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RACIOCÍNIO LÓGICO

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Raciocínio Lógico
Aula 1
Prof. André Roberto Guerra
Organização da Disciplina
Aula 1 – Fundamentação
• Definições preliminares
• Proposições e conectivos
Aula 2 – Operações
• Operações lógicas sobre proposições
• Construção de tabelas-verdade
Aula 3 – Proposições Compostas
• Tautologia, contradições e 
contingências
Aula 4 – Implicação e Equivalência
• Implicação lógica
• Equivalência lógica
Aula 5 –
• Álgebra das proposições
• Método dedutivo
Aula 6 – Regras e Validade
• Argumentos e regras de inferência
• Validade mediante 
tabelas-verdade, regras de inferência e 
equivalências
Aula Prática 1 a 4 –
Aulas 7 a 10 –
• Exercícios de fixação
• Solução de problemas
FIM
Organização da Aula
Fundamentação
• Definições preliminares
• Proposições e conectivos
Definições Preliminares
• A lógica formal é uma ciência que determina as formas corretas 
(válidas) de raciocínio
(COPI, I.M. Introdução à lógica. São Paulo: 1968)
� Estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio 
correto do incorreto
(DOPP, J. Noções de lógica formal. São Paulo:1970)
� O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no 
raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, 
na verificação formal de programas e os prepara 
melhor para o entendimento do conteúdo de 
tópicos mais avançados
(CELINA A.A.P. ABAR: 2011 - PUCSP)
� Lógica é o estudo de argumentos. Um argumento é uma sequência de 
enunciados na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são 
premissas, as quais servem para provar, ou pelo menos fornecer, alguma 
evidência para a conclusão
(NOLT, J.; ROHATYN, D. Lógica. São Paulo:1991)
Áreas de Atuação
• Ciências Humanas 
• Filosofia, Direito, Letras
• Ciências Exatas/Tecnológicas
• Computação/TI/Matemática
• Algoritmos
• Programação
• Argumentos estão tradicionalmente divididos em:
• DEDUTIVOS e INDUTIVOS
Argumento Dedutivo
• É válido quando suas premissas são verdadeiras e a conclusão é 
também verdadeira
� Premissa: "Todo homem é mortal."
� Premissa: "João é homem."
� Conclusão: "João é mortal."
Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro
Argumento Indutivo
• A verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da 
conclusão
� Premissa: "É comum após a chuva ficar nublado."
� Premissa: "Está chovendo."
� Conclusão: "Ficará nublado."
Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro
� As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma 
linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise 
lógica apropriada para a verificação de sua validade
Tais técnicas de análise serão objeto de estudo deste conteúdo
FIM
Uma breve história da Lógica
• Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=ozMbmBp3onE
Classificação da Lógica
• Alguns autores dividem o estudo da Lógica em:
• Lógica Indutiva
• Lógica Dedutiva
Lógica Indutiva
•Útil no estudo da teoria da 
probabilidade (não será abordada 
neste roteiro)
Lógica Dedutiva
• Que pode ser dividida em:
1. Lógica clássica
2. Lógicas complementares da clássica
3. Lógicas não - clássicas
1- Lógica Clássica 
� Considerada como o núcleo da lógica 
dedutiva. Denominada atualmente de 
Cálculo de Predicados de 1ª Ordem
� “O Cálculo de Predicados, dotado de uma 
linguagem mais rica, tem várias aplicações 
importantes não só para matemáticos e 
filósofos, como também para estudantes 
de Ciência da Computação.”
2 - Lógicas Complementares da Clássica
� Complementam de algum modo a lógica 
clássica estendendo o seu domínio
•Exemplos: lógicas modal, deôntica, 
epistêmica, etc.
3- Lógicas Não-Clássicas
� Caracterizadas assim por derrogarem alguns dos princípios da lógica 
clássica
• Exemplos: paracompletas e intuicionistas; paraconsistentes; não-aléticas; não-
reflexivas; probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic etc.
FIM
Períodos da Lógica
• Um “esboço" do desenvolvimento da lógica:
• Período Aristotélico: 
(± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) 
• Período Booleano:
(± 1840 a ± 1910) 
• Período Atual: 
(1910 - ........) 
Período Aristotélico
(± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)
• Início com o filósofo grego Aristóteles (384 - 322a.C.), que criou a 
ciência da Lógica, cuja essência era a teoria do silogismo
• Organon ou Instrumento da Ciência
Período Booleano
(± 1840 a ± 1910)
•Inicia-se com George Boole (1815-1864) 
e Augustus de Morgan (1806-1871)
� Publicaram os fundamentos da chamada 
Álgebra da Lógica, respectivamente com 
Mathematical Analysis Of Logic e Formal 
Logic.
Período Atual
(1910 - ...)
•Atualmente, as especialidades se 
multiplicam e as pesquisas em Lógica 
englobam muitas áreas do conhecimento
FIM
Cálculo Proposicional
•A primeira e indispensável parte da 
Lógica é o Cálculo Proposicional ou 
Cálculo Sentencial ou, ainda, Cálculo 
das Sentenças
� PROPOSIÇÃO: 
•Sentenças declarativas afirmativas que 
tenham sentido em afirmar que sejam 
verdadeiras ou falsas
•A lua é quadrada.
•A neve é branca.
•Matemática é uma ciência. 
� Sentenças interrogativas ou exclamativas 
não são estudadas
Símbolos da Linguagem
• Variáveis Proposicionais: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para 
indicar as proposições (fórmulas atômicas)
• Exemplos: A lua é quadrada: p
A neve é branca: q
Conectivos Lógicos
•As fórmulas atômicas podem ser 
combinadas entre si e, para representar 
tais combinações utiliza-se os conectivos 
lógicos
Conectivos lógicos:
^ e 
v ou 
→ se...então 
↔ se e somente se 
~ não 
Exemplos
• A lua não é quadrada: ~p
• A lua é quadrada e a neve é branca: p ^ q (conjunctos) 
• A lua é quadrada ou a neve é branca: p v q (disjunctos) 
� Se a lua é quadrada então: 
•a neve é branca: p → q
(p é o antecedente e q o consequente) 
� A lua é quadrada se e somente se a neve é 
branca: p ↔ q
Símbolos Auxiliares
• ( ), parênteses são utilizados para denotar o "alcance" dos 
conectivos; 
• Se a lua é quadrada e a neve é branca, então a lua não é 
quadrada: ((p ^ q) → ~p) 
• A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca: ((~p) ↔ q)) 
Definição de Fórmula
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula
2. Se A e B são fórmulas, então: 
(~A), (A v B), (A ^ B), (A → B), 
(A ↔ B) também são fórmulas
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2.
� Fórmulas são constituídas pelos símbolos 
do alfabeto (variáveis ou átomos, 
conectivos e símbolos de pontuação)
� Todo símbolo de verdade é uma fórmula
� Todo símbolo proposicional é uma fórmula
� Se A é uma fórmula, então ~A, isto é, negação de A, também é uma 
fórmula 
Se A e B são fórmulas...
• Negação: ~A ou ~B
• Disjunção: A ∧ B
• Conjunção: A ∨ B
• Implicação: A → B
• Bi-implicação: A ↔ B
• A: antecedente
• B: consequente
� Os parênteses são usados segundo a 
seguinte ordem dos conectivos: 
~, ^ , v , → , ↔
� Com o mesmo conectivo adota-se a 
convenção pela direita
Ordem de precedência dos conectivos
• Maior precedência: 
1. ~
• Precedência intermediária: 
2. ∧, 3. ∨
• Menor precedência: 
4. →, 5. ↔
Exemplo
• A fórmula: 
p v q ^ ~r → p → ~q
• Deve ser entendida como:
(((p v q) ^ (~r)) → (p → (~q)))
Eliminação de parênteses
• Parênteses externos: 
((p ∧ ~q)→ ~q)
(p ∧ ~q)→ ~q
� Conectivos ∨ e ∧ repetidos: alinham-se à esquerda:
((p ∧ q) ∧ ~r) ∧ ~s
(p ∧ q ∧ ~r) ∧ ~s
p ∧ q ∧ ~r ∧ ~s
� Conectivos → e ↔ repetidos: alinham-se à direita:
p → (q → (r → s))
p → (q → r → s)
p → q → r → s
SínteseRaciocínio Lógico
• Aula 1 – Fundamentação
• Definições preliminares
• Proposições e conectivos
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: 
Editora Manoele , 2003.
FIM
Raciocínio Lógico
Aula 2
Prof. André Roberto Guerra
Organização da Aula
• Operações
• Operações lógicas sobre proposições
• Construção de tabelas-verdade
FIM
Operações Lógicas
� A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros). São eles: 
• Princípio da Identidade
• Princípio da Contradição
• Princípio do Terceiro Excluído
� Princípio da Identidade: 
• Todo objeto é idêntico a si mesmo
� Princípio da Contradição: 
• Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa
� Princípio do Terceiro Excluído: 
• Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira
� Tendo como base esses princípios, as proposições simples são ou 
verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos 
� Daí dizer que a lógica clássica é bivalente
Tabela Verdade
• Dada uma expressão proposicional, e os valores lógicos das 
proposições simples que a compõe, utilizando a ordem de 
precedência é possível calcular o valor lógico da expressão
� Para determinar o valor (verdadeiro ou falso) das proposições compostas 
(moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) 
que as compõem são utilizadas tabelas-verdade
� Tabela Verdade da proposição composta é uma tabela na qual são 
apresentados todos os valores verdade possíveis de uma proposição 
composta, para cada combinação dos valores verdade das proposições 
componentes
� Cada linha da Tabela corresponde a uma possível combinação dos valores 
lógicos das proposições componentes; como são dois os valores lógicos, 
existem, para n componentes, 2n combinações possíveis
� Possui dois tipos de colunas: 
• Colunas para as proposições componentes (onde são distribuídos os valores V e F de 
forma a incluir cada possível combinação)
• Colunas para as operações (onde os valores V e F são obtidos pelas operações)
� Assim, se a expressão possui n componentes e m operações, a Tabela terá 
m + n colunas
� Para determinar unicamente a Tabela Verdade são estabelecidas algumas 
convenções para sua construção
� Para as colunas:
• 1. Dispor as proposições componentes em ordem alfabética
• 2. Dispor as operações na ordem de precedência determinada (com parênteses)
� Para as linhas:
• Alternar V e F para a última coluna 
• Alternar V V e F F para a penúltima
• Alternar V V V V e F F F F para a antepenúltima coluna componente
� Prosseguir dessa forma, se houver mais componentes, sempre dobrando o 
numero de Vs e Fs para cada coluna à esquerda
Exemplo: a expressão proposicional
(p → q) ∨ ~ ((p ↔ r) → ~ r)
� 1. Tabela Verdade da "negação": 
~p é Verdadeira se e somente se p é Falsa
� 2. Tabela verdade da "conjunção": 
é Verdadeira se e somente se os conjuntos são Verdadeiros
� 3. Tabela verdade da "disjunção": é Falsa se e somente os disjuntos são 
Falsos 
� 4. Tabela verdade da "implicação": é Falsa se e somente se o antecedente 
é Verdadeiro e o consequente é Falso
� 5. Tabela verdade "bi implicação": 
a bi implicação é Verdadeira se, e somente se seus componentes são ou 
ambos Verdadeiros ou ambos Falsos
� 6. Tabela verdade “OU Exclusivo”: 
É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem 
habitual: inclusivo (disjunção) v e exclusivo v onde:
p v q significa ((p v q) ^~ (p ^ q))
� 6. Tabela verdade "OU Exclusivo“:
� Número de linhas de uma tabela verdade: 
• Cada proposição simples (atômica) tem dois valores (V ou F) que se excluem. Para n
atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 
2 elementos n a n
� Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim: 
• Para duas proposições são 22 = 4 linhas
• Para três proposições são 23 = 8 linhas
• Para quatro proposições são 24 = 16 linhas
� Exemplo: 
� A tabela verdade da fórmula 
((p v q) → r) terá 8 linhas, como segue:
• Variáveis / Proposições: 3 (p q r)
23 = 8 linhas
� Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula:
((p v q) → ~p) → (q ^ p)
Aplicação
� Construir as tabela verdade das fórmulas a 
seguir
•a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
•b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
•c. ~p ∧ ~(p → ~q)
30
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
31
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
32
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
F
F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
3
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F
F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
4
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F V
F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
5
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
6
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
7
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
38
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V
V
F
F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
3
9
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V
V F
F V
F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
0
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
1
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
2
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
3
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F V
V F V V F
F V V V F
F F V F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
4
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F F F F
V F V V V V V
F V V V V V V
F F V F V V F
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
45
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F
V F F
F V V
F F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
6
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F
V F F V 
F V V F 
F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
7
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F
V F F V V 
F V V F F 
F F V F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
8
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F F
V F F V V V 
F V V F V F 
F F V F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
9
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V V F F
V F F F V V V 
F V V F F V F 
F F V F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
5
0
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F V V F F
V F F F F V V V 
F V V F F F V F 
F F V F F F V V
� Software de apoio didático Truth Table Constructor
•www.brian-borowski.com/Software/Truth/
51
Síntese
Raciocínio Lógico
• Aula 2 – Operações
• Operações lógicas sobre proposições
• Construção de tabelas-verdade
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: Editora 
Manoele , 2003.
• http://www.pucsp.br/~logica/
FIM
Raciocínio Lógico
Prof. André Roberto Guerra
Aula 3
Organização da Aula
Proposições compostas
• Tautologia 
• Contradições 
• Contingências
Propriedades Semânticas
• Propriedades semânticas básicas da Lógica Proposicional (LP):
• Tautologia
• Contradição
• Contingência
• Tautologia (ou fórmula válida)
• Uma fórmula Aé uma tautologia, se, e somente se, para toda
interpretação I, 
I[A] = V
Tautologia
• Tautologia é toda proposição composta cujo conjunto resposta da tabela-
verdade é formado em sua totalidade por V (verdadeiro)
� Em outros termos, é toda proposição
composta por 
P (p, q, r, …) cujo valor lógico é sempre
V (verdade), quaisquer sejam os 
valores lógicos das proposições simples 
componentes
p, q, r, …
• É imediato que as proposições p → p e p ↔ p são tautológicas (princípio de 
identidade para as proposições)
• Exemplo: A proposição
“~(p ^ ~p)” (princípio da não contradição) é tautologia, conforme 
mostra a sua tabela-verdade:
• Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa é sempre verdadeiro
p ~p p ^ ~p ~(p ^ ~p)
V F F V
F V F V
p ~p p v ~p
V F V
F V V
� A proposição “p v ~p” 
(princípio do terceiro
excluído) é tautologia, como 
comprovado na tabela-verdade
• Portanto, o conceito de que 
uma proposição ou é 
verdadeira ou é falsa é válido
• Uma fórmula A é insatisfazível (insatisfatível) ou uma contradição 
(contraválida), se, e somente se, para toda interpretação I, I[A] = F
Contradição
• Contradição é toda proposição composta cujo conjunto resposta da tabela-
verdade é formado em sua totalidade por F (falso)
� Em outros termos, é toda proposição
composta 
P(p, q, r, …) cujo valor lógico é sempre
F (falso), quaisquer sejam os valores 
lógicos das proposições simples 
componentes p, q, r, …
• Como a tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia
é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa
• Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa é sempre falso
p ~p p ^ ~p
V F F
F V F
� Exemplo: a proposição
“p ^ ~p”
� A proposição (p^q)^ ~(p v q) é 
uma contradição como 
comprovado na 
tabela-verdade:
p q p ^ q p v q ~(p v q) (p ^ q) ^ ~(p v q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
� Uma fórmula A é uma contingência se, e somente se, os valores do seu conjunto 
resposta são diferentes entre si
Contingência
• Em outros termos, é toda proposição composta 
P(p, q, r, …) cujo valor lógico é alternado entre V (verdadeiro) e F (falso), 
quaisquer sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p,
q, r, …
• Simplificando, contingência é toda proposição composta cujo conjunto 
resposta
• não é tautologia e 
• não é contradição
� A proposição ~(p v q) é uma
contingência como comprovado
na tabela-verdade
p q p v q ~(p v q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
� Uma fórmula A é falsificável, se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta 
são F (falsos)
• A fórmula sob a condição de contradição também é falsificável
Propriedades Semânticas LP
� Uma fórmula A é satisfazível, se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta 
são V (verdade)
• A fórmula sob a condição de tautologia também é satisfazível
Relações entre fórmulas da LP
• Toda fórmula válida (tautologia) é satisfazível
• Toda fórmula contraditória (insatisfazível) é falsificável
• Uma fórmula não pode ser satisfazível e contraditória
• Uma fórmula não pode ser uma tautologia e falsificável
• Se A é uma tautologia, então ~A é contraditória
• Se A é contraditória, então, ~A é uma tautologia
• Se A é satisfazível, então ~A é falsificável, e vice-versa
• Há fórmulas que são tanto satisfazíveis quanto falsificáveis, i.e., são 
contingências ou fórmulas indeterminadas
• Curiosidade
• A classificação de fórmulas extensas não é um processo trivial
• Um dos grandes desafios da computação é encontrar métodos (algoritmos) 
eficientes para decidir se uma fórmula é:
• satisfazível — falsificável
• contradição — tautologia
Classificação de Fórmula LP
Falsificável
Contradição
0 0
0 0 0
0 0 00
0
0
0
00
00
0
0
00 0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
00
0 0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
000
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
Satisfazível
Tautologia
1
1
111
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 11
1 1 1 11
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
11
1
1 1
1
1
1
11
1
1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 10
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1
1Contradição Tautologia
Falsificável Satisfazível
C
o
n
t
i
n
g
ê
n
c
i
a
Síntese
Raciocínio Lógico
• Propriedades semânticas básicas da Lógica Proposicional (LP)
• Tautologia
• Contradição
• Contingência
• Satisfazível
• Falsificável
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3. Barueri: Editora Manoele, 
2003.
Site para consulta
� Noções de Lógica Matemática — PUC–SP. Disponível em: 
<http://www.pucsp.br/~logica/>.
Raciocínio Lógico
Prof. André Roberto Guerra
Aula 4
Organização da Aula
• Implicação Lógica
• Equivalência Lógica
2
Implicação e Equivalência Lógica
• Envolve:
• Tabela-verdade
• Classificação de fórmulas da LP
• Tautologia
• Contradição
• Contingência
3
• Conectivos
•→ (implicação / condicional)
• (implicação lógica)
•↔ (bi-implicação)
• (equivalência lógica)
4
Implicação Lógica
• Segundo o dicionário Michaelis, “implicar” significa: Originar, produzir 
como consequência, ser causa de: ...uma filosofia definitiva, ...implicaria 
a imobilidade do pensamento humano (Antero de Quental)
5
• Definição
• A implicação lógica entre P e Q (duas fórmulas proposicionais quaisquer), nesta 
ordem, ocorre se, e somente se, a implicação (condicional “→”) entre elas gerar 
uma tautologia
6
• Os símbolos “→” e “ ” são distintos pois, “→” condicional é o 
resultado de uma operação lógica. Exemplo, considerando as 
proposições p e q, pode-se obter uma nova proposição expressa por p 
→ q
7
•Já a Implicação Lógica estabelece uma 
relação. Exemplo: A condicional p^~p →
q é tautologia. Logo, p^~p→ q ⇒ T
8
p q ~p
p^ 
~p p^~p → q
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
• Em outras palavras, uma proposição composta P (p, q, r, …) implica numa
proposição composta Q (p, q, r, …) se em qualquer linha da tabela verdade de 
P → Q NÃO ocorrer de P ser V (verdadeiro) e Q se F (Falso). P ⇒ Q sempre que 
os valores de seus conectivos forem V (Verdade)
9
• Em síntese, a condição necessária e suficiente para que uma implicação 
lógica qualquer representada por P⇒Q seja válida (verdadeira) é que a 
proposição condicional P (p, q, r, …)→ Q (p, q, r, …) seja uma tautologia
10
• Exemplo: verificar se p ^ q ⇒ p v q é válida. Para isso, basta construir a 
tabela verdade da proposição p ^ q → p v q e observar o resultado
11 p q p ^ q p v q p ^ q → p v q 
V V V V V
V F F V VF V F V V
F F F F V
• O Conjunto resposta da tabela verdade da proposição p ^ q → p v q é uma 
tautologia. Sendo assim, p ^ q ⇒ p v q é válido (Verdadeiro)
12
• Exemplo: Verificar se p→ q⇒ p↔ q é válida. Para isso, basta construir a 
tabela verdade da proposição p→ q→ p↔ q e observar o resultado
13 p q p → q p ↔ q p → q → p ↔ q 
V V V V V
V F F V V
F V F V F
F F F F V
• O Conjunto resposta da tabela verdade da proposição p→ q→ p↔ q
NÃO é tautologia. Sendo assim, p→ q→ p↔ q NÃO é válido (Falso)
14
Propriedades da Implicação
• As Implicações Lógicas admitem certas propriedades que podem ser 
utilizadas na obtenção de outros resultados
• Estão categorizadas em:
� Implicações Imediatas
� Implicações Notáveis
15
Implicações Imediatas
•Propriedade Reflexiva 
•Qualquer proposição P implica na 
própria proposição P P⇒P
•Propriedade Transitiva
•Se P⇒Qe Q⇒R então P⇒R
comprovado pela tabela verdade (P→Q
^ Q→R)→ (P→R)
16
Implicações Notáveis
• Regras de inferência
• Adição
• Simplificação
• Simplificação Disjuntiva
• Absorção
• Modus Ponens
• Modus Tollens 
• Silogismo disjuntivo
17
•Adição
Ocorre junto ao conectivo OU “v”
P⇒P v Q Q⇒P v Q
•Simplificação
Ocorre junto ao conectivo E “^”
P^ Q ⇒ P P^ Q ⇒ Q
18
•Simplificação disjuntiva
•Utilizada nos casos em que uma das 
proposições ocorre de forma 
contraditória e com um conectivo OU “v” 
sendo simplificada (P v Q) ^ (P v ~Q) ⇒ P 
Sou feliz ou me demito e Sou feliz ou não 
me demito. Logo, sou feliz
19
• Absorção
• Uma mesma proposição simples ocorre numa proposição 
condicional, sendo suficiente então pode ser omitida (absorvida) P 
→ Q ⇒ P → (P ^ Q)
Se corro então pulo. Logo, se corro, então corro e pulo
20
• Modus Ponens
• Baseada em proposição condicional (P → Q) ^ P ⇒ Q
• Modus Tollens 
• Baseada em proposição contrapositiva de condicional 
(P → Q) ^ ~Q ⇒ ~P
21
• Silogismo disjuntivo
• Ocorre a partir de uma disjunção (conectivo “OU”) em que uma das 
proposições simples é contrariada validando a outra proposição
(P v Q) ^ ~P ⇒ Q
(P v Q) ^ ~Q ⇒ P
22
Equivalência Lógica
• Segundo o dicionário Michaelis, “equivalência” significa: igualdade de 
valor, correspondência [DICMAXI – Michaelis Português]
23
• Definição
• A equivalência lógica entre P e Q (duas fórmulas proposicionais quaisquer), 
nesta ordem, ocorre se, e somente se, a bicondicional “↔” entre elas gerar 
uma tautologia
24
• É importante lembrar que os símbolos “↔” e “⇔” são distintos pois, 
“↔” bicondicional é o resultado de uma operação lógica. Já a 
equivalência Lógica, estabelece uma relação
25
• Duas proposições são logicamente equivalentes (ou equivalentes) quando 
ambas apresentam os mesmos valores lógicos. Ou ainda, são logicamente 
equivalentes (ou equivalentes) quando o conjunto resposta de suas tabela 
verdade são iguais
26
• Em síntese, a condição necessária e suficiente para que uma 
equivalência lógica qualquer representada por P⇔ Q seja válida 
(verdadeira) é que a proposição bicondicional correspondente P ↔ Q
seja uma tautologia
27
• Exemplo: 
• A bicondicional ~(p^~q)↔ (p→ q) é uma equivalência. Logo, ~(p^~q)
⇔ (p→ q) é tautologia
28
p q ~q p^ ~q ~(p^ ~q) p→q ~(p^ ~q) ⇔ p → q 
V V F F V V V
V F V V F F V
F V F F V V V
F F V F V V V
• Exemplo 2:
• A proposição p↔ q⇔ (p→q)^(q→p) é uma equivalência. Logo, p
↔ q⇔ (p→q)^(q→p) é tautologia
29
p q p→q q→p
(p→q)
^
(q→p
) p ↔ q 
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Equivalências Imediatas
• Propriedade Reflexiva 
• Qualquer proposição P equivale a própria proposição P P⇔ P
• Propriedade Transitiva
• Se P⇔ Q e Q⇔ R então P⇔ R Comprovado pela tabela verdade (P→
Q) ^ (Q→ R)↔ (P→ R)
30
Quadro de Equivalências
31
Síntese
Raciocínio Lógico
• Implicação Lógica
• Equivalência Lógica
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3. Barueri, SP: Editora 
Manoele, 2003.
Raciocínio Lógico
Aula 5
Prof. André Roberto Guerra
5
� Álgebra das proposições
�Método Dedutivo
Organização da Aula
Ferramenta muito importante, 
pois através dela pode-se 
operar sobre proposições 
utilizando-se de
implicações e equivalências 
“notáveis”.
Álgebra das Proposições
Uma aplicação apresentada 
como exemplo é a simplificação
de códigos computacionais, pois 
quanto mais simples o código, 
mais simples será compreendido 
e poderá ser executado mais 
rapidamente. 
Álgebra das Proposições
Conceito definido e apresentado 
no início” da disciplina (Aula 1)
“PROPOSIÇÃO: sentenças 
declarativas afirmativas que 
tenham sentido em afirmar que 
sejam verdadeiras ou falsas.”
Álgebra das Proposições
A álgebra das proposições é 
utilizada para reduzir/modificar 
expressões compostas, ou seja, 
também são conhecidas como 
propriedades.
Álgebra das Proposições
Implicações Notáveis
�Adição
�Simplificação Disjuntiva
�Simplificação
�Absorção
�Modus Ponens
�Modus Tollens 
�Silogismo disjuntivo
Álgebra das Proposições
Adição
Ocorre junto ao conectivo OU “v”
P⇒P v Q Q⇒P v Q
Simplificação
Ocorre junto ao conectivo E “^”
P^ Q ⇒ P P^ Q ⇒ Q
Implicações Notáveis
Simplificação disjuntiva
Utilizada nos casos em que uma 
das proposições ocorre de forma 
contraditória e com um conectivo 
OU “v” sendo simplificada 
(P v Q) ^ (P v ~Q) ⇒ P
Sou feliz ou me demito e Sou feliz 
ou não me demito. Logo, sou feliz.
Implicações Notáveis
Absorção
Uma mesma proposição simples 
ocorre numa proposição 
condicional, sendo suficiente então 
pode ser omitida (absorvida)
P → Q ⇒ P → (P ^ Q)
Se corro então pulo. 
Logo, se corro, então corro e pulo.
Implicações Notáveis
Modus Ponens
Baseada em proposição condicional 
(P → Q) ^ P ⇒ Q
Modus Tollens 
Baseada em proposição
contrapositiva de condicional 
(P → Q) ^ ~Q ⇒ ~P
Implicações Notáveis
Silogismo disjuntivo
Ocorre a partir de uma disjunção 
(conectivo “OU”) em que uma das 
proposições simples é contrariada 
validando a outra proposição
(P v Q) ^ ~P ⇒ Q
(P v Q) ^ ~Q ⇒ P
Implicações Notáveis
Quadro de Equivalências
Método Dedutivo
O Método dedutivo também 
é um método para 
demonstração de implicações e 
equivalências, utilizando das 
propriedades, leis e regras.
Método Dedutivo
No método dedutivo, as 
equivalências relativas 
desempenham um papel 
importante nas equivalências 
lógicas. As proposições (simples 
ou compostas) podem ser 
substituídas por P,Q,R,T,C
Método Dedutivo
Problema: 
O Número de linhas cresce muito 
rapidamente, à medida que 
aumenta o número de proposições 
simples envolvidas no argumento. 
Com 10 proposições a tabela terá 
1024 linhas e com 11 são 2048.
Método Dedutivo
O Método Dedutivo utiliza as 
implicações e equivalência 
notáveis apresentadas, também 
chamados de regras de inferência
A validade destes pode ser 
verificada pela construção de 
tabelas verdade de cada argumento
Método Dedutivo
Exemplo: Simplificar (p → (~p → q)
(p → (~p → q) 
p → (~~p v q) 
~p v (p v q) 
(~p v p) v (~p v q)
T v (~p v q) 
T 
Método Dedutivo
A implicação do exemplo anterior 
representa uma tautologia, pois a 
propriedade distributiva gera 
(~p v p), ou seja, ela é 
obrigatoriamente forçada a gerar 
um valor verdadeiro. 
Método Dedutivo
Ao juntar-se com o operador “v” 
(OU), ela obriga a proposição 
formada a gerar um valor 
verdadeiro na resolução
Caso a proposição fosse T^(~p v q) 
então o valor lógico é (~p v q) pois, 
o valor mesmo que falso, juntado 
com (~p v q)será (~p v q).
Síntese
Raciocínio Lógico
� Álgebra das proposições
�Método Dedutivo
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é 
um Axioma. Capítulo 3 -
Barueri SP: Editora Manoele , 
2003.
6
Raciocínio Lógico
Aula 6
Prof. André Roberto Guerra
� Argumentos e regras de 
inferência
�Validade mediante 
tabelas-verdade, regras de 
inferência e equivalências
Organização da Aula
Argumentos
Um grupo de proposições iniciais
que redunda em outra proposição 
final, consequente das primeiras! 
Argumento é a relação que associa 
um conjunto de proposições 
(p1, p2,... pn), chamadas 
premissas do argumento, a uma 
proposição “c”, chamada de 
conclusão do argumento. 
Os termos premissa e conclusão
podem ser substituídos pelos 
correspondentes hipótese e tese. 
São exemplos de argumentos: 
p1:Todos cearenses são humoristas
p2:Todos humoristas gostam de 
música. 
C:Todos os cearenses gostam de 
música. 
Argumentos
O tipo de argumento ilustrado no 
exemplo é chamado silogismo. 
Silogismo é o argumento formado 
por duas ou mais premissas e a 
respectiva conclusão. 
O estudo dos argumentos lógicos 
verifica se eles são válidos ou 
inválidos! 
Argumentos
Argumentos Válidos
Um argumento é válido (ou ainda 
legítimo ou bem construído), 
quando sua conclusão é uma 
consequência obrigatória do seu 
conjunto de premissas. 
As premissas e a conclusão podem 
ser visivelmente falsas (e até 
absurdas!), e o argumento, ainda 
assim, será considerado válido.
Isto pode ocorrer porque, na Lógica, 
o estudo dos argumentos não leva 
em conta a verdade ou a falsidade
das premissas que compõem o 
argumento, mas tão somente a 
validade deste. 
Argumentos Válidos
Exemplo: O silogismo... 
p1: Todos os homens são pássaros. 
p2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Portanto, nenhum homem é 
animal. 
está bem construído, portanto é um 
argumento válido, muito embora a 
veracidade das premissas e da 
conclusão sejam questionáveis.
Argumentos Válidos
9
A construção do argumento é 
analisada e não o seu conteúdo! 
Se a construção está correta então 
o argumento é válido, 
independentemente do conteúdo 
das premissas ou da conclusão! 
Argumentos Válidos
Em um argumento válido, as 
premissas são consideradas provas 
evidentes da verdade da conclusão, 
caso contrário não é válido.
Quando é válido, a conclusão é uma 
consequência lógica das premissas, 
ou ainda, a conclusão é uma 
inferência decorrente das premissas
Argumentos Válidos
A lógica se preocupa com o 
relacionamento entre as 
premissas e a conclusão, ou seja, 
com a estrutura e a forma do 
raciocínio. A verdade do conteúdo 
de cada premissa e da conclusão é 
estudo das demais ciências. 
Argumentos Válidos
A validade do argumento está 
diretamente ligada à forma pela 
qual ele se apresenta.
(Lógica Formal – estuda a forma 
dos argumentos).
Argumentos Válidos
A Lógica Formal Clássica só 
estuda Argumentos Dedutivos, 
verificando se são ou não válidos.
Verdade e Falsidade: são 
propriedades das proposições, 
nunca dos argumentos.
Argumentos Válidos
Validade ou Invalidade: são 
propriedades dos argumentos
dedutivos que dizem respeito a 
inferência ser ou não válida
(raciocínio ser ou não correto).
Os conceitos de argumento válido
ou inválido são independentes da 
verdade ou falsidade de suas 
premissas e conclusão.
Argumentos Válidos
Qualquer combinação de valores 
verdade entre as premissas e a 
conclusão é possível, exceto que 
nenhum argumento dedutivo 
válido tenha as premissas 
verdadeiras e a conclusão falsa.
Um argumento dedutivo no qual 
todas as premissas são 
verdadeiras é dito Argumento 
Correto, evidentemente sua 
conclusão também é verdadeira.
Argumentos Válidos
Inferência é a relação que 
permite passar das premissas para 
a conclusão (um “encadeamento 
lógico”).
A palavra inferência vem do 
latim, Inferre, e significa “conduzir 
para”.
Regras de Inferência
O objeto de estudo da lógica é 
determinar se a conclusão de um 
argumento é ou não decorrente 
das premissas (uma inferência).
Mecanismos para se obter 
conclusões sobre outras assertivas, 
que juntas formam os passos de 
uma prova.
Regras de Inferência
Modus Ponens
Baseada em proposição condicional 
(P→Q)^P⇒Q ou (P^P→Q)→Q 
É a base das regras de inferência e 
dada pela tautologia indicada.
Dada uma implicação, se ela e sua 
hipótese são verdadeiras então sua
consequência também o é.
Implicações e 
Equivalências Notáveis
Apresente argumento válido para:
~p ∧ q, r → p, ~r → s, s → t ⊢ t.
(1) ~p ∧ q - hipótese
(2) ~p - simplificação de (1)
(3) r → p - hipótese
(4) ~r -modus tollens usando (2 e 3)
(5) ~r → s - hipótese
(6) s -modus ponens usando (4 e 5)
(7) s → t - hipótese
(8) t - modus ponens usando (6 e 7)
Implicações e 
Equivalências Notáveis
Validade de um Argumento
Todo argumento tem um valor 
lógico, aquí utilizado V se é 
válido (correto, legítimo) ou F
se é um sofisma (incorreto, 
ilegítimo).
Validade de um Argumento
As premissas dos argumentos são
verdadeiras ou, pelo menos 
admitidas como tal. Aliás, a lógica 
só se preocupa com a validade dos 
argumentos e não com a verdade
ou falsidade das premissas e das 
conclusões.
Validade de um Argumento
A validade de um argumento depende
exclusivamente da relação existente
entre as premissas e a conclusão.
Portanto, afirmar que um dado
argumento é válido significa afirmar
que as premissas estão de tal modo
relacionadas com a conclusão que não
é possível ter a conclusão falsa se as
premissas são verdadeiras.
Critérios de Validade de 
um Argumento
Teorema – Um argumento
P1, P2, …, Pn Q é válido se e
somente se a condicional:
(P1 ^ P2 ^…^ Pn) →Q 
é tautológica.
Exemplificando, do argumento válido
P ⇒ p V q segue-se a validade dos
argumentos:
(~p ^ r) ⇒ (~p ^ r) V (~s→ r)
(p→ r v s) ⇒ (p→ r v s) V (~r→ s)
pois ambos têm a mesma forma
Critérios de Validade de 
um Argumento
Portanto, a validade ou não de um
argumento depende apenas da sua
forma e não do seu conteúdo ou da 
verdade ou falsidade das 
proposições que o integram.
Critérios de Validade de 
um Argumento
Argumentos Válidos 
Fundamentais
Os argumentos válidos abaixo, 
são conhecidos como 
argumentos fundamentais:
(a) Adição (AD)
(i) p ⇒ p ν q (ii) p ⇒ q ν p;
(b) Simplificação (SIMP)
(i) p Λ q ⇒ p (ii) p Λ q ⇒ q;
(c) Conjunção (CONJ)
(i) p, q ⇒ p Λ q (ii) p, q ⇒ q Λ p;
(d) Absorção (ABS)
p → q ⇒ p → (p Λ q);
(e) Modus ponens (MP)
p → q , p ⇒ q;
(f) Modus tollens (MT)
p → q , ~q ⇒ ~p;
Argumentos Válidos 
Fundamentais
(g) Silogismo disjuntivo (SD)
(i) p ν q, ~p ⇒ q (ii) p ν q, ~q ⇒ p;
(h) Silogismo hipotético (SH)
p → q, q → r ⇒ p → r;
(i) Dilema construtivo (DC)
p → q, r → s, p ν r ⇒ q ν s;
(j) Dilema destrutivo (DD)
p→ q, r→ s, ~q ν ~s ⇒~p ν ~r;
Argumentos Válidos 
Fundamentais
A validade dos dez argumentos 
pode ser verificada (faça isso) 
através da construção das 
tabelas-verdade de cada 
argumento. Os dez argumentos 
válidos fundamentais acima são 
também chamados de “regras 
de inferência”.
Argumentos Válidos 
Fundamentais
A validade de um argumento 
pode ser demonstrada através 
da Construção de tabelas-
verdade ou utilizando as regras 
de inferência.
Validade de Argumento
Exemplo: Demonstre que os argumentos 
abaixo são válidos, utilizando tabela-
verdade e as regras de inferência:
• Se o programa é eficiente, ele 
executará rapidamente.
• O programa é eficiente ou tem um erro. 
• O programa não executa rapidamente.
Portanto o programa tem um erro; 
Validadede Argumento
- Inicialmente, o argumento é 
traduzido para linguagem simbólica.
Consideram-se as proposições 
simples: 
p: O programa é eficiente, 
q: O programa executa rápido e 
r: O programa tem um erro. 
Validade de Argumento
Obtem-se então, na linguagem 
simbólica, as premissas
p → q, p ∨ r, ~q
e a conclusão r, ou seja,
(p → q) ∧ (p ν r) ∧ (~q) ⇒ r
Validade de Argumento
Validade mediante 
tabela-verdade
(p → q) ∧ (p ν r) ∧ (~q) ⇒ r
p q r p → q p ∨ r ~q r
V V V V V F V
V V F V V F F
V F V F V V V
V F F F V V F
F V V V V F V
F V F V F F F
F F V V V V V
F F F V F V F
Validade mediante 
regras de inferência
As premissas são
(1) p → q
(2) p ∨ r
(3) ~q
(4) ~p modus tollens nas 
premissas (1) e (3)
(5) r silogismo disjuntivo nas 
premissas (2) e (4);
Portanto, é possível concluir a 
proposição “r” das premissas
(1), (2) e (3), ou seja, o
argumento é válido.
Validade mediante 
regras de inferência
� Se Graham está no campo de 
golfe, então Harvey está de 
serviço no hospital e Ives deve 
ter mudado sua política. 
� Harvey não está de serviço no 
hospital.
Portanto, Graham não está no 
campo de golfe;
Validade mediante 
regras de inferência
Inicialmente, o argumento é 
traduzido para linguagem simbólica.
Consideram-se as proposições 
simples: 
p: Graham está no campo de golfe, 
q: Harvey está de serviço no 
hospital, e 
r: Ives mudou sua política.
Validade mediante 
regras de inferência
Obtem-se então, na linguagem 
simbólica, as premissas
p → (q Λ r), ~q 
e a conclusão ~p, ou seja,
(p → (q Λ r) ∧ ~q ⇒ ~p
Validade mediante 
regras de inferência
(p → (q Λ r) ∧ ~q ⇒ ~p
p q r q Λ r p → (q Λ r) ~q ~p
V V V V V F F
V V F F F F F
V F V F F V F
V F F F F V F
F V V V V F V
F V F F V F V
F F V F V V V
F F F F V V V
Validade mediante 
tabela-verdade
As premissas são
(1) p → q Λ R
(2) ~q
(3) ~q ν ~r adição na 
premissa (2);
(4) ~( q Λ r) lei de De Morgan 
da disjunção na premissa (3); 
Validade mediante 
regras de inferência
(5) ~p modus tollens nas 
premissas (1) e (4)
Portanto é possível concluir a 
proposição “~p” das premissas
(1) e (2), ou seja, o 
argumento é válido
Validade mediante 
regras de inferência
Síntese
� Argumentos e regras de 
inferência
� Validade mediante 
tabelas-verdade, regras de 
inferência e equivalências
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é 
um Axioma. Capítulo 3 -
Barueri SP: Editora Manoele , 
2003.
Raciocínio Lógico
Aula Prática 1
Prof. André Roberto Guerra
Organização da Aula
Aula Prática 1 (Aula 7) 
• Exercícios de fixação
• Solução de problemas
Exercício de fixação
Construção de Tabela Verdade
Cálculo Proposicional da fórmula 
apresentada na Aula Teórica 1:
(((p v q) ^ (~r)) (p (~q)))
Exercício de fixação
(((p v q) ^ (~r)) (p (~q)))
Síntese
Aula Prática 1 (Aula 7) 
• Exercícios de fixação
• Solução de problemas
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é um 
Axioma. Capítulo 3 - Barueri 
SP: Editora Manoele , 2003.

Outros materiais