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Física 4 13 exercícios resolvidos

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www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 13 
 Questão 1
Um elétron é acelerado através de uma 
diferença de potencial ܸ. O elétron parte do 
repouso e, depois de sofrer a ação do campo 
elétrico, atinge uma velocidade tal que o 
comprimento de onda associado ao seu 
movimento é igual a ʹǡ͹Հ. Desprezando a variação 
de massa do elétron, calcule: (a) a diferença de 
potencial ܸ, (b) a energia cinética do elétron. 
Resolução: 
a) Segundo de Broglie, o comprimento de onda de 
uma partícula é dado por: ߣ ൌ ݌݄ 
(1.1) 
Em que ݄ é a constante de Planck e ݌, o momento 
linear da partícula. O momento linear da partícula, 
por sua vez, pode ser obtido a partir da energia 
cinética por: ݌ ൌ ξʹ ή ݉ ή ܭ 
(1.2) 
Em que ݉�‡�ܭ são, respectivamente, a massa do 
elétron e a sua energia cinética. A energia cinética 
do elétron é obtida a partir do trabalho realizado 
pela diferença de potencial. Ou seja: ܭ ൌ ܸ݁ 
(1.3) 
Reunindo as expressões (1.1), (1.2) e (1.3), 
teremos para a diferença de potencial: 
ܸ ൌ ͳʹ ή ݉ ή ݁ ൬݄ߣ൰ଶ 
(1.4) 
Substituindo os dados numéricos, teremos: 
ܸ ൌ ͳʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽ ቆ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସʹǡ͹ ή ͳͲିଵ଴ ቇଶ 
 ׵ ܸ ؆ ʹͲǡ͹�ܸ 
(1.5) 
 
b) Para a energia cinética, de (1.3), teremos: 
 ܭ ൌ ʹͲǡ͹�ܸ݁ ൌ ͵ǡ͵ͳʹ ή ͳͲିଵ଼ܬ 
(1.6) 
 
Obs.: Aqui tratamos o elétron em regime não 
relativístico. 
 
 Questão 2
 
O acelerador de elétrons de ͷͲ�ܸ݁ (a ser 
construído em Stanford) fornecerá um feixe de 
pequeno comprimento de onda, apropriado para 
investigar pormenorizadamente a estrutura 
nuclear por meio de experiências de 
espalhamento. Qual será esse comprimento de 
onda e como se relaciona o seu valor com a 
dimensão de um núcleo médio? (Sugestão: Para 
uma energia tão elevada será necessário 
empregar-se a relação relativística extrema entre 
o momento linear e a energia, ou seja, ݌ ൌ ܧ ܿΤ . 
Trata-se da mesma fórmula usada para a luz, 
sendo justificada sempre que a energia cinética de 
uma partícula for muito maior que a sua energia 
de repouso ݉଴ܿଶ, como acontece neste caso.) 
Resolução: 
Acredito que o acelerador colocado no enunciado 
da questão seja o SLAC (Stanford Linear 
Accelerator Center), com cerca de 3 km de 
extensão. Esse acelerador produziu três Prêmios 
Nobel de Física. Teve sua obra iniciada em 1962 
(de acordo com o site: www6.slac.stanford.edu, 
visitado em 12/10/2014). Utilizaremos a 
expressão (1.1), em conjunto com a sugestão do 
enunciado. Assim, teremos: 
 ߣ ؆ ݄ܿܧ 
(2.1) 
 
Em que ሺ݄ ؆ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ�ܸ݁ ή ݏሻ é a constante de 
Planck, e ܿ é a velocidade da luz no vácuo. Assim, 
teremos para (2.1): 
 
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2 
ߣ ؆ ʹǡͶͺ ή ͳͲି଼݉ ൌ ʹͶͺՀ 
(2.2) 
Obs.: Atualmente, os pesquisadores de Stanford, 
construiram um acelerador de “mesa”, menor e 
mais barato, de acordo com a notícia veiculada no 
site:http://info.abril.com.br/noticias/ciencia/201
3/09/cientistas-criam-pequeno-acelerador-de-
particulas-de-mesa.shtml (visto em 12/10/2014). 
 Questão 3
Um espectrômetro cristalino de neutrons 
utiliza planos do cristal, de espaçamento ݀ ൌ Ͳǡ͹͵ʹ͵�Հ, num cristal de berilo. Qual deve ser 
o ângulo de Bragg ߠ, de modo que apenas 
neutrons de energia ܭ ൌ ͶǡͲ�ܸ݁ sejam refletidos? 
Considerar apenas reflexões de primeira ordem. 
Resolução: 
Para uma análise das reflexões de Bragg, temos: ݉ߣ ൌ ʹ݀ ή ݏ݁݊ߠ 
(3.1) 
Em que, ݉ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ E ݀ é a distância entre os 
planos. Neutrons com energia cinética terão 
comprimentos de onda dados por: ߣ ൌ ݄ξʹ݉ܭ 
 (3.2) 
Sendo ݉ ൌ ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃, teremos: 
ߣ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସඥʹ ή ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻ ή ͸ǡͶ ή ͳͲିଵଽ ׵ ߣ ؆ ͳǡͶ͵ ή ͳͲିଵଵ�݉ 
(3.3) 
Aqui, ܭ ൌ Ͷ�ܸ݁ ൌ ͸ǡͶ ή ͳͲିଵଽ�ܬ. Com o resultado de 
(3.3) e utilizando (3.1), com ݉ ൌ ͳ. Logo: ݏ݁݊�ߠ ൌ ͳǡͶ͵ ή ͳͲିଵଵʹ ή Ͳǡ͹͵ʹ͵ ή ͳͲିଵ଴ ؆ ͲǡͲͻ͹͸ ׵ ߠ ؆ ͷǡ͸ι 
(3.4) 
 Questão 4
 
De acordo com o Princípio de Correspondência, 
quando ݊ ՜ λ esperam-se resultados clássicos no 
átomo de Bohr. Portanto, o comprimento de onda 
de De Broglie associado ao elétron (um resultado 
quântico) deve diminuir em comparação com o 
raio da órbita, à medida que ݊ aumenta. De fato, 
espera-se que ߣ ݎΤ ՜ Ͳ, quando ݊ ՜ λ. Isso 
acontece? 
Resolução: 
A quantização de Bohr, para o momento angular, 
também resulta na quantização do comprimento 
de onda, dada por: 
 ߣ௡ݎ௡ ൌ ʹ݊ߨ 
(4.1) 
 
Logo, no limite, teremos: 
 Ž‹௡՜ஶ ߣ௡ݎ௡ ൌ Ž‹௡՜ஶʹ݊ߨ ൌ Ͳ 
(4.2) 
 
Como era de se esperar. 
 
 Questão 5
 
Seja ݈ ൌ ʹͲ�ܿ݉ a distância entre as duas 
paredes laterais de um recipiente contendo 
átomos de argônio. Determine: (a) a separação 
entre os dois níveis mais baixos de energia, (b) a 
ordem de gandeza da energia térmica do argônio 
para ͵ͲͲ�ܭ, (c) a temperatura para a qual a 
energia térmica é igual ao espaçamento entre 
estes dois níveis de energia, (d) a distância ݈ para 
que a energia térmica seja igual à separação entre 
os dois níveis mais baixos de energia. 
Resolução: 
Para maiores detalhes acerca da quantização dos 
niveis de energia de uma partícula aprisionada em 
um recipiente, consulte: Física 4, Halliday & 
Resnick, 4ª edição, ed. LTC, Rio de Janeiro, 1990, 
capítulo 50, páginas 305-307. 
 
a) Podemos então utilizar a expressão da energia 
dada por: 
 
 
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3 
ܧ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݈݉ଶ 
 (5.1) 
Levando em consideração que a massa do átomo 
de argônio é da ordem de ͸ǡͷ ή ͳͲିଶ଺�݇݃, e 
utilizando os outros valores numéricos em (5.1), 
teremos: ܧ௡ ൌ ʹǡͳͳ ή ͳͲିସଵ ή ݊ଶ 
(5.2) 
Logo, teremos para a separação entre os dois mais 
baixos de energia: οܧ ؆ ʹǡͳͳ ή ͳͲିସଵሺͶ െ ͳሻ ׵ οܧ ൌ ͸ǡ͵͵ ή ͳͲିସଵ�ܬ ൌ ͵ǡͻ͸ ή ͳͲିଶଶ�ܸ݁ 
(5.3) 
b) Para ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ, teremos: ܧ ൌ ͵݇஻ܶʹ ׵ ܧ ൌ ͸ǡʹͳ ή ͳͲିଶଵܬ ؆ ͲǡͲͶ�ܸ݁ 
(5.4) 
Em que ݇஻ ൌ ͳǡ͵ͺ ή ͳͲିଶଷ�ܬ ή ܭିଵ. 
c) Utilizando o resultado de (5.3), teremos: ܶ ൌ ʹ ή οܧ௡͵݇஻ ׵ ܶ ؆ ͵ǡͲ͸ ή ͳͲିଵ଼�ܭ 
(5.5) 
d) Tomando a diferença entre as energias dos 
níveis mais baixos como sendo a energia térmica, 
teremos: 
݄ଶͺ ή ݉ ή ݈ଶ ή ͵ ൌ ͵݇஻ܶʹ ֜ ݈ ൌ ቎ ͵݄ଶͺ݉ ቀ͵݇஻ܶʹ ቁ቏
ଵଶ
 
(5.6) 
Utilizando a temperatura de ͵ͲͲ�ܭ, teremos para 
(5.6): ݈ ൌ ቈ ͵ሺ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସሻଶͺ ή ͸ǡͷ ή ͳͲିଶ଺ ή ͸ǡʹͳ ή ͳͲିଶଵ቉ଵଶ 
׵ ݈ ؆ ʹǡͲʹ ή ͳͲିଵଵ�݉ ൌ ʹǡͲʹ ή ͳͲିଽ�ܿ݉ 
(5.7) 
 
 Questão 6
 
Determinar, aproximadamente, a menor 
energia permitida de um elétron confinado num 
núcleo atômico (com diâmetro de 
aproximadamente ͳǡͶ ή ͳͲିଵସ�݉). Comparar essa 
energia com os vários ܯܸ݁ de energia que ligam 
os prótons e os neutrons dentro do núcleo; nestas 
condições, é de se esperar encontrarem-se 
elétrons dentro dos núcleos? 
Resolução: 
Vamos utilizar a expressão (5.1), e considerar o 
núcleo como se fosse o recipiente da questão 
anterior. Assim, teremos: 
 ܧ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݈݉ଶ ൌ ሺ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସሻଶͺ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ሺͳǡͶ ή ͳͲିଵସሻଶ ׵ ܧଵ ؆ ͵ǡͲ͹ ή ͳͲିଵ଴�ܬ ൌ ͳǡͻ ή ͳͲଽ�ܸ݁ 
(6.1) 
 
Em que ݊ ൌ ͳ. A energia do elétron, nestas 
circustâncias, é da ordem de ܩܸ݁. Não é de se 
esperar encontrar elétrons no núcleo. 
 
 Questão 7
 
Uma partícula acha-se confinada entre duas 
paredes rígidas, separadas entre si por uma 
distância ݈. Qual é a probabilidade de ser 
encontrada a uma distância ͳ ͵Τ de uma das 
paredes (a) quando ݊ ൌ ͳ, (b) quando ݊ ൌ ʹ, (c) e 
quando ݊ ൌ ͵, e (d) quando forem válidas as 
hipóteses da Física Clássica? 
Resolução: 
A função de onda para esse caso, é dada por: 
 ߰ ൌ ܣݏ݁݊ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ Ǣ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ 
 (7.1) 
 
Veja por exemplo: Física 4, Halliday & Resnick, 4ª 
edição, ed. LTC, Rio de Janeiro, 1990, capítulo 50, 
páginas 305-307. A probabilidade de se achar a 
partícula entre os dois planos situados a ݔ�‡�ݔ� ൅ �݀ݔ de uma das paredes é dada por: 
 
 
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4 
߰ଶ݀ݔ ൌ ܣଶݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ ݀ݔ 
(7.2)Consequentemente, a densidade de probalidade 
será: ߰ଶ ൌ ܣଶݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ 
(7.3) 
No entanto, não conhecemos o valor de ܣ. Mas 
sabemos que a probabilidade da partícula ser 
encontrada entre as paredes é exatamente 100%, 
ou seja, 1. Assim, utilizando a expressão (7.3), 
teremos: 
න ߰ଶ݀ݔ௟଴ ൌ ͳ ܣଶන ݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ௟଴ ൌ ͳ 
(7.4) 
Com auxílio de uma tabela de integrais (por 
exemplo: Manual de Fórmulas e Tabelas 
Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, 
ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973) poderemos 
encontrar, para (7.4): 
ܣଶ ൤ʹݔ െ ݈Ͷ݊ߨ ݏ݁݊ ൬ʹ݊ߨݔ݈ ൰൨଴௟ ൌ ͳ ׵ ܣ ൌ ඨʹ݈ 
(7.5) 
Assim, poderemos escrever: 
௡ܲሺݔሻ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ቀ݊ߨݔ݈ ቁ 
(7.6) 
Logo, para ݊ ൌ ͳ, teremos: 
ଵܲ ൬ ݈͵ ൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬ߨ݈͵݈൰ ݀ݔ ൌ ͵ʹ݈ ݀ݔ 
(7.7) 
Para, ݊ ൌ ʹ, teremos: 
ଶܲ ൬ͳ͵൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬ʹߨ݈͵݈ ൰ ݀ݔ ൌ ͵ʹ݈ ݀ݔ 
(7.8) 
 
Para ݊ ൌ ͵, teremos: 
 ଷܲ ൬ͳ͵൰ ݀ݔ ൌ ʹ݈ ݏ݁݊ଶ ൬͵ߨ݈͵݈ ൰ ݀ݔ ൌ Ͳ 
(7.9) 
 
Agora, levando em consideração as hipóteses da 
Física Clássica, em que a probabilidade de 
encontrar a partícula em qualquer lugar entre as 
paredes é constante, teremos: 
 ܲන ݀ݔ௟଴ ൌ ͳ ׵ ܲ ൌ ͳ݈ 
(7.10) 
 
De acordo com o resultado (7.10), a probabilidade 
de encontrar a partícula em qualquer ponto entre 
0 e ݈ é sempre a mesma. Lembrando que ܲ 
representa uma densidade de probabilidade. 
 
 Questão 8
 
No estado fundamental do átmo de hidrogênio, 
mostrar que a probabilidade ௥ܲ de o elétron estar 
dentro de uma esfera de raio r é dada por: 
 ௥ܲ ൌ ͳ െ ݁ିଶ௥ ௔Τ ቀଶ௥మ௔మ ൅ ଶ௥௔ ൅ ͳቁ. 
 
Fornecerá esta expressão os resultados esperados 
quando (a) ݎ ൌ Ͳ e (b) ݎ ൌ λ? 
Resolução: 
A função de onda para o elétron no estado 
fundamental é dada por: 
 Ȳ ൌ ͳξߨܽଷ ݁ି௥ ௔Τ ܿ݋ݏ߱ݐ 
(8.1) 
 
Em que ܽ ൌ ௛మఢబగ௠௘మ (corresponde ao raio da órbita 
do estado fundamental na teoria de Bohr). Na 
mecânica ondulatória corresponde a uma unidade 
de comprimento. Para a densidade de 
probabilidade, teremos: 
 
 
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5 
Ȳଶܸ݀ ൌ ൤ ͳξߨܽଷ ݁ି௥ ௔Τ ൨ଶ Ͷߨݎଶ݀ݎ 
(8.2) 
Em (8.2), tomamos apenas a parte espacial. 
Agora, De forma semelhante ao que foi feito em 
(7.4), teremos: �ܲ ௥ ൌ Ͷන ݎଶܽଷ ݁ିଶ௥ ௔Τ ݀ݎ௥଴ 
 (8.3) 
Com auxílio de uma tabela de integrais, teremos: 
௥ܲ ൌ െ ʹܽଶ ݁ିଶ௥ ௔Τ ቈݎଶ ൅ ܽݎ ൅ ܽଶʹ቉଴௥ ׵ ௥ܲ ൌ ͳ െ ݁ିଶ௥ ௔Τ ቆʹݎଶܽଶ ൅ ʹܽݎ ൅ ͳቇ 
(8.4) 
Tomando os valores de ݎ ൌ Ͳ, teremos, para (8.4): 
଴ܲ ൌ Ͳ 
(8.5) 
E para ݎ ՜ λ, teremos: 
ஶܲ ൌ ͳ 
(8.6) 
O resultado (8.6) expressa a probabilidade de o 
elétron existir. Logo, os resultados expressam os 
valores esperados. 
 Questão 9
No estado fundamental do átomo de 
hidrogênio, qual será a probabilidade de que o 
elétron esteja dentro de uma esfera de raio 
idêntico ao da primeira órbita de Bohr? 
Resolução: 
Utilizando (8.4), teremos: 
௥ܲ ൌ ͳ െ ͷ݁ିଶ ൌ Ͳǡ͵ʹ ൌ ͵ʹΨ 
(9.1) 
 Questão 10
 
Um feixe de elétrons de ͶͲ�ܸ݁ deslocando-se no 
sentido ൅ݔ passa através de uma fenda de largura 
igual a ͷǡͲ�ߤ݉ paralela ao eixo ݕ. A figura de 
difração é registrada em uma tela situada a uma 
distância de ʹǡͷ�݉ da fenda. (a) Qual é o 
comprimento de onda de De Broglie dos elétrons? 
(b) Quanto tempo os elétrons levam para ir da 
fenda até a tela? (c) Use a largura do máximo 
central da difração para calcular a incerteza no 
componente ݕ do momento linear do elétron logo 
depois que ele passou através da fenda. (d) Use o 
resultado do item (c) e o princípio da incerteza de 
Heisenberg, para ݕ, para estimar a incerteza 
mínima na coordenada ݕ de um elétron logo 
depois que ele passou através da fenda. Compare 
seus resultados com a largura da fenda. 
Resolução: 
a) Para o comprimento de onda, utilizando (3.2), 
teremos: 
 ߣ ൌ ͸ǡ͸ʹ͸ ή ͳͲିଷସඥʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͸ǡͶ ή ͳͲିଵ଼ ׵ ߣ ؆ ͳǡͻͶ ή ͳͲିଵ଴݉ ൌ ͳǡͻͶՀ 
(10.1) 
 
b) Utilizando a energia cinética (não relativística), 
poderemos obter a velocidade dos elétrons. Logo: 
 ܭ ൌ ݉ݒଶʹ ׵ ݒ ൌ ඨʹ ή ͸ǡͶ ή ͳͲିଵ଼ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ؆ ͵ǡ͹ͷ ή ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ 
 (10.2) 
 
Utilizando o resultado (10.2), e levando em 
consideração a distância de ʹǡͷ�݉, teremos: 
 οݐ ؆ ͸ǡ͹ ή ͳͲି଻ݏ 
(10.3) 
 
c) Uma rápida revisão acerca dos princípios de 
difração e interferência de ondas nos conduz a: 
 ߣ ൌ ܽ ή ߠଵ 
(10.4) 
 
 
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6 
Em que ܽ�‡�ߠଵ representam, respectivamente, a 
largura da fenda e o ângulo do primeiro máximo. 
Assim, utilizando o resultado de (10.1), teremos: ߠଵ ൌ ͳǡͻͶ ή ͳͲିଵ଴ͷ ή ͳͲି଺ ؆ ͵ǡͺͺ ή ͳͲିହ�ݎܽ݀ 
(10.5) 
A imprecisão para a coordenada ݕ será dada pela 
tangente de ߠଵ. Assim, teremos: ݐ݃ߠଵ ؆ ߠଵ ؆ οݕʹܦ 
(10.6) 
Em que aproximamos o valor da tangente. 
Também em (10.6), ܦ representa a distância da 
fenda até a tela. Assim, teremos, utilizando (10.6): οݕ ൌ ʹ ή ʹǡͷ ή ͵ǡͺͺ ή ͳͲିହ ؆ ͳǡͻͶ ή ͳͲିସ�݉ 
(10.7) 
Utilizando o princípio da incerteza de Heisenberg, 
teremos, para o componente do momento linear 
na direção y: ο݌௬ ή οݕ ؆ ԰ 
(10.8) 
Em que ԰ ൌ ௛ଶగ. Assim teremos: ο݌௬ ؆ ͷǡͶͶ ή ͳͲିଷଵ�݇݃ ή ݉ ή ݏିଵ 
(10.9) 
d) Comparando com a largura da fenda, a 
incerteza para ݕ dada por (10.7) é maior do que a 
largura da fenda. 
 Questão 11
Elétrons com velocidades elevadas são usados 
para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. 
Para tais elétrons a relação ߣ ൌ ௛௣, continua válida, 
porém devemos usar a expressão relativística 
para o momento linear, ݌ ൌ ௠௩ටଵିೡమ೎మ. (a) Mostre que 
a velocidade de um elétron que possui o 
comprimento de onda de De Broglie ߣ é dada por: 
ݒ ൌ ௖ටଵାቀ೘೎ഊ೓ ቁమ. 
 
(b) A grandeza ݄ ݉ܿΤ é igual a ʹǡͶʹ͸ ή ͳͲିଵଶ�݉. Se ߣ é pequeno em comparação com ݄ ݉ܿΤ , o 
denominador da expressão encontrada no item 
(a) é aproximadamente igual a ͳ e a velocidade ݒ é 
aproximadamente igual a ܿ. Nesse caso, é 
conveniente escrever ݒ ൌ ሺͳ െ οሻܿ e expressar a 
velocidade do elétron em termos de ο em vez de ݒ. 
Encontre uma expressão para ο válida quando ߣ ا ݄ ݉ܿΤ . (Dica: Use a série binomial ሺͳ ൅ ݖሻ௡ ൌ ͳ ൅ ݊ݖ ൅ ݊ሺ݊ െ ͳሻݖଶ ʹΤ ൅ ڮ, válida 
para ȁݖȁ ൏ ͳ.) (c) Qual deve ser a velocidade de um 
elétron para que seu comprimento de onda de De 
Broglie seja igual a ͳǡͲͲ ή ͳͲିଵହ݉, comparável 
com o diâmetro de um próton? Expresse sua 
resposta na forma de ݒ ൌ ሺͳ െ οሻܿ, dizendo 
quanto vale o ο. 
Resolução: 
a) Utilizando a relação de De Broglie, teremos: 
 ߣ ൌ ݄ ή ටͳ െ ݒଶܿଶ݉ݒ 
(11.1) 
 
Logo: 
 ݒଶ݉ଶߣଶ݄ଶ ൌ ͳ െ ݒଶܿଶ ׵ ݒ ൌ ܿටͳ ൅ ቀ݉ܿߣ݄ ቁଶ 
(11.2) 
 
b) Agora, tomando ܽ ൌ ௛௠௖, teremos, para o 
resultado (11.2): 
 ݒ ൌ ܿ ቆͳ ൅ ൬ܽߣ൰ଶቇିଵଶ 
 (11.3) 
 
Utilizando a expansão binomial, teremos: 
 ݒ ؆ ܿ ቆͳ െ ͳʹ ൬ܽߣ൰ଶቇ 
(11.4) 
 
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7 
Em que ܽ ب ߣ. 
c) Utilizando os dados numéricos em (11.4), 
teremos: ݒ ؆ ሺͳ െ οሻܿ 
(11.5) 
Em que οൌ ఒమଶή௔మ ؆ ͺǡͷ ή ͳͲିଷ଼. 
 Questão 12
Para partículas relativísticas, a relação ߣ ൌ ௛௣ 
continua válida, porém o módulo do momento 
linear ݌ é relacionado com a energia ܧ pela 
equação ܧଶ ൌ ሺ݌ܿሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ. A energia cinética é 
dada por ܭ ൌ ܧ െ݉ܿଶ. (a) Mostre que o 
comprimento de onda de De Broglie para uma 
partícula com energia cinética ܭ e massa de 
repouso ݉ é dada por: ߣ ൌ ௛௖ඥ௄ሺ௄ାଶ௠௖మሻ. 
 
(b) Encontre expressões aproximadas para ߣ em 
função de ܭ nos casos especiais (i) ܭ ا ݉ܿଶ 
(limite não relativístico) e (ii) ܭ ب ݉ܿଶ (limite 
extremamente relativístico). (c) Calcule o 
comprimento de onda de De Broglie para um 
próton com energia cinética igual a ͹ǡͲͲ�ܩܸ݁. (d) 
Repita o item (c) para um elétron com energia 
cinética de ʹͷǡͲ�ܯܸ݁. 
Resolução: 
a) Tomando a expressão da energia cinética e 
também a expressão da energia mecânica, 
teremos: 
 ሺܭ ൅݉ܿଶሻଶ ൌ ሺ݌ܿሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ ܭଶ ൅ ʹܭ݉ܿଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ ൌ ሺ݌ܿሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ ׵ ݌ ൌ ሾܭሺܭ ൅ ʹ݉ܿଶሻሿଵଶܿ 
(12.1) 
Utulizando o resultado (12.1), e a expressão do 
comprimento de onda de De Broglie, teremos: 
ߣ ൌ݄ܿሾܭሺܭ ൅ ʹ݉ܿଶሻሿଵଶ 
(12.2) 
 
b) (i)Caso não relativístico ሺܭ ا ݉ܿଶሻ: 
 ߣ ൌ ݄ܿ൥ܭ ሺܭ ൅ ʹ݉ܿଶሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ؆ଶ௠௖మ ൩
ଵଶ 
 ׵ ߣ ؆ ݄ξʹ݉ܭ 
(12.3) 
 
 
(ii) Caso extremamente realtivístico ሺܭ ب ݉ܿଶሻ: 
 ߣ ൌ ݄ܿቈܭ ሺܭ ൅ ʹ݉ܿଶሻᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ؆௄ ቉ଵଶ
 
 ׵ ߣ ൌ ݄ܿܭ 
(12.4) 
 
c) A energia de repouso do próton vale cerca de: 
 ͳǡͷͳ ή ͳͲିଵ଴�ܬ ؆ ͻǡͶ͵ ή ͳͲ଼�ܸ݁ ൌ ͲǡͻͶ͵�ܩܸ݁. 
(12.5) 
 
Levando em consideração que a energia cinética 
do próton é maior do que sua energia de repouso, 
poderemos então utilizar a expressão (12.4). 
Assim: 
 
 ߣ௣௥ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ ή ͵ ή ͳͲ଼͹ ή ͳͲଽ ؆ ͳǡͺ ή ͳͲିଵ଺݉ 
(12.6) 
 
d) Para o elétron, a energia de repouso vale: 
 ͺǡʹ ή ͳͲିଵସ�ܬ ؆ ͷǡͳ ή ͳͲହ�ܸ݁ ൌ Ͳǡͷͳ�ܯܸ݁ 
(12.7) 
 
Levando em consideração que a energia cinética 
do elétron, também se mostra maior do que sua 
 
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energia de repouso, assim como foi feito para o 
próton, utilizaremos a expressão (12.4). Assim: ߣ௘௟ ൌ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହ ή ͵ ή ͳͲ଼ʹͷ ή ͳͲ଺ ؆ Ͷǡͻ͹ ή ͳͲଵସ�݉ 
(12.8) 
 Questão 13
Incertezas em espectros atômicos. Um certo 
átomo possui um nível de energia ʹǡͷͺ�ܸ݁ acima 
do nível fundamental. Uma vez excitado até esse 
nível, o átomo permanece nesse nível durante ͳǡ͸Ͷ ή ͳͲି଻�ݏ (na média) antes de emitir um fóton 
e retornar ao nível fundamental. (a) Qual é a 
energia do fóton (em elétron-volts)? Qual é seu 
comprimeto de onda (em nanômetros)? (b) Qual é 
a menor incerteza possível na energia do fóton? 
Forneça sua resposta em elétron-volts. (c) Mostre 
que ȁοܧ ܧΤ ȁ ൌ ȁοߣ ߣΤ ȁ, quando ȁοߣ ߣΤ ȁ ا ͳ. Use 
esse resultado para calcular o módulo da menor 
incerteza possível no comprimento de onda do 
fóton. Forneça sua resposta em nanômetros. 
Resolução: 
a) A energia do fóton, depois do decaimento para 
o estado fundamental será dada por: ܧ௙×௧௢௡ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସߣ௙×௧௢௡ 
(13.1) 
Em que a energia é dada em ሺܸ݁ሻ e o 
comprimento de onda em ൫Հ൯. Assim, utilizando 
(13.1), teremos: ߣ ൌ ͶͺͲ͸�Հ ൌ ͶͺͲǡ͸�݊݉ 
(13.2) 
b) Utilizando o princípio de Heisenberg para a 
energia, teremos: 
οܧ ή οݐ ؆ ԰ ֜ οܧ ؆ ͶǡͳͶ ή ͳͲିଵହʹߨ ή ͳǡ͸Ͷ ή ͳͲି଻ ׵ οܧ ؆ Ͷ ή ͳͲିଽ�ܸ݁ 
(13.3) 
c) Tomando a diferencial de (13.1), teremos: 
݀ܧ ൌ െͳǡʹͶ ή ͳͲସߣଶ ݀ߣ 
(13.4) 
 
Agora, dividindo (13.4) por (13.1), teremos: 
 ݀ܧܧ ൌ െͳǡʹͶ ή ͳͲ
ସ ߣଶൗͳǡʹͶ ή ͳͲସ ߣൗ ݀ߣ ׵ ݀ܧܧ ൌ െ݀ߣߣ 
(13.5) 
 
Sendo as variações tão pequenas quanto as 
diferenciais poderemos escrever, para (13.5), a 
seguinte expressão: 
 ฬοܧܧ ฬ ؆ ฬοߣߣ ฬ 
(13.6) 
 
Agora, tomando os resultados (13.2) e (13.3) 
juntamente com a expressão (13.6), teremos: 
 οߣ ؆ Ͷ ή ͳͲିଽ ή ͶͺͲǡ͸ʹǡͷͺ ׵ οߣ ؆ ͹ǡͶͷ ή ͳͲି଻�݊݉ 
(13.7) 
 
 Questão 14
 
Energia do ponto zero. Considere uma 
partícula de massa ݉ movendo-se através de um 
potencial ܷ ൌ ௞௫మଶ , como no caso do sistema 
massa-mola. A energia total da partícula é ܧ ൌ ݌ଶ ʹ݉Τ ൅ ݇ݔଶ ʹΤ . Suponha que ݌ e ݔ sejam 
relacionados pelo princípio da incerteza de 
Heisenberg, ݌ݔ ؆ ݄. (a) Calcule o menor valor 
possível da energia ܧ bem como o valor de ݔ que 
fornece o valor mínimo de ܧ. Esse valor mínimo 
da energia, que não igual a zero, denomina-se 
energia do ponto zero. (b) Para o valor de ݔ 
calculado no item (a), qual é a razão entre a 
energia cinética e a energia potencial da partícula? 
Resolução: 
a) Vamos tomar a sugestão dada no enunciado. 
Assim, poderemos escrever: 
 
 
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ܧ ൌ ݄ଶʹ݉ݔଶ ൅ ݇ݔଶʹ 
(14.1) 
Para encontrar o mínimo da expressão (14.1), 
teremos que derivar a referida expressão e 
encontra os valores de ݔ que tornam a derivada 
nula. Assim: ݀ܧ݀ݔ ൌ െ ݄݉ݔଷ ൅ ݇ݔ ݀ܧ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ݔ ൌ ቆ ݄ଶ݉݇ ቇଵସ 
(14.2) 
Substituindo o resultado de (14.2) em (14.1), 
teremos: 
ܧ௠À௡ ൌ ݄ଶʹ݉ ή ξ݄݉݇ ൅ ݄݇ʹξ݉݇ ׵ ܧ௠À௡ ൌ ݄ ൬ ݇݉ ൰ଵଶ 
(14.3) 
Tomando a razão entre as energias cinética e 
potencial, teremos: 
ܷܭ ൌ ݄ʹ ቀ ݇݉ ቁ
ଵଶ݄ʹ ቀ ݇݉ ቁଵଶ ൌ ͳ 
(14.4) 
Obs.: Para o resultado (14.2) não foi feito o teste 
para saber se o ponto em questão é ponto de 
máximo ou ponto de mínimo. No entanto, pode-se 
fazer o teste da segunda derivada e comprovar 
que se trata de ponto de mínimo. 
 Questão 15
Considere a função de onda Ȳ ൌ ߰ଵ݁ି௜ఠభ௧ ൅߰ଶ݁ି௜ఠమ௧, onde ߰ଵ�‡�߰ଶ são funções diferentes que 
não dependem do tempo e ߱ଵ�‡�߱ଶ são constantes 
reais diferentes. Suponha que ߰ଵ�‡�߰ଶ sejam 
funções reais unívocas, de modo que ߰ଵכ ൌ
߰ଵ�‡�߰ଶכ ൌ ߰ଶ. A função Ȳ representa um estado 
estacionário? Por quê? 
Resolução: 
Seja ȁȲȁଶ ൌ ȲכȲ. Em que: 
 Ȳכ ൌ ߰ଵכ݁௜ఠభ௧ ൅ ߰ଶכ݁௜ఠమ௧ ൌ ߰ଵ݁௜ఠభ௧ ൅ ߰ଶ݁௜ఠమ௧ 
(15.1) 
 
Assim: 
 ȁȲȁଶ ൌ ȲכȲ ൌ ሺ߰ଵ݁௜ఠభ௧ ൅ ߰ଶ݁௜ఠమ௧ሻሺ߰ଵ݁ି௜ఠభ௧ ൅߰ଶ݁ି௜ఠమ௧ሻ ׵ ȁȲȁଶ ൌ ȁ߰ଵȁଶ ൅ ȁ߰ଶȁଶ ൅ ߰ଵ߰ଶ൫݁ି௜ሺఠభିఠమሻ௧ ൅ ݁௜ሺఠభିఠమሻ௧൯ 
(15.2) 
 
O resultado de (15.2) mostra que ȁȲȁଶ é 
dependente do tempo. Logo Ȳ não representa um 
estado estacionário. 
 
 Questão 16
 
Uma partícula é descrita por uma função de 
onda normalizada dada por ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌܣ݁ݔ݌ሾെߙሺݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶሻሿ, onde ܣ�‡�ߙ são 
constantes positivas reais. (a) Determine a 
probabilidade de a partícula ser encontrada no 
volume entre ݎ�‡�ݎ ൅ ݀ݎ centralizado na origem. 
(Dica: Considere uma coroa esférica centralizada 
na origem com raio interno ݎ e com espessura ݀ݎ). 
(b) Para que valores de ݎ a probabilidade 
encontrada no item (a) atinge seu valor máximo? 
Esse valor é igual ao que você obtém quando ȁ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻȁଶ atinge seu valor máximo? Caso não 
seja igual, explique a diferenças. 
Resolução: 
Vamos utilizar a dica dada no enunciado. Assim, 
teremos: 
 ݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶ ൌ ݎଶ 
(16.1) 
 
E também, para o elemento de volume: 
 ݀ݔ݀ݕ݀ݖ ൌ ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ 
(16.2) 
 
Logo: 
 ȁ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻȁଶܸ݀ ൌ Ͷߨܣଶݎଶ݁ିଶఈ௥మ݀ݎ 
(16.3) 
 
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b) Para a densidade de probabilidade, teremos: ܲሺݎሻ ൌ Ͷߨܣଶݎଶ݁ିଶఈ௥మ 
(16.4) 
Tomando a derivada de (16.4) e procurando o 
valor de ݎ que anule a derivada teremos: ݀ܲ݀ݎ ൌ ͺܣଶߨݎ݁ିଶఈ௥మ െ ͳ͸ߙܣଶߨݎଷ݁ିଶఈ௥మ ݀ܲ݀ݎ ൌ Ͳ ֜ ͺܣଶߨݎ݁ିଶఈ௥మ ൌ ͳ͸ߙܣଶߨݎଷ݁ିଶఈ௥మ ׵ ݎ ൌ ൬ ͳʹߙ൰ଵଶ 
(16.5) 
O resultado de (16.5) é o valor de r em que a 
probabilidade atinge seu valor máximo. Esse 
resultado difere do que seria encontrado para ߰ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ. Até porque encontramos a densidade de 
probabilidade em coordenadas esféricas. 
 Questão 17
Considere o pacote de onda dado por: ߰ሺݔሻ ൌ ׬ ܤሺ݇ሻܿ݋ݏ݇ݔ�݀݇ஶ଴ . 
 
Em que ݇ ൌ ʹߨ ߣΤ representa o número de onda. 
Seja ܤሺ݇ሻ ൌ ݁ݔ݌ሺെߙଶ݇ଶሻ. (a) A função ܤሺ݇ሻ 
possui seu valor máximo para ݇ ൌ Ͳ. Seja ݇଴ǡହ o 
valor de k para o qual o valor ܤሺ݇ሻ é igual à 
metade de seu valor máximo e definimos a largura 
e ܤሺ݇ሻ como ௞ܹ ൌ ݇଴ǡହ. Em termos de ߙ, quando 
vale ௞ܹ? (b) Use tabelas de integrais para calcular 
a integral que fornece ߰ሺݔሻ. Para que valor de x a 
função ߰ሺݔሻ atinge seu valor máximo? (c) 
Definimos a largura ߰ሺݔሻ como ௫ܹ ൌ ݔ଴ǡହ, onde ݔ଴ǡହ é o valor positivo de ݔ para o qual ߰ሺݔሻ atinge 
um valor igual à metade de seu valor máximo. 
Calcule ௫ܹ, em termos de ߙ. (d) O momento linear 
p é igual a ԰݇, de modo que a largura de B em 
relação ao momento linear é ௣ܹ ൌ ԰ ௞ܹ . Calcule o 
produto ௣ܹ ௞ܹ e compare o resultado com o 
princípio da incerteza de Heisenberg. 
Resolução: 
a) O valor máximo de B é 1. Assim, para a metade, 
teremos: 
ͳʹ ൌ ݁ିఈమ௞బǡఱమ ݈݊ʹିଵ ൌ െߙଶ݇଴ǡହଶ ׵ ݇଴ǡହ ؆ Ͳǡͺ͵͵ߙ 
(17.1) 
 
Logo: 
 ௞ܹ ൌ Ͳǡͺ͵͵ߙ 
(17.2) 
 
b) Utilizando uma tabela de integrais, por 
exemplo: Manual de Fórmulas e Tabelas 
Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, 
ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973, temos: 
 න ݁ି௔௫మܿ݋ݏܾݔ�݀ݔஶ଴ ൌ ͳʹටܽߨ ݁ି௕మସ௔ 
(17.3) 
 
Com isso, teremos para ߰ሺݔሻ, a seguinte 
expressão: 
 ߰ሺݔሻ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ ݁ି� ௫మସఈమ 
(17.4) 
 
A função dada em (17.4) assume seu valor 
máximo, para ݔ ൌ Ͳ. Sendo: 
 ߰௠ž௫ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ 
(17.5) 
 
c) Para a largura, teremos: 
 ͳͶ ή ξߨߙ ൌ ͳʹ ή ξߨߙ ݁ି�௫బǡఱమସఈమ ׵ ݔ଴ǡହ ؆ ͳǡ͸͹ߙ(17.6) 
 
Logo: 
 ௫ܹ ൌ ͳǡ͸͹ߙ 
(17.7) 
 
d) Tomando o produto, utilizando (17.2) e (17.7), 
teremos: 
 
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௣ܹ ௫ܹ ൌ ԰ ௞ܹ ௫ܹ ؆ ͳǡ͵ͻ԰ 
(17.8) 
Comparando o resultado de (17.8) com o princípio 
da incerteza podemos concluir que são 
praticamente iguais.

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