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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 15 Questão 1 O momento angular orbital de um elétron possui módulo igual a Ͷǡͳ ή ͳͲିଷସ�݇݃ ή ݉ଶ ή ݏିଵ. Qual é o número quântico do momento angular ݈ desse elétron? Resolução: O momento angular é dado por: ܮ ൌ ඥ݈ሺ݈ ͳሻ (1.1) Substituindo os dados em (1.1), teremos: ݈ଶ ݈ െ ൬ܮ൰ଶ ൌ Ͳ� ݈ଶ ݈ െ ͳͻǡͻͺͳ ൌ Ͳ (1.2) Resolvendo a equação (1.2), encontra-se, sendo ݈ Ͳ: ݈ ൌ Ͷ (1.3) Questão 2 Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1s do átomo de hidrogênio a uma distância menor do que ܽ ʹΤ do núcleo? Resolução: A função de onda do elétron no estado 1s é dada por: ߰ଵ௦ሺݎሻ ൌ ͳξߨܽଷ ή ݁ି� (2.1) Em que ܽ ؆ Ͳǡͷ͵�Հ. A probabilidade então, será dada por: ܲ ൌ නȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶܸ݀ (2.2) Em que ȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶ ൌ ߰ଵ௦כ ߰ଵ௦ e ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Assim, poderemos integrar (2.2). Logo: නȁ߰ଵ௦ሺݎሻȁଶܸ݀ ൌ Ͷܽଷනݎଶ݁ି�ଶ ݀ݎ (2.3) Vamos utilizar a seguinte integral: නݎଶ݁ି�ଶ ݀ݎ ൌ ቆെܽݎଶʹ െ ܽଶݎʹ െ ܽଷͶ ቇ ݁ି�ଶ (2.4) Para (2.4), veja: Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. Utilizando (2.4) em (2.3), nas condições do enunciado, teremos: Ͷܽଷන ݎଶ݁ି�ଶ ݀ݎଶ ൌ െʹǡͷ݁ ͳ ؆ ͲǡͲͺͲ͵ (2.5) Questão 3 Para a função de onda ߰ሺݎǡ ߠǡ ߶ሻ ൌܴሺݎሻȣሺߠሻȰሺ߶ሻ, onde a função Ȱሺ߶ሻ ൌܣ݁ݔሺ݅݉߶ሻ, mostre que ȁ߰ȁଶ não depende de ߶. Qual deve ser o valor de A para que Ȱሺ߶ሻ satisfaça a condição de normalização ȁȰሺ߶ሻȁଶ݀߶ଶగ ൌ ͳ? Resolução: Para ȁ߰ȁଶ, teremos: ȁ߰ȁଶ ൌ ܴכȣכȰכܴȣȰ (3.1) Mas: ȰכȰ ൌ ܣଶ݁ିథାథ ൌ ܣଶ (3.2) Logo: ȁ߰ȁଶ ൌ ܴכܴȣכȣܣଶ (3.3) www.profafguimaraes.net 2 Fazendo a integração, teremos: න ȁȰሺ߶ሻȁଶ݀߶ଶగ ൌ ܣଶන ݁ିథାథଶగ ݀߶ ܣ ൌ ͳξʹߨ (3.4) Questão 4 Um átomo de hidrogênio está no estado ݀. Na ausência de campo magnético externo, os estados com valores diferentes de ݉ possuem (aproximadamente) a mesma energia. Considere a interação do campo magnético com o momento de dipolo magnético orbital do átomo. (a) Calcule em elétron-volts o desdobramento dos níveis ݉ quando o átomo é colocado em um campo magnético de ͲǡͶͲͲ�ܶ na direção z. (b) Qual é o nível ݉ que possui a energia mais baixa? (c) Faça um diagrama dos níveis de energia ݀ com e sem o campo magnético. Resolução: a) A energia de interação com o campo magnético é dada por: ܷ ൌ ݉ߤܤ (4.1) Em que ߤ é o magnéton de Bohr, cujo valor é de ͷǡͺͺ ή ͳͲିହ�ܸ݁ ή ܶିଵ ൌ ͻǡʹͶ ή ͳͲିଶସ�ܬ ή ܶିଵ. Para o estado ݀�ሺ݈ ൌ ʹሻ, temos: ݉ ൌ Ͳǡ േͳ�� േ ʹ. Assim, ܷ ൌ ݉ ή ʹǡ͵ͳͷ ή ͳͲିହܸ݁ (4.2) Ou seja: ܷ ൌ Ͳ; ܷേଵ ൌ േʹǡ͵ͳͷ ή ͳͲିହܸ݁�; ܷേଶ ൌ േͶǡ͵Ͳ ή ͳͲିହ�ܸ݁. (4.3) b) O nível ݉ ൌ െʹ. c) O diagrama: ܧณୀെ ܧ ܷାଶܧ ܷାଵܧܧ ܷିଵܧ ܷିଶᇣᇧᇤᇧᇥஷ (4.4) Questão 5 Calcule a diferença de energia entre o nível ݉௦ ൌ ଵଶ (“spin para cima”) e o nível ݉௦ ൌ െ ଵଶ (“spin para baixo”) para o átomo de hidrogênio no estado 1s quando ele é colocado em um campo magnético com módulo igual a ͳǡͶͷ�ܶ situado no sentido negativo do eixo z. Qual é o nível, dentro os supracitados, que possui a energia mais baixa? Resolução: O momento magnético de spin, na direção z é dado por: ߤ௭ ൌ െʹǡͲͲʹ͵ʹ ή ݁ʹ݉ ή ܵ௭ (5.1) Em que ܵ௭ ൌ േ ଵଶ ή é o momento angular de spin. Assim, a energia de interação com o campo magnético será dada por: ܷ ൌ טሺͳǡͲͲͳͳሻߤܤ (5.2) Utilizando (5.2), teremos para a diferença de energia: οܧ ؆ ͳǡͺ ή ͳͲିସ�ܸ݁ (5.3) O nível de menor energia é o nível referente a ݉௦ ൌ ଵଶ. Questão 6 Faça uma lista das possíveis combinações de ݈ e ݆ para o átomo de hidrogênio no nível ݊ ൌ ͵. Resolução: Para ݊ ൌ ͵, teremos para ݈: ݈ ൌ Ͳǡ ͳ��ʹ. Para ݆, temos: ݆ ൌ ቚ݈ േ ଵଶቚ. Assim, para ݈ ൌ Ͳ, temos: www.profafguimaraes.net 3 ݆ ൌ േ ͳʹ (6.1) Para ݈ ൌ ͳ, temos: ݆ ൌ ͵ʹ ����݆ ൌ ͳʹ (6.2) E para ݈ ൌ ʹ, temos: ݆ ൌ ͷʹ ����݆ ൌ ͵ʹ (6.3) Questão 7 A interação hiperfina no átomo de hidrogênio entre o momento de dipolo magnético do próton e o momento de dipolo magnético de spin do elétron produz o desdobramento do nível fundamental em dois níveis separados por ͷǡͻ ή ͳͲି�ܸ݁. (a) Calcule o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido quando o átomo faz uma transição entre esses estados. Em que parte do espectro eletromagnético o fóton se encontra? Tais fótons são emitidos por nuvens de hidrogênio frias do espaço interestelar; ao detectar esses fótons, os astrônomos são capazes de calcular o número e a densidade de tais nuvens. (b) Calcule o campo magnético efetivo que atua sobre o elétron nesses estados. Resolução: a) O comprimento de onda é dada por: ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସܧ (7.1) Utilizando os dados numéricos na equação (7.1), teremos: ߣ ؆ ʹǡͳ ή ͳͲଽՀ ൌ ʹͳ�ܿ݉ (7.2) Esse comprimento de onda se encontra na faixa das micro-ondas. b) O desdobramento para esse caso será dado por: ܷ ൌ െߤ௭ܤ (7.3) Que resultado na expressão (5.2). A energia de desdobramento pode ser tomada como a metade da diferença de energia. Assim: ʹܧ ൌ ሺͳǡͲͲͳͳሻߤȁܤȁ (7.4) Sabendo que ͷǡͻ ή ͳͲି�ܸ݁ ൌ ͻǡͶͶ ή ͳͲିଶହ�ܬ e substituindo em (7.4), teremos: ȁܤȁ ൌ Ͷǡʹ ή ͳͲିଶହͳǡͲͲͳͳ ή ͻǡʹͲͺ ή ͳͲିଶସ � ȁܤȁ ൌ ͲǡͲͷͳ�ܶ (7.5) Questão 8 Modelo clássico do spin do elétron. (a) Se você imaginar o elétron como uma esfera clássica com raio igual a ͳǡͲ ή ͳͲିଵ�݉, qual será a velocidade angular necessária para produzir um momento angular de spin de modulo igual a ටଷସ? (b) Use ݒ ൌ ݎ߱ e o resultado do item (a) para calcular o módulo da velocidade ݒ no equador do elétron. O que seu resultado informa sobre a validade desse modelo? Resolução: a) O momento de inércia de uma esfera, referente à revolução em torno do diâmetro, é dado por: ܫ ൌ ʹݎଶ݉ͷ (8.1) Em que ݉ é a massa do elétron e ݎ o seu raio. Utilizando o dado numérico fornecido pelo enunciado da questão e o valor da massa do elétron, teremos para o seu momento de inércia: ܫ ൌ ͵ǡ ή ͳͲିହ�݇݃ ή ݉ଶ (8.2) O momento angular é calculado pela expressão: �ܮ ൌ ܫ ή ߱ (8.3) www.profafguimaraes.net 4 Logo, teremos: ߱ ൌ ඨͶ͵ ή ͳ͵ǡ ή ͳͲିହ ؆ ʹǡͷ ή ͳͲଷݎܽ݀ ή ݏିଵ (8.4) b) Com o resultado de (8.4), teremos para a velocidade linear na altura do equador eletrônico: ݒ ൌ ߱ ή ݎ ؆ ʹǡͷ ή ͳͲଵଷ�݉ ή ݏିଵ (8.5) O que corresponde a uma velocidade muito maior do que ܿ. Esse resultado é inválido sob a luz da teoria da relatividade especial. Questão 9 Para um átomo de hidrogênio, a probabilidade ܲሺݎሻ de encontrar o elétron no interior de uma camada esférica de raio interno ݎ e raio externo ݎ ݀ݎ é dada por (veja questão 2): ܲሺݎሻ݀ݎ ൌ ସయ ݎଶ݁ି�మೝೌ݀ݎ. Para um átomo de hidrogênio no estado fundamental 1s, para que valor de ݎ a probabilidade ܲሺݎሻ atinge seu valor máximo? Resolução: A probabilidade de se encontrar o elétron em uma determinada posição é dada por: ܲሺݎሻ ൌ Ͷܽଷ ݎଶ݁ି�ଶ (9.1) Derivando a expressão (9.1), poderemos encontrar o valor de ݎ que fornece a máxima probabilidade. Logo: ݀ܲሺݎሻ݀ݎ ൌ ͺܽଷ ή ݎ ή ݁ି�ଶ ቀͳ െ ܽݎቁ (9.2) Então, para ݎ ൌ ܽ ؆ Ͳǡͷ͵�Հ, a expressão (9.2) se anula (com exceção de ݎ ൌ Ͳ��ݎ ՜ λ, resultados que fornecem probabilidade nula), sendo assim a posição cuja probabilidade assume o valor máximo. Esse valor encontrado para ݎ é exatamente igual ao valor do raio no modelo de Bohr para o estado fundamental. Questão 10 Considere um átomo de hidrogênio no estado 1s. (a) Para qual valor de ݎ a energia potencial ܷሺݎሻ torna-se igual à energia total ܧ? Expressesua resposta em termos de ܽ. Esse valor de ݎ é chamado de ponto de inversão clássico porque nesse ponto uma partícula newtoniana pára momentaneamente e depois retorna em sentido contrário. (b) Para um valor de ݎ maior do que o valor do ponto de inversão clássico, ܷሺݎሻ ܧ. Classicamente a partícula não pode estar nessa região porque a energia cinética não pode ser negativa. Calcule a probabilidade de o elétron ser encontrado nessa região proibida classicamente. Resolução: a) Para o elétron no estado 1s, a energia total é dada por: ܧଵ௦ ൌ െ ͳሺͶߨ߳ሻଶ ή ݉݁ସʹଶ (10.1) Em que ݉ é a massa reduzida. A energia potencial, por sua vez, é dada por: ܷ ൌ െ ͳͶߨ߳ ή ݁ଶݎ (10.2) Igualando as expressões (10.1) e (10.2), e resolvendo para ݎ, teremos: ݎ ൌ ͺߨ߳ଶ݉݁ଶ ൌ ʹܽ (10.3) b) Utilizando a expressão (9.1), teremos, para a probabilidade solicitada: ܲ ൌ Ͷܽଷන ݎଶ݁ି�ଶ ݀ݎஶଶ ܲ ൌ Ͷܽଷ ቈͲ െ ͳ͵ܽଷͶ ή ݁ିସ www.profafguimaraes.net 5 ܲ ൌ Ͳǡʹ͵ͺ (10.4) Obs.: Para a integral consulte a questão 2. Questão 11 A função de onda para o átomo de hidrogênio no estado 2s é dada por: ߰ଶ௦ሺݎሻ ൌ ଵξଷଶగయ ቀʹ െ ቁ ݁ି� ೝమೌ. Mostre que essa função de onda é normalizada. No modelo de Bohr, a distância entre o elétron e o núcleo no estado 2s é exatamente igual a Ͷܽ. Calcule a probabilidade de que um elétron no estado 2s seja encontrado a uma distância em relação ao núcleo menor do que Ͷܽ. Resolução: A condição de normalização remente à probabilidade de se encontrar o elétron em algum lugar ao redor do núcleo. E essa probabilidade deve ser igual a 1. Logo: නȁ߰ଶ௦ȁଶܸ݀ ൌ ͳ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି� �݀ݎஶ ൌ ͳ (11.1) Em que ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Podemos utilizar as seguintes integrais: නݎଶ݁ି��݀ݎ ൌ െܽ݁ି�ሺݎଶ ʹݎܽ ʹܽଶሻ නݎଷ݁ି��݀ݎ ൌ െܽݎଷ݁ି� െ ͵ܽଶ݁ି�ሺݎଶ ʹݎܽ ʹܽଶሻ නݎସ݁ି��݀ݎ ൌ െܽݎସ݁ି� െ Ͷܽଶݎଷ݁ି�െ ͳʹܽଷ݁ି�ሺݎଶ ʹݎܽ ʹܽଶሻ (11.2) Quando utilizamos (11.2) em (11.1), encontraremos: ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି��݀ݎஶ ൌ ͳ െ ͵ ͵ ൌ ͳ (11.3) Logo, a função de onda é normalizada. A probabilidade em questão será dada por: ܲ ൌ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି��݀ݎସ (11.4) Utilizando as integrais em (11.2), teremos: ܲ ൌ ͳͺܽଷන ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି��݀ݎସ ൌ ͳ െ ݁ିସሺͳ͵ ͵ʹሻ ܲ ؆ Ͳǡͳ (11.5) Questão 12 Para um átomo de hidrogênio no estado 2s, para qual valor de ݎ a probabilidade ܲሺݎሻ é máxima? Como seu resultado se compara a Ͷܽ – a distância entre o elétron e o núcleo para o estado ݊ ൌ ʹ no modelo de Bohr? Para qual valor de ݎ (além de ݎ ൌ Ͳ��ݎ ൌ λ) ܲሺݎሻ é igual a zero, de modo que a probabilidade de encontrar o elétron para essa distância em relação ao núcleo é igual a zero? Resolução: Da questão anterior, podemos tomar a seguinte expressão para a probabilidade: ܲሺݎሻ ൌ ȁ߰ଶ௦ȁଶ ൌ ͳͺܽଷ ݎଶ ቀʹ െ ܽݎቁଶ ݁ି� (12.1) A derivada de (12.1) é dada por: ݀ȁ߰ଶ௦ȁଶ݀ݎ ൌ ݎ݁ି�ͺܽଷ ቆͺ െ ͳݎܽ ͺݎଶܽଶ െ ݎଷܽଷቇ (12.2) Para encontrar os pontos de máximo de (12.1), devemos encontrar os valores de ݎ que tornam nula a expressão (12.2). Observa-se de (12.2) que para ݎ ൌ Ͳ��ݎ ൌ λ, a expressão (12.2) se anula. No entanto não são pontos de máximo. Devemos então procurar na expressão que se encontra entre parênteses em (12.2). Ou seja, as raízes da equação do 3º grau dada por: www.profafguimaraes.net 6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(r) r/a ݎଷ െ ͺܽݎଶ ͳܽଶݎ െ ͺܽଷ ൌ Ͳ (12.3) As raízes de uma equação do 3º grau da forma: ݔଷ ܽଵݔଶ ܽଶݔ ܽଷ ൌ Ͳ (12.4) São encontradas fazendo: ݔଵ ൌ ܵ ܶ െ ܽଵ͵ Ǣ ݔଶ ൌ െሺܵ ܶሻʹ െ ܽଵ͵ ݅ξ͵ʹ ሺܵ െ ܶሻǢ ݔଷ ൌ െሺܵ ܶሻʹ െ ܽଵ͵ െ ݅ξ͵ʹ ሺܵ െ ܶሻ (12.5) Em que: ܵ ൌ ටܴ ඥܳଷ ܴଶǢ ܶ ൌ ටܴ െ ඥܳଷ ܴଶǢ ܳ ൌ ͵ܽଶ െ ܽଵଶͻ Ǣ ܴ ൌ ͻܽଵܽଶ െ ʹܽଷ െ ʹܽଵଷͷͶ (12.6) Para (12.6), veja: Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel, Coleção Schaum, ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. No entanto, poderemos fazer algumas manobras. Vamos tomar a expressão (12.3) e reescrevê-la, da seguinte forma: ݎଷ െ ͺܽଷ ൌ ͺܽݎଶ െ ͳܽଶݎ (12.7) Lembrando que: ݔଷ െ ݕଷ ൌ ሺݔ െ ݕሻሺݔଶ ݔݕ ݕଶሻ (12.8) Para (12.8), pode-se consultar o mesmo manual supracitado. Assim, poderemos reescrever (12.7), da seguinte forma: ሺݎ െ ʹܽሻሺݎଶ ʹܽݎ Ͷܽଶሻ ൌ ͺܽݎሺݎ െ ʹܽሻ (12.9) Observando a equação (12.9), verificamos que ݎ ൌ ʹܽ é uma raiz, mas não é ponto de máximo. Esse valor também anula a probabilidade. Basta substituir em (12.1). O que resta então de (12.9) é dado por: ݎଶ െ ܽݎ Ͷܽଶ ൌ Ͳ (12.10) Cujas raízes são: ݎଵ ؆ Ͳǡͷܽ (12.11) E ݎଶ ؆ ͷǡʹ͵ͷܽ (12.12) Sendo o resultado (12.12) o ponto de máximo para (12.1). O resultado (12.11) não é ponto de máximo e também não anula a probabilidade. O gráfico da figura 12.1 representa a probabilidade para o estado 2s, equação (12.1). Figura 12.1 Questão 13 Para um estado excitado do átomo de hidrogênio, mostre que o menor ângulo que o momento angular orbital ܮሬԦ pode formar com o eixo Ͳݖ é dado por: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿݏ ൬ ିଵඥሺିଵሻ൰. www.profafguimaraes.net 7 ܮሬԦ ܮݖሬሬሬԦ ߠ ߛ Resolução: Sabemos que o momento angular na direção ݖ é dado por: ܮ௭ ൌ ݉ (13.1) Em que ݉ ൌ Ͳǡേͳǡേʹ�ڮേ ݈. O momento angular, por sua vez, é dado por (1.1). A disposição dos vetores está representada na figura 13.1 abaixo. Figura 13.1 O ângulo ߠ será dado por: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿݏ ܮ௭ܮ (13.2) Para um estado excitado, o maior valor do momento angular, de acordo com (1.1), será: ܮ ൌ ඥ݊ሺ݊ െ ͳሻ (13.3) Uma vez que ݈ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ ͵ǡڮ ǡ ݊ െ ͳ. E o maior valor que o momento angular na direção z pode assumir, de acordo com (13.1) é: ܮ௭ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ (13.4) Então, de acordo com (13.2), o menor ângulo, entre os dois vetores, será dado por: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿݏ ݊ െ ͳඥ݊ሺ݊ െ ͳሻ (13.5) Ou ainda: ߠ ൌ ܽݎܿ�ܿݏ ൬ͳ െ ͳ݊൰ଵଶ (13.6) Nessas condições, o maior ângulo ሺߛሻ, por ser um ângulo suplementar, será dado por: ߛ ൌ ܽݎܿ�ܿݏ െ൬ͳ െ ͳ݊൰ଵଶ (13.7) Questão 14 Quando conhecemos ܮ௭, não podemos determinar nem ܮ௫ e nem ܮ௬ com precisão. Contudo, podemos determinar com precisão o valor da grandeza ඥܮ௫ଶ ܮ௬ଶ . (a) Escreva uma expressão para essa grandeza em termos de ݈ǡ݉��. (b) Qual é o significado de ඥܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ? (c) Para um estado com momento angular orbital diferente de zero, determine o valor máximo e o valor mínimo da grandeza ඥܮ௫ଶ ܮ௬ଶ . Resolução: O momento angular pode ser dado como a soma de seus componentes, de acordo com a expressão: ܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ܮ௭ଶ ൌ ܮଶ (14.1) Utilizando (1.1) e (13.1), teremos, para (14.1): ܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ݉ଶଶ ൌ ݈ሺ݈ ͳሻଶ ൫ܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ ൌ ሾ݈ሺ݈ ͳሻ െ ݉ଶሿଵଶ (14.2) A expressão (14.2) fornece o módulo do componente do momento angular no plano ݔݕ. Observando a expressão (14.2) podemos concluir que o máximo, para o componente do momento angular no plano ݔݕ será dado por: ൫ܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ௫ ൌ ሾ݈ሺ݈ ͳሻሿଵଶ (14.3) www.profafguimaraes.net 8 Ou seja, quando o módulo do componente do momento angular na direção ݖ for nulo ሺȁ݉ȁ ൌ Ͳሻ. E o mínimo: ൫ܮ௫ଶ ܮ௬ଶ ൯ଵଶ௫ ൌ ξ݈ (14.4) Ou seja, quando o módulo do componente do momento angular na direção ݖ for máximo ሺȁ݉ȁ ൌ ݈ሻ. Questão 15 Colocamos na presença de um campo magnético orientado ao longo do eixo Ͳݖ um grande número de átomos de hidrogênio ocupando estados 1s. Suponha que os átomos estejam em equilíbrio térmico na temperatura ambiente ܶ ൌ ͵ͲͲ�ܭ. De acordo com a distribuição de Boltzmann, qual é a razãoentre o número de átomos no estado ݉௦ ൌ ͳ ʹΤ e o número de átomos no estado ݉௦ ൌ െͳ ʹΤ quando o módulo do campo magnético é (a) ͷǡͲͲ ή ͳͲିହ�ܶ (aproximadamente igual ao campo magnético da Terra); (b) ͲǡͷͲͲ�ܶ; (c) ͷǡͲͲ�ܶ ? Resolução: A energia de interação para o momento magnético de spin é dada por: ܷ ൌ െʹǡͲͲʹ͵ʹߤ ή ܤ ή ݉௦ (15.1) Em que ߤ ൌ ͷǡͺͺ ή ͳͲିହ�ܬ ή ܶିଵ (magnéton de Bohr). Para o estado fundamental, a energia total será dada por: ܧೞ ൌ െʹǡͳ ή ͳͲିଵ଼ ܷ (15.2) Em (15.2) a energia será dada em Joule (J). A razão entre os números de átomos é dada por: ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ൌ ݁ି൫ாషభ మΤ ିாభ మΤ ൯ ಳ்Τ (15.3) Em que ݇ é a constante de Boltzmann. Utilizaremos os dados numéricos nas equações (15.1), (15.2) e (15.3) para os casos supracitados. Assim: a) ܤ ൌ ͷǡͲͲ ή ͳͲିହ�ܶ ܷ ൌ േͶǡͶ ή ͳͲିଶ଼�ܬ (15.4) ܧିଵ ଶΤ ؆ ܧଵ ଶΤ (15.5) ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ ͳ (15.6) b) ܤ ൌ ǡͷͲͲ�ܶ ܷ ൌ േͶǡͶ ή ͳͲିଶସ�ܬ (15.7) ܧିଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳͷͻͻͷ͵ ή ͳͲିଵ଼�ܬ ܧଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳͲͲͶͶ ή ͳͲିଵ଼�ܬ (15.8) ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ Ͳǡͻͻͺ (15.9) c) ܤ ൌ ͷǡͲͲ�ܶ ܷ ൌ േͶǡͶ ή ͳͲିଶଷ�ܬ (15.10) ܧିଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳͷͻͷ͵ ή ͳͲିଵ଼�ܬ ܧଵ ଶΤ ؆ െʹǡͳͲͶͶ ή ͳͲିଵ଼�ܬ (15.11) ݊ିଵ ଶΤ݊ଵ ଶΤ ؆ Ͳǡͻͺ (15.12) Questão 16 Mostre que o número total de estados quânticos de um átomo (incluindo os estados de spin) na camada de número ݊ é igual a ʹ݊ଶ. (Dica: A soma dos ܰ primeiro números inteiros ͳ ʹ ͵ ڮܰ ൌ ܰሺܰ ͳሻ ʹΤ ). www.profafguimaraes.net 9 Resolução: Para uma camada ݊ ൌ ͳ, temos 2 estados, ou seja, ʹ ή ݊ ൌ ʹ ή ͳ. Para uma camada ݊ ൌ ʹ, temos 8 estados, ou seja, ʹሾͳ ሺ݊ െ ͳ ݊ሻሿ ൌʹሾͳ ሺͳ ʹሻሿ. Assim, para uma camada ݊, teremos um total de estados dados por: ்ܰ ൌ ʹሾͳ ሺͳ ʹሻ ሺʹ ͵ሻ ڮሺ݊ െ ͳ ݊ሻሿ (16.1) Que pode ser reescrito da seguinte forma: ௧ܰ ൌ ʹ ቈ݊ሺ݊ ͳሻʹ ሺ݊ െ ͳሻ݊ʹ (16.2) Logo: ்ܰ ൌ ʹ݊ଶ (16.3)
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