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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 13 Questão 1 Um elétron é acelerado através de uma diferença de potencial ܸ. O elétron parte do repouso e, depois de sofrer a ação do campo elétrico, atinge uma velocidade tal que o comprimento de onda associado ao seu movimento é igual a ʹǡՀ. Desprezando a variação de massa do elétron, calcule: (a) a diferença de potencial ܸ, (b) a energia cinética do elétron. Resolução: a) Segundo de Broglie, o comprimento de onda de uma partícula é dado por: ߣ ൌ ݄ (1.1) Em que ݄ é a constante de Planck e , o momento linear da partícula. O momento linear da partícula, por sua vez, pode ser obtido a partir da energia cinética por: ൌ ξʹ ή ݉ ή ܭ (1.2) Em que ݉��ܭ são, respectivamente, a massa do elétron e a sua energia cinética. A energia cinética do elétron é obtida a partir do trabalho realizado pela diferença de potencial. Ou seja: ܭ ൌ ܸ݁ (1.3) Reunindo as expressões (1.1), (1.2) e (1.3), teremos para a diferença de potencial: ܸ ൌ ͳʹ ή ݉ ή ݁ ൬݄ߣ൰ଶ (1.4) Substituindo os dados numéricos, teremos: ܸ ൌ ͳʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͳǡ ή ͳͲିଵଽ ቆǡʹ ή ͳͲିଷସʹǡ ή ͳͲିଵ ቇଶ ܸ ؆ ʹͲǡ�ܸ (1.5) b) Para a energia cinética, de (1.3), teremos: ܭ ൌ ʹͲǡ�ܸ݁ ൌ ͵ǡ͵ͳʹ ή ͳͲିଵ଼ܬ (1.6) Obs.: Aqui tratamos o elétron em regime não relativístico. Questão 2 O acelerador de elétrons de ͷͲ�ܸ݁ (a ser construído em Stanford) fornecerá um feixe de pequeno comprimento de onda, apropriado para investigar pormenorizadamente a estrutura nuclear por meio de experiências de espalhamento. Qual será esse comprimento de onda e como se relaciona o seu valor com a dimensão de um núcleo médio? (Sugestão: Para uma energia tão elevada será necessário empregar-se a relação relativística extrema entre o momento linear e a energia, ou seja, ൌ ܧ ܿΤ . Trata-se da mesma fórmula usada para a luz, sendo justificada sempre que a energia cinética de uma partícula for muito maior que a sua energia de repouso ݉ܿଶ, como acontece neste caso.) Resolução: Acredito que o acelerador colocado no enunciado da questão seja o SLAC (Stanford Linear Accelerator Center), com cerca de 3 km de extensão. Esse acelerador produziu três Prêmios Nobel de Física. Teve sua obra iniciada em 1962 (de acordo com o site: www6.slac.stanford.edu, visitado em 12/10/2014). Utilizaremos a expressão (1.1), em conjunto com a sugestão do enunciado. Assim, teremos: ߣ ؆ ݄ܿܧ (2.1) Em que ሺ݄ ؆ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ�ܸ݁ ή ݏሻ é a constante de Planck, e ܿ é a velocidade da luz no vácuo. Assim, teremos para (2.1): www.profafguimaraes.net 2 ߣ ؆ ʹǡͶͺ ή ͳͲି଼݉ ൌ ʹͶͺՀ (2.2) Obs.: Atualmente, os pesquisadores de Stanford, construiram um acelerador de “mesa”, menor e mais barato, de acordo com a notícia veiculada no site:http://info.abril.com.br/noticias/ciencia/201 3/09/cientistas-criam-pequeno-acelerador-de- particulas-de-mesa.shtml (visto em 12/10/2014). Questão 3 Um espectrômetro cristalino de neutrons utiliza planos do cristal, de espaçamento ݀ ൌ Ͳǡ͵ʹ͵�Հ, num cristal de berilo. Qual deve ser o ângulo de Bragg ߠ, de modo que apenas neutrons de energia ܭ ൌ ͶǡͲ�ܸ݁ sejam refletidos? Considerar apenas reflexões de primeira ordem. Resolução: Para uma análise das reflexões de Bragg, temos: ݉ߣ ൌ ʹ݀ ή ݏ݁݊ߠ (3.1) Em que, ݉ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ E ݀ é a distância entre os planos. Neutrons com energia cinética terão comprimentos de onda dados por: ߣ ൌ ݄ξʹ݉ܭ (3.2) Sendo ݉ ൌ ͳǡ ή ͳͲିଶ�݇݃, teremos: ߣ ൌ ǡʹ ή ͳͲିଷସඥʹ ή ͳǡ ή ͳͲିଶ ή ǡͶ ή ͳͲିଵଽ ߣ ؆ ͳǡͶ͵ ή ͳͲିଵଵ�݉ (3.3) Aqui, ܭ ൌ Ͷ�ܸ݁ ൌ ǡͶ ή ͳͲିଵଽ�ܬ. Com o resultado de (3.3) e utilizando (3.1), com ݉ ൌ ͳ. Logo: ݏ݁݊�ߠ ൌ ͳǡͶ͵ ή ͳͲିଵଵʹ ή Ͳǡ͵ʹ͵ ή ͳͲିଵ ؆ ͲǡͲͻ ߠ ؆ ͷǡι (3.4) Questão 4 De acordo com o Princípio de Correspondência, quando ݊ ՜ λ esperam-se resultados clássicos no átomo de Bohr. Portanto, o comprimento de onda de De Broglie associado ao elétron (um resultado quântico) deve diminuir em comparação com o raio da órbita, à medida que ݊ aumenta. De fato, espera-se que ߣ ݎΤ ՜ Ͳ, quando ݊ ՜ λ. Isso acontece? Resolução: A quantização de Bohr, para o momento angular, também resulta na quantização do comprimento de onda, dada por: ߣݎ ൌ ʹ݊ߨ (4.1) Logo, no limite, teremos: ՜ஶ ߣݎ ൌ ՜ஶʹ݊ߨ ൌ Ͳ (4.2) Como era de se esperar. Questão 5 Seja ݈ ൌ ʹͲ�ܿ݉ a distância entre as duas paredes laterais de um recipiente contendo átomos de argônio. Determine: (a) a separação entre os dois níveis mais baixos de energia, (b) a ordem de gandeza da energia térmica do argônio para ͵ͲͲ�ܭ, (c) a temperatura para a qual a energia térmica é igual ao espaçamento entre estes dois níveis de energia, (d) a distância ݈ para que a energia térmica seja igual à separação entre os dois níveis mais baixos de energia. Resolução: Para maiores detalhes acerca da quantização dos niveis de energia de uma partícula aprisionada em um recipiente, consulte: Física 4, Halliday & Resnick, 4ª edição, ed. LTC, Rio de Janeiro, 1990, capítulo 50, páginas 305-307. a) Podemos então utilizar a expressão da energia dada por: www.profafguimaraes.net 3 ܧ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݈݉ଶ (5.1) Levando em consideração que a massa do átomo de argônio é da ordem de ǡͷ ή ͳͲିଶ�݇݃, e utilizando os outros valores numéricos em (5.1), teremos: ܧ ൌ ʹǡͳͳ ή ͳͲିସଵ ή ݊ଶ (5.2) Logo, teremos para a separação entre os dois mais baixos de energia: οܧ ؆ ʹǡͳͳ ή ͳͲିସଵሺͶ െ ͳሻ οܧ ൌ ǡ͵͵ ή ͳͲିସଵ�ܬ ൌ ͵ǡͻ ή ͳͲିଶଶ�ܸ݁ (5.3) b) Para ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ, teremos: ܧ ൌ ͵݇ܶʹ ܧ ൌ ǡʹͳ ή ͳͲିଶଵܬ ؆ ͲǡͲͶ�ܸ݁ (5.4) Em que ݇ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲିଶଷ�ܬ ή ܭିଵ. c) Utilizando o resultado de (5.3), teremos: ܶ ൌ ʹ ή οܧ͵݇ ܶ ؆ ͵ǡͲ ή ͳͲିଵ଼�ܭ (5.5) d) Tomando a diferença entre as energias dos níveis mais baixos como sendo a energia térmica, teremos: ݄ଶͺ ή ݉ ή ݈ଶ ή ͵ ൌ ͵݇ܶʹ ֜ ݈ ൌ ͵݄ଶͺ݉ ቀ͵݇ܶʹ ቁ ଵଶ (5.6) Utilizando a temperatura de ͵ͲͲ�ܭ, teremos para (5.6): ݈ ൌ ቈ ͵ሺǡʹ ή ͳͲିଷସሻଶͺ ή ǡͷ ή ͳͲିଶ ή ǡʹͳ ή ͳͲିଶଵଵଶ ݈ ؆ ʹǡͲʹ ή ͳͲିଵଵ�݉ ൌ ʹǡͲʹ ή ͳͲିଽ�ܿ݉ (5.7) Questão 6 Determinar, aproximadamente, a menor energia permitida de um elétron confinado num núcleo atômico (com diâmetro de aproximadamente ͳǡͶ ή ͳͲିଵସ�݉). Comparar essa energia com os vários ܯܸ݁ de energia que ligam os prótons e os neutrons dentro do núcleo; nestas condições, é de se esperar encontrarem-se elétrons dentro dos núcleos? Resolução: Vamos utilizar a expressão (5.1), e considerar o núcleo como se fosse o recipiente da questão anterior. Assim, teremos: ܧ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݈݉ଶ ൌ ሺǡʹ ή ͳͲିଷସሻଶͺ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ሺͳǡͶ ή ͳͲିଵସሻଶ ܧଵ ؆ ͵ǡͲ ή ͳͲିଵ�ܬ ൌ ͳǡͻ ή ͳͲଽ�ܸ݁ (6.1) Em que ݊ ൌ ͳ. A energia do elétron, nestas circustâncias, é da ordem de ܩܸ݁. Não é de se esperar encontrar elétrons no núcleo. Questão 7 Uma partícula acha-se confinada entre duas paredes rígidas, separadas entre si por uma distância ݈. Qual é a probabilidade de ser encontrada a uma distância ͳ ͵Τ de uma das paredes (a) quando ݊ ൌ ͳ, (b) quando ݊ ൌ ʹ, (c) e quando ݊ ൌ ͵, e (d) quando forem válidas as hipóteses da Física Clássica? Resolução: A função de onda para esse caso, é dada por: ߰ ൌ ܣݏ݁݊ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ Ǣ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ (7.1) Veja por exemplo: Física 4, Halliday & Resnick, 4ª edição, ed. LTC, Rio de Janeiro, 1990, capítulo 50, páginas 305-307. A probabilidade de se achar a partícula entre os dois planos situados a ݔ��ݔ� �݀ݔ de uma das paredes é dada por: www.profafguimaraes.net 4 ߰ଶ݀ݔ ൌ ܣଶݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ ݀ݔ (7.2)Consequentemente, a densidade de probalidade será: ߰ଶ ൌ ܣଶݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ (7.3) No entanto, não conhecemos o valor de ܣ. Mas sabemos que a probabilidade da partícula ser encontrada entre as paredes é exatamente 100%, ou seja, 1. Assim, utilizando a expressão (7.3), teremos: න ߰ଶ݀ݔ ൌ ͳ ܣଶන ݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ ൌ ͳ (7.4) Com auxílio de uma tabela de integrais (por exemplo: Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973) poderemos encontrar, para (7.4): ܣଶ ʹݔ െ ݈Ͷ݊ߨ ݏ݁݊ ൬ʹ݊ߨݔ݈ ൰൨ ൌ ͳ ܣ ൌ ඨʹ݈ (7.5) Assim, poderemos escrever: ܲሺݔሻ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ (7.6) Logo, para ݊ ൌ ͳ, teremos: ଵܲ ൬ ݈͵ ൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬ߨ݈͵݈൰ ݀ݔ ൌ ͵ʹ݈ ݀ݔ (7.7) Para, ݊ ൌ ʹ, teremos: ଶܲ ൬ͳ͵൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬ʹߨ݈͵݈ ൰ ݀ݔ ൌ ͵ʹ݈ ݀ݔ (7.8) Para ݊ ൌ ͵, teremos: ଷܲ ൬ͳ͵൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬͵ߨ݈͵݈ ൰ ݀ݔ ൌ Ͳ (7.9) Agora, levando em consideração as hipóteses da Física Clássica, em que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar entre as paredes é constante, teremos: ܲන ݀ݔ ൌ ͳ ܲ ൌ ͳ݈ (7.10) De acordo com o resultado (7.10), a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto entre 0 e ݈ é sempre a mesma. Lembrando que ܲ representa uma densidade de probabilidade. Questão 8 No estado fundamental do átmo de hidrogênio, mostrar que a probabilidade ܲ de o elétron estar dentro de uma esfera de raio r é dada por: ܲ ൌ ͳ െ ݁ିଶ Τ ቀଶమమ ଶ ͳቁ. Fornecerá esta expressão os resultados esperados quando (a) ݎ ൌ Ͳ e (b) ݎ ൌ λ? Resolução: A função de onda para o elétron no estado fundamental é dada por: Ȳ ൌ ͳξߨܽଷ ݁ି Τ ܿݏ߱ݐ (8.1) Em que ܽ ൌ మఢబగమ (corresponde ao raio da órbita do estado fundamental na teoria de Bohr). Na mecânica ondulatória corresponde a uma unidade de comprimento. Para a densidade de probabilidade, teremos: www.profafguimaraes.net 5 Ȳଶܸ݀ ൌ ͳξߨܽଷ ݁ି Τ ൨ଶ Ͷߨݎଶ݀ݎ (8.2) Em (8.2), tomamos apenas a parte espacial. Agora, De forma semelhante ao que foi feito em (7.4), teremos: �ܲ ൌ Ͷන ݎଶܽଷ ݁ିଶ Τ ݀ݎ (8.3) Com auxílio de uma tabela de integrais, teremos: ܲ ൌ െ ʹܽଶ ݁ିଶ Τ ቈݎଶ ܽݎ ܽଶʹ ܲ ൌ ͳ െ ݁ିଶ Τ ቆʹݎଶܽଶ ʹܽݎ ͳቇ (8.4) Tomando os valores de ݎ ൌ Ͳ, teremos, para (8.4): ܲ ൌ Ͳ (8.5) E para ݎ ՜ λ, teremos: ஶܲ ൌ ͳ (8.6) O resultado (8.6) expressa a probabilidade de o elétron existir. Logo, os resultados expressam os valores esperados. Questão 9 No estado fundamental do átomo de hidrogênio, qual será a probabilidade de que o elétron esteja dentro de uma esfera de raio idêntico ao da primeira órbita de Bohr? Resolução: Utilizando (8.4), teremos: ܲ ൌ ͳ െ ͷ݁ିଶ ൌ Ͳǡ͵ʹ ൌ ͵ʹΨ (9.1) Questão 10 Um feixe de elétrons de ͶͲ�ܸ݁ deslocando-se no sentido ݔ passa através de uma fenda de largura igual a ͷǡͲ�ߤ݉ paralela ao eixo ݕ. A figura de difração é registrada em uma tela situada a uma distância de ʹǡͷ�݉ da fenda. (a) Qual é o comprimento de onda de De Broglie dos elétrons? (b) Quanto tempo os elétrons levam para ir da fenda até a tela? (c) Use a largura do máximo central da difração para calcular a incerteza no componente ݕ do momento linear do elétron logo depois que ele passou através da fenda. (d) Use o resultado do item (c) e o princípio da incerteza de Heisenberg, para ݕ, para estimar a incerteza mínima na coordenada ݕ de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. Compare seus resultados com a largura da fenda. Resolução: a) Para o comprimento de onda, utilizando (3.2), teremos: ߣ ൌ ǡʹ ή ͳͲିଷସඥʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ǡͶ ή ͳͲିଵ଼ ߣ ؆ ͳǡͻͶ ή ͳͲିଵ݉ ൌ ͳǡͻͶՀ (10.1) b) Utilizando a energia cinética (não relativística), poderemos obter a velocidade dos elétrons. Logo: ܭ ൌ ݉ݒଶʹ ݒ ൌ ඨʹ ή ǡͶ ή ͳͲିଵ଼ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ؆ ͵ǡͷ ή ͳͲ�݉ ή ݏିଵ (10.2) Utilizando o resultado (10.2), e levando em consideração a distância de ʹǡͷ�݉, teremos: οݐ ؆ ǡ ή ͳͲିݏ (10.3) c) Uma rápida revisão acerca dos princípios de difração e interferência de ondas nos conduz a: ߣ ൌ ܽ ή ߠଵ (10.4) www.profafguimaraes.net 6 Em que ܽ��ߠଵ representam, respectivamente, a largura da fenda e o ângulo do primeiro máximo. Assim, utilizando o resultado de (10.1), teremos: ߠଵ ൌ ͳǡͻͶ ή ͳͲିଵͷ ή ͳͲି ؆ ͵ǡͺͺ ή ͳͲିହ�ݎܽ݀ (10.5) A imprecisão para a coordenada ݕ será dada pela tangente de ߠଵ. Assim, teremos: ݐ݃ߠଵ ؆ ߠଵ ؆ οݕʹܦ (10.6) Em que aproximamos o valor da tangente. Também em (10.6), ܦ representa a distância da fenda até a tela. Assim, teremos, utilizando (10.6): οݕ ൌ ʹ ή ʹǡͷ ή ͵ǡͺͺ ή ͳͲିହ ؆ ͳǡͻͶ ή ͳͲିସ�݉ (10.7) Utilizando o princípio da incerteza de Heisenberg, teremos, para o componente do momento linear na direção y: ο௬ ή οݕ ؆ (10.8) Em que ൌ ଶగ. Assim teremos: ο௬ ؆ ͷǡͶͶ ή ͳͲିଷଵ�݇݃ ή ݉ ή ݏିଵ (10.9) d) Comparando com a largura da fenda, a incerteza para ݕ dada por (10.7) é maior do que a largura da fenda. Questão 11 Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. Para tais elétrons a relação ߣ ൌ , continua válida, porém devemos usar a expressão relativística para o momento linear, ൌ ௩ටଵିೡమమ. (a) Mostre que a velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie ߣ é dada por: ݒ ൌ ටଵାቀഊ ቁమ. (b) A grandeza ݄ ݉ܿΤ é igual a ʹǡͶʹ ή ͳͲିଵଶ�݉. Se ߣ é pequeno em comparação com ݄ ݉ܿΤ , o denominador da expressão encontrada no item (a) é aproximadamente igual a ͳ e a velocidade ݒ é aproximadamente igual a ܿ. Nesse caso, é conveniente escrever ݒ ൌ ሺͳ െ οሻܿ e expressar a velocidade do elétron em termos de ο em vez de ݒ. Encontre uma expressão para ο válida quando ߣ ا ݄ ݉ܿΤ . (Dica: Use a série binomial ሺͳ ݖሻ ൌ ͳ ݊ݖ ݊ሺ݊ െ ͳሻݖଶ ʹΤ ڮ, válida para ȁݖȁ ൏ ͳ.) (c) Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a ͳǡͲͲ ή ͳͲିଵହ݉, comparável com o diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma de ݒ ൌ ሺͳ െ οሻܿ, dizendo quanto vale o ο. Resolução: a) Utilizando a relação de De Broglie, teremos: ߣ ൌ ݄ ή ටͳ െ ݒଶܿଶ݉ݒ (11.1) Logo: ݒଶ݉ଶߣଶ݄ଶ ൌ ͳ െ ݒଶܿଶ ݒ ൌ ܿටͳ ቀ݉ܿߣ݄ ቁଶ (11.2) b) Agora, tomando ܽ ൌ , teremos, para o resultado (11.2): ݒ ൌ ܿ ቆͳ ൬ܽߣ൰ଶቇିଵଶ (11.3) Utilizando a expansão binomial, teremos: ݒ ؆ ܿ ቆͳ െ ͳʹ ൬ܽߣ൰ଶቇ (11.4) www.profafguimaraes.net 7 Em que ܽ ب ߣ. c) Utilizando os dados numéricos em (11.4), teremos: ݒ ؆ ሺͳ െ οሻܿ (11.5) Em que οൌ ఒమଶήమ ؆ ͺǡͷ ή ͳͲିଷ଼. Questão 12 Para partículas relativísticas, a relação ߣ ൌ continua válida, porém o módulo do momento linear é relacionado com a energia ܧ pela equação ܧଶ ൌ ሺܿሻଶ ሺ݉ܿଶሻଶ. A energia cinética é dada por ܭ ൌ ܧ െ݉ܿଶ. (a) Mostre que o comprimento de onda de De Broglie para uma partícula com energia cinética ܭ e massa de repouso ݉ é dada por: ߣ ൌ ඥሺାଶమሻ. (b) Encontre expressões aproximadas para ߣ em função de ܭ nos casos especiais (i) ܭ ا ݉ܿଶ (limite não relativístico) e (ii) ܭ ب ݉ܿଶ (limite extremamente relativístico). (c) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um próton com energia cinética igual a ǡͲͲ�ܩܸ݁. (d) Repita o item (c) para um elétron com energia cinética de ʹͷǡͲ�ܯܸ݁. Resolução: a) Tomando a expressão da energia cinética e também a expressão da energia mecânica, teremos: ሺܭ ݉ܿଶሻଶ ൌ ሺܿሻଶ ሺ݉ܿଶሻଶ ܭଶ ʹܭ݉ܿଶ ሺ݉ܿଶሻଶ ൌ ሺܿሻଶ ሺ݉ܿଶሻଶ ൌ ሾܭሺܭ ʹ݉ܿଶሻሿଵଶܿ (12.1) Utulizando o resultado (12.1), e a expressão do comprimento de onda de De Broglie, teremos: ߣ ൌ݄ܿሾܭሺܭ ʹ݉ܿଶሻሿଵଶ (12.2) b) (i)Caso não relativístico ሺܭ ا ݉ܿଶሻ: ߣ ൌ ݄ܿܭ ሺܭ ʹ݉ܿଶሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ؆ଶమ ൩ ଵଶ ߣ ؆ ݄ξʹ݉ܭ (12.3) (ii) Caso extremamente realtivístico ሺܭ ب ݉ܿଶሻ: ߣ ൌ ݄ܿቈܭ ሺܭ ʹ݉ܿଶሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ؆ ଵଶ ߣ ൌ ݄ܿܭ (12.4) c) A energia de repouso do próton vale cerca de: ͳǡͷͳ ή ͳͲିଵ�ܬ ؆ ͻǡͶ͵ ή ͳͲ଼�ܸ݁ ൌ ͲǡͻͶ͵�ܩܸ݁. (12.5) Levando em consideração que a energia cinética do próton é maior do que sua energia de repouso, poderemos então utilizar a expressão (12.4). Assim: ߣ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ ή ͵ ή ͳͲ଼ ή ͳͲଽ ؆ ͳǡͺ ή ͳͲିଵ݉ (12.6) d) Para o elétron, a energia de repouso vale: ͺǡʹ ή ͳͲିଵସ�ܬ ؆ ͷǡͳ ή ͳͲହ�ܸ݁ ൌ Ͳǡͷͳ�ܯܸ݁ (12.7) Levando em consideração que a energia cinética do elétron, também se mostra maior do que sua www.profafguimaraes.net 8 energia de repouso, assim como foi feito para o próton, utilizaremos a expressão (12.4). Assim: ߣ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ ή ͵ ή ͳͲ଼ʹͷ ή ͳͲ ؆ Ͷǡͻ ή ͳͲଵସ�݉ (12.8) Questão 13 Incertezas em espectros atômicos. Um certo átomo possui um nível de energia ʹǡͷͺ�ܸ݁ acima do nível fundamental. Uma vez excitado até esse nível, o átomo permanece nesse nível durante ͳǡͶ ή ͳͲି�ݏ (na média) antes de emitir um fóton e retornar ao nível fundamental. (a) Qual é a energia do fóton (em elétron-volts)? Qual é seu comprimeto de onda (em nanômetros)? (b) Qual é a menor incerteza possível na energia do fóton? Forneça sua resposta em elétron-volts. (c) Mostre que ȁοܧ ܧΤ ȁ ൌ ȁοߣ ߣΤ ȁ, quando ȁοߣ ߣΤ ȁ ا ͳ. Use esse resultado para calcular o módulo da menor incerteza possível no comprimento de onda do fóton. Forneça sua resposta em nanômetros. Resolução: a) A energia do fóton, depois do decaimento para o estado fundamental será dada por: ܧ×௧ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସߣ×௧ (13.1) Em que a energia é dada em ሺܸ݁ሻ e o comprimento de onda em ൫Հ൯. Assim, utilizando (13.1), teremos: ߣ ൌ ͶͺͲ�Հ ൌ ͶͺͲǡ�݊݉ (13.2) b) Utilizando o princípio de Heisenberg para a energia, teremos: οܧ ή οݐ ؆ ֜ οܧ ؆ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହʹߨ ή ͳǡͶ ή ͳͲି οܧ ؆ Ͷ ή ͳͲିଽ�ܸ݁ (13.3) c) Tomando a diferencial de (13.1), teremos: ݀ܧ ൌ െͳǡʹͶ ή ͳͲସߣଶ ݀ߣ (13.4) Agora, dividindo (13.4) por (13.1), teremos: ݀ܧܧ ൌ െͳǡʹͶ ή ͳͲ ସ ߣଶൗͳǡʹͶ ή ͳͲସ ߣൗ ݀ߣ ݀ܧܧ ൌ െ݀ߣߣ (13.5) Sendo as variações tão pequenas quanto as diferenciais poderemos escrever, para (13.5), a seguinte expressão: ฬοܧܧ ฬ ؆ ฬοߣߣ ฬ (13.6) Agora, tomando os resultados (13.2) e (13.3) juntamente com a expressão (13.6), teremos: οߣ ؆ Ͷ ή ͳͲିଽ ή ͶͺͲǡʹǡͷͺ οߣ ؆ ǡͶͷ ή ͳͲି�݊݉ (13.7) Questão 14 Energia do ponto zero. Considere uma partícula de massa ݉ movendo-se através de um potencial ܷ ൌ ௫మଶ , como no caso do sistema massa-mola. A energia total da partícula é ܧ ൌ ଶ ʹ݉Τ ݇ݔଶ ʹΤ . Suponha que e ݔ sejam relacionados pelo princípio da incerteza de Heisenberg, ݔ ؆ ݄. (a) Calcule o menor valor possível da energia ܧ bem como o valor de ݔ que fornece o valor mínimo de ܧ. Esse valor mínimo da energia, que não igual a zero, denomina-se energia do ponto zero. (b) Para o valor de ݔ calculado no item (a), qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial da partícula? Resolução: a) Vamos tomar a sugestão dada no enunciado. Assim, poderemos escrever: www.profafguimaraes.net 9 ܧ ൌ ݄ଶʹ݉ݔଶ ݇ݔଶʹ (14.1) Para encontrar o mínimo da expressão (14.1), teremos que derivar a referida expressão e encontra os valores de ݔ que tornam a derivada nula. Assim: ݀ܧ݀ݔ ൌ െ ݄݉ݔଷ ݇ݔ ݀ܧ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ݔ ൌ ቆ ݄ଶ݉݇ ቇଵସ (14.2) Substituindo o resultado de (14.2) em (14.1), teremos: ܧÀ ൌ ݄ଶʹ݉ ή ξ݄݉݇ ݄݇ʹξ݉݇ ܧÀ ൌ ݄ ൬ ݇݉ ൰ଵଶ (14.3) Tomando a razão entre as energias cinética e potencial, teremos: ܷܭ ൌ ݄ʹ ቀ ݇݉ ቁ ଵଶ݄ʹ ቀ ݇݉ ቁଵଶ ൌ ͳ (14.4) Obs.: Para o resultado (14.2) não foi feito o teste para saber se o ponto em questão é ponto de máximo ou ponto de mínimo. No entanto, pode-se fazer o teste da segunda derivada e comprovar que se trata de ponto de mínimo. Questão 15 Considere a função de onda Ȳ ൌ ߰ଵ݁ିఠభ௧ ߰ଶ݁ିఠమ௧, onde ߰ଵ��߰ଶ são funções diferentes que não dependem do tempo e ߱ଵ��߱ଶ são constantes reais diferentes. Suponha que ߰ଵ��߰ଶ sejam funções reais unívocas, de modo que ߰ଵכ ൌ ߰ଵ��߰ଶכ ൌ ߰ଶ. A função Ȳ representa um estado estacionário? Por quê? Resolução: Seja ȁȲȁଶ ൌ ȲכȲ. Em que: Ȳכ ൌ ߰ଵכ݁ఠభ௧ ߰ଶכ݁ఠమ௧ ൌ ߰ଵ݁ఠభ௧ ߰ଶ݁ఠమ௧ (15.1) Assim: ȁȲȁଶ ൌ ȲכȲ ൌ ሺ߰ଵ݁ఠభ௧ ߰ଶ݁ఠమ௧ሻሺ߰ଵ݁ିఠభ௧ ߰ଶ݁ିఠమ௧ሻ ȁȲȁଶ ൌ ȁ߰ଵȁଶ ȁ߰ଶȁଶ ߰ଵ߰ଶ൫݁ିሺఠభିఠమሻ௧ ݁ሺఠభିఠమሻ௧൯ (15.2) O resultado de (15.2) mostra que ȁȲȁଶ é dependente do tempo. Logo Ȳ não representa um estado estacionário. Questão 16 Uma partícula é descrita por uma função de onda normalizada dada por ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌܣ݁ݔሾെߙሺݔଶ ݕଶ ݖଶሻሿ, onde ܣ��ߙ são constantes positivas reais. (a) Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no volume entre ݎ��ݎ ݀ݎ centralizado na origem. (Dica: Considere uma coroa esférica centralizada na origem com raio interno ݎ e com espessura ݀ݎ). (b) Para que valores de ݎ a probabilidade encontrada no item (a) atinge seu valor máximo? Esse valor é igual ao que você obtém quando ȁ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻȁଶ atinge seu valor máximo? Caso não seja igual, explique a diferenças. Resolução: Vamos utilizar a dica dada no enunciado. Assim, teremos: ݔଶ ݕଶ ݖଶ ൌ ݎଶ (16.1) E também, para o elemento de volume: ݀ݔ݀ݕ݀ݖ ൌ ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ (16.2) Logo: ȁ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻȁଶܸ݀ ൌ Ͷߨܣଶݎଶ݁ିଶఈమ݀ݎ (16.3) www.profafguimaraes.net 10 b) Para a densidade de probabilidade, teremos: ܲሺݎሻ ൌ Ͷߨܣଶݎଶ݁ିଶఈమ (16.4) Tomando a derivada de (16.4) e procurando o valor de ݎ que anule a derivada teremos: ݀ܲ݀ݎ ൌ ͺܣଶߨݎ݁ିଶఈమ െ ͳߙܣଶߨݎଷ݁ିଶఈమ ݀ܲ݀ݎ ൌ Ͳ ֜ ͺܣଶߨݎ݁ିଶఈమ ൌ ͳߙܣଶߨݎଷ݁ିଶఈమ ݎ ൌ ൬ ͳʹߙ൰ଵଶ (16.5) O resultado de (16.5) é o valor de r em que a probabilidade atinge seu valor máximo. Esse resultado difere do que seria encontrado para ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ. Até porque encontramos a densidade de probabilidade em coordenadas esféricas. Questão 17 Considere o pacote de onda dado por: ߰ሺݔሻ ൌ ܤሺ݇ሻܿݏ݇ݔ�݀݇ஶ . Em que ݇ ൌ ʹߨ ߣΤ representa o número de onda. Seja ܤሺ݇ሻ ൌ ݁ݔሺെߙଶ݇ଶሻ. (a) A função ܤሺ݇ሻ possui seu valor máximo para ݇ ൌ Ͳ. Seja ݇ǡହ o valor de k para o qual o valor ܤሺ݇ሻ é igual à metade de seu valor máximo e definimos a largura e ܤሺ݇ሻ como ܹ ൌ ݇ǡହ. Em termos de ߙ, quando vale ܹ? (b) Use tabelas de integrais para calcular a integral que fornece ߰ሺݔሻ. Para que valor de x a função ߰ሺݔሻ atinge seu valor máximo? (c) Definimos a largura ߰ሺݔሻ como ௫ܹ ൌ ݔǡହ, onde ݔǡହ é o valor positivo de ݔ para o qual ߰ሺݔሻ atinge um valor igual à metade de seu valor máximo. Calcule ௫ܹ, em termos de ߙ. (d) O momento linear p é igual a ݇, de modo que a largura de B em relação ao momento linear é ܹ ൌ ܹ . Calcule o produto ܹ ܹ e compare o resultado com o princípio da incerteza de Heisenberg. Resolução: a) O valor máximo de B é 1. Assim, para a metade, teremos: ͳʹ ൌ ݁ିఈమబǡఱమ ݈݊ʹିଵ ൌ െߙଶ݇ǡହଶ ݇ǡହ ؆ Ͳǡͺ͵͵ߙ (17.1) Logo: ܹ ൌ Ͳǡͺ͵͵ߙ (17.2) b) Utilizando uma tabela de integrais, por exemplo: Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973, temos: න ݁ି௫మܿݏܾݔ�݀ݔஶ ൌ ͳʹටܽߨ ݁ିమସ (17.3) Com isso, teremos para ߰ሺݔሻ, a seguinte expressão: ߰ሺݔሻ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ ݁ି� ௫మସఈమ (17.4) A função dada em (17.4) assume seu valor máximo, para ݔ ൌ Ͳ. Sendo: ߰௫ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ (17.5) c) Para a largura, teremos: ͳͶ ή ξߨߙ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ ݁ି�௫బǡఱమସఈమ ݔǡହ ؆ ͳǡߙ(17.6) Logo: ௫ܹ ൌ ͳǡߙ (17.7) d) Tomando o produto, utilizando (17.2) e (17.7), teremos: www.profafguimaraes.net 11 ܹ ௫ܹ ൌ ܹ ௫ܹ ؆ ͳǡ͵ͻ (17.8) Comparando o resultado de (17.8) com o princípio da incerteza podemos concluir que são praticamente iguais.
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