹ ή ͳͲସ ή ȟߣ� ׵ οߣ ؆ ͳ͹ͺՀ 
(12.6) 
 
 Questão 13
 
Mostrar que a energia E de um fóton (em eV) está 
relacionada com o comprimento de onda ߣ�൫‡�Հ൯ 
por: 
 ܧ ൌ ଵǡଶସήଵ଴రఒ . 
 
Resolução: 
A energia do fóton é dada por: 
 ܧ ൌ ݄ߥ ൌ ݄ܿߣ 
(13.1) 
 
Em ambas as expressões, encontramos a 
constante de Planck, dada, por exemplo, em 
(12.4). Sabendo que ͳ�ܸ݁ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽ�ܬ, podemos 
escrever: 
 ݄ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽ �ܸ݁ ή ݏ ׵ ݄ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ�ܸ݁ ή ݏ 
(13.2) 
 
Agora, utilizando o valor de c dado também em 
(12.4), teremos: 
 ܧ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ ή ͵ ή ͳͲ଼ߣ ܧ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲି଺ሺܸ݁ ή ݉ሻߣ 
(13.3) 
 
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No entanto, ͳ�Հ ൌ ͳͲିଵ଴݉. Logo, teremos para 
(13.3): 
ܧ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲି଺൫ܸ݁ ή ͳͲଵ଴Հ൯ߣ � ׵ ܧ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସ൫ܸ݁ ή Հ൯ߣ 
(13.4) 
 Questão 14
Quais são (a) a frequência; (b) o comprimento 
de onda e (c) o momento de um fóton cuja energia 
é igual à energia de repouso do elétron? 
Resolução: 
Sendo a massa de respuso do elétron igual a ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ�݇݃, a energia de repouso será: ܧ଴ ൌ ݉଴ܿଶ ൌ ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ሺ͵ ή ͳͲ଼ሻଶ ׵ ܧ଴ ؆ ͺǡͳͻ ή ͳͲିଵସ�ܬ 
(14.1) 
a) A frequência será: ߥ ൌ ܧ଴݄ ൌ ͺǡͳͻ ή ͳͲିଵସ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ؆ ͳǡʹ͵͸ ή ͳͲଶ଴�ݏିଵ 
(14.2) 
b) O comprimento de onda: ߣ ൌ ܿߥ ൌ ͵ ή ͳͲ଼ͳǡʹ͵͸ ή ͳͲଶ଴ ؆ ʹǡͶʹͷ ή ͳͲିଵଶ�݉ 
(14.3) 
c) O momento linear: ݌ ൌ ܧ଴ܿ ൌ ͺǡͳͻ ή ͳͲିଵସ͵ ή ͳͲ଼ ؆ ʹǡ͹͵ʹ ή ͳͲିଵଶ�ܰ ή ݏ 
(14.4) 
 Questão 15
Deseja-se escolher uma substância para a 
construção de uma fotocélula operável com luz 
visível. Qual delas servirá? (Função trabalho entre 
parênteses): tântalo ሺͶǤʹ�ܸ݁ሻ; tungstênio ሺͶǡͷ�ܸ݁ሻ; 
alumínio ሺͶǡʹ�ܸ݁ሻ; bário ሺʹǡͷ�ܸ݁ሻ e/ou lítio ሺʹǡ͵�ܸ݁ሻ? 
Resolução: 
A menor energia possível para o fóton deve ser 
igual à função trabalho ሺܹሻ. Desta forma temos, 
utilizando (13.4): 
 ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସܹ 
(15.1) 
 
Assim, utilizando (15.1), teremos: 
 ߣ்௔ ൌ ߣ஺௟ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͶǡʹ ൌ ʹͻͷʹǡͶ�Հ 
(15.2) 
 ߣௐ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͶǡͷ ൌ ʹ͹ͷͷǡ͸�Հ 
(15.3) 
 ߣ஻௔ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସʹǡͷ ൌ Ͷͻ͸Ͳ�Հ 
(15.4) 
 
Levando em consideração que o espectro da luz 
visível se encontra, aproximadamente entre os 
comprimentos de onda de ͶͲͲͲ�Հ a ͹ͲͲͲ�Հ, 
somente o bário, resultado (15.4), serve para a 
construção da fotocélula. 
 
 Questão 16
 
Um fóton de ʹ�Հ; incidente sobre um bloco de 
carbono, é espalhado por uma colisão Compton, 
sendo sua frequência alterada de 0,010%. (a) De 
que ângulo é o fóton espalhado? (b) Quanta 
energia adquire o elétron que espalhou o fóton? 
[Observar que em qualquer tipo de movimento 
ondulatório, ȟߥ ൌ െቀ ௖ఒమቁȟߣ.] 
Resolução: 
a) Para a determinação do ângulo de 
espalhamento, utilizaremos a expressão de 
Compton, dada por: 
 οߣ ൌ ݄݉଴ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏ߮ሻ 
(16.1) 
 
Em que ݉଴ é a massa de repouso do elétron. 
Porém, devemo encontra, previamente, o valor da 
 
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variação do comprimento de onda. Utilizando a 
expressão dada no enunciado, teremos: ȟߥ ൌ െቀܿߣଶቁȟߣ� ȟߥߥ ൌ ቆെܿ ߣଶൗܿ ߣൗ ቇȟߣ ׵ ȟߥߥ ൌ െοߣߣ 
(16.2) 
De acordo com o enunciado, temos: ȟߥߥ ൌ െͲǡͲͳͲΨ ׵ οߣߣ ൌ ͲǡͲͳͲΨ 
(16.3) 
De acordo com (16.3), temos: οߣ ൌ ʹ ή ͳͲିସ�Հ. 
Agora, retornamos à expressão (16.1), logo: ʹ ή ͳͲିସ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͵ ή ͳͲ଼ ሺͳ െ ܿ݋ݏ߮ሻ�� ׵ ܿ݋ݏ߮ ൌ Ͳǡͻͻͳ͹��‘—��߮ ؆ ͹ǡ͵ͻι 
(16.4) 
b) A perda de energia do fóton, utilizando (13.4) é 
dada por: οܧ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସ ൬ ͳʹ ൅ ʹ ή ͳͲିସ െ ͳʹ൰ ׵ οܧ ൌ െͲǡ͸�ܸ݁ 
(16.5) 
Logo, a energia adquirida pelo elétron, vale Ͳǡ͸�ܸ݁. 
 Questão 17
Um fóton atinge um elétron frontalmente e 
recua diretamente para trás, ao longo da linha de 
incidência. Se o elétron se afasta com velocidade ߚܿ, com ߚ ا ͳሺൌ ͳͲିଷǡ ’‘”�‡š‡’Ž‘ሻ, mostrar que 
a relação entre a energia cinética final do elétron e 
a energia inicial do fóton é igual a ߚ. (Sugestão: 
Resolva o problema como uma “colisão” não 
relativística de Compton.) 
Resolução: 
Levando em consideração que se trata de uma 
“colisão” Compton, vamos adotar que o elétron se 
encontra em respouso, com relação ao 
laboratório. Assim, temos, pela conservação da 
energia: 
 ܧ଴ ൌ ܧ ൅݉ሺߚܿሻଶʹ 
(17.1) 
 
Em que ܧ଴ é a energia inicial do fóton, ܧ é a 
energia do fóton após a colisão, ݉�‡�ݒ ൌ ߚܿ são, 
respectivamente, a massa e a velocidade do 
elétron. Pela conservação do momento linear, 
teremos: 
 ݌௜ ൌ െ݌௙ ൅݉ߚܿ 
(17.2) 
 
Em que ݌௜�݁�݌௙ são respectivamente, os momentos 
do fóton antes e após a colisão. Com ݌ ൌ ா௖. De 
(17.2), teremos: 
 ܧ଴ ൌ െܧ ൅݉ߚܿଶ 
(17.3) 
 
Agora, somando (17.1) com (17.3), teremos: 
 ʹܧ଴ ൌ ݉ሺߚܿሻଶʹ ൬ͳ ൅ ʹߚ൰ Ǣ ��ܭ ൌ ݉ሺߚܿሻଶʹ �ܭܧ଴ ൌ ʹߚߚ ൅ ʹ 
(17.4) 
 
Em que ܭ é a energia cinética do elétron. Como ߚ ا ͳ, o resultado (17.4) se resume a: 
 ܭܧ଴ ൌ ʹߚߚ ൅ ʹ ؆ ʹʹߚ ׵ ܭܧ଴ ؆ ߚ 
(17.5) 
 
 Questão 18
 
Usando o modelo de Bohr para o átomo de 
hidrogênio, escreva expressões apropriadas para 
a determinação das seguintes grandezas: (a) o 
raio da órbita, (b) a velocidade do elétron em cada 
órbita, (c) o momento angular do elétron em cada 
órbita, (d) a energia cinética do elétron, (e) a 
 
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8 
ݒԦ 
ݒԦ ܨ௘ሬሬሬԦ 
ܨ௘ሬሬሬԦ ݎ 
energia potencial do elétron, (f) a energia total do 
elétron. 
Resolução: 
Boa parte das expressões solicitadas pode ser 
encontrada em vários livros, por exemplo, 
Halliday & Renick, Física 4, 4ª edição, editora LTC, 
Rio de Janeiro, 1978, com reimpressões de 1984 à 
1990. 
a) O raio é dado por: ݎ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶ߳଴ߨ݉݁ଶ 
(18.1) 
b) A velocidade é dada por: 
ݒ௡ ൌ ቈ ݁ଶͶߨ߳଴݉ ή ͳݎ௡቉ଵଶ 
(18.2) 
Utilizando (18.1) em (18.2), teremos: ݒ௡ ൌ ݁ଶʹ߳଴݄݊ 
(18.3) 
c) Para o momento angular: ܮ௡ ൌ ݉ݒ௡ݎ௡ 
(18.4) 
Utilizando (18.1) e (18.3), teremos: ܮ௡ ൌ ݊ ή ݄ʹߨ 
(18.5) 
d) Para a energia cinética: ܭ௡ ൌ ݉ݒ௡ଶʹ 
(18.6) 
Utilizando (18.3), teremos: ܭ௡ ൌ ݉݁ସͺ߳଴ଶ݊ଶ݄ଶ 
(18.7) 
e) Para a energia potencial: 
 ௡ܷ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶݎ௡ 
(18.8) 
 
Utilizando (18.1), teremos: 
 ௡ܷ ൌ െ ݉݁ସͶ߳଴ଶ݊ଶ݄ଶ 
(18.9) 
 
f) Para a energia total: 
 ܧ௡ ൌ ௡ܷ ൅ ܭ௡ ׵ ܧ௡ ൌ െ ݉݁ସͺ߳଴ଶ݊ଶ݄ଶ 
(18.10) 
 
 Questão 19
 
Positrônio. Aplicar a teoria de Bohr ao átomo de 
positrônio. Esse átomo consiste de dois elétrons, 
um positivo e outro negativo, girando em torno do 
centro de massa do conjunto, que, fica exatamente 
equidistante de ambos. (a) Que relação existe 
entre esse espectro e o do hidrogênio? (b) Qual é o 
valor do raio da órbita correspondente ao estado 
fundamental? (Sugestão: É necessário analisar 
este problema a partir dos primeirosprincípios, 
pois se trata de um “átomo” sem núcleo; as duas 
partículas giram em torno de um ponto situado a 
meia distância de ambas.) 
Resolução: 
De forma semelhante ao que ocorre com o átomo 
de hidrogênio, a força elétrica atrativa é a força 
resultante centrípeta. Assim, poderemos escrever: 
 ܨ௘ ൌ ܨ௖௣ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶͶݎଶ ൌ ݉ݒଶݎ 
(19.1) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19.1 
 
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9 
Com o auxílio da relação (19.1), teremos para a 
velocidade do elétron, ou do pósitron: 
ݒ ൌ ቆ ͳͳ͸ߨ߳଴݉ ή ݁ଶݎ ቇଵଶ 
(19.2) 
Em que ݉ é a massa do elétron, ou do pósitron. 
Consequentemente, poderemos escrever para o 
momento angular do sistema, a seguinte 
expressão: 
ܮ ൌ ʹ݉ݒݎ ൌ ቆ݉݁ଶݎͶߨ߳଴ቇଵଶ 
(19.3) 
Utilizando a quantização de Bohr, para o momento 
angular, dada por (18.5), teremos: 
݊ ή ݄ʹߨ ൌ ቆ݉݁ଶݎͶߨ߳଴ቇଵଶ ׵ ݎ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶ߳଴ߨ݉݁ଶ 
(19.4) 
Em que ሺ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ ሻ. Observa-se que: ݎଵ ൌ ݎ஻ ൌ Ͳǡͷ͵�Հ 
(19.5) 
Agora, para a energia total teremos, com o auxílio 
do resultado (19.4): ܧ௡ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶʹݎ௡ ൅݉ݒ௡ଶ ׵ ܧ௡ ൌ െ ͳʹ ή ݉݁ସͺ߳଴ଶ݄ଶ݊ଶ ൌ െ ͳʹ ή ܧଵ݊ଶ 
(19.6) 
Em que ܧଵ ൌ ௠௘ర଼ఢబమ௛మ representa a energia do estado 
fundamental do átomo de hidrogênio. Do 
resultado (19.6), podemos concluir, que o 
espectro para esse átomo é o dobro do espectro 
para o átomo de hidrogênio, em termos do 
comprimento de onda. 
 Questão 20
 
Átomos mesônicos. Aplicar a Teoria de Bohr a 
um átomo mesônico, consistindo de um núcleo de 
carga ܼ݁ em torno do qual gira um méson ߤ 
negativo (partícula elementar de carga Ȃ ݁ e de 
massa ݉ que é 207 vezes superior à do elétron). 
Calcular (a) o raio da primeira órbita de Bohr, (b) 
a energia de ionização e (c) o comprimento de 
onda do fóton mais energético que pode ser 
emitido pelo átomo. Supor que o méson ߤ gire em 
torno de um núcleo de hidrogênio ሺܼ ൌ ͳሻ. 
Resolução: 
Como o méson é mais pesado do que o elétron, 
vamos previamente determinar a massa reduzida 
do sistema. 
 ݉௥ ൌ ݉௣݉ఓ݉௣ ൅݉ఓ 
(20.1) 
 
Com ܼ ൌ ͳ, o núcleo se reduz a um próton, cuja 
massa vale 1840 vezes a massa do elétron. Logo, 
para a massa reduzida teremos: 
 ݉௥ ൌ ͳͺͶͲ ή ʹͲ͹݉௘ሺͳͺͶͲ ൅ ʹͲ͹ሻ݉௘ ؆ ͳͺ͸ǡͳ݉௘ 
(20.2) 
 
Poderemos utilizar os resultados da questão 18 
substituindo a massa do elétron pelo valor da 
massa reduzida encontrado em (20.2). 
a) Para o raio: 
 ݎ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶ߳଴ͳͺ͸ǡͳߨ݉݁ଶ 
(20.3) 
 
Para o raio da primeira órbita, teremos: 
 ݎଵ ൌ ݎ஻ͳͺ͸ǡͳ ؆ ͲǡͲͲʹͺͶͺ�Հ 
(20.4) 
 
b) Para a energia: 
 ܧ௡ ൌ െͳͺ͸ǡͳ݉݁ସͺ߳଴ଶ݊ଶ݄ଶ 
(20.5) 
 
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10 
݀ʹ
 
݀ʹ
 
݉ 
݉ 
Eixo 
߱ 
Assim, para a energia de ionização, teremos: ܧ ൌ ͳͺ͸ǡͳ ή ͳ͵ǡ͸ ൌ ʹͷ͵Ͳǡͻ͸�ܸ݁ 
(20.6) 
c) A ocorrência de um fóton emitido com a maior 
energia acontece justamente, quando o méson 
livre é capturado pelo próton e atinge o estado 
fundamental. Para o comprimento de onda mais 
energético temos, com auxílio de (13.4): ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସʹͷ͵Ͳǡͻ͸ ؆ ͶǡͻͲ�Հ 
(20.7) 
 Questão 21
Uma molécula de gás consiste de dois átomos 
de massa m, separados por uma distância fixa d, e 
girando em torno de um eixo, como está indicado 
na figura 21.1. Supondo que o seu momento 
angular seja quantizado como no átomo de Bohr, 
determinar (a) as velocidades angulares possíveis 
e (b) as energias rotacionais quantizadas 
possíveis. 
Figura 21.1 
Resolução: 
a) O momento angular para esse sistema será 
dada por: ܮ ൌ ݉߱݀ଶʹ 
(21.1) 
Utilizando (18.5), teremos: ݉߱݀ଶʹ ൌ ݊ ή ݄ʹߨ� 
׵ ߱௡ ൌ ݄݊ߨ݀ଶ݉ 
(21.2) 
 
b) Para a energia cinética rotacional temos: 
 ܭ ൌ ܫ߱௡ଶʹ 
(21.3) 
 
Em que ܫ é o momento de inércia, dado por: ܫ ൌ ݉ݎଶ. Logo, com auxílio de (21.2), teremos 
para (21.3): 
 ܭ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͶߨଶ݀ଶ݉ 
(21.4) 
 
 Questão 22
 
Talvez se pudesse formar um átomo com um 
elétron e um neutron ligados por meio de forças 
gravitacionais. Calcular o raio do estado 
fundamental de um elétron num átomo como esse, 
usando um modelo do tipo do de Bohr, no qual a 
força elétrica Coulombiana atrativa é substituída 
pela força gravitacional atrativa. 
Resolução: 
Sendo a força gravitacional a força resultante 
centrípeta, teremos: 
 ܨ௚ ൌ ܨ௖௣ ܩ݉௡݉௘ݎଶ ൌ ݉௘ݒଶݎ ׵ ݒ ൌ ൬ܩ݉௡ݎ ൰ଵଶ 
(22.1) 
 
O momento angular é dado por: 
 ܮ ൌ ݉௘ݒݎ 
(22.2) 
 
Novamente, fazendo uso de (18.5) e com o auxílio 
de (22.1), teremos: 
 ݉௘ݎ ൬ܩ݉௡ݎ ൰ଵଶ ൌ ݊ ή ݄ʹߨ 
 
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11 
׵ ݎ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͶߨଶ݉௘ଶܩ݉௡ 
(22.3) 
 Questão 23
Sensibilidade de uma película fotográfica. O 
composto mais sensível usado em películas 
fotográficas é o brometo de prata, AgBr. Um filme 
é “sensibilizado” quando a energia luminosa é 
usada para dissociar a molécula em seus átomos. 
(O processo real é um pouco mais complexo, 
porém o resultado quantitativo difere muito 
pouco.) A energia de dissociação do AgBr é igual a ͳǡͲͲ ή ͳͲହ�ܬ ή ݉݋݈ିଵ. Para um fóton que é apenas 
capaz de dissociar o brometo de prata, calcule (a) 
a energia do fóton em elétron-volts, (b) o 
comprimento de onda do fóton e (c) a frequência 
do fóton. (d) Qual é a energia em elétron-volts de 
um fóton que possui uma frequência igual a ͳͲͲ�ܯܪݖ? (e) A luz de um vaga-lume pode 
sensibilizar um filme, porém a radiação 
proveniente de uma estação de rádio FM de ͳͲͲ�ܯܪݖ e potência ͷͲͲͲͲ�ܹ não é capaz de 
sensibilizá-lo. Explique a razão desse 
comportamento. 
Resolução: 
a) Para uma molécula, a energia de dissociação 
será: 
 ܧ ൌ ͳͲହ͸ǡͲʹ ή ͳͲଶଷ ൌ ͳǡ͸͸ ή ͳͲିଵଽ�ܬ ׵ ܧ ؆ ͳǡͲͶ�ܸ݁ 
(23.1) 
b) Para o comprimento de onda, com o auxílio de 
(13.4), teremos: ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͳǡͲͶ ؆ ͳǡʹͶ ή ͳͲସ�Հ 
(23.2) 
c) Para a frequência: ߥ ൌ ܿߣ ൌ ͵ ή ͳͲ଼ͳǡʹͶ ή ͳͲି଺ ൌ ʹǡͶʹ ή ͳͲଵସ�ܪݖ 
(23.3) 
d) A energia de ͳͲͲ�ܯܪݖ é dada por: 
ܧ ൌ ݄ߥ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ή ͳͲ଼ ׵ ܧ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଶ଺�ܬ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲି଻�ܸ݁ 
(23.4) 
 
e) Conclui-se de (23.1) e (23.4), que fótons de ͳͲͲ�ܯܪݖ não possuem energia suficiente para 
dissociar o brometo de prata. A energia do fóton 
independe da potência da fonte. A potência da 
fonte está relacionada à quantidade de fótons 
emitidos. 
 
 Questão 24
 
Um átomo de massa ݉ emite um fóton de 
comprimento de onda ߣ. (a) Qual é a velocidade de 
recuo do átomo? (b) Qual é a energia cinética ܭ do 
átomo que recua? (c) Calcule a razão�ܭȀܧ, onde ܧ 
é a energia do fóton emitido. Quando essa razão é 
muito menor do que um, o recuo do átomo pode 
ser desprezado no processo de emissão. O recuo 
do átomo é mais importante para pequenas ou 
para grandes massas atômicas? Para 
comprimentos de onda longos ou curtos? (d) 
Calcule ܭ (em elétron-volts) e ܭȀܧ para o átomo 
de hidrogênio (massa ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃) que emite 
um fóton ultravioleta com energia de ͳͲǡʹ�ܸ݁. O 
recuo é um fator importante nessa emissão? 
Resolução: 
a) Utilizando a conservação do momento linear, 
teremos: 
 ݌௥௘ ൌ ݌௙ 
(24.1) 
 
Em que ݌௥௘�‡�݌௙ são respectivamente os 
momentos de recuo do átomo e do fóton emitido. 
Assim, teremos: 
 ݉ݒ௥௘ ൌ ݄ߣ ׵ ݒ௥௘ ൌ ݄݉ߣ 
(24.2) 
 
De (24.2) podemos observar que para átomos 
pesados a velocidade de recuo é irrelevante, bem 
como para fótons com comprimento de onda 
elevado (baixa energia). 
 
 
 
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12 
b) Para a energia cinética, teremos: ܭ ൌ ݉ݒ௥௘ଶʹ ׵ ܭ ൌ ݄ଶʹ݉ߣଶ 
(24.3) 
c) A relação entre as energias: 
ܭܧ ൌ ݄ଶʹ݉ߣଶ݄ܿߣ ׵ ܭܧ ൌ ݄ʹ݉ܿߣ 
(24.4) 
d) Fótons ultravioleta, com ͳͲǡʹ�ܸ݁, possuem um 
comprimento de onda dado por: ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͳͲǡʹ ؆ ͳʹͳͷǡ͹�Հ 
(24.5) 
Utilizando o resultado (24.3), juntamente com 
(24.5), teremos: ܭ ൌ ሺ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସሻଶʹ ή ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻ሺͳʹͳͷǡ͹ ή ͳͲିଵ଴ሻଶ ׵ ܭ ൌ ͺǡͺͻ ή ͳͲିଶ଻�ܬ ൌ ͷǡͷ͸ ή ͳͲି଼�ܸ݁ 
(24.6) 
Assim, teremos para relação entre as energias: ܭܧ ൌ ͷǡͷ͸ ή ͳͲି଼ͳͲǡʹ ؆ ͷǡͶͷ ή ͳͲିଽ ا ͳ 
(24.7) 
Para esse caso, o recuo não é um fator importante. 
 Questão 25
Sabendo que a frequência média emitida por 
uma lâmpada incandescente de ʹͲͲ�ܹ é igual a ͷǡͲͲ ή ͳͲଵସ�ܪݖ e que10,0% da potência fornecida 
para a lâmpada é convertida para a luz emitida, 
quantos fótons por segundo da luz visível são 
emitidos aproximadamente? A que distância da 
lâmpada isso corresponde a ͳǡͲͲ ή ͳͲଵଵ fótons da 
luz visível por centímetro quadrado por segundo 
se a luz fosse emitida igualmente em todas as 
direções? 
Resolução: 
Seja a potência dada por: 
 ௟ܲ ൌ ݄݊ߥȟݐ 
(25.1) 
 
Em que ௟ܲ �‡�݊ são, respectivamente, a potência 
líquida da lâmpada e o número de fótons. Assim, 
teremos: 
 ȟ݊ݐ ൌ ௟݄ܲߥ ൌ ʹͲ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ή ͷ ή ͳͲଵସ ׵ ο݊ݐ ൌ ͸ǡͲͶ ή ͳͲଵଽ�ˆ×–‘• ή ݏିଵ 
(25.2) 
 
A intensidade luminosa é dada por: 
 ܫ ൌ ௟ܲͶߨݎଶ 
(25.3) 
 
Por outro lado, a intensidade também pode ser 
dada por: 
 ܫ ൌ ݊Ԣ݄ߥܣԢȟݐ 
(25.4) 
 
Agora, comparando as duas expressões, teremos: 
 ௟ܲͶߨݎଶ ൌ ݊ᇱ݄ߥܣᇱȟݐ ׵ ݎ ൌ ቈ ௟ܲͶߨ݄ߥ ή ܣԢοݐ݊Ԣ ቉ଵଶ 
(25.5) 
 
Sabendo que 
௡ᇱ஺ᇱο௧ ൌ ͳͲଵଵ�ˆ×–‘• ή ݏିଵ ή ܿ݉ିଶ, e 
utilizando os demais valores em (25.5), teremos: 
 ݎ ൌ ቈ ʹͲ ή ͳͲିଵଵͶߨ ή ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ή ͷ ή ͳͲଵସ቉ଵଶ ׵ ݎ ؆ ͸ǡͻ ή ͳͲଷ�ܿ݉ ൌ ͸ͻ�݉ 
(25.6) 
 
 
 
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13 
 Questão 26
Considere um átomo semelhante ao átomo de 
hidrogênio com uma carga nuclear igual a ܼ݁. (a) 
Para qual valor de ܼ (arredondado até o valor 
inteiro mais próximo) a velocidade de Bohr do 
elétron no nível fundamental é igual a 10,0% da 
velocidade da luz? (b) Para qual valor de ܼ 
(arredondado até o valor inteiro mais próximo) a 
energia de ionização do nível fundamental é igual 
a 1,0% da energia de repouso do elétron? 
Resolução: 
De forma similar ao que já foi feito para o 
hidrogênio, podemos escrever para a velocidade 
do elétron, a expressão dada por: 
ݒ ൌ ቈ ͳͶߨ߳଴ ή ܼ݁ଶ݉ݎ ቉ଵଶ 
(26.1) 
E para o momento angular: 
ܮ ൌ ቈܼ݁ଶ݉ݎͶߨ߳଴ ቉ଵଶ 
(26.2) 
Agora, utilizando a quantização de Bohr, (18.5), 
para o momento angular, teremos: 
ቈܼ݁ଶ݉ݎͶߨ߳଴ ቉ଵଶ ൌ ݊ ή ݄ʹߨ ׵ ݎ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶ߳଴ܼ݁ଶߨ݉ 
(26.3) 
Logo, com auxílio de (26.3) e (26.1), teremos para 
a velocidade: ݒ௡ ൌ ܼ݁ଶʹ݄݊߳଴ 
(26.4) 
a) Para ݊ ൌ ͳ e ݒ ൌ ͵ ή ͳͲ଻݉ ή ݏିଵ, teremos, com a 
utilização de (26.4): ͵ ή ͳͲ଻ ൌ ܼሺͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶʹ ή ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ή ͺǡͺͷͶ ή ͳͲିଵଶ 
׵ ܼ ؆ ͸ǡͺͺ 
(26.5) 
 
Ou seja, ܼ ൌ ͹. E para a energia, teremos: 
 ܧ ൌ െ ܼଶ݁ସ݉ͺ݊ଶ݄ଶ߳଴ଶ 
(26.6) 
 
b) E como ܧ ൌ ͳΨ݉ܿଶ, teremos, utilizando (26.6), 
com ݊ ൌ ͳ: 
 ͳͲିଶܿଶ ൌ ܼଶ݁ସͺ݄ଶ߳଴ଶ ׵ ܼ ൌ ͳͻǡͶͶ 
(26.7) 
 
Ou seja, ܼ ൌ ͳͻ. 
 
 Questão 27
 
O comprimento de onda da luz que incide sobre 
uma superfície metálica se reduz de ߣଵ para ߣଶ (ߣଵ 
e ߣଶ são menores do que o comprimento de onda 
de corte para a superfície). Quando o 
comprimento de onda é reduzido desse modo, 
qual é a variação do potencial de corte para os 
fotoelétrons emitidos por essa superfície? Calcule 
a variação do potencial de corte para ߣଵ ൌ ʹͻͷ�݊݉ 
e ߣଶ ൌ ʹ͸ͷ�݊݉. 
Resolução: 
O fóton incidente cede energia para o elétron 
que consegue vencer a função trabalho do metal e 
ainda pode conseguir obter energia cinética. Isso 
se a energia do fóton for suficiente. Assim, 
podemos escrever: 
 ܧ௙ ൌ ܹ ൅ܭ௠ž௫ 
(27.1) 
 
Em que ܧ௙ é a energia do fóton, ܹ é a função 
trabalho do metal e ܭ௠ž௫ é a energia cinética do 
elétron mais rápido. Para frear o elétron mais 
rápido, utilizamos o potencial de corte. Logo: 
 ܭ௠ž௫ ൌ ݁ ଴ܸ 
(27.2) 
 
 
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14 
Substituindo a expressão (27.2) em (27.1), 
teremos: ݁ ଴ܸ ൌ ܧ௙ െܹ 
(27.3) 
Sendo a energia do fóton dada em termos do 
comprimento de onda, teremos para (27.3): 
଴ܸ ൌ ݄ܿ݁ߣ െ ܹ݁ 
(27.4) 
Calculando a variação do potencial de corte, 
teremos: ȟ ଴ܸ ൌ ଴ܸଶ െ ଴ܸଵ 
(27.5) 
Em que 
଴ܸଵ ൌ ݄ܿ݁ߣଵ െ ܹ݁ 
(27.6) 
 
E 
଴ܸଶ ൌ ݄ܿ݁ߣଶ െ ܹ݁ 
(27.7) 
Utilizando (27.5), (27.6) e (27.7), teremos: ȟ ଴ܸ ൌ ݄ܿ݁ ൬ߣଶ െ ߣଵߣଵߣଶ ൰ 
(27.8) 
Utilizando os dados numéricos em (27.8), 
teremos: ȟ ଴ܸ ൌ ͳǡʹͶʹ ή ͳͲି଺ ൬ ͵Ͳʹ͸ͷ ή ʹͻͷ ή ͳͲିଽ൰ ׵ ȟ ଴ܸ ൌ ͲǡͶ͹͹�ܸ 
(27.9) 
 Questão 28
Uma partícula não-relativística de massa ݉ é 
mantida em uma órbita circular em torno da 
origem sob a ação de uma força atrativa ܨ ൌ െܦݎ, 
onde ܦ é uma constante positiva. Use o método de 
Bohr, segundo o qual somente certos valores do 
momento angular são permitidos para responder 
às seguintes perguntas. (a) Quais são os valores 
dos raios orbitais permitidos? (b) Quais são os 
valores das energias permitidas? (Considere a 
energia potencial igual a zero quando ݎ ൌ Ͳ.) (c) 
Se a partícula estiver excitada, ela poderá decair 
para o nível fundamental emitindo um ou mais 
fótons. Quais são os valores possíveis das energias 
dos fótons? (d) Descreva uma situação física 
correspondente para a situação descrita neste 
problema. 
Resolução: 
Adotando o método de Bohr, teremos, para a 
velocidade: 
 ܨ ൌ ܨ௖௣ ܦݎ ൌ ݉ݒଶݎ ׵ ݒ ൌ ቈܦݎଶ݉ ቉ଵଶ 
(28.1) 
 
Utilizando a quantização do momento angular: 
 ݉ݒݎ ൌ ݊ ݄ʹߨ ׵ ݎ௡ ൌ ට݊ ݄ ʹߨൗξܦ ή ݉ర 
(28.2) 
 
Esses são os valores dos raios orbitais permitidos. 
Agora, utilizando o resultado (28.2), no resultado 
(28.1), teremos: 
 ݒ௡ ൌ ඨ ݉ܦଷ૝ ή ඨ݄݊ʹߨ 
(28.3) 
 
O resultado (28.3) representa os valores das 
velocidades permitidas. Para a energia potencial, 
temos: 
 ܷ ൌ න ܦݎ݀ݎ௥଴ ൌ ܦݎଶʹ ׵ ௡ܷ ൌ ݄݊Ͷߨ ή ඨ݉ܦ 
(28.4) 
 
 
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15 
Para a energia cinética: 
ܭ ൌ ݉ݒଶʹ ׵ ܭ௡ ൌ ݄݊Ͷߨ ή ඨ݉ܦ 
(28.5) 
E para a energia total: 
ܧ௡ ൌ ܭ௡ ൅ ௡ܷ ׵ ܧ௡ ൌ ݄݊ʹߨ ή ඨ݉ܦ 
(28.6) 
Esse sistema possui uma energia no nível 
fundamental dada por: 
ܧଵ ൌ ݄ʹߨ ή ඨ݉ܦ 
(28.7) 
Logo, as energias dos fótons são números inteiros 
da energia do estado fundamental. Esse sistema é 
semelhante a uma massa presa a uma mola 
executando movimento circular uniforme. 
 Questão 29
Muitos átomos de hidrogênio se encontram em 
equilíbrio térmico. Seja ݊ଶ ݊ଵΤ a razão entre o 
número de átomos no estado excitado ݊ ൌ ʹ e o 
número de átomos no estado fundamental ݊ ൌ ͳ. 
Para qual temperatura ݊ଶ ݊ଵΤ assume o valor (a) ͳͲିଵଶ? (b) ͳͲି଼? (c) ͳͲିସ? (d) Como o Sol, outras 
estrelas possuem espectros contínuos com linhas 
de absorção negras. A absorção ocorre na 
atmosfera da estrela; sabemos que o hidrogênio é 
o elemento que predomina na atmosfera de todas 
as estrelas. Explique por que as linhas de absorção 
da série de Balmer são relativamente fracas para 
os espectros de estrelas cujas atmosferas possuem 
temperaturas baixas, tal como o Sol (temperatura 
da atmosfera = 5800 K), porém são mais fortes 
para as estrelas cujas atmosferas possuem 
temperaturas elevadas. 
Resolução: 
Seja a função de distribuição de Maxwell-
Boltzmann dada por ܥ݁ିா೔ ௞ಳ்ൗ , em que ܥ é uma 
constante, ܧ௜ energia no nível ݅ e ܶ a temperatura 
absolula. Essa função de distribuição determina o 
número de átomos que se encontram no estado ܧ௜ , 
em um gás em equilíbrio a temperatura ܶ. Assim, 
teremos para a razão ݊ଶ ݊ଵΤ : 
 ݊ଶ݊ଵ ൌ ݁ିሺாమିாభሻ௞ಳ் 
(29.1) 
 
Para o átomo de hidrogênio, temos: 
 ܧଶ െ ܧଵ ൌ ͳͲǡʹ�ܸ݁ 
(29.2) 
 
Utilizando (29.1) e (29.2), teremos: 
 െሺܧଶ െ ܧଵሻ݇஻ܶ ൌ Ž ݊ଶ݊ଵ ׵ ܶ ൌ െ ሺܧଶ െ ܧଵሻ݇஻ ή Ž ݊ଶ݊ଵ 
(29.3) 
 
a) Para 
௡మ௡భ ൌ ͳͲିଵଶ, teremos: 
 ܶ ൌ ͳͲǡʹͳʹ ή ʹǡ͵ ή ͺǡ͸ʹͷ ή ͳͲିହ ׵ ܶ ؆ Ͷʹͺ͵ǡ͵�ܭ 
(29.4) 
 
b) Para 
௡మ௡భ ൌ ͳͲି଼, teremos: 
 ܶ ൌ ͳͲǡʹͺ ή ʹǡ͵ ή ͺǡ͸ʹͷ ή ͳͲିହ ׵ ܶ ؆ ͸Ͷʹ͹ǡʹ�ܭ 
(29.5) 
 
c) Para 
௡మ௡భ ൌ ͳͲିସ, teremos: 
 ܶ ൌ ͳͲǡʹͶ ή ʹǡ͵ ή ͺǡ͸ʹͷ ή ͳͲିହ ׵ ܶ ؆ ͳʹͺͷͶǡͶ�ܭ 
(29.6) 
 
Para os cálculos de (29.4) – (29.6), utilizou-se a 
constante de Boltzmann valendo ݇஻ ൌ ͺǡ͸ʹͷ ήͳͲିହ�ܸ݁ ή ܭିଵ. 
 
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16 
Para a absorção na série de Balmer, os átomos 
devem se encontrar no nível 2. Na atmosfera das 
estrelas com baixa temperatura, como o Sol, 
encontra-se uma população de átomos com 
número reduzido que se acham no nível 2, com 
relação ao nível fundamental. Logo, para essas 
estrelas, as linhas de absorção serão mais fracas. 
Por outro lado, na atmosfera de estrelas com 
temperatura mais elevadas,o número de átomos 
que se encontram no nível 2 é bem maior 
(compare (29.4) com (29.6)). Por isso, nessas 
estrelas, as linhas de absorção são mais fortes. 
 Questão 30
Quando um fóton é emitido, o átomo recua em 
obediência à conservação do momento linear. Isso 
significa dizer que o fóton e o átomo juntos 
absorvem a energia da transição. (a) Para um 
átomo de massa ݉, calcule a correção οߣ para o 
comprimento de onda do fóton emitido produzida 
pelo recuo do átomo. Chame de ߣ o comprimento 
de onda do fóton emitido sem considerar o recuo 
do átomo. (Dica: A correção é muito pequena, 
como sugerido na questão 24, logo, ȁȟߣȁ ߣΤ ا ͳ. 
Use esse fato para obter uma expressão 
aproximada porém precisa para οߣ) (b) Calcule 
essa correção para um átomo de hidrogênio no 
qual um elétron na órbita de ordem ݊ retorna 
para seu nível fundamental. Como a resposta 
depende de ݊? 
Resolução: 
a) Seja a energia do fóton, sem considerar o recuo, 
dada por: ܧ ൌ ݄ܿߣ 
(30.1) 
Agora, levando em consideração o recuo do 
átomo, teremos pela conservação do momento 
linear: ݌௔ ൌ ݌௙ ׵ ݒ௔ ൌ ݄݉ߣԢ 
(30.2) 
E pela conservação da energia: 
ܧ ൌ ݄ܿߣԢ ൅ ݉ݒ௔ଶʹ 
(30.3) 
 
Em que ܧ representa a energia de transição dada 
também por (30.1). Utilizando (30.1) e (30.2) em 
(30.3), teremos: 
 ݄ܿߣ ൌ ݄ܿߣᇱ ൅ ݄ଶʹ݉ߣᇱ ׵ οߣߣ ൌ ݄ʹ݉ܿߣᇱ 
(30.4) 
 
Agora, levando em consideração a condição ȁȟߣȁ ߣΤ ا ͳ, teremos: 
 ȁȟߣȁߣ ا ͳ ֜ ߣ ؆ ߣԢ 
(30.5) 
 
Assim, para (30.4) teremos: 
 οߣ ؆ ݄ʹ݉ܿ 
(30.6) 
 
b) Substituindo os valores numéricos em (30.6), 
teremos: 
 οߣ ؆ ͸ǡ͸ͳ͹ ή ͳͲିଵ଺�݉ 
(30.7) 
 
O resultado (30.6) não depende de ݊, pois a 
correção é muito pequena. 
 
 Questão 31
 
Deduza uma expressão para o deslocamento 
total do comprimento de onda de um fóton que 
sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton 
produzidos por elétrons inicialmente em repouso. 
Na primeira colisão o ângulo de espalhamento do 
fóton é igual a ߠଵ e na segunda ߠଶ. Geralmente, 
quando ocorrem dois espalhamentos sucessivos 
com ângulos iguais a ߠ ʹΤ , o resultado é o mesmo 
que ocorreria para um único espalhamento com 
ângulo igual a ߠ? Caso sua resposta seja negativa, 
existem valores específicos de ߠ, além de ߠ ൌ Ͳι, 
para os quais os deslocamentos totais sejam os 
 
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17 
mesmos? Use o resultado da primeira parte da 
questão para calcular o deslocamento total do 
comprimento de onda de um fóton que sofreu dois 
sucessivos espalhamentos Compton de ͵Ͳι cada. 
Expresse sua resposta em termos ݄ ݉ܿΤ . Qual é o 
deslocamento do comprimento de onda produzido 
por um único espalhamento de ͸Ͳι? 
Resolução: 
Seja um primeiro espalhamento dado por: ߣଵ ൌ ߣ଴ ൅ ݄݉ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏߠଵሻ 
(31.1) 
E para o segundo espalhamento: ߣଶ ൌ ߣଵ ൅ ݄݉ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏߠଶሻ 
(31.2) 
Utilizando (31.1) e (31.2), teremos: ߣଶ െ ߣ଴ ൌ ݄݉ܿ ሺʹ െ ܿ݋ݏߠଵ െ ܿ݋ݏߠଶሻ 
(31.3) 
Agora, vamos utilizar a relação da soma dos 
cossenos, dada por: 
ܿ݋ݏߠଵ ൅ ܿ݋ݏߠଶ ൌ ʹ ή ܿ݋ݏ ൬ߠଵ ൅ ߠଶʹ ൰ ή ܿ݋ݏ ൬ߠଵ െ ߠଶʹ ൰ 
(31.4) 
Assim, teremos para (31.3): 
οߣԢԢ ൌ ߣଶ െ ߣ଴ ൌ ʹ݄݉ܿ ൤ͳ െ ܿ݋ݏ ൬ߠଵ ൅ ߠଶʹ ൰ ή ܿ݋ݏ ൬ߠଵ െ ߠଶʹ ൰൨ 
(31.5) 
Utilizando a condição ߠଵ ൌ ߠଶ ൌ ߠ ʹΤ , teremos, 
para (31.5): ȟߣԢԢ ൌ ʹ݄݉ܿ ൬ͳ െ ܿ݋ݏ ʹߠ൰ 
(31.6) 
A expressão (31.6) mostra que um espalhamento 
segundo um ângulo ߠ, não corresponde a dois 
espalhamentos segundo ângulos iguais valendo ߠ ʹΤ . Fazendo ߠଵ ൌ ߠଶ ൌ ͵Ͳι, teremos: 
ȟߣԢԢ ൌ ʹ݄݉ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏ͵Ͳιሻ ׵ οߣԢԢ ؆ Ͳǡʹ͹݄݉ܿ 
(31.7) 
 
Para ߠ ൌ ͸Ͳι, teremos: 
 οߣ ൌ ݄݉ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏ͸Ͳιሻ ׵ οߣ ൌ Ͳǡͷ݄݉ܿ 
(31.8) 
 
Obs.: Além de ߠ ൌ Ͳι, só para ߠ ൌ ͳͺͲι, os 
deslocamentos totais serão os mesmos. 
 
 Questão 32
 
A reação de fusão nuclear no centro do Sol 
produz fótons de raios gama com energias da 
ordem de ͳ�ܯܸ݁. Em contraste, o que vemos 
emanar da superfície do Sol são fótons de luz 
cujos comprimentos de onda são da ordem de ͷͲͲ�݊݉. Um modelo simples que explica esse 
comportamento é que os fótons sofrem muitos 
espalhamentos Compton sucessivos – na verdade 
ocorrem ͳͲଶ଺ espalhamentos, como sugerido por 
alguns modelos do interior do Sol – à medida que 
os fótons se deslocam do centro até a superfície do 
Sol. (a) Estime o aumento do comprimento de 
onda para um único evento médio de 
espalhamento Compton. (b) Calcule o ângulo em 
graus para o qual o fóton é espalhado no evento 
de espalhamento descrito no item (a). (Dica: Uma 
aproximação útil é ܿ݋ݏ߮ ൌ ͳ െ ߮ଶ ʹΤ , que vale 
para ߮ ا ͳ. Note que nessa expressão ߮ é dado 
em radianos.) (c) Estima-se que um fóton leve 
cerca de ͳͲ଺ anos para se deslocar do centro a´te a 
superfície do Sol. Determine a distância média que 
a luz pode se deslocar no interior do Sol sem 
sofrer espalhamento. (Como sua resposta mostra, 
o interior do Sol é muito opaco.) 
Resolução: 
a) Com auxílio de (13.4), teremos, para o 
comprimento de onda para fótons com ͳ�ܯܸ݁ : 
 ߣ଴ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͳͲ଺ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲିଵଶ�݉ 
(32.1) 
 
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18 
O deslocamento total para o comprimento de onda 
é dado por: οߣ் ൌ ͷͲͲ ή ͳͲିଽ െ ͳǡʹͶ ή ͳͲିଵଶ ׵ οߣ் ؆ ͷ ή ͳͲି଻�݉ 
(32.2) 
Podemos pensar então, que na média, um 
deslocamento vale: οߣ ൌ ȟߣ்ͳͲଶ଺ ൌ ͷ ή ͳͲିଷଷ�݉ 
(32.3) 
b) Para um deslocamento Compton, temos: οߣ ൌ ݄݉ܿ ሺͳ െ ܿ݋ݏ߮ሻ 
(32.4) 
No entanto, conforme a dica do enunciado, 
podemos reescrever (32.4): οߣ ൌ ݄߮ଶʹ݉ܿ ؆ ͳǡʹͳ ή ͳͲିଵଶ߮ଶ 
(32.5) 
Agora, utilizando o resultado (32.3), teremos: ͷ ή ͳͲିଷଷ ൌ ͳǡʹͳ ή ͳͲିଵଶ߮ଶ ׵ ߮ ؆ ͸ǡͶ͵ ή ͳͲିଵଵ�ݎܽ݀ ൌ ሺ͵ǡ͹ ή ͳͲିଽሻι 
(32.6) 
c) O número de colisões por ano é da ordem de ͳͲଶ଴. Ou, cerca de ͵ǡͳ͹ ή ͳͲଵଶ colisões por 
segundo. Isso nos fornece um intervalo de ଵଷǡଵ଻ήଵ଴భమ �ݏ entre duas colisões. Com isso, a distância 
percorrida pelo fóton entre duas colisões é de: οݏ ൌ ͵ ή ͳͲ଼͵ǡͳ͹ ή ͳͲଵଶ ൌ ͻǡͶ͸ ή ͳͲିହ�݉ 
(32.7) 
Cerca de ͲǡͲͻͶ͸�݉݉ de distância. 
 Questão 33
Um fóton de raio X é espalhado por um elétron 
(massa ݉) em respouso. O comprimento de onda 
do fóton espalhado é ߣԢ e a velocidade final do 
elétron é igual a ݒ. (a) Qual era o comprimento de 
onda inicial do fóton? Expresse sua resposta em 
termos de ߣԢ, ݒ�‡�݉. (Dica: Use a expressão 
relativística para a energia cinética do elétron.) 
(b) Através de qual ângulo ߮ o fóton é espalhado? 
Expresse sua resposta em termos de ߣǡ ߣᇱ‡�݉. (c) 
Avalie seus resultados dos itens (a) e (b) para um 
comprimento de onda do fóton espalhado igual a ͷǡͳͲ ή ͳͲିଷ�݊݉ e para uma velocidade final do 
elétron igual a ͳǡͺͲ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ. Forneça ߮ em 
graus. 
Resolução: 
a) De acordo com a conservação da energia, a 
diferença de energia do fóton incidente deve ser 
igual a energia cinética adquirda pelo elétron. 
Assim, teremos: 
 ݄ܿ ൤ͳߣ െ ͳߣᇱ൨ ൌ ሺߛ െ ͳሻ݉ܿଶ ׵ ߣ ൌ ݄ߣԢߣԢሺߛ െ ͳሻ݉ܿ ൅ ݄ 
(33.1) 
 
Em que ߛ ൌ ቀͳ െ ௩మ௖మቁିభమ. 
 
b) Utilizando (32.4), teremos: 
 ߮ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ݄ െ ሺߣᇱ െ ߣሻ݄݉ܿ 
(33.2) 
 
c) Utilizando os dados numéricos em (33.1), 
teremos: 
 ߣ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ ή ͷǡͳ ή ͳͲିଵଶͲǡʹͷ ή ͷǡͳ ή ͳͲିଵଶ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͵ ή ͳͲ଼ ൅ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ 
 ׵ ߣ ൌ ͵ǡ͵Ͷ ή ͳͲିଵଶ�݉ 
(33.3) 
 
Em que ߛ ൌ ͳǡʹͷ. E para o ângulo, teremos: 
 ߮ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସെ ͳǡ͹͸ ή ͳͲିଵଶ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͵ ή ͳͲ଼͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସ 
 ׵ ߮ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏͲǡʹ͹Ͷ ؆ ͹Ͷι 
(33.4) 
 
 
 
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19 
 Questão 34
Mostre que, no modelo de Bohr, a frequência da 
revolução de um elétron em uma órbita circular 
estacionária em torno do núcleo do átomo de 
hidrogênio é dada por ߥ ൌ ݉݁ସ Ͷ߳଴ଶ݊ଷ݄ଷΤ . Na física 
clássica, a frequência da revolução de um elétron é 
igual à frequência da radiação que ele emite. 
Mostre que, quando ݊ é muito grande, a 
frequência da revolução é na verdade igual à 
frequência da radiação calculada pela transição do 
nível ݊ଵ ൌ ݊ ൅ ͳ até o nível ݊ଶ ൌ ݊. (Isso ilustra o 
princípio de correspondência de Bohr, que é 
muito usado para conferir cálculos da mecânica 
quântica. Quando ݊ é pequeno, a mecânica 
quântica forneceresultados muito diferentes dos 
obtidos pela física clássica. Quando ݊ é grande, a 
diferença entre esses resultados é desprezível e os 
dois métodos são “correspondentes”. De fato, 
quando Bohr estudou o problema do átomo de 
hidrogênio pela primeira vez, ele procurou 
determinar ߥ em função de ݊ de modo a obter um 
resultado correspondente ao da física clássica 
para valores de ݊ elevados.) 
Resolução: 
Para uma órbita estacionária, teremos para a 
frequência: ߥ௡ ൌ ݒ௡ʹߨݎ௡ 
(34.1) 
Com auxílio de (18.1) e (18.3), teremos para 
(34.1): ߥ௡ ൌ ݁ଶʹ߳଴݄݊ ή ݉݁ଶʹ݊ଶ݄ଶ߳଴ ׵ ߥ ൌ ݉݁ସͶ߳଴ଶ݊ଷ݄ଷ 
(34.2) 
Com auxílio de (18.10), poderemos determinar a 
frequência do fóton emitido na transição: ܧ ൌ ݄ߥ ൌ ݉݁ସͺ߳଴ଶ݄ଶ ൤ ͳ݊ଶ െ ͳሺ݊ ൅ ͳሻଶ൨ 
(34.3) 
Assim, teremos para (34.3): 
ߥ ൌ ݉݁ସͺ߳଴ଶ݄ଷ ൤ ʹ݊ ൅ ͳ݊ସ ൅ ʹ݊ଷ ൅ ݊ଶ൨ 
(34.4) 
 
Ou ainda: 
 ߥ ൌ ݉݁ସͺ߳଴ଶ݄ଷ ቎ ݊൫ʹ ൅ ͳൗ݊ ൯݊ସ ቀͳ ൅ ʹൗ݊ ൅ ͳ ݊ଶൗ ቁ቏ ׵ ߥ� ௡՜୥୰ୟ୬ୢୣሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ � ݉݁ସͶ߳଴ଶ݊ଷ݄ଷ 
(34.5) 
 
 Questão 35
 
Considere o espalhamento Compton de um 
fóton que colide com um elétron que se move. 
Antes da colisão o fóton possui comprimento de 
onda ߣ e está se deslocando no sentido ൅ݔ e o 
elétron está se deslocando no sentido Ȃ ݔ com 
energia total ܧ (que inclui sua energia de repouso ݉ܿଶ). A colisão entre o fóton e o elétron é central. 
Depois da colisão, ambos se movem no sentido Ȃ ݔ 
(ou seja, o angulo de espalhamento é igual a ͳͺͲι). 
(a) Deduza uma expressão para o comprimento de 
onda ߣԢ do fóton espalhado. Mostre que, quando ܧ ب ݉ܿଶ, onde ݉ é a massa do elétron, seu 
resultado se reduz a 
 ߣᇱ ൌ ௛௖ா ቀͳ ൅ ௠మ௖రఒସ௛௖ா ቁ. 
 
(b) Um feixe de radiação infravermelha 
proveniente de um laser de ܥܱଶሺߣ ൌ ͳͲǡ͸ߤ݉ሻ 
colide centralmente com um feixe de elétrons, 
cada um deles com energia total ܧ ൌ ͳͲǡͲ�ܩܸ݁. 
Calcule os comprimentos ߣԢ dos fótons espalhados, 
supondo um ângulo de espalhamento igual a ͳͺͲι. 
(c) Que tipo de fóton espalhado é obtido 
(infravermelho, microonda, ultravioleta etc.)? 
Resolução: 
a) Sejam as energias do elétron antes e depois da 
colisão dadas por, respectivamente: 
 ܧ଴ଶ ൌ ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌଴ܿሻଶ 
(35.1) 
 
E 
 
 
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20 
ܧଶ ൌ ݉ଶܿସ ൅ ሺ݌ܿሻଶ 
(35.2) 
Em que ݌଴�‡�݌ são, respectivamente, os momentos 
lineares do elétron antes e depois da colisão. De 
(35.1) e (35.2), teremos: ሺܧ଴ െ ݌଴ܿሻሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻ ൌ ሺܧ െ ݌ܿሻሺܧ ൅ ݌ܿሻ 
(35.3) 
Pela conservação da energia, temos: ܧ଴ ൅ ݄ܿߣ ൌ ܧ ൅ ݄ܿߣԢ 
(35.4) 
Pela conservação do momento linear, temos: ݄ܿߣ െ ݌଴ܿ ൌ െ݄ܿߣᇱ െ ݌ܿ 
(35.5) 
Utilizando (35.4) e (35.5), teremos: ʹ݄ܿߣ ൅ ܧ଴ െ ݌଴ܿ ൌ ܧ െ ݌ܿ 
(35.6) 
E െʹ݄ܿߣԢ ൅ ܧ଴ ൅ ݌଴ܿ ൌ ܧ ൅ ݌ܿ 
(35.7) 
Agora, utilizando (35.3), (35.6) e (35.7), teremos: 
൤ʹ݄ܿߣ ൅ ܧ଴ െ ݌଴ܿ൨ ൤െ ʹ݄ܿߣԢ ൅ ܧ଴ ൅ ݌଴ܿ൨ ൌ ሺܧ െ ݌ܿሻሺܧ ൅ ݌ܿሻ ൌ ሺܧ଴ െ ݌଴ܿሻሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻ ʹ݄ܿߣᇱ ൤ʹ݄ܿߣ ൅ ܧ଴ െ ݌଴ܿ൨ ൌ ʹ݄ܿߣ ሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻ ׵ ߣᇱ ൌ ሺܧ଴ െ ݌଴ܿሻߣ ൅ ʹ݄ܿܧ଴ ൅ ݌଴ܿ 
(35.8) 
Tomando o resultado de (35.8), teremos: ߣᇱ ൌ ʹ݄ܿܧ଴ ൅ ݌଴ܿ ൅ ሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻሺܧ଴ െ ݌଴ܿሻߣሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻଶ 
(35.9) 
Lembrando que ሺܧ଴ ൅ ݌଴ܿሻሺܧ଴ െ ݌଴ܿሻ ൌ ݉ଶܿସ, e 
levando em consideração ܧ଴ ب ݉ܿଶ ֜ ܧ଴ ൎ ݌଴ܿ, 
teremos: 
 ߣᇱ ؆ ݄ܿܧ଴ ൅݉ଶܿସߣͶܧ଴ଶ ׵ ߣᇱ ؆ ݄ܿܧ଴ ቆͳ ൅݉ଶܿଷߣͶ݄ܧ଴ ቇ 
(35.10) 
 
b) Substituindo os dados numéricos em (35.10), 
teremos: 
 ߣᇱ ؆ ͳǡʹͶ ή ͳͲିଵ଺ ቆͳ ൅ ʹǡ͵ͺ ή ͳͲିସ଴ͶǡʹͶ ή ͳͲିସଶቇ ׵ ߣᇱ ؆ ͹ǡͲͺ ή ͳͲିଵହ�݉ 
(35.11) 
 
O valor obtido em (35.11) está na faixa dos raios 
gama.