Física 4-15

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 15 
 Questão 1
O momento angular orbital de um elétron 
possui módulo igual a Ͷǡ͹ͳ͸ ή ͳͲିଷସ�݇݃ ή ݉ଶ ή ݏିଵ. 
Qual é o número quântico do momento angular ݈ 
desse elétron? 
Resolução: 
O momento angular é dado por: ܮ ൌ ԰ඥ݈ሺ݈ ൅ ͳሻ 
(1.1) 
Substituindo os dados em (1.1), teremos: 
݈ଶ ൅ ݈ െ ൬ܮ԰൰ଶ ൌ Ͳ� ݈ଶ ൅ ݈ െ ͳͻǡͻͺͳ ൌ Ͳ 
(1.2) 
Resolvendo a equação (1.2), encontra-se, sendo ݈ ൐ Ͳ: ݈ ൌ Ͷ 
(1.3) 
 Questão 2
Qual é a probabilidade de que um elétron seja 
encontrado no estado 1s do átomo de hidrogênio 
a uma distância menor do que ܽ ʹΤ do núcleo? 
Resolução: 
A função de onda do elétron no estado 1s é dada 
por: ߰ଵ௦ሺݎሻ ൌ ͳξߨܽଷ ή ݁ି�௥௔ 
(2.1) 
Em que ܽ ؆ Ͳǡͷ͵�Հ. A probabilidade então, será 
dada por: 
 ܲ ൌ නȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶܸ݀ 
(2.2) 
Em que ȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶ ൌ ߰ଵ௦כ ߰ଵ௦ e ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Assim, 
poderemos integrar (2.2). Logo: 
 නȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶܸ݀ ൌ Ͷܽଷනݎଶ݁ି�ଶ௥௔ ݀ݎ 
(2.3) 
 
Vamos utilizar a seguinte integral: 
 නݎଶ݁ି�ଶ௥௔ ݀ݎ ൌ ቆെܽݎଶʹ െ ܽଶݎʹ െ ܽଷͶ ቇ ݁ି�ଶ௥௔ 
(2.4) 
 
Para (2.4), veja: Manual de Fórmulas e Tabelas 
Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, 
ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. Utilizando 
(2.4) em (2.3), nas condições do enunciado, 
teremos: 
 Ͷܽଷන ݎଶ݁ି�ଶ௥௔ ݀ݎ௔ଶ଴ ൌ െʹǡͷ݁ ൅ ͳ ؆ ͲǡͲͺͲ͵ 
(2.5) 
 
 Questão 3
 
Para a função de onda ߰ሺݎǡ ߠǡ ߶ሻ ൌܴሺݎሻȣሺߠሻȰሺ߶ሻ, onde a função Ȱሺ߶ሻ ൌܣ݁ݔ݌ሺ݅݉௟߶ሻ, mostre que ȁ߰ȁଶ não depende de ߶. 
Qual deve ser o valor de A para que Ȱሺ߶ሻ satisfaça 
a condição de normalização ׬ ȁȰሺ߶ሻȁଶ݀߶ଶగ଴ ൌ ͳ? 
Resolução: 
Para ȁ߰ȁଶ, teremos: 
 ȁ߰ȁଶ ൌ ܴכȣכȰכܴȣȰ 
(3.1) 
 
Mas: 
 ȰכȰ ൌ ܣଶ݁ି௜௠೗థା௜௠೗థ ൌ ܣଶ 
 (3.2) 
 
Logo: 
 ȁ߰ȁଶ ൌ ܴכܴȣכȣܣଶ 
(3.3) 
 
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Fazendo a integração, teremos: න ȁȰሺ߶ሻȁଶ݀߶ଶగ଴ ൌ ܣଶන ݁ି௜௠೗థା௜௠೗థଶగ଴ ݀߶ ׵ ܣ ൌ ͳξʹߨ 
(3.4) 
 Questão 4
Um átomo de hidrogênio está no estado ݀. Na 
ausência de campo magnético externo, os estados 
com valores diferentes de ݉௟ possuem 
(aproximadamente) a mesma energia. Considere a 
interação do campo magnético com o momento de 
dipolo magnético orbital do átomo. (a) Calcule em 
elétron-volts o desdobramento dos níveis ݉௟ 
quando o átomo é colocado em um campo 
magnético de ͲǡͶͲͲ�ܶ na direção z. (b) Qual é o 
nível ݉௟ que possui a energia mais baixa? (c) Faça 
um diagrama dos níveis de energia ݀ com e sem o 
campo magnético. 
Resolução: 
a) A energia de interação com o campo magnético 
é dada por: ܷ ൌ ݉௟ߤ஻ܤ 
(4.1) 
Em que ߤ஻ é o magnéton de Bohr, cujo valor é de ͷǡ͹ͺͺ ή ͳͲିହ�ܸ݁ ή ܶିଵ ൌ ͻǡʹ͹Ͷ ή ͳͲିଶସ�ܬ ή ܶିଵ. Para 
o estado ݀�ሺ݈ ൌ ʹሻ, temos: ݉௟ ൌ Ͳǡ േͳ�‡� േ ʹ. 
Assim, ܷ௠೗ ൌ ݉௟ ή ʹǡ͵ͳͷ ή ͳͲିହܸ݁ 
(4.2) 
Ou seja: 
଴ܷ ൌ Ͳ; ܷേଵ ൌ േʹǡ͵ͳͷ ή ͳͲିହܸ݁�; ܷേଶ ൌ േͶǡ͸͵Ͳ ή ͳͲିହ�ܸ݁. 
(4.3) 
b) O nível ݉௟ ൌ െʹ. 
c) O diagrama: 
ܧณ஻ୀ଴െ
ܧ ൅ ܷାଶܧ ൅ ܷାଵܧܧ ൅ ܷିଵܧ ൅ ܷିଶᇣᇧᇤᇧᇥ஻ஷ଴
 
(4.4) 
 
 Questão 5
 
Calcule a diferença de energia entre o nível ݉௦ ൌ ଵଶ (“spin para cima”) e o nível ݉௦ ൌ െ ଵଶ 
(“spin para baixo”) para o átomo de hidrogênio no 
estado 1s quando ele é colocado em um campo 
magnético com módulo igual a ͳǡͶͷ�ܶ situado no 
sentido negativo do eixo z. Qual é o nível, dentro 
os supracitados, que possui a energia mais baixa? 
Resolução: 
O momento magnético de spin, na direção z é 
dado por: 
 ߤ௭ ൌ െʹǡͲͲʹ͵ʹ ή ݁ʹ݉ ή ܵ௭ 
 (5.1) 
 
Em que ܵ௭ ൌ േ ଵଶ ή ԰ é o momento angular de spin. 
Assim, a energia de interação com o campo 
magnético será dada por: 
 ܷ ൌ טሺͳǡͲͲͳͳ͸ሻߤ஻ܤ 
(5.2) 
 
Utilizando (5.2), teremos para a diferença de 
energia: 
 οܧ ؆ ͳǡ͸ͺ ή ͳͲିସ�ܸ݁ 
 (5.3) 
 
O nível de menor energia é o nível referente a ݉௦ ൌ ଵଶ. 
 
 Questão 6
 
Faça uma lista das possíveis combinações de ݈ e ݆ para o átomo de hidrogênio no nível ݊ ൌ ͵. 
Resolução: 
Para ݊ ൌ ͵, teremos para ݈: ݈ ൌ Ͳǡ ͳ�‡�ʹ. Para ݆, 
temos: ݆ ൌ ቚ݈ േ ଵଶቚ. Assim, para ݈ ൌ Ͳ, temos: 
 
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݆ ൌ േ ͳʹ 
(6.1) 
Para ݈ ൌ ͳ, temos: ݆ ൌ ͵ʹ ��‘—��݆ ൌ ͳʹ 
(6.2) 
E para ݈ ൌ ʹ, temos: ݆ ൌ ͷʹ ��‘—��݆ ൌ ͵ʹ 
(6.3) 
 Questão 7
A interação hiperfina no átomo de hidrogênio 
entre o momento de dipolo magnético do próton e 
o momento de dipolo magnético de spin do 
elétron produz o desdobramento do nível 
fundamental em dois níveis separados por ͷǡͻ ή ͳͲି଺�ܸ݁. (a) Calcule o comprimento de onda e 
a frequência do fóton emitido quando o átomo faz 
uma transição entre esses estados. Em que parte 
do espectro eletromagnético o fóton se encontra? 
Tais fótons são emitidos por nuvens de hidrogênio 
frias do espaço interestelar; ao detectar esses 
fótons, os astrônomos são capazes de calcular o 
número e a densidade de tais nuvens. (b) Calcule o 
campo magnético efetivo que atua sobre o elétron 
nesses estados. 
Resolução: 
a) O comprimento de onda é dada por: ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସܧ 
(7.1) 
Utilizando os dados numéricos na equação (7.1), 
teremos: ߣ ؆ ʹǡͳ ή ͳͲଽՀ ൌ ʹͳ�ܿ݉ 
(7.2) 
Esse comprimento de onda se encontra na faixa 
das micro-ondas. 
b) O desdobramento para esse caso será dado por: 
ܷ ൌ െߤ௭ܤ 
(7.3) 
 
Que resultado na expressão (5.2). A energia de 
desdobramento pode ser tomada como a metade 
da diferença de energia. Assim: 
 ʹܧ ൌ ሺͳǡͲͲͳͳ͸ሻߤ஻ȁܤȁ 
(7.4) 
 
Sabendo que ͷǡͻ ή ͳͲି଺�ܸ݁ ൌ ͻǡͶͶ ή ͳͲିଶହ�ܬ e 
substituindo em (7.4), teremos: 
 ȁܤȁ ൌ Ͷǡ͹ʹ ή ͳͲିଶହͳǡͲͲͳͳ͸ ή ͻǡʹ͸Ͳͺ ή ͳͲିଶସ � ׵ ȁܤȁ ൌ ͲǡͲͷͳ�ܶ 
(7.5) 
 
 Questão 8
 
Modelo clássico do spin do elétron. (a) Se 
você imaginar o elétron como uma esfera clássica 
com raio igual a ͳǡͲ ή ͳͲିଵ଻�݉, qual será a 
velocidade angular necessária para produzir um 
momento angular de spin de modulo igual a ටଷସ԰? 
(b) Use ݒ ൌ ݎ߱ e o resultado do item (a) para 
calcular o módulo da velocidade ݒ no equador do 
elétron. O que seu resultado informa sobre a 
validade desse modelo? 
Resolução: 
a) O momento de inércia de uma esfera, referente 
à revolução em torno do diâmetro, é dado por: 
 ܫ ൌ ʹݎଶ݉ͷ 
(8.1) 
 
Em que ݉ é a massa do elétron e ݎ o seu raio. 
Utilizando o dado numérico fornecido pelo 
enunciado da questão e o valor da massa do 
elétron, teremos para o seu momento de inércia: 
 ܫ ൌ ͵ǡ͸ ή ͳͲି଺ହ�݇݃ ή ݉ଶ 
(8.2) 
 
O momento angular é calculado pela expressão: �ܮ ൌ ܫ ή ߱ 
 (8.3) 
 
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Logo, teremos: 
߱ ൌ ඨͶ͵԰ ή ͳ͵ǡ͸ ή ͳͲି଺ହ ؆ ʹǡͷ ή ͳͲଷ଴ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
 (8.4) 
b) Com o resultado de (8.4), teremos para a 
velocidade linear na altura do equador eletrônico: ݒ ൌ ߱ ή ݎ ؆ ʹǡͷ ή ͳͲଵଷ�݉ ή ݏିଵ 
(8.5) 
O que corresponde a uma velocidade muito maior 
do que ܿ. Esse resultado é inválido sob a luz da 
teoria da relatividade especial. 
 Questão 9
Para um átomo de hidrogênio, a probabilidade ܲሺݎሻ de encontrar o elétron no interior de uma 
camada esférica de raio interno ݎ e raio externo ݎ ൅ ݀ݎ é dada por (veja questão 2): 
 ܲሺݎሻ݀ݎ ൌ ସ௔య ݎଶ݁ି�మೝೌ݀ݎ. 
Para um átomo de hidrogênio no estado 
fundamental 1s, para que valor de ݎ a 
probabilidade ܲሺݎሻ atinge seu valor máximo? 
Resolução: 
A probabilidade de se encontrar o elétron em uma 
determinada posição é dada por: ܲሺݎሻ ൌ Ͷܽଷ ݎଶ݁ି�ଶ௥௔ 
(9.1) 
Derivando a expressão (9.1), poderemos 
encontrar o valor de ݎ que fornece a máxima 
probabilidade. Logo: ݀ܲሺݎሻ݀ݎ ൌ ͺܽଷ ή ݎ ή ݁ି�ଶ௥௔ ቀͳ െ ܽݎቁ 
(9.2) 
Então, para ݎ ൌ ܽ ؆ Ͳǡͷ͵�Հ, a expressão (9.2) se 
anula (com exceção de ݎ ൌ Ͳ�‡�ݎ ՜ λ, resultados 
que fornecem probabilidade nula), sendo assim a 
posição cuja probabilidade assume o valor 
máximo. Esse valor encontrado para ݎ é 
exatamente igual ao valor do raio no modelo de 
Bohr para o estado fundamental. 
 
 Questão 10
 
Considere um átomo de hidrogênio no estado 
1s. (a) Para qual valor de ݎ a energia potencial ܷሺݎሻ torna-se igual à energia total ܧ? Expressesua 
resposta em termos de ܽ. Esse valor de ݎ é 
chamado de ponto de inversão clássico porque 
nesse ponto uma partícula newtoniana pára 
momentaneamente e depois retorna em sentido 
contrário. (b) Para um valor de ݎ maior do que o 
valor do ponto de inversão clássico, ܷሺݎሻ ൐ ܧ. 
Classicamente a partícula não pode estar nessa 
região porque a energia cinética não pode ser 
negativa. Calcule a probabilidade de o elétron ser 
encontrado nessa região proibida classicamente. 
Resolução: 
a) Para o elétron no estado 1s, a energia total é 
dada por: 
 ܧଵ௦ ൌ െ ͳሺͶߨ߳଴ሻଶ ή ݉௥݁ସʹ԰ଶ 
(10.1) 
 
 
Em que ݉௥ é a massa reduzida. A energia 
potencial, por sua vez, é dada por: 
 ܷ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶݎ 
(10.2) 
 
Igualando as expressões (10.1) e (10.2), e 
resolvendo para ݎ, teremos: 
 ݎ ൌ ͺߨ߳଴԰ଶ݉௥݁ଶ ൌ ʹܽ 
(10.3) 
 
b) Utilizando a expressão (9.1), teremos, para a 
probabilidade solicitada: 
 ܲ ൌ Ͷܽଷන ݎଶ݁ି�ଶ௥௔ ݀ݎஶଶ௔ ܲ ൌ Ͷܽଷ ቈͲ െ ͳ͵ܽଷͶ ή ݁ିସ቉ 
 
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׵ ܲ ൌ Ͳǡʹ͵ͺ 
 (10.4) 
Obs.: Para a integral consulte a questão 2. 
 Questão 11
A função de onda para o átomo de hidrogênio 
no estado 2s é dada por: ߰ଶ௦ሺݎሻ ൌ ଵξଷଶగ௔య ቀʹ െ ௥௔ቁ ݁ି� ೝమೌ. 
Mostre que essa função de onda é normalizada. No 
modelo de Bohr, a distância entre o elétron e o 
núcleo no estado 2s é exatamente igual a Ͷܽ. 
Calcule a probabilidade de que um elétron no 
estado 2s seja encontrado a uma distância em 
relação ao núcleo menor do que Ͷܽ. 
Resolução: 
A condição de normalização remente à 
probabilidade de se encontrar o elétron em algum 
lugar ao redor do núcleo. E essa probabilidade 
deve ser igual a 1. Logo: නȁ߰ଶ௦ȁଶܸ݀ ൌ ͳ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି�௥௔ �݀ݎஶ଴ ൌ ͳ 
(11.1) 
Em que ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Podemos utilizar as 
seguintes integrais: 
නݎଶ݁ି�௥௔�݀ݎ ൌ െܽ݁ି�௥௔ሺݎଶ ൅ ʹݎܽ ൅ ʹܽଶሻ නݎଷ݁ି�௥௔�݀ݎ ൌ െܽݎଷ݁ି�௥௔ െ ͵ܽଶ݁ି�௥௔ሺݎଶ ൅ ʹݎܽ ൅ ʹܽଶሻ නݎସ݁ି�௥௔�݀ݎ ൌ െܽݎସ݁ି�௥௔ െ Ͷܽଶݎଷ݁ି�௥௔െ ͳʹܽଷ݁ି�௥௔ሺݎଶ ൅ ʹݎܽ ൅ ʹܽଶሻ 
(11.2) 
Quando utilizamos (11.2) em (11.1), 
encontraremos: ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି�௥௔�݀ݎஶ଴ ൌ ͳ െ ͵ ൅ ͵ ൌ ͳ 
 (11.3) 
Logo, a função de onda é normalizada. 
A probabilidade em questão será dada por: 
 ܲ ൌ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି�௥௔�݀ݎସ௔଴ 
(11.4) 
 
Utilizando as integrais em (11.2), teremos: 
 ܲ ൌ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି�௥௔�݀ݎସ௔଴ ൌ ͳ െ ݁ିସሺͳ͵ ൅ ͵ʹሻ ׵ ܲ ؆ Ͳǡͳ͹͸ 
(11.5) 
 
 Questão 12
 
Para um átomo de hidrogênio no estado 2s, 
para qual valor de ݎ a probabilidade ܲሺݎሻ é 
máxima? Como seu resultado se compara a Ͷܽ – a 
distância entre o elétron e o núcleo para o estado ݊ ൌ ʹ no modelo de Bohr? Para qual valor de ݎ 
(além de ݎ ൌ Ͳ�‘—�ݎ ൌ λ) ܲሺݎሻ é igual a zero, de 
modo que a probabilidade de encontrar o elétron 
para essa distância em relação ao núcleo é igual a 
zero? 
Resolução: 
Da questão anterior, podemos tomar a seguinte 
expressão para a probabilidade: 
 
 ܲሺݎሻ ൌ ȁ߰ଶ௦ȁଶ ൌ ͳͺܽଷ ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି�௥௔ 
 (12.1) 
 
A derivada de (12.1) é dada por: 
 ݀ȁ߰ଶ௦ȁଶ݀ݎ ൌ ݎ݁ି�௥௔ͺܽଷ ቆͺ െ ͳ͸ݎܽ ൅ ͺݎଶܽଶ െ ݎଷܽଷቇ 
(12.2) 
 
Para encontrar os pontos de máximo de (12.1), 
devemos encontrar os valores de ݎ que tornam 
nula a expressão (12.2). Observa-se de (12.2) que 
para ݎ ൌ Ͳ�‘—�ݎ ൌ λ, a expressão (12.2) se anula. 
No entanto não são pontos de máximo. Devemos 
então procurar na expressão que se encontra 
entre parênteses em (12.2). Ou seja, as raízes da 
equação do 3º grau dada por: 
 
 
 
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6 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(r) 
r/a 
ݎଷ െ ͺܽݎଶ ൅ ͳ͸ܽଶݎ െ ͺܽଷ ൌ Ͳ 
(12.3) 
As raízes de uma equação do 3º grau da forma: ݔଷ ൅ ܽଵݔଶ ൅ ܽଶݔ ൅ ܽଷ ൌ Ͳ 
(12.4) 
São encontradas fazendo: ݔଵ ൌ ܵ ൅ ܶ െ ܽଵ͵ Ǣ ݔଶ ൌ െሺܵ ൅ ܶሻʹ െ ܽଵ͵ ൅ ݅ξ͵ʹ ሺܵ െ ܶሻǢ ݔଷ ൌ െሺܵ ൅ ܶሻʹ െ ܽଵ͵ െ ݅ξ͵ʹ ሺܵ െ ܶሻ 
(12.5) 
 
Em que: 
ܵ ൌ ටܴ ൅ ඥܳଷ ൅ ܴଶǢ ܶ ൌ ටܴ െ ඥܳଷ ൅ ܴଶǢ ܳ ൌ ͵ܽଶ െ ܽଵଶͻ Ǣ ܴ ൌ ͻܽଵܽଶ െ ʹ͹ܽଷ െ ʹܽଵଷͷͶ 
(12.6) 
Para (12.6), veja: Manual de Fórmulas e Tabelas 
Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, 
ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. No entanto, 
poderemos fazer algumas manobras. Vamos 
tomar a expressão (12.3) e reescrevê-la, da 
seguinte forma: ݎଷ െ ͺܽଷ ൌ ͺܽݎଶ െ ͳ͸ܽଶݎ 
(12.7) 
 
Lembrando que: 
 ݔଷ െ ݕଷ ൌ ሺݔ െ ݕሻሺݔଶ ൅ ݔݕ ൅ ݕଶሻ 
(12.8) 
Para (12.8), pode-se consultar o mesmo manual 
supracitado. Assim, poderemos reescrever (12.7), 
da seguinte forma: 
ሺݎ െ ʹܽሻሺݎଶ ൅ ʹܽݎ ൅ Ͷܽଶሻ ൌ ͺܽݎሺݎ െ ʹܽሻ 
(12.9) 
 
Observando a equação (12.9), verificamos que ݎ ൌ ʹܽ é uma raiz, mas não é ponto de máximo. 
Esse valor também anula a probabilidade. Basta 
substituir em (12.1). O que resta então de (12.9) é 
dado por: 
 ݎଶ െ ͸ܽݎ ൅ Ͷܽଶ ൌ Ͳ 
(12.10) 
 
Cujas raízes são: 
 ݎଵ ؆ Ͳǡ͹͸ͷܽ 
(12.11) 
 
E 
 ݎଶ ؆ ͷǡʹ͵ͷܽ 
(12.12) 
 
Sendo o resultado (12.12) o ponto de máximo 
para (12.1). O resultado (12.11) não é ponto de 
máximo e também não anula a probabilidade. O 
gráfico da figura 12.1 representa a probabilidade 
para o estado 2s, equação (12.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1 
 
 Questão 13
 
Para um estado excitado do átomo de 
hidrogênio, mostre que o menor ângulo que o 
momento angular orbital ܮሬԦ pode formar com o 
eixo Ͳݖ é dado por: 
 ߠ௅೘೔೙ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ൬ ௡ିଵඥ௡ሺ௡ିଵሻ൰. 
 
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7 
ܮሬԦ ܮݖሬሬሬԦ 
ߠ ߛ 
Resolução: 
Sabemos que o momento angular na direção ݖ é 
dado por: ܮ௭ ൌ ݉௟԰ 
(13.1) 
Em que ݉௟ ൌ Ͳǡേͳǡേʹ�ڮേ ݈. O momento 
angular, por sua vez, é dado por (1.1). A 
disposição dos vetores está representada na 
figura 13.1 abaixo. 
 
 
Figura 13.1 
O ângulo ߠ será dado por: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ܮ௭ܮ 
(13.2) 
Para um estado excitado, o maior valor do 
momento angular, de acordo com (1.1), será: ܮ ൌ ԰ඥ݊ሺ݊ െ ͳሻ 
(13.3) 
Uma vez que ݈ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ ͵ǡڮ ǡ ݊ െ ͳ. E o maior 
valor que o momento angular na direção z pode 
assumir, de acordo com (13.1) é: ܮ௭ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ԰ 
(13.4) 
Então, de acordo com (13.2), o menor ângulo, 
entre os dois vetores, será dado por: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ݊ െ ͳඥ݊ሺ݊ െ ͳሻ 
 (13.5) 
Ou ainda: 
ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ൬ͳ െ ͳ݊൰ଵଶ 
(13.6) 
 
Nessas condições, o maior ângulo ሺߛሻ, por ser um 
ângulo suplementar, será dado por: 
 ߛ ൌ ܽݎܿ�ܿ݋ݏ ቎െ൬ͳ െ ͳ݊൰ଵଶ቏ 
(13.7) 
 
 Questão 14
 
Quando conhecemos ܮ௭, não podemos 
determinar nem ܮ௫ e nem ܮ௬ com precisão. 
Contudo, podemos determinar com precisão o 
valor da grandeza ඥܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ . (a) Escreva uma 
expressão para essa grandeza em termos de ݈ǡ݉௟�‡�԰. (b) Qual é o significado de ඥܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ? (c) 
Para um estado com momento angular orbital 
diferente de zero, determine o valor máximo e o 
valor mínimo da grandeza ඥܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ . 
Resolução: 
O momento angular pode ser dado como a soma 
de seus componentes, de acordo com a expressão: 
 ܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ൅ ܮ௭ଶ ൌ ܮଶ 
(14.1) 
 
Utilizando (1.1) e (13.1), teremos, para (14.1): 
 ܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ൅݉௟ଶ԰ଶ ൌ ݈ሺ݈ ൅ ͳሻ԰ଶ ׵ ൫ܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ ൌ ԰ሾ݈ሺ݈ ൅ ͳሻ െ ݉௟ଶሿଵଶ 
(14.2) 
 
A expressão (14.2) fornece o módulo do 
componente do momento angular no plano ݔݕ. 
Observando a expressão (14.2) podemos concluir 
que o máximo, para o componente do momento 
angular no plano ݔݕ será dado por: 
 ൫ܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ௠ž௫ ൌ ԰ሾ݈ሺ݈ ൅ ͳሻሿଵଶ 
(14.3) 
 
 
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8 
Ou seja, quando o módulo do componente do 
momento angular na direção ݖ for nulo ሺȁ݉௟ȁ ൌ Ͳሻ. 
E o mínimo: ൫ܮ௫ଶ ൅ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ௠ž௫ ൌ ԰ξ݈ 
(14.4) 
Ou seja, quando o módulo do componente do 
momento angular na direção ݖ for máximo ሺȁ݉௟ȁ ൌ ݈ሻ. 
 Questão 15
Colocamos na presença de um campo 
magnético orientado ao longo do eixo Ͳݖ um 
grande número de átomos de hidrogênio 
ocupando estados 1s. Suponha que os átomos 
estejam em equilíbrio térmico na temperatura 
ambiente ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ. De acordo com a 
distribuição de Boltzmann, qual é a razãoentre o 
número de átomos no estado ݉௦ ൌ ͳ ʹΤ e o 
número de átomos no estado ݉௦ ൌ െͳ ʹΤ quando 
o módulo do campo magnético é (a) ͷǡͲͲ ή ͳͲିହ�ܶ 
(aproximadamente igual ao campo magnético da 
Terra); (b) ͲǡͷͲͲ�ܶ; (c) ͷǡͲͲ�ܶ ? 
Resolução: 
A energia de interação para o momento magnético 
de spin é dada por: ܷ ൌ െʹǡͲͲʹ͵ʹߤ஻ ή ܤ ή ݉௦ 
(15.1) 
Em que ߤ஻ ൌ ͷǡ͹ͺͺ ή ͳͲିହ�ܬ ή ܶିଵ (magnéton de 
Bohr). Para o estado fundamental, a energia total 
será dada por: ܧ௠ೞ ൌ െʹǡͳ͹͸ ή ͳͲିଵ଼ ൅ ܷ 
 (15.2) 
Em (15.2) a energia será dada em Joule (J). A 
razão entre os números de átomos é dada por: ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ൌ ݁ି൫ாషభ మΤ ିாభ మΤ ൯ ௞ಳ்Τ 
(15.3) 
Em que ݇஻ é a constante de Boltzmann. 
Utilizaremos os dados numéricos nas equações 
(15.1), (15.2) e (15.3) para os casos supracitados. 
Assim: 
a) ܤ ൌ ͷǡͲͲ ή ͳͲିହ�ܶ 
 ܷ ൌ േͶǡ͸Ͷ ή ͳͲିଶ଼�ܬ 
(15.4) 
 ܧିଵ ଶΤ ؆ ܧଵ ଶΤ 
(15.5) 
 ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ ͳ 
(15.6) 
 
b) ܤ ൌ ǡͷͲͲ�ܶ 
 ܷ ൌ േͶǡ͸Ͷ ή ͳͲିଶସ�ܬ 
(15.7) 
 ܧିଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳ͹ͷͻͻͷ͵͸ ή ͳͲିଵ଼�ܬ ܧଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳ͹͸ͲͲͶ͸Ͷ ή ͳͲିଵ଼�ܬ 
(15.8) 
 ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ Ͳǡͻͻͺ 
(15.9) 
 
c) ܤ ൌ ͷǡͲͲ�ܶ 
 ܷ ൌ േͶǡ͸Ͷ ή ͳͲିଶଷ�ܬ 
(15.10) 
 ܧିଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳ͹ͷͻͷ͵͸ ή ͳͲିଵ଼�ܬ ܧଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳ͹͸ͲͶ͸Ͷ ή ͳͲିଵ଼�ܬ 
(15.11) 
 ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ Ͳǡͻ͹ͺ 
(15.12) 
 
 Questão 16
 
Mostre que o número total de estados 
quânticos de um átomo (incluindo os estados de 
spin) na camada de número ݊ é igual a ʹ݊ଶ. (Dica: 
A soma dos ܰ primeiro números inteiros ͳ ൅ ʹ ൅ ͵ ൅ڮ൅ܰ ൌ ܰሺܰ ൅ ͳሻ ʹΤ ). 
 
 
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Resolução: 
Para uma camada ݊ ൌ ͳ, temos 2 estados, ou seja, ʹ ή ݊ ൌ ʹ ή ͳ. Para uma camada ݊ ൌ ʹ, temos 8 
estados, ou seja, ʹሾͳ ൅ ሺ݊ െ ͳ ൅ ݊ሻሿ ൌʹሾͳ ൅ ሺͳ ൅ ʹሻሿ. Assim, para uma camada ݊, 
teremos um total de estados dados por: ்ܰ ൌ ʹሾͳ ൅ ሺͳ ൅ ʹሻ ൅ ሺʹ ൅ ͵ሻ ൅ ڮሺ݊ െ ͳ ൅ ݊ሻሿ 
(16.1) 
Que pode ser reescrito da seguinte forma: 
௧ܰ ൌ ʹ ቈ݊ሺ݊ ൅ ͳሻʹ ൅ ሺ݊ െ ͳሻ݊ʹ ቉ 
(16.2) 
Logo: ்ܰ ൌ ʹ݊ଶ 
(16.3)